Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.6

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.6

I. கொடுக்கப்பட்ட நான்கு விடைகளிலிருந்து சரியான அல்லது மிகப் பொருத்தமான
விடையைத் தேர்ந்தெடுக்க.

கேள்வி 1.
(1, 5) மற்றும் (4,1) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்வதும் -அச்சைத் தொட்டுச் செல்வதுமான வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² – 5x – 6y + 9 + λ (4x + 3y = 19) = 0 எனில், λ – ன் மதிப்பு
(1) 0, –\(\frac{40}{9}\)
(2) 0
(3) \(\frac{40}{9}\)
(4) –\(\frac{40}{9}\)
விடை:
(1) 0, –\(\frac{40}{9}\)

கேள்வி 2.
செவ்வகல நீளம் 8 அலகுகள் மற்றும் துணையச்சின் நீளம் குவியங்களுக்கிடையே உள்ள தூரத்தில் பாதி உள்ள அதிபரவளையத்தின் மையத்தொலைத் தகவு
(1) \(\frac{4}{3}\)
(2) \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
(3) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
(4) \(\frac{40}{9}\)
விடை:
(3) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
குறிப்பு:

கேள்வி 3.
வட்டம் x² + y² = 4x + 8y + 5 நேர்க்கோடு 3x – 4y = m-ஐ இரு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றது எனில்
(1) 15 < m < 65
(2) 35 < m < 85
(3) -85 < m < -35
(4) -35 < m < 15
விடை:
(4) -35 < m < 15

கேள்வி 4.
x- அச்சை (1,0) என்ற புள்ளியில் தட்டுச் செல்வதும் (2,3) என்ற புள்ளிவழிச் செல்வதுமான வட்டத்தின் விட்டம்
(1) \(\frac{6}{5}\)
(2) \(\frac{5}{3}\)
(3) \(\frac{10}{3}\)
(4) \(\frac{3}{5}\)
விடை:
(3) \(\frac{10}{3}\)
குறிப்பு:
வட்டம் X- அச்சு (1, 0), என்ற புள்ளியில் தொட்டுச் செல்வதால் அதனுடைய சமன்பாடு (x – 1)² + (y – a)² = a²
இது (2, 3) வழி செல்கிறது
⇒ (2 – 1)² + (3 – a)² = a²
⇒ 1 + 9 + a² – 6a = a²
⇒ 10 – 6a = 0 ⇒ 6a = 10 ⇒ a = \(\frac{10}{6}\)
∴ a = \(\frac{5}{3}\)
∴ ஆரம் = \(\frac{5}{3}\)
⇒ விட்டம் = \(\frac{10}{3}\)

கேள்வி 5.
3x² + by² + 4bx – 6by + b² = 0 என்ற வட்டத்தின் ஆரம்
(1) 1
(2) 3
(3) \(\sqrt{10}\)
(4) \(\sqrt{11}\)
விடை:
(3) \(\sqrt{10}\)
குறிப்பு:
x² – ன் கெழு =y -ன் கெழு ⇒ b = 3
சமன்பாடு 3x² + 3y² + 12x – 18y + 9 = 0
÷3, x² + y² + 4x – 6y + 3 = 0
-g = -2, -f= 3, மற்றும் c = 3
r = \(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) = \(\sqrt{4+9-3}\)
= \(\sqrt{13-3}\) = \(\sqrt{10}\)

கேள்வி 6.
x² – 8x – 12 = 0 மற்றும் y² – 14y + 45 = 0 என்ற கோடுகளால் அடைபடும் சதுரத்தின் உள்ளே வரையப்படும் மிகப்பெரிய வட்டத்தின் ஆரம்
(1) (4, 7)
(2) (7, 4)
(3) (9, 4)
(4) (4, 9)
விடை:
(1) (4, 7)
குறிப்பு : x² – 8x + 12 = 0 தீர்க்க கிடைப்பது
(x – 6)(x – 2) = 0
ஆகையால் y² – 14y + 45 = 0, கிடைப்பது (y – 9)(y – 5) = 0.
ஆகையால் விட்டத்தின் முனைபுள்ளிகள் (6, 9) மற்றும் (2, 5)
∴ (6, 9) மற்றும் (2, 5)ன் மையப்புள்ளி
= \(\left(\frac{6+2}{2}, \frac{9+5}{2}\right)\) = (4, 7)

கேள்வி 7.
நேர்க்கோடு 2x + 4y = 3 -க்கு இணையாக x² + y² – 2x 2y + 1 = 0 என்ற வட்டத்தின் செங்கோட்டுச் சமன்பாடு
(1) x + 2y = 3
(2) x + 2y + 3 = 0
(3) 2x + 4y + 3 = 0
(4) x – 2y + 3 = 0
விடை:
(1) x + 2y = 3
குறிப்பு:
x² + y² – 2x – 2y + 1 = 0
2g = -2, 2f = -2 ⇒ -g = 1 மற்றும் –f = 1
∴ மையம் என்பது (1, 1)
ஒரு வட்டத்திற்கான செங்கோட்டிற்கு இணையான கோடு (1, 1) வழிச் செல்கிறது. அதன் சமன்பாடு 2x + 4y + k = 0
(1, 1)ஐ பிரதியிட, 2(1) + 4(1) + k = 0 ⇒ k = -6
2x + 4y – 6 = 0 ⇒ x + 2y = 3

கேள்வி 8.
P(x, y) என்ற புள்ளி குவியங்கள் F₁(3, 0) மற்றும் F₂(-3, 0) கொண்ட கூம்பு வளைவு 16x² + 25y² = 400 – ன் மீதுள்ள புள்ளி எனில் PF¹ + PF² -ன் மதிப்பு (1) 8
(2) 6
(3) 10
(4) 12
விடை:
(3) 10
குறிப்பு:
16x² + 25x² = 400
⇒ \(\frac{x^{2}}{25}\) + \(\frac{y^{2}}{16}\) = 1
⇒ a² = 25
⇒ a = 5
குவி பண்பின்படி, PF₁ + PF₂ = 2a = 2(5) = 10

கேள்வி 9.
x + y = 6 மற்றும் x + 2y = 4 என்ற நேர்க்கோடுகளை விட்டங்களாகக் கொண்டு (6,2) புள்ளிவழிச் செல்லும் வட்டத்தின் ஆரம்
(1) 10
(2) \(2 \sqrt{5}\)
(3) 6
(4) 4
விடை:
(2) \(2 \sqrt{5}\)
குறிப்பு:
மையம் என்பது விட்டங்களின் வெட்டு புள்ளி

∴ x – 2 = 6 ⇒ x = 8 ⇒ மையம் (8,-2)
r = (8, -2) மற்றும் (6, 2) க்கு இடையேயான தூரம்

கேள்வி 10.
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) – \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 மற்றும் \(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) – \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = -1 என்ற அதியர் வளையங்களின் குவியங்கள் ஒரு நாற்கரத்தின் முனைகள் எனில் அந்த நாற்கரத்தின் பரப்பு
(1) 4(a² + b²)
(2) 2(a² + b²)
(3) a² + b²
(4) \(\frac{1}{2}\)(a² + b²)
விடை:
(2) 2(a² + b²)

கேள்வி 11.
y² = 4x என்ற பரவளையத்தின் செவ்வகல முனை களில் வரையப்பட்ட செங்குத்துக் கோடுகள் (x – 3)² + (y + 2)² = r², என்ற வட்டத்தின் தொடுகோடுகள் எனில் ரீ-ன் மதிப்பு
(1) 2
(2) 3
(3) 1
(4) 4
விடை:
(1) 2

கேள்வி 12.
x + y = k என்ற நேர்க்கோடு பரவளையம் y² = 12x-இன் செங்கோட்டுச் சமன்பாடாக உள்ளது எனில் – ன் மதிப்பு
(1) 3
(2) -1
(3) 1
(4) 9
விடை:
(4) 91
குறிப்பு :
2y\(\frac{d y}{d x}\) = 12 ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{6}{y}\)
செங்கோட்டின் சாய்வு = \(\frac{-y}{6}\)
செங்கோட்டின் சாய்வு x + y = k என்பது \(\frac{-1}{1}\)
\(\frac{-y}{6}\) = -1
⇒ y = 6
y = 6 என y² = 12xல் பிரதியிட
⇒ 36 = 12x
⇒ x = 3
∴ x + y = k
⇒ 3 + 6 = k
⇒ k = 9

கேள்வி 13.
நீள்வட்டம் E₁ : \(\frac{x^{2}}{9}\) + \(\frac{y^{2}}{4}\) = 1 செவ்வகம் R-க்குள்
செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் நீள்வட்டத்தின் அச்சுகளுக்கு இணையாக இருக்குமாறு அமைந்துள்ளன. அந்த செவ்வகத்தின் சுற்று வட்டமாக அமைந்த மற்றொரு நீள்வட்டம் E₂(0, 4) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது எனில் அந்த நீள்வட்டத்தின் மையத்தொலைத் தகவு
(1) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
(2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(3) \(\frac{1}{2}\)
(4) \(\frac{3}{4}\)
விடை:
(3) \(\frac{1}{2}\)

கேள்வி 14.
2x – y = 1 என்ற கோட்டிற்கு இணையாக \(\frac{x^{2}}{9}\) – \(\frac{y^{2}}{4}\) = 1 திங்க கொடு என்ற நீள்வட்டத்திற்கு தொடு கோடுகள் வரையப்பட்டால் தொடுபுள்ளிகளில் ஒன்று

விடை:
(3) \(\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
குறிப்பு:
\(\frac{x^{2}}{9}\) – \(\frac{y^{2}}{4}\) = 1, a² = 9, b² = 4
தொடுகோடு 2x – y – 1 = 0 க்கு, இணை ஆதலால் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 2x – y + k = 0
⇒ y = 2k + k.
m = 2, c = k
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு என்பது
y = mx ± \(\sqrt{a^{2} m^{2}-b^{2}}\)
y = 2x ± \(\sqrt{9(4)-4}\)
= \(\sqrt{32}\) = 4\(\sqrt{2}\)
ஆகையால் தொடுகோடுகள் ஆனது
-2x + y + 4\(\sqrt{2}\) = 0, அல்லது
-2x + y – 4\(\sqrt{2}\) = 0
2x – 4 – 4\(\sqrt{2}\) = 0 அல்லது
2x – y + 4\(\sqrt{2}\) = 0
∴ c = -4\(\sqrt{2}\)
தொடுபுள்ளி என்பது \(\left(\frac{-a^{2} m}{c}, \frac{-b^{2}}{c}\right)\)

கேள்வி 15.
\(\frac{x^{2}}{16}\) + \(\frac{y^{2}}{9}\) = 1 என்ற நீள்வட்டத்தின் குவியங்கள் வழியாகவும் (0, 3) என்ற புள்ளியை மையமாகவும் கொண்ட நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு
(1) x² + y² – 6y – 7 = 0
(2) x² + y² – 6y + 7 = 0
(3) x² + y² – 6y – 5 = 0
(4) x² + y² – 6y + 5 = 0
விடை:
(1) x² + y² – 6y – 7 = 0
குறிப்பு:
a² = 16, b² = 9

(0, 3) மையம் உடைய வட்டத்தின் சமன்பாடு என்பது
(x – 0)² + (y – 3)² = r²
⇒ x² + (y – 3)² = r² …(1)
(\(\sqrt{7}\), 0) வழி செல்கிறது
7 + (-3)² = r²
⇒ r² = 7 + 9 = 16
∴ (1) → x² + (y – 3)² = 16
⇒ x² + y² – 6y + 9 = 16
⇒ x² + y² – 6y + 9 – 16 = 0
⇒ x² + y² – 6y – 7 = 0

கேள்வி 16.
C என்ற வட்டத்தின் மையம் (1, 1) மற்றும் ஆரம் 1 அலகு என்க. T என்ற வட்டத்தின் மையம் (0, y) ஆகவும் ஆதிப்புள்ளி வழியாகவும் உள்ளது. மேலும் C என்ற வட்டத்தை வெளிப்புறமாகத் தொட்டுச் செல்கிறது எனில் வட்டம் -ன் ஆரம்
(1) \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
(2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(3) \(\frac{1}{2}\)
(4) \(\frac{1}{4}\)
விடை:
(4) \(\frac{1}{4}\)
குறிப்பு:
வட்டம் Cக்கு மையம் C₁(1, 1), r₁ = 1
வட்டம் T க்கு மையம் C₂(0, y) மற்றும், r₂ = y
∴ r₂ = இடையே உள்ள தூரம் (0, 4) மற்றும் (0, 0)க்கு
= \(\sqrt{(0-0)^{2}+(y-0)^{2}}\) = y
வட்டங்கள் வெளிப்புறமாகத் தொட்டுச் செல்வதால்
C₁C₂ = r₁ + r₂

கேள்வி 17.
மையம் ஆதிப்புள்ளியாகவும் நெட்டச்சு x- அச்சாகவும் உள்ள நீள்வட்டத்தைக் கருத்தில் கொள்க. அதன் மையத்தொலைத் தகவு \(\frac{3}{5}\) மற்றும் குவியங்களுக்கிடையே உள்ள தூரம் 6 எனில் அந்த நீள்வட்டத்தின் உள்ளே நெட்டச்சு மற்றும் குற்றச்சுகளை மூலைவிட்டங்களாகக் கொண்டு வரையப்படும் நாற்கரத்தின் பரப்பு
(1) 8
(2) 32
(3) 80
(4) 40
விடை:
(4) 40
குறிப்பு:
கொடுக்கப்பட்ட e = \(\frac{3}{57}\) 2ae = 6
∴ 2a\(\left(\frac{3}{5}\right)\) = 6 ⇒ a = 5
b² = a²(1 – e²) = 25\(\left(1-\frac{9}{25}\right)\) = 16
∴ b = 4
நீள்வட்டத்தின் உள்ளே நெட்டச்சு மற்றும் குற்றச்சுகளை மூலைவிட்டங்களாக கொண்டு வரையப்படும் நாற்கரத்தின் பரப்பு 2ab = 2(5)(4) = 4

கேள்வி 18.
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 என்ற நீள்வட்டத்தினுள் வரையப்படும் மிகப்பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்பு
(1) 2ab
(2) ab
(3) \(\sqrt{a b}\)
(4) \(\frac{a}{b}\)
விடை:
(1) 2ab

கேள்வி 19.
நீள்வட்டத்தின் அரைக்குற்றச்சு OB, F மற்றும் F’ மற்றும் FBF’ ஒரு செங்கோணம் எனில் அந்த நீள்வட்டத்தின் மையத்தொலைத் தகவு காண்க.
(1) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(2) \(\frac{1}{2}\)
(3) \(\frac{1}{4}\)
(4) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
விடை:
(1) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
குறிப்பு:
BEF செங்கோண முக்கோணம் ஆதலால்
EF² = BF² + BF²

(2ac)² = (ae –0)² + (0 – b)² + (0 + ae)² + (b – 0)² 4a²e² = 2a²e² + 2b²
⇒ 2a²e² – 2b² = 0
⇒ a²e² = b²
b² = a²(1 – e²) … (1)
⇒ b² = a² – a²e² = a² – b²
⇒ 2b² = a²

கேள்வி 20.
(x – 3)² + (y – 4)² = \(\frac{y^{2}}{9}\), என்ற நீளவட்டத்தின் மையத்தொலைத் தகவு
(1) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(2) \(\frac{1}{3}\)
(3) \(\frac{1}{3 \sqrt{2}}\)
(4) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
விடை:
(2) \(\frac{1}{3}\)

கேள்வி 21.
P என்ற புள்ளியிலிருந்து y² = 4x என்ற பரவளையத்திற்கு வரையப்படும் இரு தொடுகோடுகளுக்கிடையேயான கோணம் செங்கோணம் எனில் P-ன் நியமப்பாதை
(1) 2x + 1 = 0
(2) x = -1
(3) 2x – 1 = 0
(4) x = 1
விடை:
(2) x = -11
குறிப்பு:
P என்ற புள்ளியிலிருந்து y² = 4x என்ற பரவளையத்திற்கு வரையப்படு தொடு கோடுகளுக்கிடையேயான கோணம் செங்கோணம் எனில் P -ன் நியமப்பாதை இயக்குவரை ஆகும்.
4a = 4 ⇒ a = 1
∴ இயக்குவரையின் சமன்பாடு என்பது
x = -1.

கேள்வி 22.
(1, -2) என்ற புள்ளி வழியாகவும் (3, 0) என்ற புள்ளியில் x அச்சைத் தொட்டுச் செல்வதுமான வட்டம் பின்வரும் புள்ளிகளில் எந்தப் புள்ளி வழியாகச் செல்லும்?
(1) (-5, 2)
(2) (2, -5)
(3) (5, -2)
(4) (-2, 5)
விடை:
(3) (5, -2)
குறிப்பு:
x-அச்சை (3, 0) என்ற புள்ளியில் வட்டம் தொட்டு செல்வதால் வட்டத்தின் மையமானது (3, k) மற்றும் r = 3.

∴ அதனுடைய சமன்பாடு
(x – 3)² + (y – k)² = 3²
இது (1, -2) வழிச் செல்கிறது
⇒ (1 – 3)² + (-2 – k)² = 9
⇒ 4 + (k + 2)² = 9
⇒ (k + 2)² = 5
⇒ k + 2 = \(\sqrt{5}\)
k = \(\sqrt{5}\) – 2
சமன்பாடு என்பது (x – 3)² + (y – \(\sqrt{5}\) + 2)² = 9.
[∴ (5 – 3)² + (-2 – \(\sqrt{5}\))² + 2 = 9
2² + (-\(\sqrt{5}\))² = 9 ⇒ 4 + 5 = 9
(5,-2) மட்டும் இந்த சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது.

கேள்வி 23.
(-2, 0) – இலிருந்து ஒரு நகரும் புள்ளிக்கான தூரம் அந்தப் புள்ளிக்கும் நேர்க்கோடு x = \(\frac{2}{3}\) க்கும் இடையேயான தூரத்தைப் போல் மடங்கு உள்ளது எனில் அந்தப் புள்ளியின் நியமப்பாதை
(1) பரவளையம்
(2) அதிபரவளையம்
(3) நீள்வட்டம்
(4) வட்டம்
விடை:
(3) நீள்வட்டம்
குறிப்பு:
A(-2, 0), P(x₁, y₁) மற்றும் PM = ⊥^r
x = –\(\frac{9}{2}\) லிருந்து நிக்கான செங்குத்து தூரம்
∴ AP = \(\frac{2}{3}\)[PM] ⇒ \(\frac{AP}{PM}\) = \(\frac{2}{3}\)
\(\frac{2}{3}\) = e [∵ e = \(\frac{AP}{PM}\)]
e = \(\frac{2}{3}\) < 1
ஆதலால் P(x₁ , y₁) – ன் நியமப்பாதை நீள்வட்டம் ஆகும்.

கேள்வி 24.
x² – (a + b)x – 4 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்களின் மதிப்புகள் m-ன் மதிப்புகளாக இருக்கும் போது.y = mx + 2\(\sqrt{5}\) என்ற நேர்க்கோடு 16x – 9y² = 144 என்ற அதிபரவளையத்தைத் தொட்டுச் செல்கின்றது எனில் (a+b)-ன் மதிப்பு
(1) 2
(2) 4
(3) 0
(4) -2
விடை:
(3) 0
குறிப்பு:

a² = 9, b² = 16
நிபந்தனை c² = a²m² – b²
⇒ (2\(\sqrt{5}\))² = 9m² – 16
⇒ 20 = 9m² – 16
⇒ 9m² = 36 ⇒ m² = 4
⇒ m = 2, -2
∴ a = 2, b = -2
[∵ x² – (a + b)x – 4 = 0-ன் மூலங்கள் a மற்றும் b]
∴ a + b = 2 – 2 = 0

கேள்வி 25.
x² + y² – 8x – 4y + c = 0 என்ற வட்டத்தின் விட்டத்தின் ஒரு முனை (11, 2) எனில் அதன் மறுமுனை (1) (-5, 2)
(2) (2,-5)
(3) (5, -2)
(4) (-2, 5)
கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து விடைகளும் தவறானது
விடை: ★
[★ சரியான விடை (-3, 2)]
குறிப்பு:
வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² – 8x – 4y + c = 0

2g = -8 ⇒ g = -4
2f = -4 ⇒ f = -2
∴ மையம் (-g, -f) = (4, 2)
(x, y) என்பது மறு முனை என்க. (x, y) மற்றும் (11, 2)இன் நடுப்புள்ளி மையம் ஆகும்.

∴ (-3, 2) என்பது மறுமுனை