Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.5

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.5

கேள்வி 1.
நிறை M உடைய ஒரு தானியங்கி இயந்திரத்தின் இயக்கியால் உருவாக்கப்படும் மாறாத விசை F எனில், அதனுடைய திசைவேகம் V என்பது M\(\frac{dV}{d t}\) = F – AV எனும் சமன்பாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. . என்பது மாறிலியாகும். t = 0 எனில் V = 0 எனக் கொடுக்கப்படும்போது V ஐ-ன் சார்பாக எழுதுக.
தீர்வு:
மாறிகளைப் பிரிக்க கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
m \(\frac{d v}{d t}\) = F — kv இலிருந்து கிடைப்பது,

⇒ \(\frac{\mathrm{F}-k v}{c}=\frac{1}{e^{\frac{k t}{m}}}\)
⇒ c = \((\mathrm{F}-k v) e^{\frac{k t}{m}}\) ……. (1)
t = 0 ⇒ v = 0 எனில் c = (F -0)e⁰ ⇒ c = F
∴ (1) லிருந்து, F = \((\mathrm{F}-k v) e^{\frac{k t}{m}}\)

கேள்வி 2.
செங்குத்தாக விழும் வான்குடை மிதவை (Parachute)ன் திசைவேகம் v ஆனது \(v \frac{d v}{d x}=g\left(1-\frac{v^{2}}{k^{2}}\right)\) எனும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது. இங்கு g மற்றும் k என்பன மாறிலிகள் ஆகும். ஆரம்ப நிலையில் மற்றும் x ஆகிய இரண்டும் பூச்சியமானால், -ஐ X-இன் சார்பாகக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டது
\(v \frac{d v}{d x}=g\left(1-\frac{v^{2}}{k^{2}}\right)=g\left(\frac{k^{2}-v^{2}}{k^{2}}\right)\)
மாறிகளைப் பிரிக்க கிடைப்பது,
\(\frac{v d v}{k^{2}-v^{2}}=\frac{g}{k^{2}} \cdot d x\)
இருபுறமும் -2 ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது,
\(\frac{-2 v d v}{k^{2}-v^{2}}=\frac{-2 g}{k^{2}} d x\)
தொகையிட,

கேள்வி 3.
ஒரு வளைவரையின் சாய்வு, \(\frac{y-1}{x^{2}+x}\) ஆகும். வளைவரை (1, 0) எனும் புள்ளி வழிச் செல்லுமெனில், அதன் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட சாய்வு = \(\frac{y-1}{x^{2}+x}\)

⇒ y – 1 = \(\frac{c x}{x+1}\)
வளைவரை (1, 0) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதால் கிடைப்பது,

கேள்வி 4.
பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைக் காண்க.
(i) \(\frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}\)
(ii) ydx + (1 + x²) tan^-1 xdy = 0
(iii) sin\(\frac{d y}{d x}\) = a, y (0) = 1
(iv) \(\frac{d y}{d x}\) = e^x+y + x³ e^y
(v) (e^y + 1) cos x dx + e^y sin x dy = 0
(vi) (vdx = xdy) \(\cot \left(\frac{x}{y}\right)\) = ny² dx
(vii) \(\frac{d y}{d x}-x \sqrt{25-x^{2}}=0\)
(viii) x cos y dy = e^x (x log x+ 1]dx
(ix) tan y \(\frac{d y}{d x}\) = cos (x + y) + cos (x – y)
(x) \(\frac{d y}{d x}\) = tan² (x + y)
தீர்வு:
(i) \(\frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}\)
மாறிகளைப் பிரிக்க கிடைப்பது,
\(\frac{d y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
sin^-1y = sin^-1x + c

(ii) ydx + (1 + x²) tan^-1 xdy = 0
y dx = (1 + x²) tan^-1x dy
⇒ dt = \(\frac{1}{1+x^{2}} d x\) இல்
t = tan^-1x என பிரதியிடுக
⇒ \(\frac{d x}{\left(1+x^{2}\right) \tan ^{-1} x}=\frac{-d y}{y}\)
⇒ \(\int \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right) \tan ^{-1} x}=\int \frac{-d y}{y}\)
∴ \(\int \frac{d t}{t}\) = -log y = log c
⇒ log (tan^-1 x) = -log y + log c
⇒ log (tan^-1‘ x) + log y = log c
⇒ logy (tan^-1 x) = log c
⇒ y tan^-1 x = c

(iii) sin\(\frac{d y}{d x}\) = a, y (0) = 1
sin\(\frac{d y}{d x}\) = a,

(iv) \(\frac{d y}{d x}\) = e^x+y + x³ e^y
\(\frac{d y}{d x}\) = e^x e^y + x³ e^y = e^y(e^x + x³)
⇒ \(\frac{d y}{e^{y}}\) = (e^x + x³)dx
⇒ e^-y dy = (e^x + x³)dx
∴ \(\int e^{-y} d y=\int\left(e^{x}+x^{3}\right) d x\)
⇒ -e^-y = e^x + \(\frac{x^{4}}{4}\) + c
⇒ e^x + e^-y + \(\frac{x^{4}}{4}\) = -c = c
[இதுவும் ஒரு மாறாத எண் ஆகும்]

(v) (e^y + 1) cos x dx + e^y sin x dy = 0
⇒ (e^y + 1) cos x dx = -e^y sin x dy
⇒ \(\frac{\cos x}{\sin x} d x=\frac{-e^{y}}{e^{y}+1} d y\)
t = e^y+ 1
dt = e^y dy
\(-\int \frac{d t}{t}\) = -log t = log(e) + 1)
⇒ \(\int \cot x d x=-\int \frac{e^{y}}{e^{y}+1} d y\)
⇒ log (sin x) + log (e^y + 1) = log c.
⇒ log sin x (e^y + 1) = log c
⇒ (e^y + 1) sin x = c

(vi) (ydx = xdy) \(\cot \left(\frac{x}{y}\right)\) = ny² dx

மாறிகளைப் பிரிக்க கிடைப்பது,
cot (t) dt = n dx
⇒ \(\int \cot (t) d t=n \int d x\)
⇒ log(sin t) = nx + c
⇒ log(sin t) = nx + c
⇒ sin t = e^nx+c
⇒ \(\sin \left(\frac{x}{y}\right)\) = e^nx+c [∵ t = \(\frac{x}{y}\)]

(vii) \(\frac{d y}{d x}-x \sqrt{25-x^{2}}=0\)

⇒ 3y = -t^{\(\frac{3}{2}\)} + 3c
⇒ 3y = -(25 – x²)^{\(\frac{3}{2}\)} + 3c [∵t = 25 – x²]

(viii) x cos y dy = e^x (x log x + 1)dx
x cos y dy = e^x (x log x + 1) dx

(ix) tan y \(\frac{d y}{d x}\) = cos (x + y) + cos (x – y)
⇒ tan y \(\frac{d y}{d x}\) = cosx cosy – sinx siny + cosx cosy + sinx siny
= 2 cos x sin y
[∵ cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B]
⇒ \(\frac{\tan y}{\cos y}\) dy = 2 cos x dx
⇒ \(\int\) tan y sec y dy = 2\(\int\) cos x dx
⇒ sec y = 2 sin x + c

(x) \(\frac{d y}{d x}\) = tan²(x + y)
\(\frac{d y}{d x}\) = tan²(x + y) …………. (1)