Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.8

கேள்வி 1.
இரண்டு மிகை எண்களின் கூட்டுத் தொகை 12, மேலும் அதன் பெருக்குத் தொகை பெருமம் எனில் அந்த எண்களைக் காண்க.
தீர்வு:
x மற்றும் y இரண்டு மிகை எண்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட x + y = 12
⇒ y = 12 – x ……………. (1)
f (x) = xy என்க
= x (12 – x) = 12x – x²
f'(x) = 12 – 2x
f'(x) = 0
⇒ 12 – 2x = 0
⇒ 12 = 2x
⇒ x = 6
∴ நிலை எண் 6.
f”(x) = -2x
f”(6) = -2(6) = -12 < 0
∴ f(x)-ல் x = 6-ன் பெருமம்
⇒ x = 6 எனில் அதன் பெருக்குத் தொகையின் பெருமம் ஆகும்.
x = 6 எனில் y = 12 – 6 = 6 [(1) லிருந்து]
எனவே தேவையான எண்கள் 6, 6 ஆகும்.

கேள்வி 2.
இரண்டு மிகை எண்களின் பெருக்குத்தொகை 20, மேலும் அதன் கூடுதல் சிறுமம் எனில் அந்த எண்களைக் காண்க.
தீர்வு:
அந்த இரண்டு மிகை எண்கள் x மற்றும் y என்க.
கொடுக்கப்பட்ட x y = 20
⇒ y = \(\frac{20}{x}\)
f (x) = x + y என்க
f(x) = x + \(\frac{20}{x}\)
f'(x) = \(1-\frac{20}{x^{2}}\)
f'(x) = 0
⇒ \(1-\frac{20}{x^{2}}\) = 0
⇒ 1 = \(\frac{20}{x^{2}}\)
⇒ x² = 20
⇒ x = ±\(\sqrt{20}\)
⇒ x = ±2\(\sqrt{5}\)
∴ நிலை எண்கள் 2\(\sqrt{5}\) , -2\(\sqrt{5}\) .
f”(x) = \(\frac{40}{x^{2}}\)
x = 2\(\sqrt{5}\) எனில்,
f”(x) = \(\frac{40}{(2 \sqrt{5})^{3}}\) > 0
∴ f(x) எனில் x = 2\(\sqrt{5}\) -ன் சிறுமம் ஆகும்
x = 2\(\sqrt{5}\), y = \(\frac{20}{2 \sqrt{5}}\) எனில்,
= \(\frac{10}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{10 \sqrt{5}}{5}=2 \sqrt{5}\)
எனவே தேவையான மிகை எண்கள் 2\(\sqrt{5}\), 2\(\sqrt{5}\).

கேள்வி 3.
x² + y² -ன் குறைந்த மதிப்பினை x + y = 10 எனக் கொண்டு காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட x + y = 10
⇒ y = 10 – x …………… (1)
f(x) = x² + y² என்க
= x² + (10 – x)²
= x² + 100 + x² – 20x
f(x) = 2x² – 20x + 100
f'(x) = 4x – 20
f'(x) = 0
4x- 20 = 0
4x = 20
⇒ x = 5
∴ நிலை எண் 5 ஆகும்.
f”(x) = 4
∴ f”(5) = 4 > 0
∴ f(x) எனில் x = 5 சிறுமம் ஆகும்.
x = 5, y = 10 – 5 = 5 எனில் [(1) லிருந்து]
∴ x² + y² -ன் குறைந்த மதிப்பு
= 5² + 5² = 25 + 25 = 50

கேள்வி 4.
ஒருதோட்டம் செவ்வகவடிவில் அமைக்கப்பட்டு கம்பி வேலி மூலம் பாதுகாக்கப்பட வேண்டும். 40 மீட்டர் வேலிக் கம்பி மூலம் பாதுகாக்கப்படும் தோட்டத்தின் பெரும பரப்பினைக் காண்க.
தீர்வு:
X என்பது தோட்டத்தின் நீளம் மற்றும் y என்பது அகலம் ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட 2 (x + y) = 40

[∵ கம்பியின் நீளம் = 40 சுற்றளவு = 40 மீ]
⇒ x + y = 20
⇒ y = 20 – x …………… (1)
f(x) = xy என்க
= x(20 – x) = 20x – x²
f'(x) = 20 – 2x
f'(x) = 0
⇒ 20 – 2x = 0
⇒ 20 = 2x
x = 10
∴ நிலை எண் 10 ஆகும்
f”(x) = -2
இங்கு f”(10) = -2 < 0
∴ f (x) -ல் x = 10 -ன் சிறுமம்
x = 10 எனில்,
y = 20 – 10 = 10
∴ பரப்பு = f (x) =xy
= 10(10) = 100மீ.²
∴ தோட்டத்தின் பெரும பரப்பு = 100 மீ’²

கேள்வி 5.
ஒரு செவ்வக வடிவிலான பக்கத்தில் 24 செ.மீ அளவிற்கு அச்சிடப்பட்டுள்ளது. மேற்புற மற்றும் கீழ்ப்புற ஓரங்கள் 1.5 செ.மீ அளவிலும் மற்ற பக்கங்களின் ஓரங்கள் 1 செ.மீ அளவிலும் இடைவெளி விடப்பட்டுள்ளது. காகித பக்கத்தின் குறைந்த பரப்பளவிற்கு அதன் நீள, அகலங்கள் என்னவாக இருக்க வேண்டும்?.
தீர்வு:
X மற்றும் y அச்சிடப்பட்ட பக்கத்தின் நீளம் மற்றும் அகலம் என்க.

கொடுக்கப்பட்ட xy = 24
⇒ y = \(\frac{24}{x}\) …………. (1)
ஓரங்களுடன் சேர்த்து பக்கத்தின் நீளம்
= x + 1 + 1 = x + 2
ஒரங்களுடன் சேர்த்து பக்கத்தின் அகலம்
= y + 1.5 + 1.5 = y + 3
பக்கத்தின் பரப்பு = (x + 2) (y+ 3)
f (x) = (x + 2) (y + 3) என்க
= (x + 2) \(\left(\frac{24}{x}+3\right)\)
= 24 + 3.x + \(\frac{48}{x}\) +6
= 3x + \(\frac{48}{x}\) + 30
f'(x) = 3 – \(\frac{48}{x^{2}}\)
f'(x) = 0
⇒ 3 – \(\frac{48}{x^{2}}\) = 0 ⇒ 3 = \(\frac{48}{x^{2}}\)
⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4
∴ நிலை எண்கள் 4, 4 ஆகும்
f”(x) = \(-48\left(\frac{-2}{x^{3}}\right)=\frac{96}{x^{3}}\)
f”(4) = \(\frac{96}{64}\) > 0
∴ f(x)-ல் x = 4-ன் சிறுமம் ஆகும்
x = 4 எனில், y = \(\frac{24}{4}\) = 6 [(1) லிருந்து] ,
∴ பக்கத்தின் நீளம் = x + 2 = 4 + 2 = 6 செ.மீ
பக்கத்தின் அகலம் = y + 3 = 6 + 3 = 9 செ.மீ

கேள்வி 6.
ஒரு விவசாயி ஒரு நதியை ஒட்டிய செவ்வக மேய்ச்சல் நிலத்திற்கு வேலி அமைக்க திட்டமிட்டுள்ளார். மந்தைகளுக்கு போதுமான புல் வழங்க மேய்ச்ச ல் நிலம் 1,80,000 சதுர மீட்டர் பரப்பளவு இருக்க வேண்டும். ஆற்றின் குறுக்கே வேலி அமைக்கத் தேவையில்லை. தேவையான குறைந்தபட்ச வேலிக் கம்பியின் நீளம் என்ன?
தீர்வு:
மேய்ச்சல் நிலத்தின் நீளம் x மற்றும் அகலம் y
என்க. கொடுக்கப்பட்ட xy = 1,80,000
⇒ y = \(\frac{1,80,000}{x}\) ………….. (1)
ஆற்றின் குறுக்கே வேலி அமைக்கத் தேவையில்லை
சுற்றளவு = 2x + y
f(x) = 2x + y என்க
= 2x + \(\frac{1,80,000}{x}\) [(1)-ஐ பயன்படுத்தி]
f'(x) = 2 – \(\frac{1,80,000}{x^{2}}\)
f'(x) = 0

⇒ 2 = \(\frac{1,80,000}{x^{2}}\)
⇒ x² = 90,000
⇒ x = ± 300
∴ நிலை எண்கள் 300,-300 ஆகும்
f”(x) = \(-1,80,000\left(\frac{-2}{x^{3}}\right)=\frac{360000}{x^{3}}\)
f”(300) = \(\frac{360000}{(300)^{3}}\) > 0
∴ x = 300 எனில் f (x) ன் சிறுமம் ஆகும்.
(1) லிருந்து x = 300 எனில், y = \(\frac{1,80,000}{x}\) = 600
∴ தேவையான குறைந்தபட்ச வேலிக் கம்பியின் நீளம் = 2x + y
= 2(300) + 600 = 600 + 600 = 1200மீ

கேள்வி 7.
10 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டத்தினுள் அமைக்கப்படும் செவ்வகங்களுள் மீப்பெரு பரப்புடைய செவ்வகத்தின் பரிமாணங்களைக் காண்க.
தீர்வு:
வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளி என்பது

x = r cos θ,
y = r sin θ
⇒ x = 10 cos θ,
y = 10 sin θ
∴ செவ்வகத்தின் நீளம் = 2x மற்றும் செவ்வகத்தின் அகலம் = 2y என்க.
∴ 2x = 20 cos θ, 2y = 20 sin θ
∴ பரப்பு = f (θ) = 2x (2y)
= 400 cos θ sine θ
f(θ) = 200 sin 2θ
f'(θ) = 200 (2) cos 2θ = 400 cos 2θ
f'(θ) = 0
⇒ 400 cos 2θ = 0
⇒ cos 2θ = 0 = cos \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ 2θ = \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)
∴ நிலை எண் θ = \(\frac{\pi}{4}\)
f”(θ) = 400 (2) (-sin 2θ)
= – 800 sin 2θ
f”(7) = -800 sin 2 × \(\frac{\pi}{4}\)
= – 800 sin \(\frac{\pi}{2}\) = – 800 < 0
= \(\frac{\pi}{4}\) -இல் () -ன் பெருமம் ஆகும். செவ்வகத்தின் நீளம் = 2x
θ = 20 cos 0 = 20 cos
∴ செவ்வகத்தின் அகலம் = 2x
= 20 cos θ = 20 cos \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{20}{\sqrt{2}}\)
∴ செவ்வகத்தின் அகலம் = 2y
= 20 sin θ = 20 sin \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{20}{\sqrt{2}}\)

கேள்வி 8.
கொடுக்கப்பட்ட சுற்றளவுள்ள செவ்வகங்களுள், சதுரம் மட்டுமே பெரும் பரப்பைக் கொண்டிருக்கும் என நிறுவுக.
தீர்வு:
செவ்வகத்தின் நீளம் X மற்றும் அகலம் y என்க.
∴ சுற்றளவு P = 2x + 2y
⇒ 2y = P – 2x ⇒ y = \(\frac{\mathrm{P}-2 x}{2}\)
f(x) = பரப்பு
= xy = \(\left(\frac{\mathrm{P}-2 x}{2}\right)\) என்க
f(x) = \(\frac{\mathrm{P} x-2 x^{2}}{2}\)
f'(x) = \(\frac{1}{2}\) [P – 4x]
f'(x) = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\) [P – 4x] = 0
⇒ P = 4x
⇒ x = \(\frac{\mathrm{P}}{4}\)
∴ நிலை எண் \(\frac{\mathrm{P}}{4}\)
f”(x) = \(\frac{1}{2}\) [-4] = -2
இங்கு f”(\(\frac{\mathrm{P}}{4}\)) = -2 < 0
∴ x = \(\frac{\mathrm{P}}{4}\) எனில் f (x) -ன் பெருமம் ஆகும்
x = \(\frac{\mathrm{P}}{4}\) எனில்
⇒ \(\frac{P-2\left(\frac{P}{4}\right)}{2}=\frac{P-\frac{P}{2}}{2}=\frac{P}{4}\)
∴ x = y = \(\frac{\mathrm{P}}{4}\)
∴ கொடுக்கப்பட்ட சுற்றளவுள்ள செவ்வகங்களுள், ! சதுரம் மட்டுமே பெரும பரப்பைக் கொண்டிருக்கும்.

கேள்வி 9.
r செ.மீ ஆரமுள்ள அறை வட்டத்தினுள் அமைக்கப்படும் செவ்வகங்களுள் மீப்பெரு செவ்வகத்தின் பரிமாணங்களைக் காண்க?
தீர்வு:
அறை வட்டத்தின் மையம் (0,0) மற்றும் ஆரம் r என்க . .

x = r cos θ,
y = r sin θ
∴ செவ்வகத்தின் நீளம் = 2x = 2r cos θ
செவ்வகத்தின் அகலம் = y = r sin θ
∴ பரப்பு = 2xy = 2r² cos θ sin θ
= r² sin 2θ
f'(θ) என்க = r² 2 cos 2θ
f'(θ) = 0
⇒ 2 r² cos 2θ = 0
⇒ cos 2θ = 0 = cos \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ 2θ = \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)
f”(θ) = 2r² (2) (-sin 2θ)
= 4r² sin 2θ
∴ \(f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = 4r² sin 2\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
= -4r² sin \(\frac{\pi}{4}\) = – 4r² < 0
∴ θ = \(\frac{\pi}{4}\) எனில் f(θ) -ன் சிறுமம் ஆகும்.
∴ செவ்வகத்தின் நீளம் (x) = 2r cos \(\frac{\pi}{4}\)
= \(2 r \times \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} r\)
∴ செவ்வகத்தின் அகலம் = y = r sin θ
= \(r \sin \frac{\pi}{4}=\frac{r}{\sqrt{2}}\)

கேள்வி 10.
ஒரு உற்பத்தியாளர் ஒரு சதுர அடித்தளத்தையும் . 108 சதுர செ.மீ வெளிப்புறப்பரப்பையும் கொண்ட திறந்த பெட்டியை வடிவமைக்க விரும்புகிறார். அதிகபட்ச கன அளவிற்கான பெட்டியின் பரிமாணங்களைக் காண்க. –
தீர்வு:
திறந்த பெட்டி சதுர பரப்பை கொண்டிருப்பதால் பெட்டியின் அகலம், நீளம் மற்றும் உயரம் முறையே l, l மற்றும் b என்க.
∴ மேற்பரப்பு = l² + 41b = 108
l(l + 4b) = 108

f(l) = பெட்டியின் கன அளவு என்க
= l × l × b = l² b

∴ நிலை எண் 6
f”(l) = \(-\frac{6 l}{4}=-\frac{3 l}{2}\)
∴ f”(6) = \(-\frac{3(6)}{2}\) < 0
∴ l = 6 எனில் f”(l) -ன் பெருமம் ஆகும்.
l = 6 எனில் b = \(\frac{27}{6}-\frac{6}{4}\)
= \(\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=\frac{6}{2}\) = 3 செ.மீ
எனவே தேவையான பெட்டியின் அளவுகள் முறையே 6 செ.மீ, 6 செ.மீ மற்றும் 3 செ.மீ.

கேள்வி 11.
ஒரு உருளையின் கன அளவு V = πr² h மேலும் r + h = 6 எனில் கன அளவின் மீப்பெரு மற்றும் மீச்சிறு மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட r + h = 6
⇒ h = 6 – r …………. (1)
f(r) என்க = V = πr² h
= πr² (6 – r) = π (6r² – 1³)
f'(r) = π (12r – 3r²)
∴ f'(r) = 0
⇒ π (12r – 3r²) = 0
⇒ 12r – 3r² = 0
⇒ 3r (4 – r) = 0
⇒ r = 0 (அ) r = 4
∴ நிலை எண்கள் 0, 4
f”(r) = π (12 – 6r)
r = 4 எனில், f”(r) = π (12 – 24) < 0
∴ r = 4 எனில் f (r)-ன் பெருமம் ஆகும்
r = 4 எனில், h = 6 – 4 = 2
r = 0 எனில்,h = 6 – 0 = 6
∴ உருளையின் கன அளவு V = πr² h = π (4)² (2)
= 32 π கன அலகுகள்
அல்லது உருளையின் கன அளவு V = π (0²) (6) = 0 கன அலகுகள்

கேள்வி 12.
ஆரம் a செ.மீ. மற்றும் உயரம் 5 செ.மீ கொண்ட ஒரு வெற்றுக் கூம்பு ஒரு மேசையின் மீது வைக்கப்படுகிறது. இதன் அடியில் மறைத்து வைக்கக் கூடிய மிகப்பெரிய உருளையின் கன அளவு கூம்பின் கன அளவைப் போல் \(\frac{4}{9}\) மடங்கு என்பதைக் காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட AC = b மற்றும் CD = a
உயரம் h மற்றும் ஆரம் r என்க
∴ AB = AC – BC = b – h
படத்தில்,

∆ABE ~ ∆ACD
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CD}}\)
⇒ \(\frac{b-h}{r}=\frac{b}{a}\)
⇒ r = \(\frac{a(b-h)}{b}\) …………. (1)
உருளையின் கன அளவு = πr² h

‘h’ ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது

∴ h = \(\frac{b}{3}\) -ல் V-ன் பெருமம் ஆகும்.
∴ உருளையின் பெரும கன அளவு

= \(\frac{4}{9}\) (கூம்பின் கன அளவு)
எனவே மறைத்து வைக்கக் கூடிய மிகப்பெரிய உருளையின் கன அளவு கூம்பின் கன அளவைப் போல் \(\frac{4}{9}\) மடங்காகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.2

கேள்வி 1.
அனைத்து x -ன் மதிப்புகளையும் காண்க.
(i) -6π ≤ x ≤ 6π மற்றும் cos x = 0
(ii) – 5π ≤ x ≤ 5π மற்றும் cos x = -1.
தீர்வு:
(i) cosx = 0 = x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\), n ∈ ℤ
– π ≤ x ≤ 6π
∴n ஆனது – 5 லிருந்து 5 வரை மதிப்புகளை எடுத்துக் கொள்ளும்.
x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\), n = 0, ±1, ±2, … ±5

(ii) – 5π ≤ x ≤ 5π மற்றும் cos x = -1.
cos x = -1
cos x = cos π
x = 2nπ + π, n ∈ ℤ [∵ cos θ = cos α
⇒ (2n + 1)π, n ∈ ℤ ⇒ θ = 2πr + α, n ∈ ℤ]
⇒ ஆனால் -5π ≤ x ≤ 5π
n = 0, ±1, ±2, மற்றும் -3 என பிரதியிட கிடைப்பது
⇒ x = -5π, -3π, -π, π, 3π, 5π
⇒ x = (2n + 1)π, n = 0, ±1, ±2, மற்றும் -3.

கேள்வி 2.

தீர்வு:
cos^-1\(\left[\cos \left(\frac{-\pi}{6}\right)\right] \neq \frac{-\pi}{6}\)
\(\frac{-\pi}{6}\) ≠ [0, π] இது கொசைன் சார்பின் முதன்மை சார்பகம்.

கேள்வி 3.
cos^-1(-x) = π – cos^-1(x) என்பது மெய்யாகுமா? விடைக்கு தக்க காரணம் கூறுக.
தீர்வு:
cos^-1(-x) = θ என்க … (1)
⇒ -x = cos θ
⇒ x = -cos θ = cos (π – θ)
⇒ π – θ = cos^-1(x)
⇒ θ = π – cos^-1x …. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து cos^-1(-x) = π – cos^-1(x)
∴ cos^-1(-x) = π – cos^-1(x) சரி

கேள்வி 4.

தீர்வு:

கேள்வி 5.

தீர்வு :
(i) 2cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + sin^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\)

[∵ முதன்மை சார்பகம் சைன்க்கு \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) மற்றும் கொசைனுக்கு முதன்மை சார்பகம் [0, π]]
sin y = \(\frac{1}{2}\)
sin y = sin \(\frac{\pi}{6}\) [∵\(\frac{\pi}{6}\) ∈-\(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{6}\)]
⇒ x = \(\frac{\pi}{3}\) மற்றும் y = \(\frac{\pi}{6}\)
∴ 2 cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + sin^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
= 2\(\left(\frac{\pi}{3}\right)\) + \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{2 \pi}{3}\) + \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{4 \pi+\pi}{6}\) = \(\frac{5 \pi}{6}\)

(ii) cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + sin^-1

(iii)

கேள்வி 6.
சார்பகம் காண்க .
(i) f(x) = sin^-1\(\left(\frac{|x|-2}{3}\right)\) + cos^-1\(\left(\frac{1-|x|}{4}\right)\)
(ii) g(x) = sin^-1x + cos^-1x
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட

sin^-1 x இன் வரையறையிலிருந்து
-1 ≤ \(\frac{|x|-2}{3}\) ≤ 1
⇒ -3 ≤ |x| – 2 ≤ 3
⇒ -3 + 2 ≤ |x| ≤ 3 + 2
⇒ -1 ≤ |x| ≤ 5
என்பதை சுருக்கி 0 ≤ |x| ≤ 5
⇒ 0 ≤ |x| மற்றும் |x| ≤ 5
⇒ |x| ≥ 0 மற்றும் -5 ≤ x ≤ 5 … (1)
cos^-1x என் வரையறைப்படி \(-1 \leq \frac{1-|x|}{4} \leq 1\)
⇒ -4 ≤ 1 – |x| ≤ 4 ⇒ -4 – 1 ≤ -|x| ≤ 4 – 1
⇒ -5 ≤ -|x| ≤ 3 ⇒ -3 ≤ |x| ≤ 5
என்ப தை சுருக்கி 0 ≤ |x| ≤ 5 – 5 ≤ x ≤ 5 …. (2)
(1) மற்றும் (2)லிருந்து,
சார்பகமானது [-5,5]

(ii) கொடுக்கப்பட்ட g(x) = sin^-1x + cos^-1x
sin^-1x ன் வரையறையிலிருந்து -1 ≤ x ≤ 1 …. (1)
மேலும் cos’ ன் வரையறைப்படி-1 ≤ x ≤ 1… (2)
∴ (1) மற்றும் (2) லிருந்து
g(x)ன் சார்பகம் = [-1, 1] ∪ [-1, 1] = [-1, 1] எனவே g(x) ன் சார்பகம் [-1, 1].

கேள்வி 7.
x-ன் எந்த மதிப்பிற்கு சமநிலை \(\frac{\pi}{2}\) < cos^-1(3x – 1) < π மெய்யாகும்?
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\frac{\pi}{2}\) < cos^-1(3x – 1) < π
cos \(\frac{\pi}{2}\) < 3x – 1 < cos π ⇒ 0 < 3x – 1 < -1
0 + 1 < 3x < -1 + 1 ⇒ 1 < 3x < 0
\(\frac{1}{3}\) < x < 0
0 < x < \(\frac{1}{3}\) மட்டும் இந்த அசமன்பாடு சரி.

கேள்வி 8.
மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:

(ii)

[∵கொசைன் சார்பின் காலம் 2π]

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.3

கேள்வி 1.
சார்பு g(x, y) = \(\frac{3 x^{2}-x y}{x^{2}+y^{2}+3}\) க்கு எல்லை மதிப்பு இருக்குமானால், \(\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)}\) g (x,y) -ஐ மதிப்பிடுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட

கேள்வி 2.
எல்லை மதிப்பு இருக்குமானால் \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) cos \(\left(\frac{\dot{x}^{3}+y^{3}}{x+y+2}\right)\) -ஐ மதிப்பிடுக.
தீர்வு:
\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) cos \(\left(\frac{\dot{x}^{3}+y^{3}}{x+y+2}\right)\)
= cos \(\left(\frac{0+0}{0+0+2}\right)\) = cos 0 = 1

கேள்வி 3.
(x, y) + (0, 0)- க்கு f(x, y) = \(\frac{y^{2}-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\) எனில், \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) f(x, y) = 0 என நிறுவுக.
தீர்வு:

கேள்வி 4.
எல்லை மதிப்பு இருக்குமானால்,
\(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \cos \left(\frac{e^{x} \sin y}{y}\right)\) -ஐ மதிப்பிடுக.
தீர்வு:

கேள்வி 5.
(x, y) ≠ (0,0)-க்கு g (x, y) = \(\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}\), மற்றும் g(0, 0) = 0 என்க .
(i) ஒவ்வொரு y = mx, m ∈ ℝ நேர்கோட்டுப் பாதையிலும் \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) g(x, y) = 0 என நிறுவுக.
(ii) ஒவ்வொரு y = kx², k ∈ ℝ\{0} பரவளையப் பாதையிலும் \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) g (x, y) = \(\frac{k}{1+k^{2}}\) என நிறுவுக.”
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட

இங்கு , \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) g(x, y) = \(\frac{m(0)}{0^{2}+m^{2}}=\frac{0}{m^{2}}\) = 0, m இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும்
∴ ஒவ்வொரு y = mx, m ∈ ℝ. நேர்க்கோட்டுப்
பாதையிலும் \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\) (x, y) = 0

கேள்வி 6.
சார்பு f(x, y)= \(\frac{x^{2}-y^{2}}{y^{2}+1}\), ஒவ்வொரு (x, y) ∈ ℝ² -க்கும் தொடர்ச்சியானது என நிறுவுக.
தீர்வு:
(a, b) ∈ ℝ² என்பது ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி என்க . f இன் தொடர்ச்சி தன்மையை (a, b)-இல் ஆராய்வோம்.

அதாவது f இல் (a, b) தொடர்ச்சிக்கான மூன்று நிபந்தனைகளும் நிறைவு செய்யப்படுகிறதா சோதிப்போம்.

எனவே f எல்லா மூன்று நிபந்தனைகளும் (a, b) என்ற R² இன் தன்னிச்சையான புள்ளியில் பூர்த்தி செய்வதால் ஆனது R² இன் எல்லா புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியுடையது.

கேள்வி 7.
சார்பு g(x, y) = \(\frac{e^{y} \sin x}{x}\), x ≠ 0 மற்றும் g(0, 0) = 1 என்க. புள்ளி (0,0) இல் தொடர்ச்சியானது என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட g (x, y) = \(\frac{e^{y} \sin x}{x}\) இங்கு x ≠ 0 மற்றும் g(0, 0) = 1
எல்லா (x, y) ∈ ℝ² க்கும் g சார்பு ஆனது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
g-இல் (0, 0) க்கான ட எல்லை மற்றும் L = g(0, 0) = 1 என சோதிக்க.

(0,0 ) வில் தொடர்ச்சியுடையது என நிரூபிக்கிறது.
∴ புள்ளி (0, 0) g(x, y) தொடர்ச்சியுடையது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.6

கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

கேள்வி 1.
sin^-1 (cos x), 0 ≤ x ≤ π -ன் மதிப்பு
(1) π – x
(2) x – \(\frac{\pi}{2}\)
(3) \(\frac{\pi}{2}\) – x
(4) x – π
விடை:
(3) \(\frac{\pi}{2}\) – x

கேள்வி 2.
sin^-1x + sin^-1y = \(\frac{2 \pi}{3}\); எனில் cos^-1 x + cos^-1 y என்பதன் மதிப்பு
(1) \(\frac{2 \pi}{3}\)
(2) \(\frac{\pi}{3}\)
(3) \(\frac{\pi}{6}\)
(4) π
விடை:
(2) \(\frac{\pi}{3}\)
குறிப்பு:
நமக்கு தெரியும்,
sin^-1x + cos^-1x = \(\frac{\pi}{2}\); அல்லது
cos^-1x = \(\frac{\pi}{2}\) – sin^-1x
∴ cos^-1 x + cos^-1 y = \(\frac{\pi}{2}\) – sin^-1x + \(\frac{\pi}{2}\) – sin^-1y

கேள்வி 3.
sin^-1 \(\frac{3}{5}\) – cos^-1 \(\frac{12}{13}\) + sec^-1 \(\frac{5}{3}\) – cosec^-1 \(\frac{13}{12}\) என்பதன் மதிப்பு
(1) 2π
(2) π
(3) 0
(4) tan^-1\(\frac{12}{65}\)
விடை:
(3) 0

கேள்வி 4.
sin^-1 x = 2 sin^-1 α -க்கு ஒரு தீர்வு இருந்தால், பின்னர்
(1) |α| ≤ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(2) |α| ≥ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(3) |α| < \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (4) |α| > \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
விடை:
(1) |α| ≤ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
குறிப்பு:
sin^-1x = 2sin^-1α

கேள்வி 5.
பின்வருவனவற்றில் எம்மதிப்புகளுக்கு sin^-1 (cos x) = \(\frac{\pi}{2}\) – x க்கு மெய்யாகும்
(1) -π ≤ x ≤ 0
(2) 0 ≤ x ≤ π
(3) –\(\frac{\pi}{2}\) ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
(4) –\(\frac{\pi}{4}\) ≤ x ≤ \(\frac{3 \pi}{4}\)
விடை:
(2) 0 ≤ x ≤ π

கேள்வி 6.
sin^-1 x + sin^-1 y + sin^-1 z = \(\frac{3 \pi}{2}\) எனில் x²⁰¹⁷ + y²⁰¹⁸ + z²⁰¹⁹ – \(\frac{9}{x^{101}+y^{101}+z^{101}}\) – ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(1) 0

கேள்வி 7.
சில x ∈ R-க்கு cot^-1x = \(\frac{2 \pi}{5}\) எனில் tan^-1x-ன் மதிப்பு
(1) – \(\frac{\pi}{10}\)
(2) \(\frac{\pi}{5}\)
(3) \(\frac{\pi}{10}\)
(4) –\(\frac{\pi}{5}\)
விடை:
(3) \(\frac{\pi}{10}\)

கேள்வி 8.
f (x) = sin^-1\(\sqrt{x-1}\) என வரையறுக்கப்படும் சார்பின் சார்பகம்
(1) [1, 2]
(2) [-1, 1]
(3) [0, 1]
(4) [-1, 0]
விடை:
(1) [1, 2]
குறிப்பு:
-1 ≤ x – 1 ≤ 1 மற்றும் x – 1 ≥ 0
⇒ 0 ≤ x – 1 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ x ≤ 2

கேள்வி 9.
x = \(\frac{1}{5}\) எனில் , cos(cos^-1 x + 2sin^-1 x)-ன் மதிப்பு
(1) –\(\sqrt{\frac{24}{25}}\)
(2) \(\sqrt{\frac{24}{25}}\)
(3) \(\frac{1}{5}\)
(4) –\(\frac{1}{5}\)
விடை:
(4) –\(\frac{1}{5}\)
குறிப்பு:
cos (cos^-1x + sin^-1x + sin^-1x)
⇒ cos (\(\frac{\pi}{2}\) + sin^-1x) = – sin (sin^-1x) = -x = –\(\frac{1}{5}\)
[∵ cos^-1x + sin^-1x = \(\frac{\pi}{2}\)]

கேள்வி 10.
tan^-1 \(\left(\frac{1}{4}\right)\) + tan^-1 \(\left(\frac{2}{9}\right)\) என்பதின் சமம்
(1) \(\frac{1}{2}\)cos^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\)
(2) \(\frac{1}{2}\)sin^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\)
(3) \(\frac{1}{2}\)tan^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\)
(4) \(\frac{1}{2}\)tan^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
விடை:
(4) \(\frac{1}{2}\)tan^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
குறிப்பு:

கேள்வி 11.
சார்பு f(x) = sin^-1 x (x² – 3) x இருக்கும் இடைவெளி
(1) [–1, 1]
(2) [\(\sqrt{2}\), 2]
(3) [-2, –\(\sqrt{2}\)] ∪ [ \(\sqrt{2}\), 2]
(4) [-2, –\(\sqrt{2}\)]
விடை:
(3) [-2, –\(\sqrt{2}\)] ∪ [ \(\sqrt{2}\), 2]
குறிப்பு:
-1 ≤ x² – 3 ≤ 1
⇒ 2 ≤ x² ≤ 4
∴ 2 ≤ x² மற்றும் x² ≤ 4

கேள்வி 12.
cot^-1 2 மற்றும் cot^-1 3 ஆகியன ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்கள் எனில், மூன்றாவது கோணமானது
(1) \(\frac{\pi}{4}\)
(2) \(\frac{3 \pi}{4}\)
(3) \(\frac{\pi}{6}\)
(4) \(\frac{\pi}{3}\)
விடை:
(2) \(\frac{3 \pi}{4}\)

கேள்வி 13.

(1) x² – x – 6 = 0
(2) x² – x – 12 = 0
(3) x² + x – 12 = 0
(4) x² + x – 6 = 0
விடை:
(2) x² – x – 12 = 0

கேள்வி 14.
sin^-1 (2 cos²x – 1) + cos^-1 (1 – 2sin² x) =
(1) \(\frac{\pi}{2}\)
(2) \(\frac{\pi}{3}\)
(3) \(\frac{\pi}{4}\)
(4) \(\frac{\pi}{6}\)
விடை:
(1) \(\frac{\pi}{2}\)

கேள்வி 15.
cot^-1 \((\sqrt{\sin \alpha})\) + tan^-1 \((\sqrt{\sin \alpha})\) = u எனில்,
cos 2u பன் மதிப்பு
(1) tan²α
(2) 0
(3) -1
(4) tan 2α
விடை:
(3) -1

கேள்வி 16.
|x| ≤ 1, எனில், 2tan^-1 x – sin^-1 \(\frac{2 x}{1+x^{2}}\) என்பதற்கு சமம்
(1) tan^-1x
(2) sin^-1x
(3) 0
(4) π
விடை:
(3) 0

கேள்வி 17.
tan^-1x – cot^-1x = tan^-1\(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) என்ற
சமன்பாட்டிற்கு
(1) தீர்வு இல்லை
(2) ஒரேயொரு தீர்வு
(3) இரு தீர்வுகள்
(4) எண்ண ற்றத் தீர்வுகள்
விடை:
(2) ஒரேயொரு தீர்வு .

கேள்வி 18.
sin^-1x+ cos^-1 \(\) = \(\) எனில் x-ன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{2}\)
(2) \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
(3) \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
(4) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
விடை:
(2) \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)

கேள்வி 19.
sin^-1 \(\frac{x}{5}\) + cos^-1 \(\frac{5}{4}\) = \(\frac{\pi}{2}\) எனில், x-ன் மதிப்பு
(1) 4
(2) 5
(3) 2
(4) 3
விடை:
(4) 3

கேள்வி 20.
|x| < 1 எனில், sin(tan-1 x) -ன் மதிப்பு

விடை:
(4) \(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.4

கேள்வி 1.
தீர்க்க:
(i) (x – 5)(x – 7)(x + 6)(x + 4) = 504
தீர்வு:
உறுப்புகளை பின்வருமாறு மறுவரிசைப்படுத்த
(x – 5) (x + 4) (x – 7) (x + 6) = 504
⇒(x² – x – 20) (x² – x – 42) = 504

பிரதியிடு x² – x = y
⇒ (y – 20) (y – 42) = 504
⇒ y² – 62y + 840 – 504 = 0
⇒ y² – 62y + 336 = 0
⇒ (y – 56) (y – 6) = 0
⇒ y = 56, 6
நிலை (i) y = 56 எனில், x² – x = 56

⇒ x² – x – 56 = 0
⇒ (x – 8) (x + 7) = 0
⇒ x = 8, -7
நிலை (ii)
y = 6 எனில்,
x² – x = 6

⇒ (x – 3) (x + 2) = 0
⇒ x = 3, – 2
எனவே மூலங்கள் -2, 3, 8, -7.

(ii) (x – 4)(x – 7)(x – 2)(x + 1) = 16
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட (x – 4) (x – 7) (x – 2) (x + 1) = 16
உறுப்புகளை பின்வருமாறு மறு வரிசைப்படுத்த
(x – 4) (x – 2) (x – 7) (x + 1) = 16
⇒ (x² – 6x + 8) (x² – 6x – 7) = 16
பிரதியிடு x² – 6x = y
⇒ (y + 8) (y – 7) = 16
⇒ y² + y – 56 – 16 = 0
⇒ y² + y – 72 = 0

⇒ (y + 9) (y – 8) = 0
⇒ y = -9, 8
நிலை (i)
y = -9 எனில்,
x² – 6x = -9
⇒ x² – 6x + 9 = 0
⇒ (x – 3)² = 0
⇒ x = 3, 3
நிலை (ii)
y = 8 எனில்,

⇒ x² – 6x = 8
⇒ x² – 6x – 8 = 0

∴ மூலங்கள் 3.3.3 + \(\sqrt{17}\) மற்றும் 3 – \(\sqrt{17}\)

கேள்வி 2.
தீர்க்க : (2.3 – 1)(x + 3)(x – 2)(2x + 3) + 20 = 0
நீர்வு:
உறுப்புகளை பின்வருமாறு மறு வரிசைப்படுத்த
(2x – 1) (2x + 3) (x + 3) (x – 2) + 20 = 0
⇒ (4x² + 6² – 2x – 3) (x² – 2x + 3x – 6) + 20 =0
⇒ (4x² + 4x – 3) (x² + x – 6) + 20 = 0
பிரதியிட x² + x = y
⇒ (4y – 3) (y – 6) + 20 = 0
⇒ 4y² – 24y – 3y + 18 + 20 = 0
⇒ 4y² – 27y + 38 = 0
⇒ (y – 2) (4y – 19) = 0
y = 2, \(\frac{19}{4}\)

நிலை (i)
y = 2 எனில்,
x² + x = 2
⇒ x² + x – 2 = 0
⇒ (x + 2) (x – 1) = 0
⇒ x = -2, 1

நிலை (ii)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.7

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு குழிவு இடைவெளிகள் மற்றும் வளைவு மாற்றுப் புள்ளிகளைக் காண்க:
(i) f (x) = x(x – 4)³
(ii) f(x) = sin x + cos x, 0 < x < 2π
(iii) f (x) = \(\frac{1}{2}\) (e^x – e^-x)
தீர்வு:
(i) f (x) = x(x – 4)³
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x (x – 4)³
f'(x) = x .3(x – 4)² + (x – 4)³ (1)
= 3x (x – 4)² + (x – 4)³
= (x – 4)² (3x + x – 4)
= (x – 4)² (4x – 4)
= 4 (x – 1) (x – 4)²
f”(x) = 4 [(x – 1)² (x – 4) + (x – 4)² (1)]
= 4 [2(x – 4)(x – 1) + (x – 4)²]
= 4(x – 4) [2x – 2 + x – 4)]
= 4(x – 4) (3x – 6)
= 12 (x – 4) (x – 2)
f”(x) = 0
⇒ 12 (x – 4) (x – 2) = 0
⇒ x = 2, 4
(-∞, 2) (2, 4) மற்றும் (4, ∞) தேவையான இடைவெளிகள் ஆகும்.

∴ (-∞, 2) (4, ∞) ல் வளைவரை மேல்நோக்கி குழிவுடையது மற்றும் (2, 4) கீழ் நோக்கி குழிவுடையது. f”(x) -ன் குறி x = 2 மற்றும் x = 4 ஐ கடக்கும் போது!
மாறுவதால் வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் (2, f (2)) மற்றும் (4, f (4)) வளைவு மாற்றப் புள்ளிகளாகும்.
f(2) = 2(2 – 4)³
= 2 (-2)³ = 2 (-8) = -16
f(4) = 4 (4 – 4)³ = 0
∴ வளைவு மாற்றப்புள்ளிகள் (2,- 16) மற்றும் (4, 0) ஆகும்.

(ii) f (x) = sin x + cos x, 0 < x < 2π
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = sin x + cos x, 0 < x < 2π
f'(x) = cos x – sin x
f”(x) = sin x – cos x
∴ f”(x) = 0
⇒ – sin x – cos x = 0
⇒ – sin x = cos x
⇒ sin (-x) = cos x
⇒ x = \(\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\)
∴ சாத்தியமாக இடைவெளிகள் \(\left(0, \frac{3 \pi}{4}\right)\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)\) மற்றும் \(\left(\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right)\)

∴ f(x) -ல் \(\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)\) ஆனது மேல் நோக்கி குழிவடையது மற்றும் \(\left(0, \frac{3 \pi}{4}\right)\left(\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right)\) கீழ்நோக்கி குழிவுடையது. f”(x) -ன் குறியானது \(\frac{3 \pi}{4}\) -ஐ கடக்கும் போது குறையிலிருந்து மிகையாகவும் மற்றும் \(\frac{7 \pi}{4}\) -ஐ கடக்கும் போது மிகையிலிருந்து குறையாக மாறுவதால், f (x) ஆனது வளைவு மாற்றப் புள்ளிகளாக \(\left(\frac{3 \pi}{4}, f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)\) மற்றும் \(\left(\frac{7 \pi}{4}, f\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right)\) -ஐ கொண்டிருக்கும்.

∴ வளைவு மாற்றப்புள்ளிகள் \(\left(\frac{3 \pi}{4}, 0\right)\) மற்றும் \(\left(\frac{7 \pi}{4}, 0\right)\) ஆனம்

(iii) f (x) = \(\frac{1}{2}\) (e^x – e^-x)
f(x) ஆனது x ∈ (-∞, ∞)-ல்வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் f (x).
f'(x) = \(\frac{1}{2}\) (e^x – e^-x)
f”(r) = \(\frac{1}{2}\) (e^x – e^-x)
f”(x) = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\) (e^x – e^-x) = 0 ⇒ e^x – e^-x = 0
⇒ e^x = e^-x ⇒ e^x = \(\frac{1}{e^{x}}\)
⇒ e^2x = 1 ⇒ e^2x = e⁰
⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0
சாத்தியமான இடைவெளிகள் (-∞, 0) மற்றும் (0, ∞)

∴ f(x) -ல் (0, ∞) ஆனது மேல் நோக்கி குழிவு மற்றும் (-∞, 0)-ல் கீழ்நோக்கி குழிவு.
f”(x) -ன் குறியானது x = 0 வை கடக்கும் போது குறையிலிருந்து மிகையாக மாறுவதால் வளைவு மாற்றுப்புள்ளி (0, f (0)) ஆகும்.
f(0) = \(\frac{1}{2}\) (e⁰ – e⁰) = – (1 – 1) = 0
∴ வளைவு மாற்றப்புள்ளி (0, 0) ஆகும்.

கேள்வி 2.
இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனையை பயன்படுத்தி இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகளைக் காண்க.
(i) f(x) = -3x⁵ + 5x³
(ii) f(x) = x log x
(iii) f(x) = x² e^-2x
தீர்வு:
(i) f (x) = -3x⁵ + 5x³
f(x) = -3x⁵ + 5x³
f'(x) = -15x⁴ + 15x⁰
f'(x) = 0
⇒ – 15x⁴ + 15x² = 0
⇒ 15x² (1 – x²) = 0
⇒ x² = 0, 1 – x² = 0
⇒ x = 0, x = 1, x = -1
∴ தேக்கநிலை எண்கள் 0, 1,-1 ஆகும்.
f”(x) = – 60x³ + 30x
f”(0) = 0
f”(1) = – 60(1)³ + 30 (1)
= – 60 + 30 = -30
f”(-1) = – 60(-1)³ + 30 (-1)
= 60 – 30 = 30
f”(1) < 0 ஆகையால் அது இடஞ்சார்ந்த பெருமத்தை x = 1-ல் கொண்டிருக்கும்.
∴ f(1) = -3(-1)⁵ + 5(-1)³
= – 3 + 5 = 2
f”(-1) > 0 ஆகையால் இடஞ்சார்ந்த பெருமத்தை x= -1-ல் கொண்டிருக்கும்.
∴ f(-1) = -3(1)⁵ + 5(1)³
= 3 – 5 = -2
∴ 2 -ல் இடஞ்சார்ந்த பெரு மதிப்பு x = 1 மற்றும் -2-ல் இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு.x = -1 ஆகும்.

(ii) f(x) = x log x
f(x) = x log x
f'(x) = x . \(\frac{1}{x}\) + log x (1)
= 1 + log x
f'(x) = 0
⇒ 1 + log x = 0
⇒ log x = -1 |
⇒ x = e^-1 = \(\frac{1}{e}\)
∴ நிலை எண்கள் \(\frac{1}{e}\)
f”(x) = \(\frac{1}{x}\)
\(f^{\prime \prime}\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{\frac{1}{e}}\) = e > 0
f”\(\left(\frac{1}{e}\right)\) > 0 ஆதலால் x = \(\frac{1}{e}\) ‘-ல் இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் அமைந்துள்ளது.
∴ \(f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e} \log \frac{1}{e}\)
= \(\frac{1}{e} \log e^{-1}\)
= \(\frac{-1}{e} \log _{e} e=\frac{-1}{e}(1)=\frac{-1}{e}\)
∴ –\(\frac{1}{e}\) –ல் இடஞ்சார்ந்த சிறும் மதிப்பு x = \(\frac{1}{e}\) அமைந்துள்ளது.

(iii) f(x) = x² e^-2x
f(x) = x² e^-2x
f'(x) = x² (-2) e^-2x + e^-2x (2x)
f'(x) = 2xe^-2x (1 – x)
f'(x) = 0
⇒ 2x e^-2x (1 – x) = 0
⇒ x = 0, 1
∴ நிலை எண்கள் x = 0, 1 ஆகும்.
f”(x) = [x e^-2x (-1) + x (-2)e^-2x – (1 – x) + 1 e^-2x (1 – x)]
= 2e^-2x (-x – 2x + 2x² + 1 – x)
= 2e^-2x (2x² – 4x + 1)
f”(0) = 2(1) (1)= 2 > 0
f”(1) = 2e^-2 (2 – 4 + 1)
= 2e^-2 (-1)
= -2e^-2 = \(\frac{-2}{e^{2}}\) < 0 f”(0) > 0 ஆதலால் இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் x = 0 -ல் ‘ உள்ளது.
∴ f (0) = 0² e⁰ = 0
f”(1) < 0 ஆதலால் இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் x = 1-ல் அமைந்துள்ளது.
∴ f(1) = 1² e^-2(1) = e^-2 = \(\frac{1}{e^{2}}\)

கேள்வி 3.
f(x) = 4x³ + 3x² – 6x + 1 என்ற சார்பிற்கு ஓரியல்பு இடைவெளிகள், இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகள், குழிவு இடைவெளிகள் மற்றும் வளைவு மாற்றுப் புள்ளிகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x)= 4x³ + 3x² – 6x + 1
f'(x) = 12x² + 6x – 6
f”(x) = 24x + 6
f'(x) = 0

⇒ 12 x² + 6x – 6 = 0
⇒ 2x² + x – 1 = 0
⇒ (x+ 1)(2x- 1) = (0
⇒ x= -1, \(\frac{1}{2}\)
நிலை எண்கள் -1, \(\frac{1}{2}\) ஆகும். தேவையான ஒரியல்பு இடைவெளிகள் (-∞, -1) \(\left(-1, \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}, \infty\right)\) ஆகும்.

∴ f(x) -ல் (-∞, -1) \(\left(\frac{1}{2}, \infty\right)\) ஆனது திட்டமாக ஏறும் \(\left(-1, \frac{1}{2}\right)\) -ல் திட்டமாக இறங்கும்.
f”(x) = 0
⇒ 24x + 6 = 0 ⇒ 24x = -6
x = \(\frac{-6}{24}=\frac{-1}{4}\)
குழிவுத் தன்மைக்கு சாத்தியமான இடைவெளிகள் \(\left(-\infty, \frac{-1}{4}\right)\left(\frac{-1}{4}, \infty\right)\) ஆகும்.

∴ f(x)-ல் \(\left(-\infty, \frac{-1}{4}\right)\), ஆனது கீழ்நோக்கிய குழிவுடையது மற்றும் \(\left(\frac{-1}{4}, \infty\right)\) -ல் மேல் நோக்கிய குழிவுடையது.

f”(x) ஆனது x = \(\frac{-1}{4}\) வழி செல்லும் போது குறி மாற்றமடைகிறது, வளைவு மாற்றுப் புள்ளிகள் \(\left(-\frac{1}{4}, f\left(-\frac{1}{4}\right)\right)\) ஆகும்.

∴ வளைவு மாற்றப்புள்ளி \(\left(\frac{-1}{4}, \frac{21}{8}\right)\) ஆகும்.
f'(x) -ல் x = -1ஆனது மிகையிலிருந்து குறையாக மாறுவதால், அது இடஞ்சார்ந்த சிறுமத்தை x=-1-ல் கொண்டுள்ளது
∴ f(-1) = 4 (-1)³ + 3 (-1)² – 6(-1) + 1
= -4 + 3 + 6 + 1 = 6
f'(x) ஆனது குறையிலிருந்து மிகையாக x = \(\frac{1}{2}\) குறி மாற்றமடைவதால், அது இடஞ்சார்ந்த மதிப்பை x = \(\frac{1}{2}\) கொண்டிருக்கும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.7

கேள்வி 1.
பின்வரும் ஒவ்வொரு சார்பும் சமபடித்தானதா இல்லையா எனக்கண்டு சமபடித்தானது எனில் அதன் படியையும் காண்க.
(i) f(x, y) = x² y + 6x³ + 7
(ii) h (x,y) = \(\frac{6 x^{2} y^{3}-\pi y^{5}+9 x^{4} y}{2020 x^{2}+2019 y^{2}}\)
(iii) g (x, y, z) = \(\frac{\sqrt{3 x^{2}+5 y^{2}+z^{2}}}{4 x+7 y}\)
(iv) U (x, y, z) = xy + sin\(\left(\frac{y^{2}-2 x^{2}}{x y}\right)\)
தீர்வு:
f(x, y) = x² y + 6x³ + 7
கொடுக்கப்பட்ட f (x, y) = x² y + 6x³ + 7
f(λx, λy) = λ²x²λy + 6λ³x² +7
= λ³x²y + 6λ³x³ + 7
≠ λf(x, y)
∴ ஆனது சமப்படித்தான் சார்பு அல்ல

(ii) h (x,y) = \(\frac{6 x^{2} y^{3}-\pi y^{5}+9 x^{4} y}{2020 x^{2}+2019 y^{2}}\)
கொடுக்கப்பட்ட ர்

∴ h (x, y) ஆனது படி 3 உடைய சமப்படித்தான் சார்பு

(iii) g (x, y, z) = \(\frac{\sqrt{3 x^{2}+5 y^{2}+z^{2}}}{4 x+7 y}\)
கொடுக்கப்பட்ட ர

∴ g(x, y, z) ஒரு படி ) உடைய சமப்படித்தான சார்பு.

(iv) U (x, y, z) = xy + sin\(\left(\frac{y^{2}-2 x^{2}}{x y}\right)\)
கொடுக்கப்பட்ட

∴ u (x, y, z) ஒரு சமப்படித்தான சார்பல்ல.

கேள்வி 2.
f(x, y) = x³ – 2x² y + 3xy² + y³ என் சார்பு சமபடித்தானது என நிறுவுக. f-ன் படியைக் கணக்கிட்டு f-க்கு ஆய்லரின் தேற்றத்தைச் சரிபார்க்க .
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x, y) = x³ – 2x² y + 3xy² + y³ ………….. (1)
f (tx, ty)) = (tx)³ – 2(tx)² (ty) + 3 (tx) (ty)² + (ty)³
= t³x³ – 2t² x² ty + 3txt² y² + t³y³
= t³ (x³ – 2x²y + 3xy² + y³) f(tx, ty) = t³(x, y)
∴ ஆனது படி 3 உடைய சமப்படித்தான் சார்பு. சமன்பாடு ‘x’ மற்றும் ‘y’ பொறுத்து (1) ஐ பகுதி வகையிட கிடைப்பது
\(\frac{\partial f}{\partial x}\)= 3x² – 4xy + 3y²
⇒ \(x \frac{\partial f}{\partial x}\)= 3x² – 4xy + 3xy² …………… (2)
\(\frac{\partial f}{\partial x}\) = -2x² + 6xy + 3y²
⇒ \(y \frac{\partial f}{\partial y}\) = y = -2x² + 6xy² + 3y² ……….. (3)
(2) மற்றும் (3) ஐ கூட்ட கிடைப்பது,
[latexx \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}][/latex] = 3x² – 4x²y + 3xy² – 2x²y + 6xy² +3y³
= 3x² – 6x²y + 9xy² + 3y³
= 3(x³ – 2x²y – 3xy² + y³)
= 3f    [(1) ஐ பயன்படுத்தி]
∴ \(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\) = 3f = nf இங்கு f (x, y ) இன் படி 3 ஆகும்.
ஆகையால், ஆய்லரின் தேற்றம் சரிபார்க்கப்பட்டது.

கேள்வி 3.
g (x, y) = x log \(\left(\frac{y}{x}\right)\) என்ற சார்பு சமபடித்தானது என நிறுவுக. g-ன் படியைக் கணக்கிட்டு , g-க்கு ஆய்லரின் தேற்றத்தைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட g (x, y) = x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\)
g (λx, λy) = λx log\(\left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)\)
= λx log\(\left(\frac{y}{x}\right)\)
= λ’ g (x, y)
∴ g (x,y) படி 1 உடைய ஒரு சம்படித்தான சார்பு.
\(x \frac{\partial g}{\partial x}+y \frac{\partial g}{\partial y}\) = 1 g என பரிசோதிக்க
[ஆய்லரின் தேற்றம்]

எனவே தேற்றம் சரிபார்க்கப்பட்டது.

கேள்வி 4.
u(x, y) = \(\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x+y}}\) எனில், \(x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{3}{2} u\) அது என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட u (x, y) = \(\frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{x+y}}\)
u (λx, λy) = \(\frac{\lambda^{2} x^{2}+\lambda^{2} y^{2}}{\sqrt{\lambda x+\lambda y}}=\frac{\lambda^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\sqrt{\lambda}(\sqrt{x+y})}\)
= λ^{\(2-\frac{1}{2}\)} u (x, y) = λ^{\(\frac{3}{2}\)} u (x,y)
∴ u (x,y) படி , உடைய சமப்படித்தான சார்பு.
∴ ஆய்லரின் தேற்றப்படி,
\(x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=n . u \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{3}{2} u\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 5.
v(x, y) = log\(\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\right)\), எனில் \(x \frac{\partial v}{\partial x}+y \frac{\partial v}{\partial y}=1\) என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட v (x, y) = log \(\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\right)\)
log \(\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\right)\) சமப்படுத்தானது அல்ல
f(x, y) = \(\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\) என்க.
⇒ v = log f
⇒ e^v = f ………………. (1)
இங்கு , f (tx, ty) = \(\frac{t^{2} x^{2}+t^{2} y^{2}}{t x+t y}=\frac{t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{t(x+y)}\)
= t’ f (x, y)
∴ f படி 1 உடைய சமப்படித்தான சார்பாகும்.
∴ ஆய்லரின் தேற்றப்படி,
⇒ \(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\) = 1 . f
(1) லிருந்து, \(\)     [(1)-ஐ பயன்படுத்தி]
⇒ \(x \cdot e^{v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+y \cdot e^{v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}=\cdot e^{v}\)
⇒ \(x \frac{\partial v}{\partial x}+y \frac{\partial v}{\partial y}=1\)    [e^v ஆல் வகுக்கர்]

கேள்வி 6.
w(x, y, z) = log \(\left(\frac{5 x^{3} y^{4}+7 y^{2} x z^{4}-75 y^{3} z^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right)\) எனில் \(x \frac{\partial w}{\partial x}+y \frac{\partial w}{\partial y}+z \frac{\partial w}{\partial z}\) -ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட

∴ f(x, y, z) ஒரு படி 5 உடைய சமப்படித்தான சார்பாகும்.
∴ ஆய்லரின் தேற்றப்படி,

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.6

கேள்வி 1.
சார்பு u (x,y) = x²y + 3xy⁴, x = e^t மற்றும் y = sin t, எனில் \(\frac{d u}{d t}\) -ஐக் காண்க. மேலும் 1 = 0-ல் அதன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட u (x, y) = x²y + 3xy⁴,
x = e^t, y = sin t
\(\frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}\) ………….. (1)
x = e^t
⇒ \(\frac{d x}{d t}\) = e^t

(1) இல் பிரதியிட கிடைப்பது,
\(\frac{d u}{d t}\) = (2e^t sint + 3 sin⁴ t)e^t + (e^2t + 12e^t sin³ t) cos t
\(\frac{d u}{d t}\) = 2e^2t sin t + 3 e^t sin⁴ t + e^2t cos t + 12e^t sin³ t cos t]
= e^t [2e^t sin t + 3 sin⁴ t + cos t + 12 sin³ t cos t]
\(\left(\frac{d u}{d t}\right)_{t=0}\) = e⁰ [2(1)(0) + 3(0) + 1 + 12 (0)]
= 1 [1] = 1
∴ \(\left(\frac{d u}{d t}\right)_{t=0}\) = 1

கேள்வி 2.
u(x, y, z) =xy²z³, x = sin t, y = cos t, z = 1 + e^2t, எனில் -ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட u (x, y, z) = xy² z³;
x = sin t, y = cos t; z = 1 + e^2t

\(\frac{d z}{d t}\) = 2e^2t
சங்கிலி விதிப்படி,
\(\frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}\)
= cos² t(1 + e^2t)³ (cos t) + 2 sin t cos t ( 1 + e^2t)³ (-sin t) + 3 sin t cos² t (1 + e^2t)² (2e^2t)
= (1 + e^2t)² [cos³ t(1 + e^2t) – 2 sin² t cos t (1 + e^2t) + 6 sin t cos² t e^2t]
= (1 + e^2t)² [cos³ t ( 1 + e^2t) – sin t sin 2t (1 + e^2t) + 6 sin t cos² t. e^2t]
[∵ sin 2t = 2 sin t cos t]

கேள்வி 3.
w (x, y, z) = x² + y² + z², x = e^t, y = e^t sin t; மற்றும் z = e² cos t எனில் \(\frac{d w}{d t}\) -ஐக் காண்க.
தீர்வு:
w (x, y, z) = x² + y² + z²,
x = e^t, y = e^t sin t, z = e^t cos t

சங்கிலி விதிப்படி,
\(\frac{d w}{d t}=\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}\)
∴ \(\frac{d w}{d t}\) = 2e^t(e^t) + 2e^t sin t (e^t cos t + sin t e^t) – e^t sin t + 2e^t cos t (e^t cos t – e^t sin t) .
∴ \(\frac{d w}{d t}\) = 2e^t[2 + 2 sin t cos t + 2 sin² t – 2 sin t cos t + 2cos² t]
= e^2t [2 + 2] = 4e^2t

கேள்வி 4.
U(x, y, z) = xyz, x = e^-t, y = e^-t cos t, z = sin t, T ∈ ℝ எனில் – ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட u (x,y, z) = xyz; x = e^-t; y = e^-t cos t; z = sin t

∴ சங்கிலி விதிப்படி,
\(\frac{d w}{d t}=\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}\)
∴ \(\frac{d w}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}\)
= e^-t cos t sini (-e^-t) + e^-t sin t (-e^-t) + e^-t sin t (-e^-t sin t – e^-t cos t (e^-t cos t) + (- e^-2t) cos t (cos ^-t)
= -e^-2t [(sin t cos t + sin² t + sin t cost – cos² t]
= -e^-2t [2 sin t cos t – (cos² t – sin² t)]
\(\frac{d u}{d t}\) = -e^-2t [sin 2t – cos 2t] [∵ cos 2t = cos² t – sin² t மற்றும் sin 2t = 2 sin t cos t]

கேள்வி 5.
W(x, y) = 6x³ – 3xy + 2y², x= e^t, y = cos s ∈ ℝ \(\frac{d w}{d s}\) எனில் -ஐக் காண்க மற்றும் S = 0 இல் அதன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட W (x, y) = 6x³ – 3xy + 2y²
x = e^s cos s
\(\frac{d w}{d x}\) = 18x² – 3y; \(\frac{d w}{d y}\) = -3x + 4y;
= 18(e^2s) – 3 cos (s);
\(\frac{d w}{d y}\) = -3e^s + 4 cos (s)
\(\frac{d x}{d s}\) = e^s; \(\frac{d y}{d s}\) = -sin(s)
சங்கிலி விதிப்படி,
\(\frac{d w}{d s}=\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d s}+\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d s}\)
= [18 e^2s – 3 cos (s)]e^s + (-3e^s + 4 cos (s)). (- sin (s))
∴ \(\frac{d w}{d s}\) = 18e^s – 3e^s cos (s) + 3e^3s (sin s) – 4 sin s cos s
இங்கு, \(\left(\frac{d w}{d s}\right)_{s=0}\) = 18(1) – 3 (1) (1) + 0 – 0
= 18 – 3 = 15

கேள்வி 6.
z(x, y) = x tan^-1(x, y), x = t², y = se^t, s, t ∈ ℝ \(\frac{\partial z}{\partial s}\) மற்றும் \(\frac{\partial z}{\partial t}\) ஆகியவற்றை s = t = 1 இல் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z (x, y) = x tan^-1 (xy) ;
x = t²; y = s^et

மேலும், \(\frac{d x}{d s}\) = 0; \(\frac{d y}{d s}\) = e^t
சங்கிலி விதிப்படி,

சங்கிலி விதிப்படி

கேள்வி 7.
U(x, y) = e^x sin y, என்க. இங்கு x = st², y = s²t, s t ∈ ℝ. \(\frac{\partial U}{\partial s}, \frac{\partial U}{\partial t}\) ஆகியவற்றை s = t = 1 இல் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட U(x, y) = e^x sin y,; x = st²
y = s²t

சங்கிலி விதிப்படி

கேள்வி 8.
z(x, y) = x³ – 3x²y³ என்க. இங்கு x = se^t, y = se^t, s, t ∈ ℝ. \(\frac{\partial z}{\partial s}\) மற்றும் \(\frac{\partial z}{\partial t}\) -ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z (x, y) = x³ – 3x²y³
x = se^t; y = se^-t

சங்கிலி விதிப்படி ;
∴ \(\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d s}+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d x}\)
= (3s² – e^2t – 6 s⁴ e^-2t) (e^t) + (-9s⁴) (e^-t)
= 3s² – e^3t – 6 s⁴ e^-t – 9 s⁴ e^-t
\(\frac{\partial z}{\partial s}\) = 3s² e^3t – 15 s⁴ e^-t

சங்கிலி விதிப்படி ;
\(\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{d y}{d t}\)
= (3s² e^2t – 6 s⁴ e^-2t) (se^t) + (-9s⁴) (-se^-t)
= 3s³ e^3t – 6s⁵ e^-t + 9s⁵ e^-t
= 3s³ e^3t + 3s⁵ e^-t = 3s³(e^3t + e^-t)

கேள்வி 9.
W(x, y, z) = xy + yz + zx, x = w – v, y = uv, z = u + v, u, v E∈ ℝ. எனில் \(\frac{\partial W}{\partial u}, \frac{\partial W}{\partial v}\) காண்க மற்றும் \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\) இல் அவற்றின் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட
W (x, y, z) = xy + yz + zx; x = u – y; y = uv; z = u + v
\(\frac{\partial \mathrm{W}}{\partial x}\) = y + z ; \(\frac{\partial \mathrm{W}}{\partial y}\) = x + z;
∴ \(\frac{\partial \mathrm{W}}{\partial x}\) = uv + u + v;

சங்கிலி விதிப்படி,

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.6

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளிகளில் மீப்பெரு மற்றும் மீச்சிறு அறுதி மதிப்புகளை காண்க.
(i) f(x) = x² – 12x + 10; [1, 2]
(ii) f(x) = 3x⁴ – 4x³; [-1, 2]
(iii) f (x) = 6x^{\(\frac{4}{3}\)} – 3x^{\(\frac{1}{3}\)}; [-1, 1]
(iv) f(x) = 2 cos x + sin 2x ; [0, \(\frac{\pi}{2}\)]
தீர்வு:
(i) f(x) = x² – 12x + 10; [1, 2]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x² – 12x + 10 ; [1, 2]
f'(x) = 2x – 12
f'(x) = 0
⇒ 2x – 12
⇒ 2x = 12
⇒ x = 6
∴ நிலைப்புள்ளி எண் 6. முனைப்புள்ளிகள்.x = 1, x = 2 மற்றும் x = 6 நிலை எண் f(x) ஐ மதிப்பிடும் பொழுது கிடைப்பது
f(1) = 1² – 12 (1) + 10 = -1
f(2) = 2² – 12 (2) + 10 = -10
⇒ f(6) = 6² – 12 (6) + 10
= 36 – 72 + 10 =- 26
இம்மதிப்புகளில் மீப்பெரு அறுதி மதிப்பு -1 அது x = 1 -ல் கிடைக்கிறது மற்றும் x = 6 மீச்சிறு அறுதி மதிப்பு – 26 அது -1ல் கிடைக்கிறது,

(ii) f(x) = 3x⁴ – 4x³; [-1, 2]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = 3x⁴ – 4x³; [–1, 2]
f'(x) = 12x³ – 12x²
f'(x) = 0
⇒ 12x³ – 12x² = 0
⇒ 12x² (x – 1) = 0
⇒ x = 0 அல்ல து x = 1
f (x) முனைப்புள்ளிகள் x =-1, x = 2 மற்றும் நிலை எண் ஆகியவற்றில் x = 0, x = 1 மதிப்பில் கிடைப்பது,
f(-1) = 3(-1)⁴ – 4 (-1)³
= 3 + 4 = 7
f(2) = 3(2)⁴ – 4(2³)
= 48 – 32 = 16
f(0) = 1
f(1) = 3(1)⁴ – 4(1)³
= 3 – 4 = -1
இம் மதிப்புகளில் மீப்பெரு அறுதி மதிப்பு 16 ஆனது x = 2-ல் கிடைக்கிறது மற்றும் x = 1 | மீச்சிறு அறுதி மதிப்பு அது – 1ல் கிடைக்கிறது.

(iii) f(x) = 6x^{\(\frac{4}{3}\)} – 3x^{\(\frac{1}{3}\)}; [-1, 1]

ஆதலால் நிலை எண் x = \(\frac{1}{8}\)
முனைப்புள்ளிகள் x = -1, x = 1 மற்றும் நிலை எண் x = \(\frac{1}{3}\), ஆகியவற்றில் f (x) ஐ மதிப்பிட கிடைப்பது
f(-1) = 6(-1)^{\(\frac{4}{3}\)} – 3(-1)^{\(\frac{1}{3}\)}
= 6(1) – 3 (-1) = 6 + 3 = 9

இம்மதிப்புகளில் அறுதி மீப்பெரு 9 அது x = -1 -ல் கிடைக்கிறது மற்றும் அறுதி மீச்சிறு –\(\frac{9}{8}\) அது x = \(\frac{1}{8}\) –ல் கிடைக்கிறது.

(iv) f (x) = 2 cos x + sin 2x ; [0, \(\frac{\pi}{2}\)]
f'(x) = -2 sinx + 2 cos 2x
f'(x) = 0
⇒ -2 sinx + 2 cos 2x = 0
⇒ -2 sin x + 2(1 – 2 sin²x) = 0
⇒ 4 sin² x + 2 sin x – 2 = 0
⇒ 4 sin² x + 2 sin x- 2 = 0
⇒ 2 sin² x + sin x – 1 = 0
⇒ (sin x + 1)(2 sin x – 1) = 0
⇒ sin x = -1 (அ) sin x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ sin x = – sin \(\frac{\pi}{2}\) (அ)
sin x = sin \(\frac{\pi}{6}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{2}\) (அ) x = \(\frac{\pi}{6}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{6}\) [∵ x = –\(\frac{\pi}{2}\) ∉ [0, \(\frac{\pi}{2}\)]]
∴ நிலைப்புள்ளி x = \(\frac{\pi}{6}\)
முனைப்புள்ளிகள் x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\) மற்றும் நிலை எண் x = \(\frac{\pi}{6}\) ஆகியவற்றில் f (x) மதிப்பிட கிடைப்பது
f(0) = 2 cos 0 + sin 0 = 2
\(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) = 2 cos \(\frac{\pi}{2}\) + sin π = 0
\(f\left(\frac{\pi}{6}\right)\) = 2 cos \(\frac{\pi}{6}\) + sin \(\frac{\pi}{3}\)
= \(2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)
இடமதிப்புகளில் அறுதி மீப்பெரு \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\) அது x = \(\frac{\pi}{6}\) ல் கிடைக்கிறது மற்றும் அறுதி மீச்சிறு 0 அது x = \(\frac{\pi}{2}\) ல் கிடைக்கிறது.

கேள்வி 2.
கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு ஓரியல்பு இடைவெளிகளைக் கணக்கிட்டு அதிலிருந்து இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகளைக் காண்க :
(i) f(x) = 2x³ + 3x² – 12x
(ii) f (x) = \(\frac{x}{x-5}\)
(iii) f(x) = \(\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\)
(iv) f(x) = \(\frac{x^{3}}{3}\) – log x
(v) f (x) = sin x cos x + 5, x ∈ (0, 2π)
தீர்வு:
(i) f(x) = 2x³ + 3x² – 12x
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = 2x³ + 3x² – 12x
கொடுக்கப்பட்ட சார்பானது எல்லா x ∈ (-∞, ∞) க்கும் வரையறுக்கப்பட்டு மற்றும் வகைப்படுத்ததக்கது.
f'(x) = 6x² + 6x – 12
தேக்கநிலை புள்ளிகள் கிடைப்பது 6x² + 6x – 12 = 0
⇒ x² + x – 2 = 0
⇒ (x + 2) (x – 1) = 0
⇒ x = -2, 1

∴ (-∞,- 2), (1, ∞) ஆகிய இடைவெளிகளில் f (x) ல் திட்டமாக ஏறும் மற்றும் (-2, 1) ல் திட்டமாக இறங்கும்.
f'(x) இன் குறி மிகையிலிருந்து குறையாக x = -2ல் மாறுவதால் இடஞ்சார்ந்த பெருமதிப்பு x = – 2ல் கிடைக்கிறது.
∴ f(-2) = 2 (-2)³ + 3 (-2)² – 12 (-2)
= 2(-8) + 3(4) + 24
= -16 + 12 + 24 = 20
மேலும் f ‘(x) குறையிலிருந்து மிகையாக x = 1ல் மாறுகிறது, இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு x = 1 ல் கிடைக்கிறது.
∴ f (1) = 2 (1)³ + 3 (1)² – 12(1)
= 5 – 12 = -7

(ii) f(x) = \(\frac{x}{x-5}\)
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{x}{x-5}\)
எல்லா x ∈ ℝ – {5} க்கும் f (x) வரையறுக்கப்படும் மற்றும் f (x) அதில் வகையிடத்தக்கது.
∴ f'(x) = \(\frac{(x-5)(1)-x(1)}{(x-5)^{2}}\)
= \(\frac{x-5-x}{(x-5)^{2}}=\frac{-5}{(x-5)^{2}}\)
f'(x) = 0
⇒ \(\frac{-5}{(x-5)^{2}}\) ≠ 0
தேக்கநிலை புள்ளி இல்லை. சாத்தியமான இடைவெளிகள் (-∞, 5) மற்றும் (5, ∞).

∴ (-∞, 5) மற்றும் (5, ∞) ல் f (x) ஆனது திட்டமாக இறங்கும்.
தேக்கநிலை புள்ளி இல்லை ஆதலால் வளைவரை தனது நிலையை மாற்றவில்லை. எனவே இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகள் இல்லை . !

(iii) f (x) = \(\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\)
(-∞, ∞) ல் f (x) ஆனது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் வகையிடத்தக்கது.
∴ f'(x) = \(\frac{\left(1-e^{x}\right) e^{x}-e^{x}\left(-e^{x}\right)}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}\)
= \(\frac{1-e^{2 x}+e^{2 x}}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}=\frac{1}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}\)
f'(x) = 0 ⇒ \(\frac{1}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}\) ≠ 0 ஆகையால் தேக்க நிலை புள்ளி இல்லை
எல்லா x ∈ (-∞, ∞) க்கும் f'(x) = \(\frac{1}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}\) > 0 ஆதலால் f (x) ஆனது (-∞, ∞) இல் திட்டமாக ஏறும்.
தேக்க நிலை புள்ளி இல்லாதததால், வளைவரையின் நிலையில் மாற்றமில்லை. எனவே இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகள் இல்லை .

(iv) f(x) = \(\frac{x^{3}}{3}\) – log x
x ∈ (0, ∞) ல் f (x) ஆனது வரையறுக்கப் பட்டுள்ளது மற்றும் வகையிடத்தக்கது.
∴ f'(x) = \(\frac{3 x^{2}}{3}-\frac{1}{x}=x^{2}-\frac{1}{x}\)
f'(x) = 0
⇒ \(\frac{1}{x}\) = 0 ⇒ \(\frac{x^{3}-1}{x}\) = 0
⇒ x³ – 1 = 0 ⇒ x³ = 1
⇒ x = 1
∴ தேக்கநிலை புள்ளி x = 1ஆகும்.
தேவையான இடைவெளி (0, 1) மற்றும் (1, ∞).

f'(x)ன் குறி .x = 1ஐ கடக்கும் போது குறையிலிருந்து மிகையாக மாறுவதால் x = 1ல் இடம் சார்ந்த சிறுமம் f'(x) ல் அமைகிறது.
∴ f'(1) = \(\frac{1^{3}}{3}\) – log 1
= \(\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\)

(v) f (x) = sin x cosx + 5, x ∈ (0, 2π)
f(x)ல்.x ∈ (0, 2π) ஆனது வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் வகையிடத்தக்கது.
f'(x) = sin x (-sin x) + cos x (cos x)
= cos² x – sin² x
= cos 2x
f'(x) = 0
⇒ cos x = 0 = cos\(\frac{\pi}{2}\), cos \(\frac{3\pi}{2}\), cos \(\frac{5\pi}{2}\), cos \(\frac{7\pi}{2}\)
⇒ 2x = \(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\) -ல்
தேக்கநிலை புள்ளிகள் உள்ளன.
\(\left(0, \frac{\pi}{4}\right),\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)\left(\frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)\left(\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right)\)
தேவையான இடைவெளி

∴ f(x) ல் \(\left(0, \frac{\pi}{4}\right)\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)\left(\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right)\) ஆனது . திட்டமாக ஏறும் மற்றும் \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)\left(\frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)\) ல் திட்டமாக ஏறும் மற்றும் திட்டமாக இறங்கும். f'(x) -ன் குறி x = \(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\), ஐ கடக்கும் போது மிகையிலிருந்து குறையாக மாறுவதால் x = \(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\), -க்கு இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு உள்ளது.

மேலும் f ‘(x) -ன் குறி x = \(\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\)–ஐ கடக்கும் ! போது குறையிலிருந்து மிகையாக மாறுவதால் \(\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\)-ல் இடஞ்சார்ந்த சிறுமத்தை அடையும்.
∴ f'(x) = \(\cos \frac{3 \pi}{4} \sin \frac{3 \pi}{4}+5\)