Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

கேள்வி 1.
பின்வரும் அணிகளுக்குச் சேர்ப்பு அணி காண்க:
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
-3 & 4 \\
6 & 2
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
3 & 7 & 2
\end{array}\right]\)
(iii) \(\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 1 \\
-2 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right]\)
தீர்வு:
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
-3 & 4 \\
6 & 2
\end{array}\right]\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 1
[தன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்ற மற்றும் மூலைவிட்டமல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்றுக]

(ii) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
3 & 7 & 2
\end{array}\right]\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 2
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 3

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

(iii) \(\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 1 \\
-2 & 1 & 2 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right]\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 4
∴ தேவையான அணியின் சேர்ப்பு
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 5
= \(\frac{3}{9}\left[\begin{array}{rrr}
2 & -2 & 1 \\
2 & 1 & -2 \\
1 & 2 & 2
\end{array}\right]\)
[ஒவ்வொரு வரிசையிலும் 3 ஐ பொதுவில் எடுக்க]
= \(\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rrr}
2 & -2 & 1 \\
2 & 1 & -2 \\
1 & 2 & 2
\end{array}\right]\)

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

கேள்வி 2.
பின்வரும் அணிகளுக்கு நேர்மாறு (காண முடியுமெனில்) நேர்மாறு காண்க:
(i) \(\left[\begin{array}{rr}
-2 & 4 \\
1 & -3
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{lll}
5 & 1 & 1 \\
1 & 5 & 1 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
3 & 7 & 2
\end{array}\right]\)
தீர்வு:
(i) \(\left[\begin{array}{rr}
-2 & 4 \\
1 & -3
\end{array}\right]\)
A= \(\left[\begin{array}{cc}
-2 & 4 \\
1 & -3
\end{array}\right]\)என்க
|A| = \(\left|\begin{array}{cc}
-2 & 4 \\
1 & -3
\end{array}\right|\) = 6 – 4 = 2 ≠ 0
A பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால் A-1 காணலாம்.
A-11 = \(\frac{1}{|\mathrm{~A}|}\)adj A
இங்கு adj A = \(\left[\begin{array}{rr}
-3 & -4 \\
-1 & -2
\end{array}\right]\)
[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்றம் மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்றுக)]
∴ A-1 = \(\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}
-3 & -4 \\
-1 & -2
\end{array}\right]\)

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

(ii) \(\left[\begin{array}{lll}
5 & 1 & 1 \\
1 & 5 & 1 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right]\)
A = \(\left[\begin{array}{lll}
5 & 1 & 1 \\
1 & 5 & 1 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right]\) என்க
R1 மூலம் விரிவுபடுத்த,
|A| = 5\(\left|\begin{array}{ll}
5 & 1 \\
1 & 5
\end{array}\right|\) -1\(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 5
\end{array}\right|\) + 1\(\left|\begin{array}{ll}
1 & 5 \\
1 & 1
\end{array}\right|\)
= 5(25 – 1) -1 (5- 1) + 1 (1- 5)
= 5(24) – 1 (4) + 1 (-4)
= 120-4-4 = 120- 8 = 112 ≠ 0
A ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை எனில் Aசாத்தியம்.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 10
ஒவ்வொரு உறுப்பிலிருந்தும் 4 ஐ பொதுவில் எடுக்க,
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 11

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

(iii) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
3 & 7 & 2
\end{array}\right]\)
A = \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 1 \\
3 & 7 & 2
\end{array}\right]\) என்க.
R1 மூலம் விரிவுபடுத்த கிடைப்பது,
|A| = 2\(\left|\begin{array}{ll}
4 & 1 \\
7 & 2
\end{array}\right|\) – 3\(\left|\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
3 & 2
\end{array}\right|\) + 1\(\left|\begin{array}{ll}
3 & 4 \\
3 & 7
\end{array}\right|\)
= 2 (8-7) – 3 (6-3) +1 (21 – 12)
= 2 (1) – 3(3) + 1 (9)
= 2 – 9 + 9 = 2 ≠ 0
A ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால்
A-1 சாத்தியம்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 10.1
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 21

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

கேள்வி 3.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 22
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 23
F(α) ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி ஆதலால்,
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 23.1
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 23.2
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 23.3

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

கேள்வி 4.
A = \(\left[\begin{array}{rr}
5 & 3 \\
-1 & -2
\end{array}\right]\) எனில், A2 – 3A – 7I2 = O2, எனக்காட்டுக. இதன் மூலம் A-1 காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left[\begin{array}{rr}
5 & 3 \\
-1 & -2
\end{array}\right]\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 24
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
∴ A2 – 3A – 7I2 = 0
பின்புறமாக A-1 ஆல் பெருக்க கிடைப்பது,
A2. A-1-3AA-1 7I2A-1 = 0.A-1
⇒ A(AA-1) – 3 (AA-1)-7(A-1) = 0
[∵ I2, A-1 = A-1 மற்றும் |(0)A-1=0]
⇒ AI-3I – 7A-1= 0 [∵AA-1 = I]
⇒ AI – 3I = 7A-1 [∵AI = A]
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 26

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

கேள்வி 5.
A=\(\frac{1}{9}\left[\begin{array}{rrr}
-8 & 1 & 4 \\
4 & 4 & 7 \\
1 & -8 & 4
\end{array}\right]\) எனில், A-1=AT நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A =
\(\frac{1}{9}\left[\begin{array}{rrr}
-8 & 1 & 4 \\
4 & 4 & 7 \\
1 & -8 & 4
\end{array}\right]\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 26.1
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 27
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 28
(2) பிரதியிட கிடைப்பது,
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 30
(1) மற்றும் (3) லிருந்து கிடைப்பது, AT = A-1

கேள்வி 6.
A = \(\left[\begin{array}{rr}
8 & -4 \\
-5 & 3
\end{array}\right]\). எனில் A(adj A) = (adj A) A=|A| I2 என்பதைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left[\begin{array}{cc}
8 & -4 \\
-5 & 3
\end{array}\right]\)
adj A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 4 \\
5 & 8
\end{array}\right]\)
[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்ற மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்ற]
|A| = 24 – 20 = 4
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 33
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
A (adj A) = (adj A) A = |A|I2
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

கேள்வி 7.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
7 & 5
\end{array}\right]\) மற்றும் B= \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & -3 \\
5 & 2
\end{array}\right]\) என (AB)-1 = B-1A-1 என்பதைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 34
|AB| = -77+90=13+0 ⇒ (AB)-1 காணலாம்.
|A| = 15 – 14 = 1≠0 ⇒ A-1 காணலாம்
|B| = -2 + 15 = 13+0 ⇒ B-1 காணலாம்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 35
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
(AB)-1 = B-1A-1. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 8.
adj (A) = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & -4 & 2 \\
-3 & 12 & -7 \\
-2 & 0 & 2
\end{array}\right]\), எனில் A – ஐ காண்க .
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 36
= 2 (24-0) + 4 (-6- 14) + 2 (0 + 24)
= 2 (24) + 4 (- 20 ) + 2 (24) = 48 – 80 + 48 )
= 96 – 80 = 16 …. (2)
இங்கு , adj (adj A)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 37
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 38
(2) மற்றும் (3) ஐ (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 39

கேள்வி 9.
adj (A) = \(\left[\begin{array}{rrr}
0 & -2 & 0 \\
6 & 2 & -6 \\
-3 & 0 & 6
\end{array}\right]\) எனில் A-1 -ஐ காண்க.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 40

கேள்வி 10.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 41
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 42

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

கேள்வி 11.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 43
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 44
[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்ற மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்ற]
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 45
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 46

கேள்வி 12.
A = \(\left[\begin{array}{rr}
5 & 3 \\
-1 & -2
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{rr}
14 & 7 \\
7 & 7
\end{array}\right]\)
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 47
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 48

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

கேள்வி 13.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 49 AXB = C எனில், X என்ற அணியைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
2 & 0
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{rr}
3 & -2 \\
1 & 1
\end{array}\right]\), C = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 2
\end{array}\right]\), மேலும், AXB = C
A-1 ஆல் முன்புறம் பெருக்க கிடைப்பது,
(A-1A) X B = A-1C
⇒ XB = A-1C. [∵ A-1A = I]
B-1 ஆல் பின்புறம் பெருக்க கிடைப்பது
(XB) B-1 = (A-1C) B-1
⇒ X = (A-1C) B-1
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 40.1
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 41.1

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1

கேள்வி 14.
A=\(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\) எனில் A-1= \(\frac{1}{2}\left(A^{2}-3 I\right)\) எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 46.1
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 47.1
(1) மற்றும் (2)லிருந்து, A-1= \(\frac{1}{2}\left[\mathrm{~A}^{2}-3 \mathrm{I}\right]\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 15.
\(\left[\begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) என்ற அணியை பிந்தையப் பெருக்கல் சங்கேத மொழியாக்க அணியாகக் கொண்டு [2 -3] [20 4] என்ற பெறப்பட்ட \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\)-ன நோமாறு அணியின் பிந்தையப் பெருக்கற் சாவியாகக் கொண்டு சங்கேத மொழி மாற்றம் செய்க. இங்கு ஆங்கில எழுத்துகள் A – Z -க்கு முறையே எண்க ள் 1 – 26 ஐயும், காலியிடத்திற்கு எண் 0 ஐயும் பொருத்தி சங்கேத மொழியாக்கம் மற்றும் மொழிமாற்றம் செய்க.
தீர்வு:
சங்கேத மொழியாக்குதலுக்கான A=\(\left[\begin{array}{rr}
-1 & -1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) என்க.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 59
ஆகையால் பெருக்கற் சாவி அணி \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
-2 & -1
\end{array}\right]\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 60
சங்கேத மொழி மாற்றம் செய்யப்பட்ட நிரை அணிகளின் வரிசை பின்வருமாறு
[8 5], [12 16]
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.1 62