Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.3 Textbook Questions and Answers, Notes.
TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.3
கேள்வி 1.
\(\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}\), \(\vec{c}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\), எனில்
(i) \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}\)
(ii) \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})\)ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}\)
\(\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}\) மற்றும் \(\vec{c}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\)
கேள்வி 2.
ஏதேனும் ஒரு வெக்டர் \(\vec{a}\) க்கு , \(\hat{i} \times(\vec{a} \times \hat{i})+\hat{j} \times(\vec{a} \times \hat{j})+\hat{k} \times(\vec{a} \times \hat{k})\) என நிறுவுக.
தீர்வு:
\(\vec{a}=a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}\) என்க.
= RHS. ∴ LHS = RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
கேள்வி 3.
\([\vec{a}-\vec{b}, \vec{b}-\vec{c}, \vec{c}-\vec{a}]\) = 0 என நிறுவுக.
தீர்வு:
LHS = \([\vec{a}-\vec{b}, \vec{b}-\vec{c}, \vec{c}-\vec{a}]\)
[∵ குறுக்குப் பெருக்கல் பங்கீட்டுடையது]
= 0 = RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
கேள்வி 4.
\(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}\), \(\vec{b}=3 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{k}\) \(\vec{c}=-\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}\), எனில்
(i) \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b}-\vec{c}) \vec{a}\)
(ii) \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}\) என்பவற்றை சரிபார்க்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}\),
\(\vec{b}=3 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{k}\) மற்றும் \(\vec{c}=-\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}\)
RHS க்கு
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS
எனவே \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b}-\vec{c}) \vec{a}\)
RHS லிருந்து
= \(-33 \hat{i}-55 \hat{j}-22 \hat{k}-(-19 \hat{i}-38 \hat{j}+57 \hat{k})\)
= \(-14 \hat{i}-17 \hat{j}-79 \hat{k}\) ………….. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS
∴ \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}\)
கேள்வி 5.
\(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}\), \(\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}\), \(\vec{c}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) எனில் \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{a} \times \vec{c})\)-ன் மதிப்புக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}\),
கேள்வி 6.
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}\) என்பன ஒரு தள வெக்டர்கள் எனில், \((\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})=\vec{0}\) என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) மற்றும் \(\vec{d}\) ஒரு தள வெக்டர்கள்
\((\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})=[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] \vec{c}-[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{d}\) ………. (1)
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) மற்றும் \(\vec{d}\) ஒரு தள வெக்டர்கள் \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) ஒரு தள வெக்டர் அல்லது \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}\) யும் ஒரு தள வெக்டர்
∴ \(\left[\begin{array}{lll}
\vec{a} & \vec{b} & \vec{c}]
\end{array}\right.\) = 0 [∵ அவைகள் ஒரு தள வெக்டர்]
மேலும் \(\left[\begin{array}{lll}
\vec{a} & \vec{b} & \vec{d}
\end{array}\right]\) [∵ அவைகள் ஒரு தள வெக்டர்]
இந்த மதிப்புகளை (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
\((\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})=0(\vec{c})-0(\vec{d})=\overrightarrow{0}\)
\((\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})=\overrightarrow{0}\)
∴ எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
கேள்வி 7.
\(\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\), \(\vec{c}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\) மற்றும் \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=l \vec{a}+m \vec{b}+n \vec{c}\) எனில் l, m, n-ன் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \(10 \vec{b}-3 \vec{c}=l \vec{a}+m \vec{b}+n \vec{c}\) ஒத்த உறுப்புகளை ஒப்பிட கிடைப்பது l = 0, m = 10 மற்றும் n = -3
கேள்வி 8.
\(\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}\) என்ற மூன்று அலகு வெக்டர்களில் \(\hat{b}, \hat{c}\) என்பன இணை அல்லாத வெக்டர்கள் மற்றும் \(\hat{a} \times(\hat{b} \times \hat{c})=\frac{1}{2} \hat{b}\) எனில், \(\hat{a}\) மற்றும் \(\hat{c}\) என்ற வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட
\(\hat{b}\) மற்றும் \(\hat{c}\) ஒரு கோட்டமைவு வெக்டர்களில்லை ஆதலால்
λ – \(\frac{1}{2}\) = 0 மற்றும் µ = 0
∴ λ = \(\frac{1}{2}\)
⇒ \(\hat{a} \cdot \hat{c}=\frac{1}{2}\)
⇒ \(|\hat{a}||\hat{c}| \cos \theta=\frac{1}{2}\) [∵ திசையிலி பெருக்கலின் வரையறைப் படி]
⇒ (1) (1) cos θ = \(\frac{1}{2}\) [∵ \(|\vec{a}|=|\vec{c}|\) = 1]
⇒ cos θ = \(\frac{1}{2}\) ⇒ θ = 60° = \(\frac{\pi}{3}\)
எனவே 2 மற்றும் C க்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\frac{\pi}{3}\)