Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 12 தனிநிலைக் கணிதம் Ex 12.2

கேள்வி 1.
p என்பது “ஜுபிடர் ஒரு கோளாகும்” மற்றும் q என்பது “இந்தியா ஒரு தீவு”. பின்வரும் கூற்றுகளுக்குரிய வார்த்தைகளுடன் கூடிய வாக்கியங்களை அமைக்க.
(i) p
(ii) p ∧ ¬q
(iii) ¬p ∨ q
(iv) p → q
(v) p ↔ q
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டp : ஜூபிடர் ஒரு கோளாகும் மற்றும் q : இந்தியா ஒரு தீவு
(i) ¬p: ஜூபிடர் ஒரு கோள் அல்ல.
(ii) p ∧ ¬q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் மற்றும் இந்தியா ஒரு தீவு அல்ல.
(iii) p ∨ q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் அல்ல அல்லது இந்தியா ஒரு தீவு.
(iv) p → ¬q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் எனில் இந்தியா ஒரு தீவு அல்ல.
(v) p ↔ q: ஜூபிடர் ஒரு கோள் எனில் இந்தியா ஒரு தீவு.

கேள்வி 2.
p மற்றும் ஏ என்ற கூற்று மாறிகளைக் கொண்டு பின்வரும் ஒவ்வொரு வாக்கியத்தையும் குறியீட்டு அமைப்பில் எழுதுக.
(i) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்கள் சமம்.
(ii) 19 ஒரு பகா எண் அல்லது ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமமல்ல.
(iii) 19 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் சமம்.
(iv) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல.
தீர்வு:
p: 19 ஒரு பகா எண்
q : ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்கள் சமம் என்பன இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
(i) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல மற்றும் ¬p ∧ 4 முக்கோணத்தின் எல்லா கோணங்களும் சமம்.
(ii) 19 ஒரு பகா எண் அல்லது p ∧ ¬q முக்கோணத்தின் எல்லா கோணங்களும் சமமில்லை .
(iii) 19 ஒரு பகா எண் அல்லது p ∧ q முக்கோணத்தின் எல்லா கோணங்களும் சமம்.
(iv) 19 ஒரு பகா எண் அல்ல ¬p.

கேள்வி 3.
பின்வரும் கூற்றுகளுக்கு மெய்மதிப்பை தீர்மானிக்க
(i) 6 + 2 = 5 எனில், பாலின் நிறம் வெண்மை .
(ii) சீனா ஐரோப்பாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{3}\) ஒரு முழு எண்.
(iii) 5 + 5= 9 என்பது மெய்யல்ல அல்லது பூமி ஒரு கோள்.
(iv) 11 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம்.
தீர்வு:
பின்வரும் கூற்றுகளுக்கு மெய்மதிப்பை தீர்மானிக்க.
(i) 6 + 2 = 5 எனில், பாலின் நிறம் வெண்மை .
p: 6 + 2 = 5 என்க .
q : பாலின் நிறம் வெண்மை என்பது இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
q -ன் முடிவானது 𝕋 என்பதால் p → q -ன் மெய் மதிப்பு 𝕋 ஆகிறது.

(ii) சீனா ஐரோப்பாவில் உள்ளது அல்லது \(\sqrt{3}\) ஒரு முழு எண்
p : சீனா ஐரோப்பாவில் உள்ளது என்க.
q : \(\sqrt{3}\) ஒரு முழு எண் என்பன இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
p ∨ q இன் மெய்மதிப்பு 𝔽 ஏனெனில் இரண்டு கூற்றுகளின் முடிவுகளும் 𝔽.

(iii) 5 + 5 = 9 என்பது மெய்யல்ல அல்லது பூமி ஒரு கோள்.
P: 5 + 5 = 9 என்பது மெய்
q : பூமி ஒரு கோள் என்பது இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
q -ன் முடிவானது 𝕋 என்பதால் ¬p ∨ q -ன் மெய் மதிப்பு 1 ஆகிறது.

(iv) 11 ஒரு பகா எண் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம்.
p: 11 ஒரு பகா எண்.
q : செவ்வகத்தின் எல்லா பக்கங்களும் சமம் என்பன இரண்டு தனி கூற்றுகள் என்க.
q -ன் முடிவானது 𝔽 என்பதால் p ∨ q-ன். மெய்மதிப்பு 𝔽 ஆகிறது.

கேள்வி 4.
பின்வரும் வாக்கியங்களில் எது கூற்று?
(i) 4 + 7 = 12
(ii) நீ என்ன செய்து கொண்டிருக்கிறாய்?
(iii) 3ⁿ ≤ 81, n ∈ ℕ
(iv) மயில் நமது தேசிய பறவை
(v) இந்த மலை எவ்வளவு உயரம்!
தீர்வு:
வாக்கியங்கள்
(i) 4 +7 = 12
(iii) 3ⁿ ≤ 81, n ∈ ℕ மற்றும் 1.
(iv) மயில், நமது தேசிய பறவை என்ற கூற்றுகள் மெய் அல்லது பொய்.

கேள்வி 5.
பின்வரும் கூற்றுகள் சம்பந்தமான மறுதலை, எதிர்மறை மற்றும் நேர்மாறுகளை எழுதுக.
(i) x , y என்ற எண்க ள் x = y, என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர் .x² = y²
(ii) ஒரு நாற்கரம் ஒரு சதுரம் எனில், பின்னர் இது ஒரு செவ்வகமாகும்.
தீர்வு:
(i) x , y என்ற எண்கள் x = y என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர் x² = y²
மறுதலைக் கூற்று :
x , y என்ற எண்கள் x² = y² என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர் x = y மறுதலைக் ! கூற்று
எதிர்மறைக் கூற்று :
x , y என்ற எண்கள் x ≠ y என்றவாறு உள்ளது எனில், பின்னர்.x² ≠ y² எதிர்மறைக் கூற்று
நேர்மாறுக் கூற்று :
x , y என்ற எண்கள் x² ≠ y² என்றவாறு ! உள்ளது எனில், பின்னர் x² ≠ y² நேர்மாறுக் கூற்று.

(ii) ஒரு நாற்கரம் ஒரு சதுரம் எனில், பின்னர், இது ஒரு செவ்வகமாகும்.
மறுதலைக் கூற்று:
ஒரு நாற்கரம் ஒரு செவ்வகம் எனில், பின்னர் இது ஒரு சதுரமாகும்.
எதிர்மறைக் கூற்று :
ஒரு நாற்கரமானது ஒரு சதுரம் ! இல்லையெனில், பின்னர் அது செவ்வகமும், இல்லை .
நேர்மாறுக் கூற்று :
ஒரு நாற்கரமானது ஒரு செவ்வகம் ! இல்லையெனில், பின்னர் அது சதுரமும் இல்லை .

கேள்வி 6.
பின்வரும் கூற்றுகளுக்கு மெய்மை – அட்டவணைகளை அமைக்க.
(i) ¬p ∧ ¬q
(ii) ¬(p ∧ ¬q)
(iii) (p ∨ q) ∨ ¬q
(iv) (¬p → r) ∧ (p ↔ q)
தீர்வு:
(i) –p ∧ ¬q

கேள்வி 7.
பின்வரும் கூட்டு கூற்றுகளில் எவைகள் மெய்மம் அல்லது முரண்பாடுகள் அல்லது நிச்சயமின்மை என்று காண்க.
(i) (p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q)
(ii) (p ∨ q) ∧ ¬p → q
(iii) (p → q) ↔ (-p → 4)
(iv) ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
தீர்வு:
(i) (p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q)

கேள்வி 8.

தீர்வு:

நிரல்கள் (4) மற்றும் (7), ஒரே மாதிரியாக உள்ளன.
:. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

கேள்வி 9.
q → p ≡ ¬p → ¬q என நிறுவுக.
தீர்வு:

நிரல்கள் (3) மற்றும் (6) ஒரே விதமாக உள்ளன.
q → p = ¬p → ¬q.

கேள்வி 10.
p → q மற்றும்பு q → p ஆகியவைகள் சமானமற்றவை எனக் காட்டுக.
தீர்வு:

நிரல்கள் (3) மற்றும் (4) ஒரே விதமாக இல்லை

கேள்வி 11.
¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q எனக் காட்டுக.
தீர்வு:

நிரல்கள் (4) மற்றும் (6) ஒரே விதமாக உள்ளது.
¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q

கேள்வி 12.
மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தாமல் p → (q → p) என்பது ஒரு மெய்மம் அல்லது ஒரு முரண்பாடு எனச் சோதிக்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கூற்றுகள் p → (q → p)
= p → (¬q ∨ p)
[∴ எடுத்துக்காட்டு 12.17ன் படி p → q = ¬p ∨ q]
= (¬p) ∨ (¬q ∨ p) (மீண்டும் எடுத்துக்காட்டு 12.17]
= (¬p ∨ -q) ∨ p (சேர்ப்பு விதி)]
= (¬p ∨ p) ∨ ¬q [பரிமாற்று விதி)]
= 𝕋 ∨ ¬q [¬p ∨ p மெய்மம்)]
= 𝕋 [ 𝕋 ∨ -q] மெய்மம்

கேள்வி 13.
மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி (p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q) மற்றும் ¬p என்ற கூற்றுகள் தர்க்க சமானமானவை எனச் சோதிக்க.
தீர்வு:
¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q) மற்றும் ¬p.

நிரல் (5) மற்றும் (7) நிரல் ஒரே விதமாக உள்ளது.
∴ ¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q) மற்றும்d ¬p தர்க்க சமமானவை.

கேள்வி 14.
மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தாமல் p → (q → r) = (p ∧ q) → r என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
நிரூபிக்க p → (q → r) = (p ∧ q) → r உதாரணம் 12.17லிருந்து p → q = ¬p ∨ q என அறிவோம் …………..(1)
LHS = p → (q → r) எனக் கொள்க.
= p → (¬q ∨ r) [(1)-ஐ பயன்படுத்தி]
= =p ∨ (¬q ∨ r) [மீண்டும் (1) ஐ பயன்படுத்தி]
= (¬p ∨ ¬q) ∨ r [சேர்ப்புப்பண்பை பயன்படுத்தி]
= ¬(p ∧ q) ∨ r (டீமார்கனின் விதியைப் பயன்படுத்தி]
= (p ∧ q) → r [(1) -ஐ பயன்படுத்தி]
= RHS
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 15.
p → (¬q ∨ r) ≡ p ∨ (¬q ∨ r) என்பதை மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி நிறுவுக.
தீர்வு:

நிரல் (6) மற்றும் நிரல் (8) ஒரே விதமாக உள்ள ன.
∴ p → (¬q ∨ r) ≡ p ∨ (¬q ∨ r)