Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.9

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.9

சரியான அல்லது மிகப்பொருத்தமான விடையை தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக :

கேள்வி 1.
iⁿ + iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² + iⁿ⁺³-ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) -1
(4) 1
விடை:
(1) 0
குறிப்பு:
= iⁿ (1 + i + i² + i³)
= 1ⁿ (1 + i – 1 – i) = iⁿ (0)

கேள்வி 2.
\(\sum_{i=1}^{13}\left(i^{n}+i^{n-1}\right)\)-ன் மதிப்பு
(1) 1 + i
(2) i
(3) 1
(4) 0
விடை:
(1) 1 + i
குறிப்பு:
= (i + i⁰) + (i² + i¹) + (i³ + i²) + (i⁴ + i³) +…+ (i¹³ + i¹²)
= (i + i² + + +….+ i¹³) + (1 + i + i²+…+i¹²)

கேள்வி 3.
z, iz, மற்றும் z + iz என்ற கலப்பெண்கள் ஆர்கண்ட் தளத்தில் உருவாக்கும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
(1) \(\frac{1}{2}\)|z|²
(2) |z|²
(3) \(\frac{3}{2}\)|z|²
(4) 2|z|²
விடை:
(1) \(\frac{1}{2}\)|z|²
குறிப்பு:
z = x+ iy, iz = i (x + iy) = y + ix,
z + iz = (x – y) + i (x + y)
A = \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
x & y & 1 \\
-y & x & 1 \\
x-y & x+y & 1
\end{array}\right|\)

கேள்வி 4.
ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac{1}{i-2}\) எனில், அந்த கலப்பெண்
(1) \(\frac{1}{i+2}\)
(2) \(\frac{-1}{i+2}\)
(3) \(\frac{-1}{i-2}\)
(4) \(\frac{1}{i-2}\)
விடை:
(2) \(\frac{-1}{i+2}\)
குறிப்பு:
\(\bar{z}\) =\(\frac{1}{1-2}\)என்க ⇒ \(\bar{z}\) = \(\frac{1}{-i-2}\) ⇒ z = \(\frac{-1}{i+2}\)

கேள்வி 5.
z = \(\frac{(\sqrt{3}+i)^{3}(3 i+4)^{2}}{(8+6 i)^{2}}\) எனில், |z| – ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(3) 2
குறிப்பு:

கேள்வி 6.
z எனும் பூஜ்ஜியமற்ற கலப்பெண்ணிற்கு 2iz² = \(\bar{z}\) எனில், |z| – ன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{2}\)
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(1) \(\frac{1}{2}\)
குறிப்பு:
|2iz² |= |\(\bar{z}\)| ⇒ 2|i||z|²=|z| [∵ |\(\bar{z}\)| = |z|]
⇒ 2(1)|z| = 1
⇒ | z | ஐ நீக்க]
⇒ | z | = \(\frac{1}{2}\)

கேள்வி 7.
|z – 2 + i| ≤ 2 எனில், |z|-ன் மீப்பெரு மதிப்பு
(1) \(\sqrt{3}\) – 2
(2) \(\sqrt{3}\) + 2
(3) \(\sqrt{5}\) – 2
(4) \(\sqrt{5}\) + 2
விடை:
(4) \(\sqrt{5}\) + 2
குறிப்பு:
|z – 2 + i| ≥ |z| – |2 – i|

கேள்வி 8.
|z – \(\frac{3}{z}\)| = 2 எனில், |z| -ன் மீச்சிறு மதிப்பு
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 5
விடை:
(1) 1

கேள்வி 9.
|z| = 1 எனில், \(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\) ன் மதிப்பு
(1) z
(2) \(\bar{z}\)
(3) \(\frac{1}{z}\)
(4) 1
விடை:
(1) 1
குறிப்பு:

கேள்வி 10.
|z| – z = 1 + 2i என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு
(1) \(\frac{3}{2}\) – 2i
(2) –\(\frac{3}{2}\) + 2i
(3) 2 – \(\frac{3}{2}\)i
(4) 2 + \(\frac{3}{2}\)i
விடை:
(1) \(\frac{3}{2}\) – 2i
குறிப்பு:
z = x + iy என்க .
∴|z| = 1 + 2i + z
⇒ x² + y² = 1 + 2i +z
⇒ \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) = 1 + 2i + z
⇒ \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) = (1 + x) + i + (2 + y)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
⇒ x² + y² = (1 + x)² – (2 + y)² + 2i(1+x) (2+y)
கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த
(1+x) (2 +y) = 0
⇒ x = – 1 அல்ல து y =-2
மெய் பகுதிகளை சமப்படுத்த,
x² + y² = (1 + x)² – (2 + y)²
y = -2 என பிரதியிடு,
x² + 4 = (1 + x)² – 0
⇒ x² + 4 = 1 + x² + 2x ⇒ 2x = 3
⇒ x = \(\frac{3}{2}\) z = \(\frac{3}{2}\) – 2i

கேள்வி 11.
|z₁| = 1, |z₂| = 2, |z₃| = 3 மற்றும் |9z₁z₂ + 4z₁z₂ + z₂z₃| = 12 எனில், |z₁ + z₂ + z₃|-ன் மதிப்பு
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
விடை:
(2) 2
குறிப்பு:

கேள்வி 12.
z என்ற கலப்பெண்ணானது ஆகவும் z + \(\frac{1}{z}\) ∈ ℝ, எனவும் இருந்தால், |z| – ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(2) 1
குறிப்பு:
[[z| = 1 எனில் மட்டுமே கிடைப்பது z + \(\frac{1}{z}\) ∈ ℝ

கேள்வி 13.
z₁, z₂ மற்றும் z₃ என்ற கலப்பெண்கள் z₁ + z₂ + z₃ = 0 எனவும் , |z₁| = |z₂|, = |z₃| = 1 ஆகவும் இருந்தால் ன் மதிப்பு
(1) 3
(2) 2
(3) 1
(4) 0
விடை:
(4)
குறிப்பு:

கேள்வி 14.
\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முழுவதும் கற்பனை எனில், |z| – ன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{2}\)
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(2) 1
குறிப்பு:
\(\frac{z-1}{z+1}\) முழுவதும் கற்பனை

கேள்வி 15.
z = x + iy என்ற கலப்பெண்ணிற்கு |z + 2| = |z – 2| எனில், z-ன் நியமப்பாதை
(1) மெய் அச்சு
(2) கற்பனை அச்சு
(3) நீள் வட்டம்
(4) வட்டம்
விடை:
(2) கற்பனை அச்சு
குறிப்பு:
|z + 2| = |z – 2| ⇒ |x + iy + 2| = |x + iy – 2|

⇒ 8x = 0 ⇒ x = 0 இது கற்பனை அச்சு

கேள்வி 16.
\(\frac{3}{-1+i}\) என்ற் கலப்பெண்ணின் முதன்மை வீச்சு
(1) \(\frac{-5 \pi}{6}\)
(2) \(\frac{-2 \pi}{3}\)
(3) \(\frac{-3 \pi}{4}\)
(4) \(\frac{-\pi}{2}\)
விடை:
(3) \(\frac{-3 \pi}{4}\)
குறிப்பு:


[ ∵ \(\frac{-3}{2}\)(1 + i) III-ம் கால்பகுதியில் அமைவதால்
θ = α – π

கேள்வி 17.
(sin 40° + i cos 40°)⁵-ன் முதன்மை வீச்சு
(1) -110°
(2) -70°
(3) 70°
(4) 110°
விடை:
(1) -110°
குறிப்பு:
= [cos 40° – i sin 40]
= i⁵[cos 40°) + i sin 40°]⁵
=i [cos 5(- 40°) + i sin 5(- 40°)]
= i [cos (- 200°) + i sin (- 200°)]
= (cos 90° +isin 90°)
(cos (- 200°) + isin(- 200°)]
[∵ i = cos 90° + i sin 90°]
= cos (90° – 200°) + i sin (90° – 200°)
= cos (-110°) + i sin (-110°)

கேள்வி 18.
(1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i)… (1 + ni) = x + iy எனில், 2.5.10 … (1 + n²) -ன் மதிப்பு
(1) 1
(2) i
(3) x² + y²
(4) 1 + n²
விடை:
(3) x² + y²
குறிப்பு:

வர்க்க ப்படுத்த, 2 5 10……..(1 + n²) = x² + y²

கேள்வி 19.
ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் மற்றும் (1 + ω)⁷ = A + Bω எனில், (A, B) என்பது
(1) (1, 0)
(2) (-1, 1)
(3) (0, 1)
(4) (1, 1)
விடை:
(4) (1, 1)
குறிப்பு:
(1 + ω)⁶ . (1 + ω)¹ = A + Bω
⇒ (-ω²)⁶ (1 + ω) = (A + Bω)
⇒ 1 (1 + ω) = A + Bω [∵ (ω²)ω⁶ = ω¹² = 1]
⇒ A = 1, B = 1

கேள்வி 20.
\(\frac{(1+i \sqrt{3})^{2}}{4 i(1-i \sqrt{3})}\) என்ற கலப்பெண்ணின் முதன்மை வீச்சு
(1) \(\frac{2 \pi}{3}\)
(2) \(\frac{\pi}{6}\)
(3) \(\frac{5 \pi}{3}\)
(4) \(\frac{\pi}{2}\)
விடை:
(4) \(\frac{\pi}{2}\)
குறிப்பு:

[நான்காம் கால்பகுதியில் θ =-α]

கேள்வி 21.
x² + x + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α மற்றும் β எனில், α²⁰²⁰ + β²⁰²⁰ -ன் மதிப்பு
(1) -2
(2) -1
(3) 1
(4) 2
விடை:
(2) -1
குறிப்பு:
x² + x + 1 = 0

கேள்வி 22.
\(\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)^{\frac{3}{4}}\) ன் எல்லா நான்கு மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகை
(1) -2
(2) -1
(3) 1
(4) 2
விடை:
(3) 1
குறிப்பு:
cos \(\frac{3}{4}\)(2kπ + \(\frac{\pi}{3}\)) + i sin (2kπ + \(\frac{\pi}{3}\)),
k = 0, 1, 2, 3
k = 0, 1, 2, 3 எனில்,
மூலங்கள் cis \(\frac{\pi}{4}\), cis 7\(\frac{\pi}{4}\), cis 13\(\frac{\pi}{4}\) மற்றும் cis 19\(\frac{\pi}{4}\)
∴ பெருக்கற் பலன் = cis (\(\frac{\pi}{4}\) + 7\(\frac{\pi}{4}\) + 13\(\frac{\pi}{4}\) + 19\(\frac{\pi}{4}\))
= cis \(\left(\frac{40 \pi}{4}\right)\) = cis 10π
= cos 10π + i sin 10π = 1 + i (0) = 1

கேள்வி 23.
ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் மற்றும் \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & -\omega^{2}-1 & \omega^{2} \\
1 & \omega^{2} & \omega^{7}
\end{array}\right|\) = 3k எனில், k -ன் மதிப்பு
(1) 1
(2) -1
(3) \(\sqrt{3} i\)
(4) – \(\sqrt{3} i\)
விடை:
(4) – \(\sqrt{3} i\)
குறிப்பு:

(ω² – ω) – 1(ω – ω²) + 1(ω² – ω) = 3k
⇒ ω² – ω – ω + ω² + ω² – ω = 3k
⇒ 3ω² – 3ω = 3k ⇒ k = ω – ω

கேள்வி 24.

விடை:
(1) cis \(\frac{2 \pi}{3}\)
குறிப்பு:

[∵ 1 – \(\sqrt{3} i\) IV-ம் கால்பகுதியில் அமைந்தால், θ = -α]

கேள்வி 25.
ω = cis \(\frac{2 \pi}{3}\) எனில் \(\left|\begin{array}{rrr}
z+1 & \omega & \omega^{2} \\
\omega & z+\omega^{2} & 1 \\
\omega^{2} & 1 & z+\omega
\end{array}\right|\) = 0 என்ற சமன்பாட்டின் வெவ்வேறான மூலங்களின் எண்ணிக்கை
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
விடை:
(1) 1
குறிப்பு :
\(\left|\begin{array}{rrr}
z+1 & \omega & \omega^{2} \\
\omega & z+\omega^{2} & 1 \\
\omega^{2} & 1 & z+\omega
\end{array}\right|\) = 0
C → C₁ +C₂ + C₃ செயல்படுத்த கிடைப்பது

⇒ z + (1 + ω + ω²) ஒரு மூலம்