Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3

கேள்வி 1.
பின்வரும் நேரியச்சமன்பாட்டுத்தொகுப்புகளை நேர்மாமாறு அணி காணல் முறையில் தீர்க்க:
(i) 2x + 5y = – 2, x + 2y = -3
(ii) 2x – y = 8,3x + 2y = – 2
(iii) 2x+3y-z=9, x+y+z=9, 3x-y-z=-1
(iv) x+y+z- 2 = 0, 6x-4y + 5z – 31 = 0, 5x + 2y +2z = 13.
தீர்வு:
(i) 2x + 5y=-2, x + 2y =-3
தொகுப்பின் அணி வடிவம்
= \(\left(\begin{array}{ll}
2 & 5 \\
1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\) = \(\left(\begin{array}{l}
-2 \\
-3
\end{array}\right)\)
⇒ AX = B இங்கு
A = \(\left(\begin{array}{ll}
2 & 5 \\
1 & 2
\end{array}\right)\), B = \(\left(\begin{array}{l}
-2 \\
-3
\end{array}\right)\)
X = \(\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)\)
⇒ X = A-1B
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 1
∴ தீர்வுகணம் {-11, 4}

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3

(ii) 2x – y = 8, 3x+2y=-2
தொகையின் அணி வடிவம்
\(\left[\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
3 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{r}
8 \\
-2
\end{array}\right]\)
⇒ AX = B இங்கு A = \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
3 & 2
\end{array}\right]\)
B = \(\left[\begin{array}{r}
8 \\
-2
\end{array}\right]\)
⇒ X = A-1B.
இப்பொழுது |A|= \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
3 & 2
\end{array}\right]\) = 4 + 3 = 7
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 26
∴ x = 2, y = – 4
எனவே, தீர்வுகணம் {2,-4}

(iii) 2x+3y-z=9, x+y+7=9, 3x-y-7=-1.
தொகுப்பின் அணி வடிவம்
\(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
3 & -1 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{r}
9 \\
9 \\
-1
\end{array}\right]\)
AX = B இங்கு A = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
3 & -1 & -1
\end{array}\right]\),
X = \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) மற்றும் B = \(\left[\begin{array}{r}
9 \\
9 \\
-1
\end{array}\right]\)
⇒ X = A-1B
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 30
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 31
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 32
∴ x= 2, y = 3, z = 4
∴ தீர்வு கணம் {2,3,4}

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3

(iv) x+y+z- 2 = 0, 6x -4y + 5z – 31 = 0, 5x + 2y +2z = 13
தொகையின் அணி வடிவம்
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
6 & -4 & 5 \\
5 & 2 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{c}
2 \\
31 \\
13
\end{array}\right]\)
AX = B இங்கு A =\(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
6 & -4 & 5 \\
5 & 2 & 2
\end{array}\right]\)
X = \(\left[\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{c}
2 \\
31 \\
13
\end{array}\right]\)
⇒ X = A-1B
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 33
=1 (-8 – 10) – 1 (12 – 25) + 1 (12 + 20)
= 1 (-18) – 1 (- 13) + 1 (22) =-18 + 13 +32= 27
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 34
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 35
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 35.1
∴ x = 3, y = -2, z = 1
∴ தீர்வு கணம் {3,-2, 1}

கேள்வி 2.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
-5 & 1 & 3 \\
7 & 1 & -5 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]\) மற்றும் B = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right]\), எனில் பெருக்கற்பலன் AB மற்றும் BA காண்க. இதன் மூலம் x + y + 2z = 1, 3x + 2y + z = 7, 2x + y + 3z = 2 என்ற நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட A = \(\left[\begin{array}{rrr}
-5 & 1 & 3 \\
7 & 1 & -5 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]\).
B = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 36
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 37
ஆகையால் AB = BA = 4.I3 என அறிவோம்.
⇒ (\(\frac{1}{4}\)A)B = B(\(\frac{1}{4}\)A) = I
⇒ B-1 = \(\frac{1}{4}\) = I
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பை அணி வடிவில் எழுத கிடைப்பது,
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 38
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 38.1
∴ x = 2, y = 1, z =-1
எனவே தீர்வு கணம் {2, 1,-1}.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3

கேள்வி 3.
ஒருவர் ஒரு குறிப்பிட்ட மாத ஊதியத்தில் ஒரு பணியில் அமர்த்தப்படுகிறார். ஒவ்வொரு ஆண்டும் ஒரு நிலையான ஊதிய உயர்வு அவருக்கு வழங்கப்படுகிறது. 3 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவர் பெறும் ஊதியம் ₹19,800 மற்றும் 9 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு அவர் பெறும் ஊதியம் ₹23,400 எனில் அவருடைய ஆரம்ப ஊதியம் மற்றும் ஆண்டு உயர்வு எவ்வளவு என்பதைக் காண்க. (நேர்மாறு அணி காணல் முறையில் இக்கணக்கைத் தீர்க்க.)
தீர்வு:
அவருடைய ஆரம்ப ஊதியம் ₹x என்க மற்றும் ஆண்டு உயர்வு ₹y என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி x + 3y = 19800 மற்றும் x+9y= 23,400.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பின் அணி வடிவம்
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
1 & 9
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{l}
19800 \\
23400
\end{array}\right]\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 39
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 40
∴ x= 18000, y = 600.
எனவே அவருடைய ஆரம்ப ஊதியம் ₹ 18000 மற்றும் ஆண்டு உயர்வு ₹600.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3

கேள்வி 4.
ஆடவரும் 4 மகளிரும் சேர்ந்து ஒரு குறிப்பிட்ட வேலையை 3 நாட்களில் செய்து முடிப்பார்கள். அதே வேலையை 2 ஆடவரும் 5 மகளிரும் சேர்ந்து 4 நாட்களில் முடிப்பார்கள். எனில் அவ்வேலையை ஓர் ஆடவர் மற்றும் ஒரு மகளிர் தனித்தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு எத்தனை நாட்களாகும் என்பதை நேர்மாறு அணி காணல் முறையில் தீர்க்க.
தீர்வு:
ஒரு ஆடவர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு x நாட்கள் மற்றும் மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு y நாட்கள் ஆகும்.
∴ கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி,
\(\frac{4}{x}\) + \(\frac{4}{y}\) = \(\frac{1}{3}\) மற்றும் \(\frac{2}{x}\) + \(\frac{5}{y}\) = \(\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{x}\) = s மற்றும்
\(\frac{1}{y}\) = t என பிரதியிடு
∴ 4s + 4t = \(\frac{1}{3}\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 40.1
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் அணி வடிவம்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 41
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 42
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 42.1
ஆகையால் ஓர் ஆடவர் தனியாக செய்து ! முடிப்பதற்கு 18 நாட்கள் மற்றும் ஒரு மகளிர் தனியாக செய்து முடிப்பதற்கு 36 நாட்கள் ஆகும்.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3

கேள்வி 5.
A, B மற்றும் C என்ற பொருட்களின் விலை ஓர் அலகிற்கு முறையே ₹x, y, மற்றும் 7 ஆகும். P என்பவர் B-ல் 4 அலகுகள் வாங்கி, A-ல் 2 அலகையும் C-ல் 5 அலகையும் விற்கிறார். Q என்பவர் C-ல் 2 அலகுகள் வாங்கி A-ல் 3 அலகுகள் மற்றும் B-ல் 1 அலகையும் விற்கிறார். R என்பவர் A-ல் 1 அலகை வாங்கி , B-ல் 3 அலகையும் C அலகில் ஒரு அலகையும் விற்கிறார். இவ்வணிகத்தில் P, Q மற்றும் R முறையே ₹ 15,000,11,000 மற்றும் 14,000 வருமானம் ஈட்டுகின்றனர் எனில் A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க. (நேர்மாறு அணி காணல் முறையில் இக்கணக்கைத் தீர்க்க.)
தீர்வு:
A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலை ₹x, ₹y மற்றும் ₹z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி,
2x – 4y + 5z = 15000
3x+y-2z = 1000
-x+ 3y + z = 4000
சமன்பாடுகளின் தொகுப்பின் அணி வடிவம்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 45
= 2 (1 + 6) + 4 (3 – 2) +5 (9+ 1)
= 2 (7) + 4 (1) + 5(10) = 14+4+ 50 = 68.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 46
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 47
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 1 அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள் Ex 1.3 48
∴x = 2000, y = 1000, z = 3000.
A, B மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலைகள் முறையே ₹2000, ₹1000 மற்றும் ₹3000 ஆகும்.