Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.1

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.1

கேள்வி 1.
ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து t வினாடிகளுக்குப் பிறகு ஒரு துகள் உள்ள தூரத்தின் அளவு s = 2t² + 3t மீட்டர் எனும்படி நேர்க்கோட்டில் ஒரு துகள் நகர்கிறது.
(i) t = 3 மற்றும் t = 6 வினாடிகளுக்கிடையே டள்ள சராசரி திசைவேகம் என்ன?
(ii) t = 3 மற்றும் t = 6 வினாபாத்திடையே உள்ள கணப்பொழுது திசைவேகம் என்ன?
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட s = 2t² + 3t
s(3) = 2 × 3² + 3(3)
= 2 × 9 + 9
= 27 மீ …(1)
s(6) = 2 × 6² + 3(6)
= 72 + 18 = 90மி …(2)
சராசரி திசைபோம் = \(\frac{s(6)-s(3)}{6-3}=\frac{90-27}{3}\)
= \(\frac{63}{3}\) = 21 மீ/வினாடி

(ii) கணப்பொழுது திசைவேகம்
V(t) = \(\frac{d s}{d t}\) = 4t + 3
t = 3 இல் கணப்பொழுது திசைமேகம்
= V(3) = 15 மீ/வினாடி [ (1) இலிருந்து]
t = 6 இம் காப்பொழுது திாைபேகம்
= V(6) = 27 மீ/வினாடி [ (2) இலிருந்து]

கேள்வி 2.
400 அடி உயர மலை உச்சி முகட்டிலிருந்து தவாதயாக ஒரு புகைப்படக் கருவி வீழுகியது. t வினாடிகளில் புகைப்படக் கருவி விடும் தூரம் s = 16t² ஆகும்,
(i) தரையைத் தொடும் முன்னர் புகைப்படக் கருவி விடி எடுத்துக்கொண்ட நேரம் என்ன?
(ii) இடி விழுந்த இறுதி 2 வினாடிகளில் புகைப்படக் கருவியின் சரபரி திசைவேகம் என்ன?
(iii) தரையைத் தொடும் போது புகைப்படக் கருவியின் கணப்பொழுது திசைவேகம் என்ன ?
தீர்வு :
(i) கொர்க்கப்பட்ட s(t) = 16t²
உயரம் – 400 அடி
16t² = 400
⇒ t² = \(\frac{400}{16}=\frac{100}{4}\)
t² = 25
t = 5 வினாடி

(ii) சராளி நிலாபேகம் = \(\frac{d s}{d t}\) = 32t
இறுதி t = 2 வினாடிகளில்

(iii) கணப்பொழுது திசைவேகம்
= \(\frac{d s}{d t}=\) = 32t
இக்கா t = 5 வினாடி
திலைபேகம் = \(\frac{d s}{d t}=\) = 32(5)
= 160 அடிவினாடி

கேள்வி 3.
s(t) = 2t³ – 9t² + 12t – 4, இங்கு t > equal 0 எனும் விதிப்படி ஒரு கோட்டில் ஒரு துகள் நகர்கிறது.
(i) எந்நேரங்களில் துகளின் திசைமாறுகின்றது?
(ii) முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் என்ன?
(iii) திசைவேகம் பூச்சிய மதிப்பை அடையும் தேரங்காய் பால்காம் துகளின் முடுக்கம் கான்க?
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட s(t) = 2t³ – 9t² + 12t – 4, t > equal 0.
(i) வகைப்படுத்த கூடப்பது,
V(t) = 6t² – 18t + 12 …(1)
= 6(t²– 3t + 2)
= 6(t – 1)(t – 2)
இங்கு V(t) = 0
⇒ 6(t – 1)(t – 2) = 0
⇒ t = 1, 2
V(t) யின் தறி மாறும் பொழுது துகளின் திசை மாறுகின்றது.
0 ≤ t < 1 எனில், (t – 1) மற்றும் (t – 2) இரண்டும் < 0 ⇒ V(t) > 0
1 < t < 2 னில், (t – 1) > 0 மற்றும் (t – 2) < 0
⇒ V(t) < 0 t > 2 யில், both (t – 1) மாறும் (t – 2) அன்ற ம் > 0
⇒V(t) > 0
∴ t = 1 மற்றும் t = 2 வினாடியாரில் பயான் திசை மாறன்ற து.

(ii) முகம் 4 கோடிகளில் சகன் யணித்த பம்
|s(0) – s(1)| + |s(1) – s(2)| + |s(2) – s(4)|
s(0) = -4
s(1) = 2(1)³ – 9(1)² + 12(1) – 4
= 2 – 9 + 12 – 4 = 1
s(2) = 2 x 2³ – 9 x 2² + 12 x 2 – 4
= 16 – 36 + 24 – 4 = 0
s(4) = 2(4)³ – 9(4)² + 12(4) – 4
= 128 – 144 + 48 – 4 = 28
∴ |s(0) – s(1)| + |s(1) – s(2)| + |s(2) – s(4)|
= |-4 – 1| + |1 – 0| + |0 – 28|
= |-5| + |1| + |0 – 28|
= 5 + 1 + 28 = 34 மீ

(iii) முடுக்கம் A = 12t – 18 [வடுக்கம் = \(\frac{d v}{d t}\)]
t = 1 எனில்,
மாதகம் = 12 (1) – 18 = -6 மீ/வினாடி²
t = 2 எனில்,
முடுக்கம் – 12 (2) – 18 = 6 மீ/வினாடி²

கேள்வி 4.
x பக்க அளவு கொண்ட ஒரு கன சதுரத்தின் கன அளவு v = x³ பாலில் x = 5 கலகள் எனம் போது x -அப் பொறுத்து கன அளவு மாறுவிதம்
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட v = x³
x பொறுத்து வகைப்படுத்த கிடைப்பது,
\(\frac{d v}{d x}\) = 3x²

கேள்வி 5.
x நீளமுள்ள (மீட்டரில்) ஒரு மெல்லிய கோலின் நிறை m(x) ( கிலோகிராமில்), m(x) = \(\) பானக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது ானில், x = 3 மற்றும் x = 27 மீட்டர் எனும் போது நீளத்தைப் பொறுத்து நிறையின் மாறுபாட்டு வீதத்தை காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட m(x) = \(\sqrt{3 x}\)=\(\sqrt{3}\) . x^{\({\frac{1}{2}}\)}
x பொறுத்து வகைப்படுத்த கிடைப்பது,

கேள்வி 6.
ஒரு குளத்தில் விழுந்த கல்லினால் பொது மைய வட்டங்களின் வடிவத்தில் சிலைகள் ஏற்படுகின்றது. வெளிப்பு சிந்தமையின் ஆரம் r வினாடிக்கு 2 செ மீவீதம் அதிகரிக்கிறது. ஆரம்
5 செ.மீ. பனும் போது கலங்கும் நீரின் பரப்பாவு மாறுவீதம் என்ன?
தீர்வு:
சிற்றலையின் ஆரம் r மற்றும் பரப்பு A கொ.
டுக்கப்பட்ட \(\frac{d r}{d t}\) = 2 செ.மீ/ வினாடி மற்றும்
r = 5 2 செ.மீ …(1)
A = πr² என்பது

கேள்வி 7.
கடற்கரையிலிருந்து 5 கி.மீ தூரத்தில் கப்பல் நங்கூரமிடப்பட்டுள்ளது. கலங்கரை விளக்கத்தின் ஒரு விளக்கு ஒவ்வொரு 10 வினாடிகளுக்கு ஒரு முறை சுற்றுகிறது. கலங்கரை விளக்கத்தின் ஒளிக்கற்றை கடற்கரையுடன் 45° கோணத்தை ஏற்படுத்தும் போது கடற்கரையில் ஒளிக்கற்றை எவ்வளவு வேகமாக நகரும்?
தீர்வு:
கலங்கரை விளக்கத்தின் ஒருவாக்கும்பொரு 10 வினாடிக்கு (360°) இம் சுற்றுவதால்

கேள்வி 8.
தலை கீழாக வைக்கப்பட்ட ஒரு நேர்வட்ட கூம்பின் வடிவில் உள்ள ஒரு நீர்நிலைத் தொட்டியின் ஆழம் 12 மீட்டர் மற்றும் மேலுள்ள வட்டத்தின் பாரம் 5 மீட்ட ளன்க, நிமிடத்திற்கு 10 கன மீட்டர் வேகத்தில் நீர் பாய்ச்சப்படுகிறது எனில், 8 மீட்டர் ஆழத்தில் நீர் இருக்கும் போது நீரின் ஆழம் அதிகரிக்கும் வேகம் என்ன?
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட h = 12 மீ
r = 5 மீ

V என்பது கூம்பின் கன அளவு
பாத் உச்சிக் கோணம் α

கேள்வி 9.
17 மீட்டர் நீளமுள்ள ஒரு ஏணி செங்குத்தான சுவரில் சாய்த்து வைக்கப்பட்டுள்ளது. ரணியின் அடிப்பக்கம் சுவற்றிலிருந்து விலகிச் செல்லும் விதம் வினாடிக்கு 5 மீட்டர் எனில் ரணியின் அடிப்பக்கம் சுவற்றிலிருந்து 8 மீட்டர் தொலைவில் இருக்கும் போது,
(i) அதன் உச்சி என்ன வீதத்தில் கீழ்நோக்கி இயங்கும் என்பதைக் காண்க.
(ii) எந்த விதத்தில், ஏணி, சுவர் மற்றும் தரை ஆகியவத்மால் உருவாகும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு மாறுகிறது?
தீர்வு:
(i) OA = x பாம் OB = y வருமாறு காமம் t மில் ஏணி ABமின் நிமையாகும்.

எனவே OA² + OB² = AB²
⇒ x² + y² =17² …(1)
கொடுக்கப்பட்ட \(\) = 5 மற்றும் x = 8
x = 8 எனில், 8² + y² = 17²
⇒ y² = 289 – 64 = 225
⇒ = 15
‘t’ யை பொறுத்து (1) யை பாகப்படுத்தக்கூடப்பது,

∴ வணியின் உச்சி கீழ் நோக்கி இறங்கும் விதம் \(\frac{-8}{3}\)மீ/வினாடி.

(ii) ஏணி, கார் மற்றும் தரை ஆகியவற்றால் உருவாகும் வாங்கோண முக்கோணம்
∴ ப்படிப்பு = \(\frac{1}{2}\)xy
‘t’ யை பொறுத்து வகையீட கிடைப்பது.

கேள்வி 10.
வடதிசையிலிருந்து ஒரு செங்கோண சந்திப்பை அரும் ஒரு காவல்துறை வாகனம் வேகமாகச் சென்று திரும்பி கிழக்கு நோக்கிச் செல்லும் ஒரு மகிழுத்தை காத்துகிறது. சாலை சந்திப்பின் வடக்கே 0.6 கி.மீ நொணயலில் காவல்துறையின் வாகனமும் கிழக்கே 0.8 கி.மீ தொலைவில் மகிழுந்தும் உள்ள பொழுது, மின்காந்த அலைக் காலியின் துணைகொண்டு பாவங்கனை தங்களது வாகனத்திற்கும் மகிழுத்துக்கும் இடைப்பட்ட தூரம் மணிக்கு 20 கி.மீ வீதத்தில் அதிகரிக்கிறது எனத் தீர்மானிக்கின்றனர். காவல்துறை வாகனம் மணிக்கு 60 கி.மீ வேகத்தில் நகர்கிறது எனில் மகிழுத்தின் வேகம் என்ன?
தீர்வு:

x குறிப்பது மகிழ்ந்து கடந்த தூரம் y குறிப்பது காவல்துறை கடாக வாகனம் மற்றும் s குறிப்பது பாகனம் மற்றும் மகிழுந்து இடையேயான தூரம் அரும்.
∴ கொடுக்கப்பட்ட = x = 0.8 கி.மீ, y = 0.6 கி.மீ,