Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.6

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.6

கேள்வி 1.
z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் \(\left|\frac{z-4 i}{z+4 i}\right|\)
= 1 எனுமாறு அமைந்தால் z -ன் நியமப் பாதை மெய் அச்சு எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z =x+iy
கருதுக \(\left|\frac{z-4 i}{z+4 i}\right|\) =1 ⇒ \(\left|\frac{x+i y-4 i}{x+i y+4 i}\right|\) = 1
⇒ \(\left|\frac{x+i(y-4)}{x+i(y+4)}\right|\) = 1

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,
x² + (y – 4)² = x² + (y + 4)²

⇒ 8y + 8y = 0
⇒ 16y = 0
⇒ y = 0 [∵ 16 ≠ 0]
y = 0 என்பது மெய் அச்சின் சமன்பாடு
∴z-ன் நியமப்பாதை மெய் அச்சு ஆகும்.

கேள்வி 2.
z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் Im\(\left(\frac{2 z+1}{i z+1}\right)\) = 0 எனுமாறு அமைந்தால் z -ன் நியமப்பாதை 2x² + 2y² + x – 2y = 0 எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z = x+iy

பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது

கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,

⇒ – 2x² – x + 2y – 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x – 2y = 0
எனவே z -ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x- 2y = 0

கேள்வி 3.
பின்வ ரும் சமன்பாடுகளில் z = x + iy – ன் நியமப்பாதையை கார்ட்டீசியன் வடிவில் காண்க.
(i) [Re (iz)]² = 3
(ii) Im [(1 – i) z + 1] = 0
(iii) |z + i| = |z – 1|
(iv) \(\bar{z}\) = z^-1
தீர்வு:
(i) [Re (iz)]² = 3
iz = i (x + iy) = ix +i²y = ix – y = -y + ix
⇒ Re (iz) = -y
[Re (iz)]² = 3 ⇒ (-y)² = 3
⇒ y² = 3.
எனவே கார்ட்டீசியன் சமன்பாடானது y² = 3

(ii) Im [[1- i) z + 1] = 0
(1 – i) z + 1 = (1 – i) (x + iy) + 1
= x + iy – ix – iy + 1
= x + iy – ix + y + 1
= (x + y + 1) + i(y – x)
∴I_m[(1 – i) z + 1] = y – x = 0.
⇒ x – y = 0.
எனவே கார்ட்டீசியன் சமன்பாடானது x – y = 0.

(iii) |z + i| = |z -1|
⇒ |x + iy + il = |x + iy – 1|
⇒ x + i (y + 1) = |(x – 1) + iy|
⇒ \(\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}\) = \(\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\)
⇒ x² + (y+ 1)² = (x – 1)² + y²
[இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது]

⇒ 2y + 2x = 0 ⇒ x + y = 0
எனவே கார்ட்டீசியன் சமன்பாடானது x + y = 0.

(iv) \(\bar{z}\) = z^-1
\(\bar{z}\) = z^-1
\(\bar{z}\) = \(\frac{1}{z}\) ⇒ z\(\bar{z}\) = 1
⇒ |z|² =1
⇒ x² – y² = 1 தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு.

கேள்வி 4.
பின்வரும் சமன்பாடுகள் வட்டத்தை குறிக்கிறது எனக்காட்டுக. மேலும் இதன் மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் காண்க.)
(i) |z – 2 – i| = 3
(ii) |2z + 2 – 4i| = 2
(iii) |3z – 6 + 12i| = 8
தீர்வு:
(i) |z – 2 – i| = 3.
⇒ |z – (2 +i)| = 3
இது |z – z₀| =r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் ( 2 + i ) மற்றும் ஆரம் 3 ஆகும்.

(ii) |2z + 2 – 4i| = 2
2|z + 1 – 2i | = 2
⇒ |z – (-1 + 2i) = 1
இது |z – z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (-1 + 2i) மற்றும் ஆரம் 1 ஆகும்.

(iii) |3z – 6 + 12i| = 8
⇒ 3|z – 2 + 4i| = 8
⇒ z – (2 – 4i) = \(\frac{8}{3}\)
இது |z – z₀| = r என்ற வடிவம் உள்ளது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (2 – 4i) மற்றும் ஆரம் \(\frac{8}{3}\) ஆகும்.

கேள்வி 5.
பின்வ ரும் சமன்பாடுகளில் z = x + iy -ன் நியமப்பாதையை கார்டீசியன் வடிவில் காண்க.
(i) |z – 4| = 16
(ii) |z – 4|² – |z – 1|² = 16
தீர்வு:
(i) |z – 4| = 16
கொடுக்கப்பட்ட z = x + iy
⇒ |z – 4| = 16
⇒ |x + iy – 4| = 16
⇒ |(x – 4) + iy| = 16
⇒ \(\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}\) = 16
⇒ (x – 4)² + y² = 16
[இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த]
⇒ x² – 8x + 16 + y² = 256
⇒ x² – 8x + y² + 16 – 256 = 0
⇒ x² – 8x + y² – 240 = 0. என்பது தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

(ii) |z – 4|² – |z – 1|² = 16
|x + iy – 4|² – |x + iy – 1|² = 16
⇒ |(x – 4) + iy|² – |(x – 1) + iy|² = 16
⇒ [(x – 4)² + y²] – [(x – 1)² + y²] = 16
⇒ x² – 8x + 16 + y² – [x² – 2x + 1 + y²] = 16

⇒ -6x + 15 – 16 = 0
⇒ -6x – 1 = 0
⇒ 6x + 1 = 0 என்பது தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.