Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.2 Textbook Questions and Answers, Notes.
TN Board 12th Maths Solutions Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.2
கேள்வி 1.
அனைத்து x -ன் மதிப்புகளையும் காண்க.
(i) -6π ≤ x ≤ 6π மற்றும் cos x = 0
(ii) – 5π ≤ x ≤ 5π மற்றும் cos x = -1.
தீர்வு:
(i) cosx = 0 = x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\), n ∈ ℤ
– π ≤ x ≤ 6π
∴n ஆனது – 5 லிருந்து 5 வரை மதிப்புகளை எடுத்துக் கொள்ளும்.
x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\), n = 0, ±1, ±2, … ±5
(ii) – 5π ≤ x ≤ 5π மற்றும் cos x = -1.
cos x = -1
cos x = cos π
x = 2nπ + π, n ∈ ℤ [∵ cos θ = cos α
⇒ (2n + 1)π, n ∈ ℤ ⇒ θ = 2πr + α, n ∈ ℤ]
⇒ ஆனால் -5π ≤ x ≤ 5π
n = 0, ±1, ±2, மற்றும் -3 என பிரதியிட கிடைப்பது
⇒ x = -5π, -3π, -π, π, 3π, 5π
⇒ x = (2n + 1)π, n = 0, ±1, ±2, மற்றும் -3.
கேள்வி 2.
தீர்வு:
cos-1\(\left[\cos \left(\frac{-\pi}{6}\right)\right] \neq \frac{-\pi}{6}\)
\(\frac{-\pi}{6}\) ≠ [0, π] இது கொசைன் சார்பின் முதன்மை சார்பகம்.
கேள்வி 3.
cos-1(-x) = π – cos-1(x) என்பது மெய்யாகுமா? விடைக்கு தக்க காரணம் கூறுக.
தீர்வு:
cos-1(-x) = θ என்க … (1)
⇒ -x = cos θ
⇒ x = -cos θ = cos (π – θ)
⇒ π – θ = cos-1(x)
⇒ θ = π – cos-1x …. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து cos-1(-x) = π – cos-1(x)
∴ cos-1(-x) = π – cos-1(x) சரி
கேள்வி 4.
தீர்வு:
கேள்வி 5.
தீர்வு :
(i) 2cos<sup>-1</sup>\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + sin<sup>-1</sup>\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
[∵ முதன்மை சார்பகம் சைன்க்கு \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) மற்றும் கொசைனுக்கு முதன்மை சார்பகம் [0, π]]
sin y = \(\frac{1}{2}\)
sin y = sin \(\frac{\pi}{6}\) [∵\(\frac{\pi}{6}\) ∈-\(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{6}\)]
⇒ x = \(\frac{\pi}{3}\) மற்றும் y = \(\frac{\pi}{6}\)
∴ 2 cos<sup>-1</sup>\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + sin<sup>-1</sup>\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
= 2\(\left(\frac{\pi}{3}\right)\) + \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{2 \pi}{3}\) + \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{4 \pi+\pi}{6}\) = \(\frac{5 \pi}{6}\)
(ii) cos<sup>-1</sup>\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + sin<sup>-1</sup>
(iii)
கேள்வி 6.
சார்பகம் காண்க .
(i) f(x) = sin<sup>-1</sup>\(\left(\frac{|x|-2}{3}\right)\) + cos<sup>-1</sup>\(\left(\frac{1-|x|}{4}\right)\)
(ii) g(x) = sin<sup>-1</sup>x + cos<sup>-1</sup>x
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட
sin<sup>-1</sup> x இன் வரையறையிலிருந்து
-1 ≤ \(\frac{|x|-2}{3}\) ≤ 1
⇒ -3 ≤ |x| – 2 ≤ 3
⇒ -3 + 2 ≤ |x| ≤ 3 + 2
⇒ -1 ≤ |x| ≤ 5
என்பதை சுருக்கி 0 ≤ |x| ≤ 5
⇒ 0 ≤ |x| மற்றும் |x| ≤ 5
⇒ |x| ≥ 0 மற்றும் -5 ≤ x ≤ 5 … (1)
cos<sup>-1</sup>x என் வரையறைப்படி \(-1 \leq \frac{1-|x|}{4} \leq 1\)
⇒ -4 ≤ 1 – |x| ≤ 4 ⇒ -4 – 1 ≤ -|x| ≤ 4 – 1
⇒ -5 ≤ -|x| ≤ 3 ⇒ -3 ≤ |x| ≤ 5
என்ப தை சுருக்கி 0 ≤ |x| ≤ 5 – 5 ≤ x ≤ 5 …. (2)
(1) மற்றும் (2)லிருந்து,
சார்பகமானது [-5,5]
(ii) கொடுக்கப்பட்ட g(x) = sin<sup>-1</sup>x + cos<sup>-1</sup>x
sin<sup>-1</sup>x ன் வரையறையிலிருந்து -1 ≤ x ≤ 1 …. (1)
மேலும் cos’ ன் வரையறைப்படி-1 ≤ x ≤ 1… (2)
∴ (1) மற்றும் (2) லிருந்து
g(x)ன் சார்பகம் = [-1, 1] ∪ [-1, 1] = [-1, 1] எனவே g(x) ன் சார்பகம் [-1, 1].
கேள்வி 7.
x-ன் எந்த மதிப்பிற்கு சமநிலை \(\frac{\pi}{2}\) < cos-1(3x – 1) < π மெய்யாகும்?
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\frac{\pi}{2}\) < cos-1(3x – 1) < π
cos \(\frac{\pi}{2}\) < 3x – 1 < cos π ⇒ 0 < 3x – 1 < -1
0 + 1 < 3x < -1 + 1 ⇒ 1 < 3x < 0
\(\frac{1}{3}\) < x < 0
0 < x < \(\frac{1}{3}\) மட்டும் இந்த அசமன்பாடு சரி.
கேள்வி 8.
மதிப்பு காண்க.
தீர்வு:
(ii)
[∵கொசைன் சார்பின் காலம் 2π]