Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.2

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் பின் வரும் வலை வரைகளுக்கும் தொடு கோட்டின் சாட்யினைக் பாண்க.
(i) y = x⁴ + 2x² – x, x = 1
(ii) x = a cos³ t, y = sin³ t, t = \(\frac{\pi}{2}\)
தீர்வு:
(i) y = x⁴ + 2x² – x, x = 1
கொழிக்கப்பட்ட y = x⁴ + 2x² – x
\(\frac{d y}{d x}\) = 4x³ + 4x – 1
x = 1 ம் தோற்கோட்டின் சாய்வு
m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=1)}\)
= 4(1)³ + 4(1) – 1
= 4 +4 – 1 = 7
∴ m = 7

(ii) x = a cos³ t, y = sin³ t, t = \(\frac{\pi}{2}\)
கொடுக்கப்பட்டா x = a cos³ t; y = sin³ t
\(\frac{d x}{d t}\) = -3a cos² t sin t;
\(\frac{d y}{d t}\) = -3b sin² t cos t;
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{3 b \sin ^{2} t \cos t}{-3 a \cos ^{2} t \sin t}=\frac{-b}{a} \tan t\)
t = \(\frac{\pi}{2}\) என்பது தொடுகோட்டின் சாய்வு
m = \(\)
= \(\frac{-b}{a}\) tan \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{-b}{a}\) × ∞ = ∞
∴ m = ∞

கேள்வி 2.
y = x² – 5x + 4 என்ற வளைவரைக்கு எப்புள்ளிகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு 3x + y = 7 என்ற கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கம்?
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட பாரடி y = x² – 5x + 4 மற்றும் கோடு 3x+y=7
வாையரைக்கான தொாபோட்டின் சாய்வு
m₁ = \(\frac{d y}{d x}\) = 2x – 5
கோட்டின் சாய்வு = m₂ = \(\frac{d y}{d x}\) = -3

வளைவளை மற்றும் தொடுகோட்டின் சாய்வு சமம்
∴ m₁ = m₂
⇒ 2x – 5 = -3
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1
x = 1 இக சாய்து
y = x² – 5x + 4 இடைட்டது
y = 1² – 5(1) + 4 = 0
∴ தேவையான புரிகள் (1, 0)

கேள்வி 3.
y = x³ – 6x² + x + 3 போன்ற வளை வரைக்கு எப்புள்ளிகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு x + y = 1729 என்ற கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்?
நீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட எனைவரை x³ – 6x² + x + 3
மற்றும் மோர் x + y = 1729
சளைகாரங்க தொர்கோட்டின் சாப்பு
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 12x + 1
வளைவறையின் நேர்க்கோட்டின் சாய்வு
m₁ = \(\frac{-1}{3 x^{2}-12 x+1}\)
நேர்க்கோட்டின் சாய்வு
m₂ = \(\frac{-1}{1}\) = -1
வளைவரைக்கான செங்கோடு மற்றும் நோக்கோடுகள்
m₁ = m₂
\(\frac{-1}{3 x^{2}-12 x+1}\) = – 1
3x² – 12x + 1 = 1
3x² – 12x = 0
3x(x – 4) = 0
x = 0 x = 4
x= 0 எனில், y = 0³ – 6(0)² + 0 + 3
y = 3 [1) விருந்து]
x = 4 எனில், y = 4³ – 6(4)² + 4 + 3
= 64 – 96 + 7 = -25
∴ (0, 3) மற்றும் (4.–25) தேவையான புள்ளிகள்

கேள்வி 4.
y² – 4xy = x² + 5 என்ற வளைவரைக்கு எப்புள்ளிகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருக்கும்?
தீர்வு:
கோழிக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு
y² – 4xy = x² + 5 ………… (1)
‘x’ ஆல் வகைப்படுத்த கிடைப்பது

வரைவரைக்கான தொடுகோடு கடைமட்டம் ஆதலால்
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = 0
∴ \(\frac{x+2 y}{y-2 x}\) = 0
⇒ x + 2y = 0
⇒ x = -2y ……….. (2)
(2) and (1)ல் பிரதிட்ட கடைப்பது
⇒ y² – 4(-2y)y = (-2y)² + 5
⇒ y² + 8y² = 4y² + 5
⇒ 9y² = 4y² + 5
⇒ 5y² = 5
⇒ y² = 1
⇒ y = ±1
(2) விருந்து,
y = 1 எனில், x = -2
y = -1 எனில், x = 2
∴ தேவையான புள்ளிகள் (2, -1) மற்றும் (-2, 1)

கேள்வி 5.
கீழ்க்கண்ட வளை வரைகளின் மீது’ கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் தொடுகோடு மற்றும் செய்கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
(i) y = x² – x⁴; (1, 0)
(ii) y = x⁴ + 2e^x; (0, 2)
(iii) y = x sin x; (\(\frac{\pi}{2}\) , \(\frac{\pi}{2}\))
(iv) x = cost, y = 2sin² t; t = \(\frac{\pi}{3}\)
தீர்வு:
(i) y = x² – x⁴; (1, 0)

தொடுக்காட்டின் சமன்பார் y – y₁ = m(x – x₁)
⇒ y – 0 = -2(x – 1)
⇒ y = -2x + 2
⇒ 2x + y = 2
செங்கோட்டின் சமன்பாடு)- y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\)(x – x₁)
⇒ y – 0 = \(\frac{1}{2}\)(x – 1)
⇒ 2y = x – 1
⇒ x – 2y = 1

(ii) y = x⁴ + 2e^x; (0, 2)

தொடுப்பாட்டின் சாட்வு y – y₁ = m(x – x₁)
⇒ y – 2 = 2 (x – 0)
⇒ y – 2 = 2x
⇒ 2x – y = -2
செங்கோட்டின் சாய்வு y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\)(x – x₁)
⇒ y – 2 = \(\frac{1}{2}\)(x – 0)
⇒ 2y – 4 = -x
⇒ x + 2y = 4

(iii) y = x sin x; (\(\frac{\pi}{2}\) , \(\frac{\pi}{2}\))
கோர்க்கப்பட்ட அனைவரையின் சமன்பாடு y = x sin x

(iv) x = cost, y = 2sin² t; t = \(\frac{\pi}{3}\)
கொடுக்கப்பட்ட போயாவரையின் சமன்பாடு
x = cos t; y = 3 sin² t

கேள்வி 6.
y = 1 + x³ என்ற வளைவரைக்கும் x + 12y = 12 என்ற கோட்டிக்கு செங்குத்தாக உள்ள தொடு கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க, .
தீர்வு:
வெறுக்கப்பட்ட வரைமின் சமன்பாடு
y = 1 + x³ மர்மம் கோர்ட் x + 12y = 12
வளைவரைபின் தொடுகோடின் சாய்வு
m₁ = \(\frac{d y}{d x}\) = 3x² மற்றும்
கோட்டின் சாய்வு = m₂

வளைவரைக்கான தொடுகோடு மற்றும் நேர்க்கோடு சொய்கத்து ஆதமாம் m₁ m₂ = -1
∴ 3x² (\(\frac{-1}{12}\)) = -1
⇒ \(\frac{x^{2}}{4}\) = 1
⇒ x² = 4
⇒ x = ±2
x = 2 எனில், y = 1 + 2³ = 9
x = -2 எனில், y = 1 + (-2)³
= 1 – 8 = -7
∴ (2, 9) ல் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
y – 9 = 12 (x – 2) [∵ m₁ = 3x² = 3(2)² = 12]
⇒ y – 9 = 12x – 24
⇒ 12x – y = 15
(-2, -7) -ல் தொடுகோட்டின் சமன்பார்
y + 7 = 12(x + 2)
⇒ y + 7 = 12x + 24
⇒ 12x – y = -17

கேள்வி 7.
y = \(\frac{x+1}{x-1}\) என்ற வளைவரைக்கு x + 2y = 6 என்ற கோட்டிக்கு இணையாக உள்ள தொடு கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க .
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட மாளவரைபின் சமன்பார்.
y = \(\frac{x+1}{x-1}\) மற்றும் கோடு x + 2y = 5 .
வளைவரைக்கான தொர்கோட்டின் சாப்பு

வளைவரைக்கான தொடுகோடு மற்றும் கோடுகள்
m₁ = m₂
⇒ \(\frac{-2}{(x-1)^{2}}\) = \(\frac{-1}{2}\)
⇒ 4 = (x + 1)²
⇒ x – 1 = ±2
⇒ x – 1 = 2 அல்லது x – 1 = -2
⇒ x = 3 அல்லது x = – 1
⇒ x = -1 எனில், y = \(\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}\) = 2
⇒ x = – 1 (அல்லது)
y = \(\frac{-1+1}{-1-1}=\frac{0}{-2}\) = 0
∴ (3, 2)-ல் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
y – y₁ = m(x – x₁)
⇒ y – 2 = \(\frac{-1}{2}\)(x – 3)
⇒ 2y – 4 = -x + 3
⇒ x + 2y = 7
(-1,0 ) தொடுக்காட்டின் சமன்பாற்
y – 0 = \(\frac{-1}{2}\)(x + 1)
⇒ 2y = -x – 1
x + 2y = -1

கேள்வி 8.
x = 7 cos t மற்றும் y = 2 sin t, t ∈ ℝ என்ற வளைவரைக்கு ஏதேகம் – புள்ளியில் வரையப்படும் தொடுபோடு மற்றும் செங்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க. தீர்வு:
கோர்க்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு

∴ வாைகரையில் எந்த பள்ளிக்கான தொட்கோட்டின்
சமன்பாடு y – 2 sin t = \(\bar{A}\) (x – 7 cos t)
⇒ (-7 sin t) y + 14 sin² t = (2 cos t)x – 14 cos² t
⇒ (2 cos t)x + (7 sin t)y
= 14(sin² t + cos² t)
= 14(1) = 14
⇒ (2 cos t)x + (7 sin t)y = 14
வளைவறையின் ஒத புsirefiதமான செங்கத்தின் சமன்பாடு y – 2 sin t = \(\frac{7 \sin t}{2 \cos t}\) (x – 7 cos t)
⇒ (2 cos t)y – 4 sin t cos t = (7 sin t)x – 49 sin t cos t
⇒ (7 sin t)x – (2 cos t)y = 49 sin t cos t – 4 sin t cos t
⇒ (7 sin t)x – (2 cos t)y = 45 sin t cos t

கேள்வி 9.
xy = 2 என்ற செவ்வக அதிபரவளையத்திற்கும் x² + 4y = 0 என்ற பரவளையத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணத்தினைக் காண்க.
தீர்வு:
செவ்வக அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு xy = 2
⇒ y = \(\frac{2}{x}\)
⇒ x . \(\frac{d y}{d x}\) + y (1) = 0
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-y}{x}\)
வளைவரைக்கான தொடுகோட்டின் சாய்வு m₁ = \(\frac{-y}{x}\)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு x² + 4y = 0 …… (1)
⇒ 2x + 4 \(\frac{d y}{d x}\) = 0
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-2 x}{4}=\frac{-x}{2}\)
வளைவரைக்கான தொடுகோட்டின் சாய்வு m₂ = \(\frac{-x}{2}\)
(1) ஐ (2) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
x² + 4 (\(\frac{2}{x}\)) = 0 ⇒ x² + \(\frac{8}{x}\) = 0
⇒ x³ + 8 = 0
⇒ x = -8= (-2) ⇒ x = -2
⇒ x = -2, y = –\(\frac{-2}{2}\) = -1
செவ்வக அதிபரவளையத்திற்கும் மற்றும் பரவளையத்திற்கான வெட்டும் புள்ளி (-2, -1)
∴ m₁ = \(\frac{-y}{x}=\frac{-(-1)}{-2}=\frac{-1}{2}\)
m₂ = \(\frac{-x}{2}=\frac{-(-2)}{2}=1\)
அதிபரவளையம் மற்றும் செவ்வக அதிபரவளைத்திற்கான கோணம் θ என்க.

கேள்வி 10.
x² – y² = r² மற்றும் xy = c² என்ற வளைவரைகள் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ளும் எனக்காட்டுக. இங்கு c, r ஆகியவை மாறிலிகள்.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடுகள் x² – y² = r² மற்றும் xy = c²
x² – y² = r²
⇒ 2x – 2y \(\frac{d y}{d x}\) = 0 .
⇒ 2x = 2y\(\frac{d y}{d x}\),
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x}{2 y}=\frac{x}{y}\)
வளைவரைகளின் வெட்டும் புள்ளி (x₁, y₂,) என்க.
∴ முதல் வளைவரைக்கான தொடுகோட்டின்
சாய்வு m₁ = \(\frac{x_{1}}{y_{1}}\) ……….. (1)
⇒ xy = c²
⇒ x . \(\frac{d y}{d x}\) + y (1) = 0
⇒ x \(\frac{d y}{d x}\) = – y
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-y}{x}\)
∴ முதல் வளைவரைக்கான தொடுகோட்டின்
சாய்வு m₂ = \(\frac{-y_{1}}{x_{1}}\) ……….. (1)
கருது m₁m₂ = \(\left(\frac{x_{1}}{y_{1}}\right)\left(\frac{-y_{1}}{x_{1}}\right)\) = -1
ஆதலால் கொடுக்கப்பட்ட m₁m₂ = -1 வளை வரைகள் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்ளும்.