Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.7

கேள்வி 1.
(2, 3, 6) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும் \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-3}{1}\) மற்றும் \(\frac{x+3}{2}=\frac{y-3}{-5}=\frac{z+1}{-3}\) என்ற கோடுகளுக்கு இணையானதுமான தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
தளமானது
\(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}\) புள்ளி வழிச் செல்கிறது மற்றும்
கோடுகள் \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-3}{1}\) மற்றும் \(\frac{x+3}{2}\)
= \(\frac{y-3}{-5}=\frac{z+1}{-3}\) க்கு இணையாக இருக்கிறது.
= \(\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}\) மற்றும் \(\vec{c}=2 \hat{i}-5 \hat{j}-3 \hat{k}\)
\(\vec{b} \times \vec{c}=\left|\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & 3 & 1 \\
2 & -5 & -3
\end{array}\right|\)
= \(\hat{i}(-9+5)-\hat{j}(-6-2)+\hat{k}(-10-6)\)
= \(-4 \hat{i}+8 \hat{j}-16 \hat{k}\)
தளத்தின் துணையலகு இல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு

கேள்வி 2.
(2, 2, 1), (9, 3, 6) ஆகிய புள்ளிகள் வழிச் செல்லக் கூடியதும் 2x + 6y + 63 = 9 என்ற தளத்திற்குச் செங்குத்தாக அமைவதுமான தளத்தின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளம் புள்ளிகள் \(\vec{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\)
மற்றும் \(\vec{b}=9 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}\) வழிச் செல்கிறது. கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு 2x + 6y + 6z = 9. இதை இவ்வாறு எழுதலாம் \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+6 \hat{j}+6 \hat{k})\) = 9. கொடுக்கப்பட்ட தளம் \(2 \hat{i}+6 \hat{j}+6 \hat{k}\) க்கு செங்குத்து ஆதலால், தேவையான தளம் \(\vec{c}=2 \hat{i}+6 \hat{j}+6 \hat{k}\) -க்கு இணை. ஆகையால் இரண்டு புள்ளி வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டருக்கு இணையான தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்

⇒ (x – 2)(6 – 30) – (y – 2)(42 – 10) + (z – 1)(42 – 2) = 0
⇒ (x- 2)(-24) – (y – 2)(32) + (z – 1)(40) = 0
⇒ -24x + 48 – 32y + 64 + 402 – 40 = 0
⇒ -24x – 32y + 40z + 72 = 0
÷ -8 கிடைப்பது,
3x + 4y – 5z – 9 = 0 என்பது கார்டீசியன் வடிவம்.
∴ வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்
\(\vec{r}=\vec{r} \cdot(3 \vec{i}+4 \vec{j}-5 \vec{k})\) = 9.

கேள்வி 3.
(2, 2, 1),(1, -2, 3) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்வதும் (2, 1,- 3) மற்றும் (-1, 5, -8). என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டிற்கு இணையாகவும் அமையும் தளத்தின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு, மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க..
தீர்வு:
தளம் இரண்டு புள்ளிகள் வழிச் செல்கிறது.
\(\vec{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\) மற்றும் \(\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}\).
(2, 1, -3) மற்றும் (-1, 5, -8) வழிச் செல்லும் நேர்க்கோடு

ஆகையால் தேவையான தளம் வெக்டர் \(\vec{c}=-3 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}\) க்கு இணை .
இரு புள்ளிகள் \(\vec{a}, \vec{b}\) வழிச் செல்லும் மற்றும் \(\vec{c}\) க்கு இணையான தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம் \(\vec{r}=\vec{a}+s(\vec{b}-\vec{a})+t \vec{c}\),
s, t ∈ ℝ.
\(\vec{r}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}+s(-3 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k})\)+ \(t(-3 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})\), s, t ∈ ℝ
இரண்டு புள்ளி வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டருக்கு இணையான தளத்தின் கார்டீசியன் வடிவம்
\(\left|\begin{array}{ccc}
x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\
x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\
c_{1} & c_{2} & c_{3}
\end{array}\right|=0\)
[∵ (x₁, y₁, z₁) = (2, 2, 1), (x₂, y₂, z₂) = (-1, -2, 3) & (c₁,c₂, c₃) = (-3, 4-5)]
⇒ \(\left|\begin{array}{ccc}
x-2 & y-2 & z-1 \\
-1 & -4 & 2 \\
-3 & 4 & -5
\end{array}\right|=0\)
⇒ (x – 2)(20 – 8) – (y – 2)(5 + 6) + (z – 1)(-4 – 12) = 0
⇒ (x – 2)(12) – (y – 2)(11) + (z – 1)(-16) = 0
⇒ 12x – 24 – 11y + 22 – 16z + 16 = 0
⇒ 12x – 11y – 162 + 14 = 0

கேள்வி 4.
(1,-2,4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும் x + 2y – 3z = 11 என்ற தளத்திற்கு செங்குத் தாகவும் \(\frac{x+7}{3}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{1}\) என்ற கோட்டிற்கு இணையாகவும் அமையும் தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
\(\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}\) ……….. (1)
என்ற புள்ளி வழி செல்லும் தளத்தின் சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு
x + 2y – 3z = 11
⇒ \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})\) = 11
\(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}\) என்ற வெக்டருக்கு கொடுக்கப்பட்ட தளம் செங்குத்து
∴ தேவையான தளம் \(\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}\) ……….. (2)
என்ற வெக்டருக்கு இணை கொடுக்கப்பட்ட தளம் \(\frac{x+7}{3}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{1}\) என்ற கோட்டிற்கு இணை அதனுடைய 3,-1, 1 திசை விகிதங்கள்
தேவையான தளம் \(\vec{c}=3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) என்ற வெக்டருக்கு இணை …………. (3)
∴ \(\) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிற மற்றும் 6 மற்றும் க்கு இணையான தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம்


⇒ x + 10y + 7z = 9 என்பது தேவையான தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

கேள்வி 5.
\(\vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})+t(2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}) .\) என்ற கோட்டை உள்ளடக்கியதும் \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})\) = 8 என்ற தளத்திற்குச் செங்குத்தானதுமான தளத்தின் துணையலகு வடிவ வெக்டர் மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
தளம் கொண்டிருக்கும் கோடானது
\(\vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})+t(2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}) .\)
∴ தேவைான தளம் \(\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}\) என்ற புள்ளி
வழிச் செல்கிறது மற்றும் \(\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}\) என்ற வெக்டருக்கு இணை.
மேலும், தளம் \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})\) என்ற தளத்திற்கு செங்குத்து.
∴ தேவையான தளம் \(\vec{c}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\) என்ற வெக்டருக்கு இணை
∴ \((\vec{a})\) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும் \(\vec{b}\) மற்றும் \(\vec{c}\) என்ற இரு வெக்டர்களுக்கு இணையான தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம்

⇒ (x – 1)(-1 – 8) – (y + 1)(2 – 4) + (z – 3)(4 + 1) = 0
⇒ (x – 1)(-9) – (y + 1)(-2) + (z – 3)5 = 0
⇒ -9x + 9 +2y + 2 + 5z – 15 = 0
⇒ -9x + 2y + 5z – 4 = 0
⇒ 9x – 2y – 5z + 4 = 0

கேள்வி 6.
(3, 6, -2), (-1, -2, 6), மற்றும் (6, -4, – 2) ஆகிய ஒரே கோட்டிலமையாத மூன்று புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் தளத்தின் துணையலகு , துணையலகு அல்லாத வடிவ வெக்டர் மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
\(\vec{a}=3 \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}\)
\(\vec{b}=-\hat{i}-2 \hat{j}+6 \hat{k}\) மற்றும்
\(\vec{c}=6 \hat{i}-4 \hat{j}-2 \hat{k}\)
என்ற மூன்று புள்ளிகள் வழி தளம் செல்கிறது. இங்கு

மூன்று புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்

3 புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம்

⇒ (x – 3)(0 + 80) – (y – 6)(0 – 24) + (z + 2)(40 + 24) = 0
⇒ 80x – 240 + 24y – 144 + +64z + 128 = 0
⇒ 80x + 24y + 64z – 256 = 0 ÷ 8 கிடைப்பது
10x + 3y + 8z – 32 = 0

கேள்வி 7.
\(\vec{r}=(6 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+s(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})+t(-5 \hat{i}-4 \hat{j}-5 \hat{k})\) என்ற தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
தளத்தின் சமன்பாடு
\(\vec{r}=(6 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+s(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})+t(-5 \hat{i}-4 \hat{j}-5 \hat{k})\) \(\vec{a}=6 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) என்ற புள்ளி வழிச்செல்லும் \(\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\) மற்றும் \(\vec{c}=-5 \hat{i}-4 \hat{j}-5 \hat{k}\) இணையானது.
∴ தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம் \((\vec{r}-\vec{a}) \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=0\)

⇒ 3x + 5y – 72 – 6 = 0 என்பது தேவையான கார்டீசியன் சமன்பாடு

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.8

கேள்வி 1.
\(\vec{r}=(5 \hat{i}+7 \hat{j}-3 \hat{k})+s(4 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})\) மற்றும் \(\vec{r}=(8 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})+t(7 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})\) ஆகிய கோடுகள் ஒரே தளத்தில் அமையும் எனக் காண்பிக்க மேலும், இக்கோடுகள் அமையும் தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்
\(\vec{r}=(5 \hat{i}+7 \hat{j}-3 \hat{k})+s(4 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})\)
மற்றும் \(\vec{r}=(8 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})+t(7 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})\)
\(\vec{a}=5 \hat{i}+7 \hat{j}-3 \hat{k}, \vec{b}=4 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}\) என்க
\(\vec{c}=8 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}\) மற்றும் \(\vec{d}=7 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}\)
இரண்டு கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன எனில்

∴ கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன. ஒரு தளம் அமையும் கோடுகளை கொண்ட தளம்.

என்பது தேவையான வெக்டர் தளத்திற்கான சமன்பாடு

கேள்வி 2.
\(\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{3}\) மற்றும் \(\frac{x-1}{-3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{1}\) என்ற கோடுகள் ஒரு தளத்தில் அமையும் எனக்காட்டுக. மேலும், இக்கோடுகள் அமையும் தளத்தினைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{3}\) மற்றும்

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன

= \(\hat{i}(1-6)-\hat{j}(1+9)+\hat{k}(2+3)\)
= \(-5 \hat{i}-10 \hat{j}+5 \hat{k}\)
∴ \((\vec{c}-\vec{a}) \cdot(\vec{b} \times \vec{d})=(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(-5 \hat{i}-10 \hat{j}+5 \hat{k})\)
= 5 – 10 + 5 = 10 – 10 = 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமையும்.
அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடானது
\(\left|\begin{array}{ccc}
x-x_{2} & y-y_{2} & z-z_{2} \\
b_{1} & b_{2} & b_{3} \\
d_{1} & d_{2} & d_{3}
\end{array}\right|=0\)
⇒ \(\left|\begin{array}{ccc}
x-1 & y-4 & z-5 \\
1 & 1 & 3 \\
-3 & 2 & 1
\end{array}\right|=0\)
⇒ (x – 1) (1 – 6) – (y – 4) (1 + 9) + (z – 5) (2 + 3) =0
⇒ (x – 1) (- 5) – (y – 4) (10) + (z – 5) (5) = 0
⇒ -5x + 5 – 10y + 40 + 5z – 25 = 0
⇒ -5x – 10y + 5z + 20 = 0
÷ -5 கிடைப்பது,
x + 2y – z – 4 = 0 என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் கொண்ட தளத்தின் சமன்பாடு.

கேள்வி 3.
\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{m^{2}}\) மற்றும் \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{m^{2}}=\frac{z-1}{2}\) ஆகிய கோடுகள் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன! எனில், m-ன் வேறுபட்ட மெய்மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{m^{2}}\)

ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன,
\((\vec{c}-\vec{a}) \cdot(\vec{b} \times \vec{d})=0\)
⇒ \((-2 \hat{k}) \cdot\left[\left(4-\dot{m}^{4}\right) \hat{i}-\hat{j}\left(2-m^{2}\right)+\hat{k}\left(m^{2}-2\right)\right]=0\)
⇒ -2(m² – 2) = 0
⇒ m² – 2 = 0 [∵ -2 ≠ 0]
⇒ m² = 2
⇒ m = ±\(\sqrt{2}\)

கேள்வி 4.
\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{\lambda}=\frac{z}{2}\) மற்றும் \(\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{\lambda}\) ஆகிய கோடுகள் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன எனில், 2-ன் மதிப்பைக் காண்க. மேலும், இவ்விரு கோடுகளைக் கொண்ட தளங்களின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன ஆதலால்
\((\vec{c}-\vec{a}) \cdot(\vec{b} \times \vec{d})=0\)
⇒ \((-2 \vec{i}) \cdot\left[\left(\lambda^{2}-4\right) \hat{i}-\hat{j}(2 \lambda-10)+\hat{k}(4-5 \lambda)\right]=0\)
⇒ -2 (l² – 4) = 0
⇒ λ² = 4 [∵ -2 ≠ 0]
⇒ λ = ± \(\sqrt{4}\) = ±2
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளை கொண்டிருக்கும் தளத்தின் கார்டீசியம் சமன்பாடு
\(\left|\begin{array}{ccc}
x-x_{2} & y-y_{2} & z-z_{2} \\
b_{1} & b_{2} & b_{3} \\
d_{1} & d_{2} & d_{3}
\end{array}\right|=0\)
⇒ \(\left|\begin{array}{ccc}
x+1 & y+1 & z \\
2 & 2 & 2 \\
5 & 2 & 2
\end{array}\right|=0\) [∵λ = 2]
⇒ (x + 1) (4 – 4) – (y + 1) (4 – 10) + z (4 – 10) = 0
⇒ (x + 1) (0) – (y + 1) (-6) + z (-6) = 0
⇒ 6 (y + 1) – 6z = 0
⇒ y + 1 – z = 0 [÷6]
⇒ y – z + 1 = 0 என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளை கொண்டிருக்கும் தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.4

கேள்வி 1.
(5,2) என்ற புள்ளியிலிருந்து 2x² + 7y² = 14 என்ற நீள்வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடு
கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
நீள் வட்டத்தின் சமன்பாடு 2x² + 7y² = 14
÷ 14 நமக்கு கிடைப்பது \(\frac{x^{2}}{7}\) + \(\frac{y^{2}}{2}\) = 1
∴ a²= 7, b² = 2
y = mx + c என்ற நேர்க்கோடு நீள்வட்டத்தின் தொடுகோடாக இருக்க கட்டுப்பாடு
y = mx ± \(\sqrt{a^{2} m^{2}+b^{2}}\) …. (1)
(5, 2), (1) ன் மீதுள்ள து மற்றும் a² = 7, b² = 2
∴ 2 = m(5) ± \(\sqrt{7 m^{2}+2}\) + 2
2 – 5m = ± \(\sqrt{7 m^{2}+2}\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது
(2 – 5m)² = 7m² + 2
4 + 25m² – 20m = 7m² + 2
18m² – 2m + 2 = 0
9m² – 10m + 1 = 0 (÷2)

காரணிபடுத்த கிடைப்பது
(m – 1)(9m – 1) = 0
∴ m – 1 = 0 (அ)
9m – 1 = 0
⇒ m = 1 (அ)\(\frac{1}{9}\)
m = 1 எனில், (1) லிருந்து
y = 1(x) ± \(\sqrt{7 m^{2}+2}\)
⇒ y = x ± \(\sqrt{7+2}\) ⇒ y = x ± 3
y = x + 3 ⇒ x – y + 3 = 0
m = \(\frac{1}{9}\) எனில் (1)லிருந்து

ஆகையால் தொடுகோட்டின் சமன்பாடுகள் x – y + 3 = 0 மற்றும் x – 9y + 13 = 0.

கேள்வி 2.
\(\frac{x^{2}}{16}\) – \(\frac{y^{2}}{64}\) = 1 என்ற அதிபரவளையத்திற்கு, 10x – 3y + 9 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டிற்கு இணையான தொடுகோட்டுச் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு
\(\frac{x^{2}}{16}\) – \(\frac{y^{2}}{64}\) = 1
y = mx + c என்பது தேவையான தொடுகோடு என்க.
⇒ a² = 16 மற்றும் b² = 64
தொடுகோடுகள் 10x – 3y + 9 = 0 க்கு இணையானது.
∴ தொடுகோட்டின் சாய்வு (m)
= 10x – 3y + 9 = 0 கோட்டின் சாய்வு.

y = mx + c என்பது தேவையான தொடுகோடு என்க c² = a²m² – b²


∴ தேவையான தொடுகோடுகள்
y = \(\frac{10}{3}\)x + \(\frac{32}{3}\), அல்லது y = \(\frac{10 x}{3}\) + \(\frac{32}{3}\)
⇒ 3y = 10x + 32 அல்ல து 3y = 10x – 32
⇒ 10x – 3y + 32 = 0 அல்ல து
10x – 3y – 32 = 0

கேள்வி 3.
x – y + 4 = 0 என்ற நேர்க்கோடு x² + 3y² = 12 என்ற நீள்வட்டத்தின் தொடுகோடு என நிறுவுக.
மேலும் தொடும் புள்ளியைக் காண்க.
தீர்வு:
நீள் வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + 3y² = 12
÷ 12 கிடைப்பது \(\frac{x^{2}}{12}\) + \(\frac{y^{2}}{4}\) = 1
கோடு x – y + 4 = 0 ஐ y = x + 4 என திருத்தி எழுதலாம்.
∴ m = 1, c = 4
y = mx + 4 நீள் வட்டத்தின் தொடுகோடாக இருக்க கட்டுப்பாடு c² = a²m² + b²
∴ (4)² = 12(1)² + 4
⇒ 16 = 12 + 4
நிபந்தனை நிறைவு செய்யப்படுவதால், கோடு x – y + 4 = 0 நீள் வட்டம் x² + 3y² = 12 க்கு தொடுகோடாகும்.
மேலும் தொடுபுள்ளி \(\left(-\frac{a^{2} m}{c}, \frac{b^{2}}{c}\right)\)
\(\left(-\frac{12(1)}{4}, \frac{4}{4}\right)\) ⇒ (-3, 1)
∴ தொடுபுள்ளி (-3, 1).

கேள்வி 4.
y² = 16x என்ற பரவளையத்திற்கு, 2x + 2y + 3 = 0 என்ற கோட்டிற்குச் செங்குத்தான தொடு கோட்டுச் சமன்பாடு காண்க.
தீர்வு:
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 16x
∴ 4a = 16 ⇒ a = 4
y = mx + c என்க. …. (1)
என்பது பரவளையத்தின் தொடுகோடு என்க. 2x + 2y + 3 = 0, தொடுகோடுக்கு செங்குத்து
ஆதலால்

y = mx + c பரவளையத்திற்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை c = \(\frac{a}{m}\)
∴ c = \(\frac{4}{1}\) = 4
(1)லிருந்து , y = 1(x) + 4 ⇒ x – y + 4 = 0
தேவையான தொடுகோடு.

கேள்வி 5.
y² = 8x என்ற பரவளையத்திற்கு t = 2 இல் தொடு கோட்டுச் சமன்பாடு காண்க. (குறிப்பு : துணையலகு வடிவத்தைப் பயன்படுத்துக)
தீர்வு:
பரவளையத்திற்கான சமன்பாடு y² = 8x
∴ 4a = 8 ⇒ a = 2
பரவளையத்திற்கான தொடுகோட்டின் துணையலகு வடிவம் yt = x + at²
t = 2 எனில், தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
y(2) = x + 2(2)² ⇒ 2y = x +8
⇒ x – 2y + 8 = 0 தேவையான தொடுகோட்டின் சமன்பாடாகும்.

கேள்வி 6.
12x² – 9y² = 108 என்ற அதிபரவளையத்திற்கு θ = \(\frac{\pi}{3}\) இல் தொடுகோடு மற்றும் செங்கோட்டுச் சமன்பாடுகளைக் காண்க. (குறிப்பு: துணையலகு வடிவத்தைப் பயன்படுத்துக)
தீர்வு:
அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 12x² – 9y² = 108
÷ 108 கிடைப்பது, \(\frac{12 x^{2}}{108}\) – \(\frac{9 y^{2}}{108}\) = 1
⇒ \(\frac{x^{2}}{9}\) – \(\frac{y^{2}}{12}\) = 1
∴ a² = 9, b² = 12
அதிபரவளையத்திற்கான தொடுகோட்டின் துணையலகு சமன்பாடு \(\frac{x \sec \theta}{a}\) – \(\frac{y \tan \theta}{b}\) = 1
θ = \(\frac{\pi}{3}\) எனில், சமன்பாடு

⇒ \(\frac{4 x-3 y}{6}\) = 1 ⇒ 4x – 3y – 6 = 0 தேவையான
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு. பரவளையத்திற்கான செங்கோட்டின் துணையலகுச் சமன்பாடு

⇒ 3x + 4y – 42 = 0 தேவையான செங்கோட்டின் சமன்பாடாகும்.

கேள்வி 7.
y² = 4ax என்ற பரவளையத்திற்கு ‘t₁‘ மற்றும் ‘t₂‘ ஆகிய புள்ளிகளில் அமையும் தொடுகோடுகள் [at₁t₂a(t₁ + t₂)] என்ற புள்ளியில் சந்திக்கின்றன
என நிறுவுக.
தீர்வு:
y² = 4ax என்ற பரவளையத்திற்கு ‘t₁‘ -ல் தொடுகோட்டிற்கான துணையலகுச் சமன்பாடு yt₁ = x + \(a t_{1}^{2}\) …. (1)
மேலும், y² = 4ax என்ற பரவளையத்திற்கு ‘t₂‘ -ல் தொடுகோட்டிற்கான துணையலகுச் சமன்பாடு yt₂ = x + \(a t_{2}^{2}\) … (2)

⇒ y = a(t₁ + t₂)
y = a(t₁ + t₂) என (1)-ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
a(t₁ + t₂)t₁ = x + a\(t_{1}^{2}\)

இரண்டு நீளங்களின் வெட்டும் புள்ளி
[at₁t₂, a(t₁ + t₂)]

கேள்வி 8.
y² = 4ax என்ற பரவளையத்திற்கு ‘t₁‘ என்ற புள்ளியில் வரையப்படும் செங்கோடு, பரவளையத்தை மீண்டும் ‘t₂‘ என்ற புள்ளியில் சந்திக்குமெனில், t₂ = –\(\left(t_{1}+\frac{2}{t_{1}}\right)\) என நிறுவுக.
தீர்வு:
y² = 4ax என்ற பரவளையத்திற்கு ‘t₁‘ -ல் செங்கோட்டின் சமன்பாடு y + xt₁ = a\(t_{1}^{3}\) + 2at₁, …(1)
பரவளையம் y₂ = 4ax ஐ (1) ‘t₂ல் சந்திக்கிறது.
‘t₂‘-ல் பரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி, x = at², y = 2at₂, (2) ஆனது (1) ன் மீது அடைகிறது.
∴ (2) ஐ (1) -ல் பிரதியிட கிடைப்பது,

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.9

கேள்வி 1.
\(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-7 \hat{j}+4 \hat{k})=3\) மற்றும் 3x – 5y + 4z + 11 = 0, என்ற தளங்களின் வெட்டுக்கோடு வழியாகவும் (-2, 1, 3) என்ற புள்ளி வழியாகவும் செல்லும் தளத்தின் சமன்பாடு காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளங்களின் சமன்பாடு
\(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-7 \hat{j}+4 \hat{k})=3\) மற்றும் 3x – 5y + 4z +11 = 0.
தளங்களின் வெட்டுக்கோட்டின் வழிச்செல்லும் தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாடானது \(\vec{r} \cdot \vec{n}_{1}=d_{1}\) மற்றும் \(\vec{r} \cdot \vec{n}_{2}=d_{2}\)
\(\left(\vec{r} \cdot \vec{n}_{1}-d_{1}\right)+\lambda\left(\vec{r} \cdot \vec{n}_{2}-d_{2}\right)=0\) ………….. (1)
\(\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}\) பிரதியிட
\(\vec{n}_{1}=2 \hat{i}-7 \hat{j}+4 \hat{k}, \vec{n}_{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+4 \hat{k}\)
d₁ = +3, d₂ = -11 என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
\([(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot(2 \hat{i}-7 \hat{j}+4 \hat{k}-3)]\) + \(\lambda[(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}-5 \hat{j}+4 \hat{k})+11]\) = 0
⇒ (2x – 7y + 4z – 3) + λ (3x – 5y + 4z + 11) = 0 ………….. (2)
புள்ளி (-2, 1, 3) வழி தளம் செல்வதால் கிடைப்பது,
[2(-2) – 7(1) + 4(3) – 3] + 2 [-6 – 5 + 12 + 11] = 0
⇒ (-4 – 7 + 12 – 3) + λ (12) = 0
⇒ -2 + 12λ = 0 ⇒ 12λ = 2 ⇒ λ = \(\frac{1}{6}\)
λ = \(\frac{1}{6}\) என (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
(2x-7y +4z – 3) + \(\frac{1}{6}\) (3x – 5y + 4z + 11) = 0
6 ஆல் பெருக்க கிடைப்பது,
⇒ 12x – 42y + 24z – 18 + 3x – 5y + 4z + 11 = 0
⇒ 15x – 47y + 28z – 7 = 0 என்பது தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு

கேள்வி 2.
x+2y + 3z = 2 மற்றும் x – y + z +11 = 3 என்ற தளங்களின் வெட்டுக்கோடு வழிச்செல்வதும், (3, 1, -1) என்ற புள்ளியிலிருந்து \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) தொலைவில் உள்ளதுமான தளத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளங்களின் சமன்பாடுகள்
x + 2y + 3z = 2 மற்றும் x – y + z + 11 = 3
தளங்களின் வெட்டுக்கோட்டின் வழிச் செல்லும் தளத்தின் கார்டீசியன் வடிவம்
(a₁x + b₁y + c₁ z – d₁) + 2 (a₂x + b₂y + c₂z – d₂) = 0
∴ தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு
(x + 2y + 3z – 2) + λ (x + y + z + 8) = 0 (1)
x(λ + 1) + y(2 + λ) + z(3 + λ) — 2 + 8λ = 0
(3, 1, -1) மற்றும் தளத்திற்கு இடையேயான தூரம் \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது
⇒ \(\frac{144 \lambda^{2}}{3 \lambda^{2}+12 \lambda+14}=\frac{4}{3}\)
⇒ 432λ² = 12λ² + 48λ + 56
⇒ 420λ² – 48λ – 56 = 0 ÷ 2
⇒ 210λ² – 24λ – 28 = 0
⇒ 105λ² – 12λ – 14 = 0
1-ன் மதிப்பு காண, சமன்பாட்டை தீர்க்க. ஆனால் இந்த சமன்பாட்டிற்கு விகிதமுறா மூலங்கள் உள்ளன.

கேள்வி 3.
\(\overrightarrow{\boldsymbol{r}}=(2 \hat{\boldsymbol{i}}-\hat{\boldsymbol{j}}+\hat{\boldsymbol{k}})+t(\hat{\boldsymbol{i}}+2 \hat{\boldsymbol{j}}-2 \hat{\boldsymbol{k}})\) என்ற கோட்டிற்கும் \(\vec{r} \cdot(6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k})\) = 8 என்ற தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு
\(\vec{r} \cdot(6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k})\) = 8
∴ \(\vec{n}_{1}=6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}\) மற்றும் அந்த கோடு
\(\overrightarrow{\boldsymbol{r}}=(2 \hat{\boldsymbol{i}}-\hat{\boldsymbol{j}}+\hat{\boldsymbol{k}})+t(\hat{\boldsymbol{i}}+2 \hat{\boldsymbol{j}}-2 \hat{\boldsymbol{k}})\)
∴ \(\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}\)
தளம் மற்றும் கோட்டிற்கும் இடையேயான கோணம்

கேள்வி 4.
\(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})\) = 3 மற்றும் 2x – 2y + z = 2 என்ற தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளங்கள் \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})\) = 3
மற்றும் 2x – 2y + z = 2 ⇒ \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})\) = 2
∴ \(\vec{n}_{1}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}\) மற்றும் \(\vec{n}_{2}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\)
தளங்களுக்கு இடையேயான கோணம்

கேள்வி 5.
(3, 4, -1) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும் 2x – 3y + 5z + 7 = 0 என்ற தளத்திற்கு இணை யானதுமான தளத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க. மேலும், இவ்விரு தளங்களுக்க இடைப்பட்ட தொலைவினைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு
2x – 3y + 5z + 7 = 0
கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு இணையான தளத்தின்
சமன்பாடு 2x – 3y + 5z + k =0 …………..(1)
புள்ளி (3,4,-1) வழி தளம் செல்வதால் கிடைப்பது
2(3) – 3(4) + 5(-1) + k = 0
⇒ 6- 12 – 5 + k = 0
⇒ -11 + k = 0 ⇒ k = 11
∴ (1) லிருந்து, 2x – 3y + 5z + 11 = 0 என்பது! தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு
இண்டு இணை தளங்களுக்கு இடையேயான
தூரம் = \(\frac{\left|d_{1}-d_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\)
∴ d = \(\frac{|7-11|}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+5^{2}}}=\frac{|-4|}{\sqrt{4+9+25}}\)
= \(\frac{4}{\sqrt{38}}\) அலகுகள்

கேள்வி 6.
(1,-2, 3) என்ற புள்ளியிலிருந்து x – y + z = 5 என்ற தளத்திற்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் நீளம் காண்க.
தீர்வு:
(x, y, z,) லிருந்து தளம் ax + by + cz – p = 0 க்கான
செங்குத்தின் நீளம் \(\left|\frac{a x_{1}+b y_{1}+c z_{1}-p}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right|\)
∴ (1, -2, 3) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் நீளம்
x – y + z – 5 = 0. δ = \(\left|\frac{1-(-2)+3-5}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}\right|\)
= \(\left|\frac{1+2+3-5}{\sqrt{1+1+1}}\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|\)
= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) அலகுகள்

கேள்வி 7.
x – 1 = \(\), = z + 1 என்ற கோடும் 2x – y + 2z = 2 என்ற தளமும் சந்திக்கும் புள்ளியைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}\) = z + 1 = s
⇒ x – 1 = s ⇒ x = s +1
\(\) = s ⇒ y = 2s
z + 1 = s ⇒ z = s – 1
∴ கோட்டிலுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியின் வடிவம் (s + 1, 2s, s – 1)
இந்த புள்ளியானது 2x – y + 2z = 2 தளத்தில் அமைந்துள்ளது.
⇒ 2(s + 1) – (2s) + 2(s – 1) = 2
⇒ 2s + 2 – 2s + 26 -2 = 2
⇒ 2s = 2 ⇒ s = 1
s = 1, எனில் புள்ளியானது (1 + 1, 2(1), 1 – 1) = (2, 2, 0)
என்பது தளம் மற்றும் கோட்டின் வெட்டு புள்ளி

கேள்வி 8.
(4, 3, 2) என்ற புள்ளியில் இருந்து x + 2y + 3z = 2 என்ற தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடியின் அச்சுத்தூரங்களையும், செங்குத்தின் நீளத்தையும் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு
x + 2y + 3z = 2
(4, 3, 2) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் நீளம்
d = \(\frac{4+2(3)+3(2)}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}}=\frac{4+6+6}{\sqrt{14}}\)
= \(\frac{14}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}\) அலகுகள்
தளம் x + 2y + 3z = 2 யில் புள்ளி (4, 3, 2) க்கான பிம்பம் காண்போம்.
இங்கு \(\vec{u}=4 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}, \vec{n}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) மற்றும் p = 38

= \(\frac{6 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}}{2}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\)
எனவே செங்குத்தின் அடிப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவு (3, 1, -1)