Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் கலப்பெண்களின் மட்டு மதிப்பினைக் காண்க.
(i) \(\frac{2 i}{3+4 i}\)
(ii) \(\frac{2-i}{1+i}\) + \(\frac{1-2 i}{1-i}\)
(iii) (1 – i)10
(iv) 2i (3 – 4i) (4- 3i)
தீர்வு:
(i) \(\frac{2 i}{3+4 i}\)
z = \(\frac{2 i}{3+4 i}\) என்க
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 1

(ii) \(\frac{2-i}{1+i}\) + \(\frac{1-2i}{1-i}\)
z = \(\frac{2-i}{1+i}\) + \(\frac{1-2i}{1-i}\) என்க
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 2

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5

(iii) (1-i)10
z = (1 – i)10 என்க
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 3

(iv) 2i (3 – 4i) (4 – 3i)
z = 2i(3 – 4i) (4 – 3i) என்க.
∴ |z| = |2i(3-4i)(4-3i)
= |2i||3-4i |4-3i||
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 3.1

கேள்வி 2.
z1 மற்றும் z2, என்ற ஏதேனும் இரு கலப்பெண் களுக்கு |z1| = |z2| = 1 மற்றும் z1, z2 = -1 எனில் \(\frac{z_{1}+z_{2}}{1+z_{1} z_{2}}\) ஓர் மெய் எண் எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட |z1| = |z2| = 1
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 4
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 5

கேள்வி 3.
10 – 8i, 11 + 61 ஆகிய புள்ளிகளில் எப்புள்ளி 1+i -க்கு மிக அருகாமையில் இருக்கும்?
தீர்வு:
அந்த புள்ளிகள் A (10 – 8i), B (11 + 6i) மற்றும் C (1 -i)
A மற்றும் C என்பது இடைப்பட்ட தூரம்
|(10 – 8i) – (1 + i) = |10 – 8i – 1 – i| =|9 – 9i|
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 6
அருகாமையில் இருக்கும்.
∴ 11 + 6i, 1 + 1 க்கு அருகாமையில் இருக்கும்.

கேள்வி 4.
z = 3 எனில் 7≤ |z + 6 – 8i | ≤ 13 எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட |z| = 3
7 ≤ | z + 6 – 8i | ≤ 13 என கொடுக்கப்பட்டது
| z + 6 – 8i| ≤ | z | + 16 – 8i [முக்கோணச் சமனிலி]
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 8
எனக் காட்டுக.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5

கேள்வி 5.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 6.2
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட |z| = 1
|z2 – 3| ≤ |z2| +|-3| [முக்கோணச் சமனிலி]
≤ |z|2 + 3 ≤ 1 + 3 [∵ |z| = 1]
|z2 – 3| ≤ 4 … (1)
மேலும், |z – 3| ≥ ||z2|-|-3||
≥ ||z|2-3| [∵ |-3| = 3]
≥ |12 – 3 | [∵ |z| = 1]
≥ |-2|
|z2 – 3| ≥ 2 …. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து கிடைப்பது, 2 ≤ |z2 -3| ≤ 4 எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5

கேள்வி 6.
\(\left|z-\frac{2}{z}\right|\) = 2, எனில் |z|-ன் மீச்சிறு மற்றும் மீப்பெருமதிப்புகள் \(\sqrt{3}\) + 1 மற்றும் \(\sqrt{3}\) – 1 என நிறுவுக.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 8.1
இருபுறமும் 1 ஐ கூட்ட கிடைப்பது,
|z|2 – 2|z| + 1 ≤ 2 + 1
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 9
∴ |z| – ன் மீப்பெரு மதிப்பு \(\sqrt{3}\) + 1 மற்றும் |z| – ன் மீச்சிறு மதிப்பு 1 – \(\sqrt{3}\).

கேள்வி 7.
z1, z2 மற்றும் z3 என்ற மூன்று கலப்பெண்கள் |z1| = 1, |z2| = 2, |z3| = 3 மற்றும் |z1 + z2 + z3| = 1 என்றவாறு உள்ள து எனில் |9z1z2 + 4z1z3 + z2z3| = 6 என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட |z1| = 1, |z2| = 2, |z3| = 3,
|z1 + z2 + z3 | = 1
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 10
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 11
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 12

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5

கேள்வி 8.
z,iz, மற்றும் 7 + iz ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்டு அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு 50 சதுர அலகுகள்
எனில், |z| – ன் மதிப்பினைக் காண்க.
தீர்வு:
z, iz மற்றும் z + iz ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்டு அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு 50 சதுர அலகுகள்.
z = x + iy என்க
எனில் iz = i (x + iy) = ix + i2y = -y + ix
z+ iz = x + iy – y + ix
= (x – y) + i (x + y)
z, iz மற்றும் z + iz ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பு A எனில்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 30
கொடுக்கப்பட்ட A = 50 ச. அலகுகள்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 31

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5

கேள்வி 9.
z3+2\(\bar{z}\) = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு ஐந்து தீர்வுகள் இருக்கும் என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z3 +2\(\bar{z}\) = 0
⇒ z3 = -2\(\bar{z}\)
இருபுறமும் மட்டுப்படுத்த, |z3| = |\(-2 \bar{z}\)|
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 33
கொடுக்கப்பட்ட z3 + 2\(\bar{z}\) = 0
⇒ z3 + 2 . \(\frac{\sqrt{2}}{z}\) = 0
⇒ z4 + 2\(\sqrt{2}\) = 0 ….. (2)
இது 4 பூச்சியமற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும். எனவே (1) மற்றும் (2) லிருந்து, z + 2 z க்கு 5 தீர்வுகள்.

கேள்வி 10.
கீழ்காண்பவைகளின் வர்க்கமூலம் காண்க :
(i) 4 + 3i
(ii) -6 + 8i
(iii) 5 – 12i.
தீர்வு:
(i) 4+ 3i
z = |4 + 3i| என்க.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 46
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 47

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5

(iii) -5 – 12i
z =-5 – 12i என்க.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.5 48

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *