Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.8

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.8

கேள்வி 1.
3x -2y +6 = 0, x = -3, x = 1 மற்றும் X – அச்சு ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 3x-2y+6 = 0
2y = 3x + 6 ⇒ y = \(\frac{3x+6}{2}\)

∴ பரப்பு = \(\int_{-3}^{-2}-y d x+\int_{-2}^{1} y d x\)
[∵ x – அச்சுக்கு கீழ் உள்ள பரப்பு]

∴ A = 7.5 ச.அலகுகள்

கேள்வி 2.
2x – y + 1 = 0 , y = -1, y = 3 மற்றும் X- அச்சு ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 2x – y + 1 = 0
⇒ 2x = y – 1 ⇒ x = \(\frac{y-1}{2}\)

[∵ X- அச்சுக்கு இடது புறத்தில் உள்ள பரப்பு]

= 2 ச. அலகுகள்

கேள்வி 3.
வளைவரை 2 + x – x² + y = 0, x- அச்சு,x = -3 மற்றும் x = 3 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு
2 + x – x² + y = 0
⇒ y = x² – x – 2

∴ தேவையான பரப்பு = \(\int_{-3}^{-1} y d x+\int_{-1}^{2}-y d x+\int_{2}^{3} y d x\)


∴ பரப்பு = 16 ச. அலகுகள்

கேள்வி 4.
கோடு y = 2x + 5 மற்றும் பரவளையம் y = x² – 2x ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு
y = x² – 2x ……….. (1)
மற்றும் கோடு y = 2x + 5 ………… (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, பரவளையத்திற்கு

x² – 2x = 2x + 5
⇒ x² – 4x-5 =0
⇒ y = (x – 5) (x + 1) = 0
⇒ கோட்டிற்கு x = 5, -1


= 36 ச.அலகுகள்

கேள்வி 5.
வளைவரைகள் y = sin x, y = cos x மற்றும் கோடுகள் x = 0 மற்றும் x = π ஆகியவற்றுக்கு இடையே அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகள் y = sinx …. (1)
y = cos x ………. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, sinx = cos x

⇒ x = \(\frac{\pi}{4}\)

∴ தேவையான பரப்பு = 2 \(\begin{array}{l}
\frac{3 \pi}{4} \\
\int \\
\frac{\pi}{4}
\end{array}\) (sinx – cos x)dx
[∵ X – அச்சை பொறுத்த சமச்சீராக உள்ளது]

கேள்வி 6.
y = tan x, y = cot x மற்றும் கோடுகள் x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\), y = 0 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகளின் சமன்பாடு
y = tanx, y = cot x.
y = tanx மற்றும் y = cot x வெட்டிக் கொள்ளும்
tan x = cot x = x = \(\frac{\pi}{4}\)
∴ தேவையான பரப்பு = \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\) (tan x – cot x)dx

[∵ log 1 = 0]

கேள்வி 7.
பரவளையம் y² = x மற்றும் கோடு y = x – 2 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு
y² = x மற்றும் கோடு y = x – 2 ⇒ x = y + 2
y = x – 2

∴ y ²= y + 2 ⇒ y² – y – 2 = 0
⇒ (y – 2) (y + 1) = 0
⇒ y = – 1, 2
∴ தேவையான பரப்பு = \(\int_{-1}^{2}\) (x₁ – x₂)dy

பரப்பு = \(\frac{9}{2}\) ச.அலகுகள்

கேள்வி 8.
ஒரு குடும்பத் தலைவர், x = 0 , x = 4 , y = 4 மற்றும் y = 0 ஆகியவற்றால் அடைபடும் சதுரநிலத்தின் பரப்பை y = 4x மற்றும் x = 4y என்ற வளைவரைகளின் வாயிலாக தன்னுடைய மனைவி, மகள் மற்றும் மகன் ஆகியோர்களுக்கு மூன்று சமபாகங்களாகப் பிரிக்க விரும்புகிறார். அவ்வாறு பிரிக்க இயலுமா? பிரிக்க இயலும் எனில் ஒவ்வொருவருக்கும் கிடைக்கும் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகளுக்கான சமன்பாடுகள்
y² = 4x மற்றும் x² = 4y

= \(\frac{4}{3}(4)(2)-\frac{64}{12}\)
= \(\frac{32}{3}-\frac{32}{6}=\frac{64-32}{6}=\frac{32}{6}\)
= \(\frac{16}{3}\) ச. அலகுகள்
ஆம் 3 சமபாகங்களாக பிரிக்கலாம். மகன், மகள் மற்றும் மனைவி ஒவ்வொருவருக்கும் கிடைக்கும்
பரப்பு \(\frac{16}{3}\) ச.அலகுகள்.

கேள்வி 9.
P என்பது y = (x – 2)² + 1 என்ற வளைவரைக்கு ஒரு மீச்சிறு புள்ளி. Q என்ற புள்ளியானது, PQ-ன் சாய்வு 2 உள்ளவாறு வளை வரையின் மேல் உள்ளது எனில் வளைவரைக்கும் நாண் PQ – க்கும் இடையில் அடைபடும் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு
(y – 1) = (x – 2)²
⇒ y = (x – 2)² + 1 ………… (1)
அதனுடைய முனை (2, 1) ஆனது மீச்சிறு புள்ளி Pஆகும்.
Q(x, y) ஆனது பரவளையத்தின் மேல் உள்ள புள்ளி என்க. கொடுக்கப்பட்ட சாய்வு PQ = 2
⇒ \(\frac{y-1}{x-2}\) = 2 [∵ சாய்வு = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)]
⇒ y – 1 = 2 (x – 2) ⇒ y – 1 = 2x – 4 ⇒ y = 2x – 4 + 1
⇒ y = 2x + 3 ………….(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, (x – 2)² + 1 = 2x – 3
⇒ x² – 4x + 4 + 1 = 2x – 3 ⇒ x² – 6x + 8 = 0
⇒ (x – 4) (x – 2) = 0 ⇒ x = 2, 4

கேள்வி 10.
x² + y² = 16 என்ற வட்டத்திற்கும் y = 6x என்ற பரவளையத்திற்கும் பொதுவான அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² = 16 …….. (1)
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 6x ……(2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
x² + 6x – 16 = 0 ⇒ (x + 8) (x – 2) = 0
⇒ x = -8, 2

∴ தேவையான பரப்பு
= 2 \(\begin{array}{l}
2 \\
\int \\
0
\end{array}\) பரவளையத்திற்கு கீழுள்ள பரப்பு + \(\begin{array}{l}
4 \\
\int \\
2
\end{array}\) வட்டத்திற்கு கீழுள்ள பரப்பு

= \(\frac{4}{3}[4 \pi+\sqrt{3}]\) ச. அலகுகள்