Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.1 Textbook Questions and Answers, Notes.
TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.1
கேள்வி 1.
f(x) = \(\sqrt [ 3 ]{ x }\) என்க. x = 27 இல் நேரியல் தோராய மதிப்பைக் காண்க. நேரியல் தோராய மதிப்பை பயன்படுத்தி \(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 }\) ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\sqrt [ 3 ]{ x }\) மற்றும்
x0 = 27 என்க
∆x = 0.2 என அறிவோம்.
L(x) = f(x0) + f'(x0)
(x – x0) ∀ x ∈ (a, b)
∴ \(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 }\) = f (27) + f'(27) (0.2) …….(1)
இங்கு f (27) = \(\sqrt [ 3 ]{ 27 }\) = 3
f'(x) = \(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3} x^{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}\)
∴ f'(27) = \(\frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}} \frac{1}{3\left(3^{2}\right)}=\frac{1}{27}\)
∴ (1) லிருந்து, 1
\(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 }\) = 3 +\(\frac{1}{27}\) (0.2)
= 3 + .0074 = 3.0074
∴ \(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 }\) = 3.0074
கேள்வி 2.
நேரியல் தோராய மதிப்பீட்டு முறையில் பின்வருவனவற்றின் தோராய மதிப்புகளைக் காண்க.
(i) (123)\(\frac{2}{3}\)
(ii) \(\sqrt [ 4 ]{ 15 }\)
(iii) \(\sqrt [ 3 ]{ 26 }\)
தீர்வு:
(i) (123)\(\frac{2}{3}\), x0, = 125, ∆x = – 2 என்க.
(ii) \(\sqrt [ 4 ]{ 15 }\)
(iii) \(\sqrt [ 3 ]{ 26 }\)
∴ f'(27) = \(\frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3\left(3^{2}\right)}=\frac{1}{27}\)
∴ (1) லிருந்து,
\(\sqrt [ 3 ]{ 26 }\) = 3 + \(\frac{1}{27}\)(-1)
= 3 – \(\frac{1}{27}\) = 3 – 0.037
\(\sqrt [ 3 ]{ 26 }\) = 2.963
கேள்வி 3.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு , கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் நேரியல் தோராய மதிப்பைக் காண்க.
(i) f(x) = x3 – 5x + 12, x0 = 2
(ii) g(x) = \(\sqrt{x^{2}+9}\), x0 = -4
(iii) h (x) = \(\frac{x}{x+1}\), x0 = 1
தர்வு:
(i) f(x) = x3 – 5x + 12, x0 = 2
f(x0) = x3 – 5x + 12, x0 = 2
f(x) = 23 – 5(2) + 12
= 8 – 10 + 12 = 10
f'(x) = 3x2 – 5
⇒ f'(x) = 3(22) – 5 = 7
∴ L (x) = f (x) +f’ (x0) (x – x)
= 10 + 7(x – 2)
= 10 + 7x – 14
L(x) = 7x – 4
(ii) g(x) = \(\sqrt{x^{2}+9}\), x0 = 4
கொடுக்கப்பட்ட g(x) = \(\sqrt{x^{2}+9}\), x0 = 4
g(x0) = \(\sqrt{(-4)^{2}+9}=\sqrt{16+9}=5\)
g'(x) = \(\frac{1}{2}\left(x^{2}+9\right)^{-\frac{1}{2}}(2 x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\)
∴ g'(x0 = \(\frac{-4}{\sqrt{(-4)^{2}+9}}=\frac{-4}{5}\)
∴ L(x) = g(x0) + g'(x0) (x – x0)
= \(5-\frac{4}{5}(x+4)=\frac{25-4 x-16}{5}\)
L(x) = \(\frac{9-4 x}{5}\)
(iii) h (x) = \(\frac{x}{x+1}\), x0 = 1
கேள்வி 4.
ஒரு வட்ட தகட்டின் ஆரம் 12.65 செ.மீ-க்குப் பதிலாக 12.5 செ.மீ என அளக்கப்படுகின்றது எனில் அதன் பரப்பு கணக்கிடுவதில் பின்வருவனவற்றை காண்க :
(i) தனிப்பிழை
(ii) சார் பிழை
(iii) சதவீதப் பிழை
தீர்வு:
மெய் மதிப்பு = 12.5 செ.மீ,
தோராய மதிப்பு = 12.65 செ.மீ
வட்ட வடிவ தகட்டின் பரப்பு = πr2
A(12.5) = π(12.5)2 = 156.25 1 செ.மீ2 –
A(12.65) = π(12.65)2 = 160.0225π செ.மீ.2
தோராய மதிப்பு = 12.65 – 12.5 = 0.15
(i) தனிப்பிழை = π(0.15) = 0.0225 1 செ.மீ2
சார் பிழை = A(12.65) – A(12.5)/A(12.5) !
(ii) சார் பிழை = \(\frac{160.0225 \pi-156.25 \pi}{160.0225 \pi}\)
= \(\frac{3.7725 \pi}{160.0225 \pi}\) =0.024 செ.மீ2
(iii)சதவீதப் பிழை = 0.024 × 100 = 2.4%
கோளத்தின் கன அளவு = \(\frac{4}{3}\)πr2
கேள்வி 5.
பனிக்கட்டியிலான ஒரு கோளத்தின் ஆரம் 10 செ.மீ. அதன் ஆரம் 10 செ.மீலிருந்து 9.8 செ.மீ -ஆக குறைகின்றது. பின்வருவனவற்றின் தோராய மதிப்பினைக் காண்க :
(i) கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
(ii) வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம்
தீர்வு:
கன அளவில் ஏற்படும் மாற் = \(\frac{4}{3}\) π r3
கொடுக்கப்பட்ட r = 10 செ.மீ.
\(\frac{d r}{d t}\) = -0.2 செ.மீ
(i) கன அளவு
V = \(\frac{4}{3}\) π r3
கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
= \(\frac{4}{3}\) π . 3r2 \(\frac{d r}{d t}\)
= 4π (10)2 (-0.2)
= 400 π (-0.2) = -80 1 செ.மீ
∴ கன அளவு 80 1 செ.மீ குறைகிறது.
(ii) வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம்
கோளத்தின் வளைபரப்பு = 4 π r2
வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் = 4 π . 2r. \(\frac{d r}{d t}\)
= 8π (10) (-0.2)
= –\(\frac{80 \pi \times 2}{10}\) = -16 π செ.மீ2
∴ வளைப்பரப்பு 16 1 செ.மீ குறைகிறது.
கேள்வி 6.
l நீளம் உள்ள ஒரு தனி ஊசலின் முழு அலைவு நேரம் T என்பது T = 2π \(\sqrt{\frac{1}{g}}\), என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இங்கு 8 ஒரு மாறிலி 1-ல் ஏற்படும் 2 சதவீதப் பிழைக்கு ஏற்ப T-ன் கணக்கீட்டில் ஏற்படும் தோராய சதவீதப் பிழையைக் காண்க. ,
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தனி பிழை = 2%
⇒ \(\frac{d l}{l} .\) = 2% = \(\frac{2}{100}\) =0.02
கொடுக்கப்பட்ட T = 2π \(\sqrt{\frac{1}{g}}\)
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்க கிடைப்பது,
log T = log 2π + \(\frac{1}{2}\) log l – \(\frac{1}{2}\) log g
இருபுறமும் வகையீடு எடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac{1}{T}\) dT = 0 + \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{1}{l}\) . dl
\(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) = \(\frac{1}{2}\) (.02)
\(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) = 0.01
∴ \(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) × 100 = 0.01 × 100 = 1%
கேள்வி 7.
ஓர் எண்ணின் n -ஆம் படி மூலம் கணக்கிடப்படும் போது ஏற்படும் சதவீதப் பிழை தோராயமாக, அந்த எண்ணின் சதவீதப் பிழையின் – மடங்கு ஆகும் எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
அந்த எண் என்க.
y = f(x) = x\(\frac{1}{n}\)
பிறகு \(\frac{1}{n}\) log y = – logx
இருபுறமும் வகையீடு எடுக்க கிடைப்பது
\(\frac{1}{y}\) dy = \(\frac{1}{n}\) × \(\frac{1}{x}\) dx
அதாவது \(\frac{\Delta y}{y} \simeq \frac{d y}{y}=\frac{1}{n} \cdot \frac{d x}{x}\)
∴ \(\frac{\Delta y}{y} \times 100 \simeq \frac{1}{n}\left(\frac{d x}{x} \times 100\right)\)
அந்த எண்ணின் சதவீதப் பிழையின் ≅ \(\frac{1}{n}\) மடங்கு எனவே ஒரு எண்ணின் 1ஆம் படி மூலம் கணக்கிடப்படும் போது ஏற்படும் சதவீதம் பிழை தோராயமாக, அந்த எண்ணின் சதவீதப் பிழையின் \(\frac{1}{n}\) மடங்கு ஆகும்.