Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.4 Textbook Questions and Answers, Notes.
TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.4
கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு மெக்லாரனின் விரிவைக் காண்க :
(i) ex
(ii) sin x
(iii) cos x
(iv) log (1 – x); -1 ≤ x ≤ 1
(v) tan-1 (x) ; -1 ≤ x ≤ 1
(vi) cos2 x
தீர்வு:
(i) ex
(ii) sinx
f(x) = sin x என்க ⇒ f(0) = sin 0 = 0
fI(x) = cos x ⇒ fI(0) = cos 0 = 1
fII(x) = – sinx ⇒ fII(0) = -sin 0 = 0
fIII(x) = -cos x ⇒ fIII(0) = -cos 0 = 0
fIV(x) = + sin x ⇒ fIV(0) = sin 0 = 0
fV(x) = cos x ⇒ fV(0) = cos 0 = -1
fVI(x) = -sin x ⇒ fVI(0) = -sin 0 = 0
fVII(x) = -cos x ⇒ fVII(0) = -cos 0 = -1
∴ மெக்லாரனின் தொடர் விரிவாக்கம்
(iii) cos x
மெக்லாரனின் தொடர் விரிவாக்கம்
(iv) log (1 – x); -1 ≤ x ≤ 1
மெக்லாரனின் தொடர் விரிவாக்கம்
(v) tan-1 (x) ; -1 ≤ x ≤ 1
f(x) = tan-1 (x) என்க
⇒ f(0) = tan-1 (0) = 0
f'(x) = \(\frac{1}{1+x^{2}}\) = (1 + x2)-1
⇒ fI(0) = 1
fII(x) = -1(1 + x)-2 (2x)
= -2x (1 + x2-2
⇒ fII(0) = 0
= -2[-4x2 (1 + x2)-3 + (1 + x2)-2]
fIII(x) = – 2 [x(-2) (1 + x2)-3 (2x) + (1 + x2)-2]
⇒ fIII(0) = 2
⇒ fIV(x) = -2 [ 4x2 (-3) (1 + x2)-4 (2x) + (1 + x2)-3 (-8x) + (1 + x2)-3 (-2) (2x)]
= -2 [24x3 (1 + x2)-4 – 8x (1 + x2)-3 – 4x (1 + x2)-3]
= – 2 [24x3 (1 + x2)-4 – 12x (1 + x2)-3]
fIV(x) = – 24 [2x3 (1 + x2)-4 – x (1 + x2)-3]
⇒ fII(0) = 0
fV(x) = – 24 [2x3 (-4)(1 + x2)-5 (2x) + (1 + x2)-4 + 6x2 – x (- 3)(1 + x2) + (2x) – (1 + x2)-3]
= – 24 [16x4 (1 + x2)-5 + 6x2 (1 + x2)-4 – (1 + x2)-3]
= – 24 [16x4 + (1 + x2)-5 + 12x2 (1 + x2)-4 – (1 + x2)-3]
⇒ fV(0) = 24
⇒ f(0) = tan-1 (0) = 0
⇒ f-1(0) = 1
⇒ fII(0) = ()
⇒ fIII(0) = -2
⇒ fIV(0) = 0
⇒ fV(0) = 24
மெக்லாரனின் விரிவு
f(x) = f(0) + \(\frac{f^{\mathrm{I}}(0)}{1 !} x+\frac{f^{\mathrm{II}}(0)}{2 !} x^{2}+\frac{f^{\mathrm{III}}(0)}{3 !} x^{3}+\frac{f^{\mathrm{IV}}(0)}{4 !} x^{4}+\ldots\)
= 0 + \(\frac{1}{1 !} x+0 \frac{2}{3 !} x^{3}+0+\frac{24}{5 !} x^{5}+\ldots\)
= x – \(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots\)
(vi) cos2 x
f(x) = cos2 x என்க
f(x) = 2cos x (- sinx)
= -sin 2x ⇒ fI(0) = 0
fII(x) = – 2 cos 2x ⇒ fII(0) = -2
fIII(x) = +4 sin 2x ⇒ fIII(0) = 0
fIV(x) = 8 cos 2x ⇒ fIV(0) = 8
fV(x) = -16 sin2x ⇒ fV(0) = 0
fVI(x) = -32cos 2x ⇒ fVI(0) = -32
மெக்லாரனின் விரிவு
கேள்வி 2.
log x, x > 0 என்ற சார்பின் டெய்லர் தொடரின் விரிவை x = 1 -ஐ பொருத்து முதல் மூன்று பூச்சியமற்ற உறுப்புகள் வரை காண்க.
தீர்வு:
f(x) = log x என்க
fI(x) = \(\frac{1}{x}\) = x-1
fII(x) = -1x-2
fIII(x) = 2 x-3
fIV(x) = -6 x-4
⇒ f(1) = log 1 = 0
fI(1) = \(\frac{1}{1}\) =1
fII(1) = -1
fIII(1) = 2
fIV(1) = -6
x= 1ல் f (x) க்கான டெய்லரின் தொடர்
கேள்வி 3.
sin x -ன் விரிவை x – \(\frac{\pi}{4}\) -ன் அடுக்குகளாக முதல் மூன்று பூச்சியமற்ற உறுப்புகள் வரை காண்க.
தீர்வு:
f(x) = sin x என்க
fI(x) = cos x
fII(x) = – sin x
fIII(x) = – cos x|
⇒ f\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = sin \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
fI\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = cos \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
fII\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = -sin \(\frac{\pi}{4}\) = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
fIII\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = -cos \(\frac{\pi}{4}\) = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
x = \(\frac{\pi}{4}\) ல் f(x) க்கான டெய்லரின் தொடர்
கேள்வி 4.
f (x) = x2 – 3x + 2 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் வரிசை x – 1 -ன் அடுக்குகளாக காண்க.
தீர்வு:
f(x) = x2 – 3x + 2
fI(x) = 2x – 3
fII(x) = 2
⇒ f(1) = 0)
fI(1) = 2 – 3 = -1
fII(1) = 2
x = 1ல் f (x) க்கான டெய்லரின் தொடர்
f(x) = f(1) + \(\frac{f^{\mathrm{l}}(1)}{1 !}(x-1)+\frac{f^{\mathrm{Il}}(1)}{2 !}(x-1)^{2}\)
= 0 + \(\frac{1}{1 !}(x-1)+\frac{2}{2 !}(x-1)^{2}\)
f(x) = – (x – 1) + (x – 1)2