Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.4

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.4

கேள்வி 1.
பின்வரும் சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும் அவற்றிற்கெதிரே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வகைக் கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும் எனக்காட்டுக.
(i) y = 2x²; xy’ = 2y
(ii) y = a^ex + be^-x; y – y =0
தீர்வு:
(i) y = 2x²; xy’ = 2y
y = ax² எனக் கருதுவோம்
‘x’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
y’ = a(2x)
⇒ \(\frac{y^{\prime}}{2 x}\) = a ………… (2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
y = \(\frac{y^{\prime}}{2 x}\) ∙ x²
⇒ y = \(\frac{y^{\prime} x}{2}\)
2y = xy’
∴ கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழு சமன்பாட்டின்
தீர்வு y = ax²

(ii) y = ax^ex + be^-x; y – y = 0
கருதுக y = ae^x + be^-x ………… (1)
‘x’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
y’ = ae^x – be^-x
‘x’ ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
y” = ae^x + be^-x = y [(1)ஐ பயன்படுத்தி]
⇒ y” – y = 0
∴ y” – y = 0 ன் ஒரு தீர்வு y = ae^x + be^-x

கேள்வி 2.
y = e^mx எனும் சார்பு கொடுக்கப்பட்ட வகைக் கெழுச் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வாக அமையுமாறு m-ன் மதிப்புகளைக் காண்க.
(i) y’ + 2y = 0
(ii) y”- 5y’ + 6y = 0
தீர்வு:
(i) y’ + 2y =0
y’ + 2y = 0 இன் தீர்வு y = e^mx …. (1)
என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
y = e^mx
⇒ y’ = m.e^mx
⇒ y’ = my ………… (2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
my + 2y = 0 = y(m + 2) = 0
⇒ m+ 2 = 10 [∵y ≠ 0]
⇒ m = -2

(ii) y”- 5y’ + 6y=0
y” – 5y’ + 6y = 0 இன் தீர்வு y = e^mx …… (1)
எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
y = e^mx
⇒ y’ = me^mx
⇒ y’ = my ………….. (2)
‘X’ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
y” = my’
⇒ y” = m(my) = m²y ……. (3)
(2) மற்றும் (3)-ஐ (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது
m²y – 5my + 6y = 0
⇒ y(m² – 5m + 6) = 0
⇒ m² – 5m + 6 = 0 [∵ y ≠ 0]
⇒ (m – 3)(m – 2) = 0
m = 3, 2

கேள்வி 3.
ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் ஒரு வளைவரையின் தொடுகோட்டின் சாய்வு, அப்புள்ளியின் y அச்சுத் தொலைவின் 4 மடங்கின் தலை கீழியாகும். மேலும் வளைவரை (2,5 ) எனும் புள்ளி ! வழியாகச் செல்கிறது எனில், வளைவரையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டது சாய்வு எந்த ஒரு புள்ளியிலும்
சாய்வு =
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{4 y}\)
⇒ 4y dy = dx
இருபுறமும் தொகையிட கிடைப்பது,
\(4 \int y d y=\int d x\)
⇒ \(4 \cdot \frac{y^{2}}{2}\) = x + c
⇒ 2y = x + c ………….. (1)
வளைவரை (2, 5) எனும் புள்ளி வழிச் செல்வதால் கிடைப்பது,
2(5)² = 2 + c
⇒ 50 – 2 = c
⇒ c = 48.
∴ (1) லிருந்து, 2y = x + 48 என்பது தேவையான வளைவரையின் சமன்பாடாகும்.

கேள்வி 4.
y = e^-x + mx + n என்பது \(e^{x}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)\) = 0 எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும் எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
கருதுக y = e^-x + mx + n
‘X’ ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
\(\frac{d y}{d x}\) = -e^-x + m
‘x’ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,

y = e^-x + mx + n ஆகும்.

கேள்வி 5.
y = ax + \(\frac{b}{x}\), x ≠ 0 என்பது x²y” + xy – y = 0 எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும் எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
கருதுக y = ax + \(\frac{b}{x}\), x ≠ 0
இருபுறமும் X ஆல் பெருக்க கிடைப்பது, xy = ax² + b
‘x’ ஐ பொறுத்து இருபுறமும் வகையிட கிடைப்பது,
xy’ + y(1) = 2a(x)
⇒ xy’+ y = 2ax
X ஆல் வகுக்க கிடைப்பது,
y’ + \(\frac{y}{x}\) = 2a
‘x’ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
y” + \(\frac{x y^{\prime}-y}{x^{2}}\) = 0
x² ஆல் பெருக்க கிடைப்பது, x²y” +xy’ – y=0
∴ x²y” + xy’ – y = 0 இன் ஒரு தீர்வு y = ax + \(\frac{b}{x}\) ஆகும்.

கேள்வி 6.
y = ae^-3x + b என்பது \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \frac{d y}{d x}=0\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும் எனக் காட்டுக. இங்கு a, b ஏதேனும் இரு எதேச்சை மாறிலிகள்.
தீர்வு:
கருதுக y= ae^-3x + b
‘x’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
\(\frac{d y}{d x}\)= -3ae^-3x.
⇒ \(\frac{y^{\prime}}{e^{-3 x}}\) = -3a
‘x’ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
\(\frac{e^{-3 x}\left(y^{\prime \prime}\right)-y^{\prime}(-3) e^{-3 x}}{e^{-6 x}}\) = 0
⇒ y” e^-3x + 3y’ e^-3x = 0
⇒ e^-3x ( y” + 3y”) = 0
⇒ y” + 3y’ = 0 [∵ e^-3x ≠ 0]
∴ y” + 3y” = 0 -இன் தீர்வு y = ae^-3x + b ஆகும்.

கேள்வி 7.
y² = \(2 a\left(x+a^{\frac{2}{3}}\right)\) எனும் வளைவரைத் தொகுதியைக் குறிக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\left(y^{2}-2 x y \frac{d y}{d x}\right)^{3}=8\left(y \frac{d y}{d x}\right)^{5}\) எனக் காட்டுக. இங்கு 1 என்பது மிகை மதிப்புடைய துணையலகாகும்.
தீர்வு:
கருதுக y² = \(2 a\left(x+a^{\frac{2}{3}}\right)\)
⇒ y²2 == 2ax + 2^{\(\frac{2}{3}\)} ………… (1)
‘X’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
2yy’ = 2a(1) ⇒ a = yy’ ………. (2)
(2) ஐ (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
y² = 2xyy’ + 2(yy’)^{\(\frac{5}{3}\)}
⇒ y² – 2xvy’ = 2 (yy’)^{\(\frac{5}{3}\)}
இருபுறமும் 3-ன் அடுக்கை எடுக்க கிடைப்பது,
(y² – 2xyy’)³ = 2³ (yy’)^{\(\frac{5}{3} \times 3\)}
⇒ (y² – 2xyy’)³ = 8(yy’)⁵
\(\left(y^{2}-2 x y \frac{d y}{d x}\right)^{3}=8\left(y \frac{d y}{d x}\right)^{5}\) என் தீர்வு
y² = 2a(x + a^{\(\frac{2}{3}\)}) ஆகும்.

கேள்வி 8.
y = a cos hx என்பது \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b^{2} y=0\) எனும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும் எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
கருதுக y = a cos bx …….(1)
‘x’ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது,
y’ = -a sin bx(b) = -ab sin(bx)
‘X’ ஐ பொறுத்து மீண்டும் வகையிட கிடைப்பது,
y” = -ab cos (bx)(6)
= -ab² cos(bx)
⇒ y” = -b²[acos bx]
⇒ y” = -b²y [(1) ஐ பயன்ப டுத்தி]
⇒ y” + b²y = 0
∴ \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b^{2} y=0\) இன் ஒரு தீர்வு
y = a cos bx ஆகும்.