Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.6

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.6

கேள்வி 1.
சார்பு u (x,y) = x²y + 3xy⁴, x = e^t மற்றும் y = sin t, எனில் \(\frac{d u}{d t}\) -ஐக் காண்க. மேலும் 1 = 0-ல் அதன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட u (x, y) = x²y + 3xy⁴,
x = e^t, y = sin t
\(\frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}\) ………….. (1)
x = e^t
⇒ \(\frac{d x}{d t}\) = e^t

(1) இல் பிரதியிட கிடைப்பது,
\(\frac{d u}{d t}\) = (2e^t sint + 3 sin⁴ t)e^t + (e^2t + 12e^t sin³ t) cos t
\(\frac{d u}{d t}\) = 2e^2t sin t + 3 e^t sin⁴ t + e^2t cos t + 12e^t sin³ t cos t]
= e^t [2e^t sin t + 3 sin⁴ t + cos t + 12 sin³ t cos t]
\(\left(\frac{d u}{d t}\right)_{t=0}\) = e⁰ [2(1)(0) + 3(0) + 1 + 12 (0)]
= 1 [1] = 1
∴ \(\left(\frac{d u}{d t}\right)_{t=0}\) = 1

கேள்வி 2.
u(x, y, z) =xy²z³, x = sin t, y = cos t, z = 1 + e^2t, எனில் -ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட u (x, y, z) = xy² z³;
x = sin t, y = cos t; z = 1 + e^2t

\(\frac{d z}{d t}\) = 2e^2t
சங்கிலி விதிப்படி,
\(\frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}\)
= cos² t(1 + e^2t)³ (cos t) + 2 sin t cos t ( 1 + e^2t)³ (-sin t) + 3 sin t cos² t (1 + e^2t)² (2e^2t)
= (1 + e^2t)² [cos³ t(1 + e^2t) – 2 sin² t cos t (1 + e^2t) + 6 sin t cos² t e^2t]
= (1 + e^2t)² [cos³ t ( 1 + e^2t) – sin t sin 2t (1 + e^2t) + 6 sin t cos² t. e^2t]
[∵ sin 2t = 2 sin t cos t]

கேள்வி 3.
w (x, y, z) = x² + y² + z², x = e^t, y = e^t sin t; மற்றும் z = e² cos t எனில் \(\frac{d w}{d t}\) -ஐக் காண்க.
தீர்வு:
w (x, y, z) = x² + y² + z²,
x = e^t, y = e^t sin t, z = e^t cos t

சங்கிலி விதிப்படி,
\(\frac{d w}{d t}=\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}\)
∴ \(\frac{d w}{d t}\) = 2e^t(e^t) + 2e^t sin t (e^t cos t + sin t e^t) – e^t sin t + 2e^t cos t (e^t cos t – e^t sin t) .
∴ \(\frac{d w}{d t}\) = 2e^t[2 + 2 sin t cos t + 2 sin² t – 2 sin t cos t + 2cos² t]
= e^2t [2 + 2] = 4e^2t

கேள்வி 4.
U(x, y, z) = xyz, x = e^-t, y = e^-t cos t, z = sin t, T ∈ ℝ எனில் – ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட u (x,y, z) = xyz; x = e^-t; y = e^-t cos t; z = sin t

∴ சங்கிலி விதிப்படி,
\(\frac{d w}{d t}=\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}\)
∴ \(\frac{d w}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}\)
= e^-t cos t sini (-e^-t) + e^-t sin t (-e^-t) + e^-t sin t (-e^-t sin t – e^-t cos t (e^-t cos t) + (- e^-2t) cos t (cos ^-t)
= -e^-2t [(sin t cos t + sin² t + sin t cost – cos² t]
= -e^-2t [2 sin t cos t – (cos² t – sin² t)]
\(\frac{d u}{d t}\) = -e^-2t [sin 2t – cos 2t] [∵ cos 2t = cos² t – sin² t மற்றும் sin 2t = 2 sin t cos t]

கேள்வி 5.
W(x, y) = 6x³ – 3xy + 2y², x= e^t, y = cos s ∈ ℝ \(\frac{d w}{d s}\) எனில் -ஐக் காண்க மற்றும் S = 0 இல் அதன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட W (x, y) = 6x³ – 3xy + 2y²
x = e^s cos s
\(\frac{d w}{d x}\) = 18x² – 3y; \(\frac{d w}{d y}\) = -3x + 4y;
= 18(e^2s) – 3 cos (s);
\(\frac{d w}{d y}\) = -3e^s + 4 cos (s)
\(\frac{d x}{d s}\) = e^s; \(\frac{d y}{d s}\) = -sin(s)
சங்கிலி விதிப்படி,
\(\frac{d w}{d s}=\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d s}+\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d s}\)
= [18 e^2s – 3 cos (s)]e^s + (-3e^s + 4 cos (s)). (- sin (s))
∴ \(\frac{d w}{d s}\) = 18e^s – 3e^s cos (s) + 3e^3s (sin s) – 4 sin s cos s
இங்கு, \(\left(\frac{d w}{d s}\right)_{s=0}\) = 18(1) – 3 (1) (1) + 0 – 0
= 18 – 3 = 15

கேள்வி 6.
z(x, y) = x tan^-1(x, y), x = t², y = se^t, s, t ∈ ℝ \(\frac{\partial z}{\partial s}\) மற்றும் \(\frac{\partial z}{\partial t}\) ஆகியவற்றை s = t = 1 இல் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z (x, y) = x tan^-1 (xy) ;
x = t²; y = s^et

மேலும், \(\frac{d x}{d s}\) = 0; \(\frac{d y}{d s}\) = e^t
சங்கிலி விதிப்படி,

சங்கிலி விதிப்படி

கேள்வி 7.
U(x, y) = e^x sin y, என்க. இங்கு x = st², y = s²t, s t ∈ ℝ. \(\frac{\partial U}{\partial s}, \frac{\partial U}{\partial t}\) ஆகியவற்றை s = t = 1 இல் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட U(x, y) = e^x sin y,; x = st²
y = s²t

சங்கிலி விதிப்படி

கேள்வி 8.
z(x, y) = x³ – 3x²y³ என்க. இங்கு x = se^t, y = se^t, s, t ∈ ℝ. \(\frac{\partial z}{\partial s}\) மற்றும் \(\frac{\partial z}{\partial t}\) -ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z (x, y) = x³ – 3x²y³
x = se^t; y = se^-t

சங்கிலி விதிப்படி ;
∴ \(\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d s}+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d x}\)
= (3s² – e^2t – 6 s⁴ e^-2t) (e^t) + (-9s⁴) (e^-t)
= 3s² – e^3t – 6 s⁴ e^-t – 9 s⁴ e^-t
\(\frac{\partial z}{\partial s}\) = 3s² e^3t – 15 s⁴ e^-t

சங்கிலி விதிப்படி ;
\(\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{d y}{d t}\)
= (3s² e^2t – 6 s⁴ e^-2t) (se^t) + (-9s⁴) (-se^-t)
= 3s³ e^3t – 6s⁵ e^-t + 9s⁵ e^-t
= 3s³ e^3t + 3s⁵ e^-t = 3s³(e^3t + e^-t)

கேள்வி 9.
W(x, y, z) = xy + yz + zx, x = w – v, y = uv, z = u + v, u, v E∈ ℝ. எனில் \(\frac{\partial W}{\partial u}, \frac{\partial W}{\partial v}\) காண்க மற்றும் \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\) இல் அவற்றின் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட
W (x, y, z) = xy + yz + zx; x = u – y; y = uv; z = u + v
\(\frac{\partial \mathrm{W}}{\partial x}\) = y + z ; \(\frac{\partial \mathrm{W}}{\partial y}\) = x + z;
∴ \(\frac{\partial \mathrm{W}}{\partial x}\) = uv + u + v;

சங்கிலி விதிப்படி,