Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8

கேள்வி 1.
w ≠ 1 என்பது ஒன்றின் மூன்றாம் படிமூலம் Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 1 என நிறுவுக.
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 1.1

கேள்வி 2.
\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{5}\) + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)^{5}\) = –\(\sqrt{3}\) கணக்காட்டுக
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 1.3
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 1.4
(1) மற்றும் (2) ஐ கூட்ட கிடைப்பது,
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 2
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8

கேள்வி 3.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 3
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 4
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 4.1

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8

கேள்வி 4.
2 cos α = x + \(\frac{1}{x}\) மற்றும் 2 cos β = y + \(\frac{1}{y}\) எனக் கொண்டு. கீழக்காண்பவைகளை நிறுவுக.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 5
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட 2cos α = x + \(\frac{1}{x}\)
⇒ 2 cos α = \(\frac{x^{2}+1}{x}\)
⇒ x2 + 1 = 2x cos α
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 6
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 7

(i) \(\frac{x}{y}\) + \(\frac{y}{x}\) = 2cos(α – β)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 8
= cos(α – β) + i sin(α – β)
= cos(α – β) + i sin(α – β) + cos(α – β) – i sin(α – β)
= 2 cos(α – β)

(ii) xy – \(\frac{1}{x y}\) = 2sin(α + β)
xy = (cos α + i sin β) (cos α + i sin β)
= cos(α + β) + i sin(α + β)
\(\frac{1}{xy}\) = cos(α + β) – i sin (α + β)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 9
= 2i sin(α + β)

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8

(iii) \(\frac{\boldsymbol{x}^{m}}{\boldsymbol{y}^{n}}\) – \(\frac{y^{n}}{x^{m}}\) = 2i sim (mα – nβ)
xm = (cos α + sin α)m = cos mα + i sin mα
[டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
yn = (cos β + i sin β)n = cos nβ + i sin nβ
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 10

(iv)
xm yn + \(\frac{1}{x^{m} y^{n}}\) = 2 cos(mα + nβ)
xm yn = (cos α +i sin mα) (cos n β+ i sin nβ)
= cos (mα + nβ) + i sin (mα + nβ)
\(\frac{1}{x^{m} y^{n}}\) = cos(mα + nβ) – i sin(mα + nβ)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 11
= 2 cos(mα + nβ)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 5.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 12
தீர்வு:
z3 = – 27 =(- 1 × 3)3 = – 1 × 33
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 13
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 14
எனவே, மூலங்கள் 3 cis \(\frac{\pi}{3}\), – 3,3 cis 5\(\frac{\pi}{3}\)

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8

கேள்வி 6.
ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் எனில் (z – 1)3 + 8 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் -1, 1 – 2ω, 1 – ω2 எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட (z – 1)3 + 8 = 0
(z – 1)3 = -8 = -1 × 23
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 16
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 17
= 2 [cos π + i sinπ] = -2
⇒ z = – 2 + 1 = -1 …. (2)
k = 2 எனில்,
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 19
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து, மூலங்கள் -1, 1–2ω2 மற்றும் 1 – 2ω2 ஆகும்.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8

கேள்வி 7.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 20 ன் மதிப்பு காண்க
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 21

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8

கேள்வி 8.
ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் எனில், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
(i) (1 – ω + ω2)6 +(1 + ω – ω2)6 = 128
(ii) (1 + ω)(1 + ω2)(1 + ω4)(1 + ω8)….(1 + \(\omega^{2^{11}}\))
தீர்வு:
(i) (1 – ω + ω2)6 +(1 + ω – ω2)6 = 128
LHS = (1 – ω + ω2)6 +(1 + ω – ω2)6
= (1 + ω2 – ω)6 + (-ω2 + ω2)6
[∵ 1 + ω + ω2 = 0]
⇒ 1 + ω = -ω2
⇒ 1 + ω2 = -ω
= (-ω – ω)6 + (-2ω2)6
= (-2ω)6 + (-2ω2)6
= 266 + 2612
= 26[(ω3)2 + ω3)4]
= 26[1 + 1] [∵ω3 = 1]
26 × 21 = 27 = 128 = RHS

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8

(ii) (1 + ω)(1 + ω2)(1 + ω4)(1 + ω8)….. (1 + \(\omega^{2^{11}}\)) = 1 LHS = (1 + ω)(1 + ω2)(1 + ω4)(1 + ω8)….. (1 + \(\omega^{2^{11}}\))
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 25
12 உறுப்புகள் உள்ளன.
=(1 + ω) (1 + ω2) (1 + ω) (1 + \(\omega^{2^{1}}\))….
12 உறுப்புகள்
= (1 + ω)6 (1 + ω2)6 (-ω)6(-ω2)6
= (ω3)6 = 16 = 1 = RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8

கேள்வி 9.
z = 2 – 2i, எனில், ஆதியைப் பொருத்து 7 -ஐ θ ரேடியன்கள் கடிகார திசைக்கு எதிர் திசையில் சுழற்றினால் 3-ன் மதிப்பை கீழக்காணும் θ மதிப்புகளுக்கு காண்க.
(i) θ = \(\frac{\pi}{3}\)
(ii) θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
(iii) θ = \(\frac{3 \pi}{3}\)
தீர்வு:
(1) θ = \(\frac{\pi}{3}\)
கொடுக்கப்பட்ட z = 2 – 2i
θ = \(\frac{\pi}{3}\)
z = 2 – 2i = r (cos θ + i sin θ) என்க
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 26
2 – 2i என்ற கலப்பெண் IV -ம் கால்பகுதியில் அமைவதால்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 27
z e என்பது z ஆதியை பொறுத்து θ கோணம் கடிகார எதிர்திசையில் சுற்றுவது ஆகும்.
∴ z ஐ சுற்றுவதால், z \(e^{i \frac{\pi}{3}}\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 28

(ii) θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
θ = 2\(\frac{\pi}{3}\) எனில்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 29

(iii) θ = \(\frac{3 \pi}{2}\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 30

கேள்வி 10.
\(\sqrt[4]{-1}\) இன் மதிப்புகள் ±\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)(1 ± i) என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
z = (-1)\(\frac{1}{4}\) என்க
⇒ z = (cos π + i sin π)\(\frac{1}{4}\)
[∵ cos π = -1 மற்றும் sin π = 0 ]
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 31
= – cos \(\frac{\pi}{4}\) + isin\(\frac{\pi}{4}\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 32
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 33
இங்கு cos θ மிகை மற்றும் sin θ குறை
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 34
எனவே நான்கு மூலங்கள்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 35