Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.4

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.4

கேள்வி 1.
கீழ்க்காண்பவற்றை செவ்வக வடிவில் எழுதுக:
(i) \(\overline{(5+9 i)+(2-4 i)}\)
(ii) \(\frac{10-5 i}{6+2 i}\)
(iii) \(\overline{3 i}\) + \(\frac{1}{2-i}\)
தீர்வு:
(i) \(\overline{(5+9 i)+(2-4 i)}\)
= \(\overline{(5+2)+(9 i-4 i)}\) = \(\overline{7+5 i}\) = 7 – 5i
[∵ 7 + 5i -ன் இணை கலப்பெண் 7 – 5i]

(ii)
[தொகுதி மற்றும் பகுதிகளை பகுதியிலுள்ள கலப்பெண்ணால் பெருக்க]

(iii)
[∵ 3i-ன் இணை கலப்பெண் -3i]

கேள்வி 2.
z = x + iy எனில், கீழ்காண்பவைகளின் செவ்வக வடிவினைக் காண்க.
(i) Re \(\left(\frac{1}{z}\right)\)
(ii) Re(\(i \bar{z}\))
(iii) Im (3z +4\(\bar{z}\) – 4i)
தீர்வு:
(i) Re \(\left(\frac{1}{z}\right)\)

∴ மெய் பகுதி \(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\)

(ii) Re(\(i \bar{z}\))
= Re (i(x-iy))

= Re (ix – i²y)
= Re (ix + y) [∵i² = -1]
= Re (y+ix)
∴ மெய் பகுதி y

(iii) Im (3z +4\(\bar{z}\) – 4i)
= Im (3(x+ iy) + 4 (x – iy) – 4i)
= Im (3x + i3y + 4x – i4y – 4i)
= Im (3x + 4x + i (3y – 4y – 4)
= Im (7x + i (-y- 4))
∴கற்பனை பகுதி என்பது -y – 4.

கேள்வி 3.
z₁ = 2 – i மற்றும் z₂ = -4 + 3i எனில் z₁z₂ மற்றும் \(\frac{z_{1}}{z_{2}}\) -ன் நேர்மாறைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட a₁ = 2 – i மற்றும் z₂ = -4 + 3i
z₁ z₂ = (2 – i) (- 4 + 3i)
= – 8 + 6i + 4i – 3i²
= – 8 + 10i – 3(-1)
= – 8 + 10i + 3 = -5 + 10i
z₁ z₂ \(\frac{1}{z_{1} z_{2}}\)

∴ z₁ z₂ -ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac{1}{25}\)(-1 – 2i)
\(\frac{Z_{1}}{z_{2}}\), -ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac{1}{\frac{z_{1}}{z_{2}}}=\frac{z_{2}}{z_{1}}\)

∴ \(\frac{z_{1}}{z_{2}}\) -ன் நேர்மாறு என்பது \(\frac{1}{5}\)(-11 + 2i)

கேள்வி 4.
கலப்பெண்கள்.,),மற்றும் ஆகியவை \(\frac{1}{u}\) = \(\frac{1}{v}\) + \(\frac{1}{w}\) -என்றவாறு தொடர்புபடுத்தப்பட்டுள்ளது. v= 3 – 4 மற்றும் w= 4 + 3i, எனில் u-ஐ செவ்வக வடிவில் எழுதுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட v = 3 – 4i,
w = 4 + 31 மற்றும் \(\frac{1}{u}\) = \(\frac{1}{v}\) + \(\frac{1}{w}\)

கேள்வி 5.
கீழ்க்காணும் பண்புகளை நிறுவுக :
(i) z ஒரு மெய் எண் என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே z = \(\bar{z}\)
(ii) Ret(z) = \(\frac{z+\bar{z}}{2}\) மற்றும் Im(z)= \(\frac{z+\bar{z}}{2i}\)
தீர்வு:
(i) z ஒரு மெய் எண் என இருந்தால், மட்டுமே Z = \(\bar{z}\)
z = x+iy என்க.
பிறகு \(\bar{z}\) = x – iy
z = \(\bar{z}\)
⇔ – x+ iy = x – iy
⇔ x + iy – x + iy = 0
⇔ 2iy = 0
⇔ y = 0
[∵ 2 மற்றும் மாறிலிகள்]
y= 0 எனில், z = x இது மெய்.
∴z முழுவதும் மெய் ⇔ z = \(\bar{z}\)

(ii) Re(z) = \(\frac{z+\bar{z}}{2}\) மற்றும் Im(z) = \(\frac{z-\bar{z}}{2i}\) z = x + iy என்க. இங்கு x என்பது Re (z) மற்றும் y என்பது Im (z).
பிறகு \(\bar{z}\) = x – iy
z + \(\bar{z}\) = x + iy + x – iy = 2x
∴ \(\frac{z+\bar{z}}{2}\) = x
\(\frac{z+\bar{z}}{2}\) = Re (z)
மேலும் z – \(\bar{z}\) = x + iy – (x – y)
= x + iy-x + iy = 2iy
\(\frac{z-\bar{z}}{2 i}\)= y
∴ \(\frac{z-\bar{z}}{2 i}\) = Im (z)

கேள்வி 6.
\((\sqrt{3}+i)^{n}\) ஆனது n – ன் எந்த மீச்சிறு மிகை முழு எண் மதிப்புகளுக்கு
(i) மெய்
(ii) முழுவதும் கற்பனை எண்களாக இருக்கும்?
தீர்வு:
(i)

(1) மற்றும் (2)லிருந்து)

(ii) z முழுவதும் கற்பனை எண் ஆதலால்
z = –\(\bar{z}\)

[(1) மற்றும் (2) லிருந்து]

கேள்வி 7.
பின்வருவனவற்றை நிறுவுக :
(i) (2+i\(\sqrt{3}\))¹⁰ -(2-i\(\sqrt{3}\))¹⁰ என்பது முழுவதும்
கற்பனை
(ii) \(\left(\frac{19-7 i}{9+i}\right)^{12}\) + \(\left(\frac{20-5 i}{7-6 i}\right)^{12}\) என்பது மெய் எண்.
தீர்வு:
(i)

(ii)