Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.5

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.5

கேள்வி 1.
W(x, y) = x³ – 3xy + 2y², x, y ∈ ℝ எனில் (1, -1) இல் W-ன் நேரியல் தோராய மதிப்பு காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட W (x, y) = x³ – 3xy + 2y², x, y ∈ ℝ
w_x = \(\frac{\partial w}{\partial x}\) = 3x² – 3y + 0 = 3x² – 3y
w_x (1, -1) இல் = 3 (1)² – 3-(-1) = 3 + 3 = 6
w_y = \(\frac{\partial w}{\partial y}\) = 0 – 3x + 4y = -3x + 4y
w_y (1, -1) = -3 (1) + 4(-1) = -3 – 4 = -7.
w (x₀, y₀) = w(1, -1)
= 1³ – 3(1) (-1) + 2 (-1)²
= 1 + 3 + 2 = 6
நேரியல் தோராய மதிப்பு காண
L (x, y) = w (x₀, y₀) + \(\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}\) (x – x₀) + \(\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}\) (y – y₀)
= 6 + 6 (x – 1) + -7 (y + 1)
= 6 + 6x – 6 – 7y – 7
= 6x – 7y – 7

கேள்வி 2.
(x, y) = x²y + 3xy⁴, x, y ∈ ℝ எனில் (2, -1) இல் z -ன் நேரியல் தோராய மதிப்பு காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z(x, y) = x²y + 3xy⁴, x, y ∈ ℝ
z (x₀, y₀) = z (2, -1) = 2² (-1) + 3(2) (-1)⁴
= – 4 + 6 = 2
\(\frac{\partial z}{\partial x}\) = 2xy + 3y⁴
\(\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{(2,-1)}\) = 2 (2) (-1) + 3 (-1)⁴
= – 4 + 3 = -1
\(\frac{\partial z}{\partial y}\) = x² + 3x (4y³) = x² + 12xy³
\(\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{(2,-1)}\) = 2² + 12 (2)(-1)³ = 4 – 24 = -20
நேரியல் தோராய மதிப்பு காண
L(x, y) = z(x₀, y₀) + \(\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}\) (x – x₀) + \(\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}\) (y – y₀)
∴ L (x, y) = 2 – 1 (x – 2) – 20 (y + 1)
= 2 – x + 2 – 20y – 20
= -x – 20y – 16
= -(x + 20y + 16)

கேள்வி 3.
v(x, y) = x² – xy + \(\frac{1}{4}\) y² + 7, x, y ∈ ℝ எனில் வகையீடு dv-ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட v (x, y) = x² – xy + \(\frac{1}{4}\) y² + 7, x, y ∈ ℝ
dv = 2x dx – (x dy + y dx) + \(\frac{1}{4}\) (2y) dy + 0
dv = (2x – y) dx + (-x + \(\frac{1}{2}\) y)dy

கேள்வி 4.
V(x, y, z) = y + yz + zx, x, y, z ∈ ℝ எனில் dv-ஐக் காண்க .
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட
V (x, y, z) = xy+ yz + zx, x, y, z ∈ ℝ
dV = x. dx + y. dx + y. dz + z. dy. + z . dx + x.dz
dV = (y + z)dx + (x + z)dy + (y + x)dz