Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.6

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 10 சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் Ex 10.6

பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைக் காண்க.
கேள்வி 1.
\(\left[x+y \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] d x=x \cos \left(\frac{y}{x}\right) d y\)
தீர்வு:

இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ y = x என பிரதியிடு
⇒ \(\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}\) ………….. (2)
(2) ஐ (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,

மாறிகளை பிரிக்க கிடைப்பது,
cos v dv = \(\frac{d x}{x}\)
⇒ \(\int\) cos v dv = \(\int \frac{d x}{x}\)
⇒ sin v = log x + log c
⇒ sin v = log |cx|
⇒ \(\sin \left(\frac{y}{x}\right)\) = log|cx| [∵ y = x ⇒ v = \(\frac{y}{x}\)]

கேள்வி 2.
(x³ + y³) dy – x² ydx = 0
தீர்வு:
⇒ (x³ + y³) dy = x² y dx
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2} y}{x^{3}+y^{3}}\)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ y = vx என பிரதியிடு

மாறிகளை பிரிக்க கிடைப்பது,

கேள்வி 3.
ye^{\(\frac{x}{y}\)} dx = (xe^{\(\frac{x}{y}\)}) + y dy
தீர்வு:
\(\frac{d x}{d y}=\frac{x e^{\frac{x}{y}}+y}{y e^{\frac{x}{y}}}\) ……(1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
x= Vy’ என பிரதியிடு
⇒ \(\frac{d x}{d y}\) = v + y ∙ \(\frac{d v}{d y}\)
∴ (1) லிருந்து,

மாறிகளை பிரிக்க கிடைப்பது,
e^v dv = \(\frac{d y}{y}\)
⇒ \(\int\) e^v dv = \(\int \frac{d y}{v}\)
⇒ e^v = log y + log c
e^v = log yc
⇒ e^{\(\frac{x}{y}\)} = log|cy| [∵ v = \(\frac{x}{y}\)]

கேள்வி 4.
2xydx + (x² + 2y²)dy = 0
தீர்வு:
2.xy dr = -(x² + 2y²)dy
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{-2 x y}{x^{2}+2 y^{2}}\) ……….. (1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ y = vx
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)
∴ (1) லிருந்து

மாறிகளை பிரிக்க கிடைப்பது,

கேள்வி 5.
(y² – 2xy) dx = (x² – 2.xy)dy
தீர்வு:
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-2 x y}{x^{2}-2 x y}\) …………. (1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ y = vx எனப் பிரதியிட ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)
∴ (1) லிருந்து,

மாறிகளை இருபுறமும் பிரிக்க கிடைப்பது,

கேள்வி 6.
x\(\frac{d y}{d x}\) = y – x cos²\(\left(\frac{y}{x}\right)\)
தீர்வு:
⇒ \(\frac{y-x \cos ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)}{x}\) ………….. (1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்
y = vx என பிரதியிட
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)
(1) லிருந்து,

தொகையிட,

கேள்வி 7.
(1 + 3e\(\frac{y}{x}\) dy + 3e\(\frac{y}{x}\) (1 – \(\frac{y}{x}\)) dx = 0, எனிவரால் y = 0 எனில் x = 1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
தீர்வு:

இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ y = x என பிரதியிட,


மாறிகளை பிரிக்க கிடைப்பது,

x= 1 எனில் y =0 நமக்கு கிடைப்பது,
3e⁰ + 0 = c ⇒ c = 3
∴ (2) லிருந்து, 3xe\(\frac{y}{x}\) + y = 3

கேள்வி 8.
(x² + y²)dy = xy dx. y(1) = 1 மற்றும் y(x₀) = e எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. x₀ ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
(x² + y²)dy = xy dx
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\) ……..(1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
∴ y = vx என பிரதியிடு