Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.5

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.5

கீழ்க்காணும் எல்லைகளை, தேவைப்படும் இடங்களில் லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்தி காண்க :

கேள்வி 1.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}\)
தீர்வு:
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1-\cos 0}{0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}\)
இது தேரப்பெறா வடிவம்
லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்த கிடைப்பது

கேள்வி 2.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}-3}{x^{2}-5 x+3}\)
தீர்வு:

கேள்வி 3.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\log x}\)
தீர்வு:
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\log x}=\frac{\infty}{\infty}\)
இது தேரப்பெறா வடிவம்
∴ லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்த கிடைப்பது
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} x=\infty\)

கேள்வி 4.
\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{-}}{2}} \frac{\sec x}{\tan x}\)
தீர்வு:

கேள்வி 5.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x} \sqrt{x}\)
தீர்வு:
\(\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x} \sqrt{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}=\frac{\infty}{\infty}\)
இது தேரப்பெறா வடிவம் லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்தி

கேள்வி 6.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)\)
தீர்வு:
\(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x-\sin x}{x \sin x}\right)=\frac{0}{0}\) வடிவம்
இது தேரப்பெறா வடிவம்
லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்த கிடைப்பது
\(0+\frac{\sin x}{-x \sin x+\cos x}+\cos x=\frac{0}{2}=0\)
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x \cos x+\sin x}=\frac{1-\cos 0}{0+\sin 0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}\) வடிவம்

கேள்வி 7.
\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left(\frac{2}{x^{2}-1}-\frac{x}{x-1}\right)\)
தீர்வு:

இது தேரப்பெறா வடிவம்
லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்த கிடைப்பது
\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left(\frac{-2 x-1}{2 x}\right)=\frac{-2-1}{2(1)}=\frac{-3}{2}\)

கேள்வி 8.
\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}\)
தீர்வு:
lim x
\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}\)
இது தேரப்பெறா வடிவம்
g(x) = x^x என்க
மடக்கை எடுக்க கிடைப்பது

∴ \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}\) = 1

கேள்வி 9.
\(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\)
தீர்வு:
1^∞ இது தேரப்பெறா வடிவம்
g(x) = \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\) என்க

கேள்வி 10.
\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan x}\)
தீர்வு:
1^∞ இது தேரப்பெறா வடிவம்
g(x) = (sin x)^{tan x} என்க
மடக்கை எடுக்க கிடைப்பது,
log (g(x)) = log (sin x)tan x
= tan x. log (sin x)
= \(\frac{\log (\sin x)}{\cot x}\)
இங்கு \(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\) log (g(x))

கேள்வி 11.
\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}\)
தீர்வு:
1^∞ இது தேரப்பெறா வடிவம்
g(x) = (cos x)^{\(\frac{1}{x^{2}}\)} என்க
மடக்கை எடுக்க கிடைப்பது

கேள்வி 12.
A₀ எனும் ஆரம்பத் தொகையானது, ஒரு வருடத்திற்கு n முறை r என்ற வட்டி ! வீதத்தில் கூட்டு வட்டி முறையில் முதலீடு செய்யப்படுகிறது எனில், முதலீடு செய்யப்பட்டு 1 வருடத்தில் அந்தத் தொகையின் மதிப்பு A = A₀ \(\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\) வட்டியானது தொடர்ச்சியான ! வட்டி முறையில் (அதாவது n → ∞), கணக்கிடப்பட்டால், காலத்திற்குப் பின்னர் ! அந்தத் தொகையின் மதிப்பு A = A₀e^rt எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
t ஆண்டுகளுக்கு பிறகு தொகை
(A) = \(\lim _{n \rightarrow \infty} A_{0}\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\)
1^∞ இது தேரப்பெறா வடிவம்
g (x) = \(\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}\) என்க
மடக்கை எடுக்க கிடைப்பது

[லோபிதாலின் விதிப்படி]