Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் வளைவரைகளுக்கு தொலைத் தொடுகோடுகளைக் காண்க :
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 1
தீர்வு:
(i) f(x) = \(\frac{x^{2}}{x^{2}-1}\)
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{x^{2}}{x^{2}-1}\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 2
∴ x = -1 மற்றும் x = 1 நிலைகுத்து தொலைத் தொடுகோடுகள்.
மேலம் \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}-1}=\lim _{\frac{1}{x} \rightarrow 0} \frac{1}{1-\frac{1}{x^{2}}}=1\)
[தொகுதி மற்றும் பகுதியை ல் வகுக்க]
∴ y= 1 என்பது கிடைமட்டத் தொலைத் தொடுகோடு

(ii) f (x) = \(\frac{x^{2}}{x+1}\)
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{x^{2}}{x+1}\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 3
∴ x = 1 என்பது நிலைகுத்து தொலைத் தொடுகோடு ஆகும்.
நிலைகுத்து தொலைத் தொடுகோடு தொகுதியின் படி பகுதியின் படியைவிட அதிகமாதலால் x + 1 ஆல் x2 வகுக்க
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 4
∴ y = x – 1 என்பது சாய்ந்த தொலைத் தொடுகோடு ஆகும்.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9

(iii) f(x) = \(\frac{3 x}{\sqrt{x^{2}+2}}\)
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2}+2}}=\lim _{\frac{1}{x} \rightarrow 0} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}\)
= \(\frac{3}{\sqrt{1+0}}=3\)
∴ y = 3 என்பது கிடைமட்டத் தொலை தொடுகோடு
மேலும் \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2}+2}}=\lim _{\frac{1}{x} \rightarrow 0} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}\) = -3
∴ y = -3 என்பது கிடைமட்டத் தொலை தொடுகோடு ஆகும்.

(iv) f(x) = \(\frac{x^{2}-6 x-1}{x+3}\)
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{x^{2}-6 x-1}{x+3}\)
\(\lim _{x \rightarrow-3^{+}} \frac{x^{2}-6 x-1}{x+3}=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{(-3+h)^{2}-6(-3+h)-1}{-3+h+3}\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 5
∴ x = -3 என்பது கிடைமட்டத் தொலைத் தொடுகோடு மேலும்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 6
∴ y = x – 9 என்பது சாய்ந்த தொலைத் தொடு கோடாகும்.

(v) f (x) = \(\frac{x^{2}+6 x-4}{3 x-6}\)
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{x^{2}+6 x-4}{3 x-6}\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 8
∴ x = 2 என்பது நிலைகுத்து தொலைத் தொடு கோடாகும்.
மேலும்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 9
∴ y = \(\frac{1}{3} x+\frac{8}{3}\), என்பது சாய்ந்த தொலைத் தொடுகோடாகும்.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9

கேள்வி 2.
கீழ்க்காணும் சார்புகளை வரைக :
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 10
தீர்வு:
(i) y = \(-\frac{1}{3}\left(x^{3}-3 x+2\right)\)
கொடுக்கப்பட்ட y = \(-\frac{1}{3}\left(x^{3}-3 x+2\right)\)
சார்பை காரணிபடுத்த கிடைப்பது
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 11
1. சார்பு f(x) -ன் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம் முழு மெய் எண் கோடாகும்.
2. y = 0 என பிரதியிட கிடைப்பது x = 1. மற்ற ! இரண்டு மூலங்களும் கற்பனை
∴ X வெட்டுத்துண்டு (1,0) ஆகும்
x = 0 என பிரதியிட கிடைப்பது y = \(-\frac{2}{3}\)
∴ Y வெட்டுத்துண்டு \(\left(0,-\frac{2}{3}\right)\) ஆகும்.

3. f'(x) = \(-\frac{1}{3}\) (3x2 – 3) = -x2 + 1
f'(x) = 0
⇒ – x2 = -1
⇒ x = ±1
∴ நிலை புள்ளிகளாவன x = 1, x = -1.

4. f” (x) = \(\frac{-1}{3}\) (6x) =-2:
f” (1) = -2,f” (-1) = 2.
∴ x = 1-ல் f (x)-க்கு இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் ஆகும்
f(1) = \(\frac{-1}{3}\) (1 – 3 + 2)
⇒ f(1) = \(\frac{-1}{3}\) (0) = 0
x = -1-ல் f (x)க்கு இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் ஆகும்
⇒ f(-1) = \(\frac{-1}{3}\) (-1 + 3 + 2) = \(\frac{-4}{3}\)
∴ நிலை புள்ளிகளாவன x = 1, x = -1 ஆகும்.

5. f” (x) = -2x < 0 ∀ x > 0 ஆதலால் சார்பு மிகை மெய் கோட்டில் கீழ் நோக்கிய குழிவுடையது மற்றும் f” (x) = -2x > 0 ∀ x < 0,சார்பு குறை மெய் கோட்டில் மேல் நோக்கிய குழிவுடையது.

6. x = 0 -ல் மற்றும் f “(x) தனது குறியை மாற்றுவதால், வளைவு மாற்றப் புள்ளி (0, f (0)) = \(\left(0, \frac{-2}{3}\right)\), ஆகும்.

7. வளைவரைக்கு தொலைத் தொடுகோடுகள் இல்லை .
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 12

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9

(ii) y = \(x \sqrt{4-x}\)
⇒ y2 = x2 (4 – x)
1. f(x) is {x ∈ ℝ / – ∞ < x ≤ 4} -ன் சார்பகம்
⇒ x ∈ (-∞, 4].

2. y = 0 என பிரதியிட கிடைப்பது, 0 = \(x \sqrt{4-x}\)
⇒ x = 0, 4
∴ (4,0) வெட்டுத்துண்டு X மற்றும் வளைவரை ஆதி வழி செய்கிறது

3. x = 0 என பிரதியிட கிடைப்பது, y = 0
∴ (0, 0) வெட்டுத்துண்டு Y ஆகும்.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 13
⇒ -3x + 8 = 0
⇒ -3x = -8
⇒ x = \(\frac{8}{3}\)
∴ சாத்தியமான இடைவெளிகள் \(\left(-\infty, \frac{8}{3}\right)\left(\frac{8}{3}, 4\right)\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 14

5. x = \(\frac{8}{3}\) ;-ல் f’ (x) மிகையிலிருந்து குறையாக மாறுவதால் இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பை கொண்டுள்ளது.

6. வளைவரைக்கு தொலைத் தொடுகோடுகள் i இல்லை .
∴ சார்பின் தோராய வரைபடம்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 15

(iii) y = \(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-4}\)
1. f(x) is R ∈/ {-2, 2} -ன் சார்பகம்
2. f (x, y) = f (-x, y) என்பதால் வளைவரை
Y – அச்சை பொறுத்து சமச்சீரானது.

3. y = 0 என பிரதியிட கிடைப்பது,
x2 = -1 ⇒ x = \(\pm \sqrt{-1}\) சாத்தியமில்லை
∴ X – வெட்டுத்துண்டு இல்லை

4. x = 0 என பிரதியிட கிடைப்பது, y = \(\frac{-1}{4}\)
∴ Y-வெட்டுத்துண்டு \(\left(0, \frac{-1}{4}\right)\)

5. f'(x) = \(\frac{\left(x^{2}-4\right)(2 x)-\left(x^{2}+1\right)(2 x)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}\)
= \(\frac{2 x^{3}-8 x-2 x^{3}-2 x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}=\frac{-10 x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}\)
f'(x) = 0 ⇒ x = 0 மற்றும் x = -2, 2-ல் வளைவரை வரையறுக்கப்படவில்லை.
∴ நிலை எண்கள் 0, -2, 2.
∴ ஒரியல்பு இடைவெளிகள் (-∞, -2) (-2, 0) (0, 2) (2, ∞).
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 16
∴ f (x) -ல் (-∞, -2) (-2, 0) ஏறும் மற்றும் (0, 2) (2, ∞) -ல் இறங்கும்.

6. f”(x) குறி மிகையிலிருந்து குறையாக x = 0-ல் மாறுவதால், அது x = 0-ல் இடஞ்சார்ந்த சிறுமத்தை கொண்டிருக்கும்.

7. f”(x) = \(-10\left[\frac{\left(x^{2}-4\right)^{2}(1)-x(2)\left(x^{2}-4\right)(2 x)}{\left(x^{2}-4\right)^{4}}\right]\)
= \(-10\left[\frac{\left(x^{2}-4\right)^{2}-4 x^{2}\left(x^{2}-4\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{4}}\right]\)
= \(-10\left(x^{2}-4\right)\left[\frac{x^{2}-4-4 x^{2}}{\left(x^{2}-4\right)^{4}}\right]\)
= \(-10\left(\frac{-3 x^{2}-4}{\left(x^{2}-4\right)^{3}}\right)=\frac{10\left(3 x^{2}+4\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{3}}\)
∴ f”(x) = 0 ⇒ 3x2 + 4 = 0 ⇒ x2 = \(\frac{-4}{3}\)
f”(x) = 0 சாத்தியமில்லை மற்றும் x = 2, -2-ல் வரையறுக்கப்படவில்லை .
குழிவுத் தன்மைக்கான இடைவெளிகள் பின்வருமாறு பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 17

8. வளைவரை வரையறுக்கப்படாததால் x = 2, x = – 2 நேர்குத்து தொலைத் தொடு கோடுகள் மற்றும் y = 1 கிடைமட்டத் தொலைத் தொடுகோடு
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 18

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9

(iv) y = \(\frac{1}{1+e^{-x}}\)
f(x) = y = \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) என்க
1. y-ன் சார்பகம் ℝ
2. சமச்சீரற்றது
3. y = 0 எனபிரதியிட கிடைப்பது,x -க்கு மதிப்பில்லை
∴ X வெட்டுத்துண்டு இல்லை

4. x = 0 என பிரதியிட கிடைப்பது,
y = \(\frac{1}{1+e^{0}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)
∴ Y-வெட்டுத்துண்டு \(\left(0, \frac{1}{2}\right)\)

5. f'(x) = \(\frac{d}{d x}\) (1 + e-x)-1 = -1(1 + e-x)-2 (-e-x)
= \(\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}\) = e-x (1 + e-x)-2
f'(x) = 0 ⇒ e-x = 0 ⇒ -x = log 0 ⇒ x = ∞
மேலும் f (x) > 0 ∀ x ∈ ℝ
∴ (- ∞, ∞) -ல் f (x) ஆனது ஏறும்.

6. f'(x)க்கு குறி மாற்றம் இல்லாததால் அதற்கு இடஞ்சார்ந்த சிறும, பெரு மதிப்புகள் இல்லை.

7. f”(x) = e-x (-2)(1 + e-x)-3 (-e-x) + (1 + e-x)-2 (-e-x)
= 2e-2x (1 + e-x)-3 – e-x(1 + e-x)-2
= e-2x (1 + e-x)-3 [2 – e-x(1 + e-x)]
= e-2x (1 + e-x)-3 [2 – ex – 1]
= \(\frac{e^{-2 x}\left(1-e^{x}\right)}{\left(1+e^{x}\right)^{3}}\)
f”(x) = 0 ⇒ x = (0)
குழிவுத் தன்மைக்கான இடைவெளிகள் பின்வருமாறு அட்டவணைப்படுத்தப்பட்டு உள்ளன.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 19

8. \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1+e^{-x}}=1\)
⇒ y = 1
ஆனது கிடைமட்டத் தொலைத் தொடுகோடு மற்றும்
\(\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{1+e^{-x}}=0\)
⇒ y = 0 என்பது கிடைமட்டத் தொலைத் தொடுகோடு
∴ தோராய வரைபடம்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 20

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9

(v) y = \(\frac{x^{3}}{24}\) – log x
f (x) = y = \(\frac{x^{3}}{24}\) – log x என்க
1. (0, ∞)-ன் சார்பகம் f (x) என்க.
2. வளைவரை சமச்சீரற்றது

3. x = 0 என பிரதியிட கிடைப்பது, y = -∞
X – வெட்டுத்துண்டு இல்லை

4. y = 0 என பிரதியிட கிடைப்பது 0 = \(\frac{x^{3}}{24}\) – log x
⇒ log x = \(\frac{x^{3}}{24}\) ⇒ x = e\(\frac{x^{3}}{24}\)
∴ Y – வெட்டுத்துண்டு இல்லை

5. f'(x) = \(\frac{3 x^{2}}{24}-\frac{1}{x}=\frac{x^{2}}{8}-\frac{1}{x}\)
f'(x) = 0 ⇒ \(\frac{x^{2}}{8}=\frac{1}{x}\) ⇒ x3 = 8 ⇒ x = 2
∴ சாத்தியப்படும் இடைவெளிகள் (0, 2) (2, ∞)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 21
∴ f (x) ஆனது (0, 2)-ல் ஏறும் மற்றும் (2, ∞) -ல் , இறங்கும்.

6. f'(x)-ல்.x = 2 ஆனது குறையிலிருந்து மிகையாக மாறுவதால் இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் ஆகும்.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 22
∴ குழிவுத் தன்மைக்கான இடைவெளிகள் (-∞, 0) (0, ∞) ஆகும்.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 23

8. y = 0 -ல் வரையறுக்கப்படாததால் அதற்கு கிடை மட்டத் தொலைத் தொடுகோடு y = 0 உண்டு.

9. f”(x) ஆனது குறியை குறையிலிருந்து மிகையாக மாற்றுவதால், அதனுடைய வளைவு மாற்று புள்ளி — ve to + ve, (0, f (0)) = (0, ∞) ஆகும்.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.9 24