Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.4

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.4

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு மெக்லாரனின் விரிவைக் காண்க :
(i) e^x
(ii) sin x
(iii) cos x
(iv) log (1 – x); -1 ≤ x ≤ 1
(v) tan^-1 (x) ; -1 ≤ x ≤ 1
(vi) cos² x
தீர்வு:
(i) e^x

(ii) sinx
f(x) = sin x என்க ⇒ f(0) = sin 0 = 0
f^I(x) = cos x ⇒ f^I(0) = cos 0 = 1
f^II(x) = – sinx ⇒ f^II(0) = -sin 0 = 0
f^III(x) = -cos x ⇒ f^III(0) = -cos 0 = 0
f^IV(x) = + sin x ⇒ f^IV(0) = sin 0 = 0
f^V(x) = cos x ⇒ f^V(0) = cos 0 = -1
f^VI(x) = -sin x ⇒ f^VI(0) = -sin 0 = 0
f^VII(x) = -cos x ⇒ f^VII(0) = -cos 0 = -1
∴ மெக்லாரனின் தொடர் விரிவாக்கம்

(iii) cos x

மெக்லாரனின் தொடர் விரிவாக்கம்

(iv) log (1 – x); -1 ≤ x ≤ 1

மெக்லாரனின் தொடர் விரிவாக்கம்

(v) tan^-1 (x) ; -1 ≤ x ≤ 1
f(x) = tan^-1 (x) என்க
⇒ f(0) = tan^-1 (0) = 0
f'(x) = \(\frac{1}{1+x^{2}}\) = (1 + x²)^-1
⇒ f^I(0) = 1
f^II(x) = -1(1 + x)^-2 (2x)
= -2x (1 + x^2-2
⇒ f^II(0) = 0
= -2[-4x² (1 + x²)^-3 + (1 + x²)^-2]
f^III(x) = – 2 [x(-2) (1 + x²)^-3 (2x) + (1 + x²)^-2]
⇒ f^III(0) = 2

⇒ f^IV(x) = -2 [ 4x² (-3) (1 + x²)^-4 (2x) + (1 + x²)^-3 (-8x) + (1 + x²)^-3 (-2) (2x)]
= -2 [24x³ (1 + x²)^-4 – 8x (1 + x²)^-3 – 4x (1 + x²)^-3]
= – 2 [24x³ (1 + x²)^-4 – 12x (1 + x²)^-3]

f^IV(x) = – 24 [2x³ (1 + x²)^-4 – x (1 + x²)^-3]
⇒ f^II(0) = 0
f^V(x) = – 24 [2x³ (-4)(1 + x²)^-5 (2x) + (1 + x²)^-4 + 6x² – x (- 3)(1 + x²) + (2x) – (1 + x²)^-3]
= – 24 [16x⁴ (1 + x²)^-5 + 6x² (1 + x²)^-4 – (1 + x²)^-3]
= – 24 [16x⁴ + (1 + x²)^-5 + 12x² (1 + x²)^-4 – (1 + x²)^-3]
⇒ f^V(0) = 24
⇒ f(0) = tan^-1 (0) = 0
⇒ f^-1(0) = 1
⇒ f^II(0) = ()
⇒ f^III(0) = -2
⇒ f^IV(0) = 0
⇒ f^V(0) = 24
மெக்லாரனின் விரிவு
f(x) = f(0) + \(\frac{f^{\mathrm{I}}(0)}{1 !} x+\frac{f^{\mathrm{II}}(0)}{2 !} x^{2}+\frac{f^{\mathrm{III}}(0)}{3 !} x^{3}+\frac{f^{\mathrm{IV}}(0)}{4 !} x^{4}+\ldots\)
= 0 + \(\frac{1}{1 !} x+0 \frac{2}{3 !} x^{3}+0+\frac{24}{5 !} x^{5}+\ldots\)
= x – \(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots\)

(vi) cos² x
f(x) = cos² x என்க
f(x) = 2cos x (- sinx)
= -sin 2x ⇒ f^I(0) = 0
f^II(x) = – 2 cos 2x ⇒ f^II(0) = -2
f^III(x) = +4 sin 2x ⇒ f^III(0) = 0
f^IV(x) = 8 cos 2x ⇒ f^IV(0) = 8
f^V(x) = -16 sin2x ⇒ f^V(0) = 0
f^VI(x) = -32cos 2x ⇒ f^VI(0) = -32
மெக்லாரனின் விரிவு

கேள்வி 2.
log x, x > 0 என்ற சார்பின் டெய்லர் தொடரின் விரிவை x = 1 -ஐ பொருத்து முதல் மூன்று பூச்சியமற்ற உறுப்புகள் வரை காண்க.
தீர்வு:
f(x) = log x என்க
f^I(x) = \(\frac{1}{x}\) = x^-1
f^II(x) = -1x^-2
f^III(x) = 2 x^-3
f^IV(x) = -6 x^-4
⇒ f(1) = log 1 = 0
f^I(1) = \(\frac{1}{1}\) =1
f^II(1) = -1
f^III(1) = 2
f^IV(1) = -6
x= 1ல் f (x) க்கான டெய்லரின் தொடர்

கேள்வி 3.
sin x -ன் விரிவை x – \(\frac{\pi}{4}\) -ன் அடுக்குகளாக முதல் மூன்று பூச்சியமற்ற உறுப்புகள் வரை காண்க.
தீர்வு:
f(x) = sin x என்க
f^I(x) = cos x
f^II(x) = – sin x
f^III(x) = – cos x|
⇒ f\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = sin \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
f^I\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = cos \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
f^II\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = -sin \(\frac{\pi}{4}\) = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
f^III\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = -cos \(\frac{\pi}{4}\) = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
x = \(\frac{\pi}{4}\) ல் f(x) க்கான டெய்லரின் தொடர்

கேள்வி 4.
f (x) = x² – 3x + 2 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் வரிசை x – 1 -ன் அடுக்குகளாக காண்க.
தீர்வு:
f(x) = x² – 3x + 2
f^I(x) = 2x – 3
f^II(x) = 2
⇒ f(1) = 0)
f^I(1) = 2 – 3 = -1
f^II(1) = 2
x = 1ல் f (x) க்கான டெய்லரின் தொடர்
f(x) = f(1) + \(\frac{f^{\mathrm{l}}(1)}{1 !}(x-1)+\frac{f^{\mathrm{Il}}(1)}{2 !}(x-1)^{2}\)
= 0 + \(\frac{1}{1 !}(x-1)+\frac{2}{2 !}(x-1)^{2}\)
f(x) = – (x – 1) + (x – 1)²