Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 2 மெய்யெண்கள் Ex 2.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 2 மெய்யெண்கள் Ex 2.1

கேள்வி 1.
\(\frac{11}{3}\) ஐ மிகச் சரியாகக் காட்டும் அம்புக்குறி எது?

விடை:
\(\frac{11}{3}\) = 3\(\frac{2}{3}\) அம்புக்குறி D ஆனது \(\frac{11}{3}\) மிகச்சரியாகக் காட்டுகிறது.

கேள்வி 2.
\(\frac{-7}{11}\) மற்றும் \(\frac{2}{11}\) என்ற எண்களுக்கிடையே எவையேனும் மூன்று விகிதமுறு எண்களைக் காண்க.
விடை:
\(\frac{}{11}\) மற்றும் \(\frac{2}{11}\) ஆகிய எண்களுக்கிடையே உள்ள மூன்று விகிதமுறு எண்கள்
\(\frac{-6}{11}\), \(\frac{-5}{11}\), \(\frac{1}{11}\)

கேள்வி 3.
பின்வரும் எண் இணைகளுக்கு இடையே எவையேனும் ஐந்து விகிதமுறு எண்களைக் காண்க.
(i) \(\frac{1}{4}\) மற்றும் \(\frac{1}{5}\)
விடை:

(ii) 0.1மற்றும் 0.11
விடை:

(iii) -1மற்றும் -2
விடை:
-1.1, -1.2, -1.3, -1.4……..-1.9

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 1 கண மொழி Ex 1.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 1 கண மொழி Ex 1.7

சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக.

கேள்வி 1.
கீழ்க்க ண்டவற்றில் சரியானது எது?
(1) {7} ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(2) 7 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(3) 7 ∉ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(4) {7} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
விடை:
(ஆ) 7 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

கேள்வி 2.
கணம் P = {x/x ∈ Z, – 1x < 11} என்ப து
(1) ஓருறுப்புக் கணம்
(2) அடுக்குக் கணம்
(3) வெற்றுக் கணம்
(4) உட்கணம்
விடை:
(அ) ஒருறுப்புக் கணம்

கேள்வி 3.
U = {x|x ∈ ℕ, x < 10} மற்றும் A = {x|x ∈ ℕ, 2 ≤ x < 6} எனில் (A’)’ என்ப து
(1) {1, 6, 7, 8, 9}
(2) {1, 2, 3, 4}
(3) {2, 3, 4, 5}
(4) {}
விடை:
(இ) {2, 3, 4, 5}

கேள்வி 4.
B⊆A எனில் n(A∩B) என்பது
(1) n(A – B)
(2) n(B)
(3) n(B – A)
(4) n(A)
விடை:
(ஆ) n(B)

கேள்வி 5.
கணம் A = (x, y, z} எனில், A இன் வெற்றுக் கணமில்லாத உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை
(1) 8
(2) 5
(3) 6
(4) 7
விடை:
(4) 7

கேள்வி 6.
பின்வருவனவற்றுள் சரியானது எது?
(1) φ{a, b}
(2) φ E {a, b}
(3) {a} = {a, b}
(4) a{a, b}
விடை:
(அ) φ {a, b}

கேள்வி 7.

(1) A ≠ B
(2) A = B
(3) A ⊂ B
(4) B ⊂ A
விடை:
(ஆ) A = B

கேள்வி 8.
B- A என்பது B , எனில் A∩B என்பது
(1) A
(2) B
(3) U
(4) φ
விடை:
(4) φ.

கேள்வி 9.
அருகில் உள்ள படத்திலிருந்து n(P(A∆B)] ஐக் காண்க.
(1) 8
(2) 16
(3) 32
(4) 64

விடை:
(3) 32

கேள்வி 10.
n(A) = 10 மற்றும் n(B) = 15, எனில் கணம் A ∩B உள்ள குறைந்த பட்ச மற்றும் அதிகபட்ச உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை மற்றும்
(1) {10, 15}
(2) {15, 10}
(3) {10, 0}
(4) {0, 10}
விடை:
(4) {0, 10}

கேள்வி 11.
A= {φ} மற்றும் B = P(A) எனில், A∩B ஆனது
(1) {φ, {φ}}
(2) {φ}
(3) φ
(4) {0}
விடை:
(2) {φ}

கேள்வி 12.
ஒரு வகுப்பில் உள்ள 50 மாணவர்களில் 35 பேர் சுண்டாட்டம் (Carrom) விளையாடுபவர்கள் மற்றும் 20 பேர் சதுரங்கம் விளையாடுபவர்கள் எனில், இந்த இரண்டு விளையாட்டையும் விளையாடுபவர்களின் எண்ணிக்கை.
(1) 5
(2) 30
(3) 15
(4) 10
விடை:
(1) 5

கேள்வி 13.
U = {x : x ∈N மற்றும் x < 10}, A = {1, 2, 3, 5, 8} B = {2, 5, 6, 7, 9} எனில், n [(A∪B)] என்பது
(1) 1
(2) 2
(3) 4
(4) 8
விடை:
அ)1

கேள்வி 14.
P, Q மற்றும் R என்பன எவையேனும் மூன்று கணங்கள் எனில், P – (Q∩R) என்பது
(1) P – (Q∪R)
(2) (P∩Q) – R
(3) (P – Q) ∪ (P – R)
(4) (P – Q) ∩ (P – R)
விடை:
(3) (P – Q) ∪ (P – R)

கேள்வி 15.
கீழ்க்காண்பவற்றில் எது சரி?
(1) A – B = A∩B
(2) A – B=B – A
(3) (A∪B)^| =A^|∪B^|
(4) (A∩B)^| = A^|∪B^|
விடை:
(1) (A∩B)^| =A^|∪B^|

கேள்வி 16.
n (A∪B∪C) = 100, n(A) = 4x, n(B) = 6x, n(C) = 5x, n (A∩B) = 20, n (B∩C) = 15, n (A∩C) = 25 மற்றும் n (A∩B∩C) = 10 எனில், x இன் மதிப்பு
(1) 10
(2) 15
(3) 25
(4) 30
விடை:
(1) 10

கேள்வி 17.
A, B மற்றும் C என்பன எவையேனும் மூன்று கணங்கள் எனில், (A – B) ∩ (B – C) இக்குச் சமமானது.
(1) A மட்டும்
(2) B மட்டும்
(3) C மட்டும்
(4) φ
விடை:
(4) φ

கேள்வி 18.
J என்பது மூன்று பக்கங்களைக் கொண்ட உருவங்களின் கணம், K என்பது ஏதேனும் இரண்டு பக்கங்கள் சமமாக உள்ள உருவங்களின் கணம் மற்றும் L என்பது ஒரு கோணம் செங்கோணமாக உள்ள உருவங்களின் கணம் எனில், J∩K∩L என்பது
(1) இருசமபக்க முக்கோணங்களின் கணம்
(2) சமபக்க முக்கோணங்களின் கணம்
(3) இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணங்களின் கணம்
(4) செங்கோண முக்கோணங்களின் கணம்
விடை:
(3) இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணங்களின் கணம்

கேள்வி 19.
கொடுக்கப்பட்ட வென்படத்தில் நிழலிடப்பட்ட பகுதியானது
(1) Z – (X∪Y)
(2) (X∪Y)∩Z
(3) Z – (X∩Y)
(4) Z∪(X∩Y)

விடை:
இ) Z – (X∩Y)

கேள்வி 20.
ஒரு நகரில், 40 % மக்கள் ஒரு வகை பழத்தை மட்டும், 35 % மக்கள் இரண்டு வகை பழங்களை மட்டும், 20 % மக்கள் மூன்று வகை பழங்களையும் விரும்புகிறார்கள் எனில், மேற்கண்ட மூன்று வகை பழங்களையும் விரும்பாதவர்களின் சதவீதம் என்ன?
(1) 5
(2) 8
(3) 10
(4) 15
விடை:
அ) 5

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 1 கண மொழி Ex 1.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 1 கண மொழி Ex 1.6

கேள்வி 1.
(i) n(A) = 25, n(B) = 40, n(A∪B) = 50 மற்றும் n(B’) = 25, எனில், n(A∩B) மற்றும் n(∪) காண்க.
(ii) n(A) = 300, n(A∪B) = 500,n(A∩B) = 50 மற்றும் n(B’) = 350 எனில், n(B) மற்றும் n(∪) காண்க.
விடை:
(i) n(A) = 25, n(B)= 40, n(A∪B) = 50
n(A∩B) = n(A) + n(B) – n(A∪B)
= 25 + 40 – 50
= 65 – 50
= 15
n(U) = n(B)+n(B’)
= 40 + 25
= 65

(ii) n(A) = 300, n(A∪B) = 500, n(A∩B) = 50
n(B’) = 350
n(A∩B) = n(A) + n(B) – n(A∪B)
50 = 300 + n(B) – 500
50 = n(B) – 200
n(B) = 50 + 200
= 250
n(U) = n(B) + n(B’)
= 250 + 350
= 600

கேள்வி 2.
U = {x : x ∈ N, x ≤ 10}, A = {2, 3, 4, 8, 10} மற்றும் B = {1, 2, 5, 8, 10} எனில், n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) என்பதைச் சரிபார்க்க.
விடை:
U = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = (2, 3, 4, 8, 10}
n(A) = 5
B = {1, 2, 5, 8, 10}
n(B) = 5
A∪B = (1, 2, 3, 4, 5, 8, 10}
n(A∪B) = 7
A∩B ={2, 8, 10}
n(A∩B) = 3
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
= 5 + 5 – 3
= 10 – 3
= 7
n(A∪B) = 7
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

கேள்வி 3.
n(A∪B∪C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A∩B) – n (B∩C) – n (A∩C) + n (A∩B∩C) என்பதைக் கீழ்க்காணும் கணங்களுக்குச் சரிபார்க்க.
விடை:
i) A = {a, c, e, f, h}
B = {c, d, e, f}
C = {a, b, c, f}
n (A)= 5
n (B) = 4
n (C) = 4
A∩B = {c, e, f}
n(A∩B) = 3
(B∩C) = {c, f}
(A∩C) = {a, c, f}
n(B∩C) = 2
n(A∩C) = 3
A∪B∪C = {a, b, c, d, e, f, h}
n (A∪B∪C) = 7
A∩B∩C = {c, f}
n (A∩B∩C) = 2
n(A∪B∪C) = n(A) + n (B) + n (C) – n
(A∩B) – n (B∩C) – n
(A∩C) + n (A∩B∩C)
= 5 + 4 + 4 – 3 – 2 – 3 + 2
= 15 – 8

ii) A = {1, 3, 5}
B = {2, 3, 5, 6}
C = {1, 5, 6, 7}
n (A) = 3
n (B) = 4
n (C)= 4
A∩B = {3, 5}
B∩C = {5, 6}
A∩C = {1, 5}
(A∪B∪C) = {1, 2, 3, 5, 6, 7}
n (A∪B∪C)= 6
(A∩B∩C) = {5}
n(A∩B∩C) = 1
n (A∩B) = 2
n (B∩C) = 2
n (A∩C) = 2
n (A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) – n
(A∩B) – n (B∩C) – n
(A∩C) + n (A∩B∩C)
= 3 + 4 + 4 – 2 – 2 – 2 + 1
= 12 – 6
= 6 (சரிபார்க்கப்பட்டது)

கேள்வி 4.
ஒரு வகுப்பில் உள்ள அனைத்து மாணவர்களும் இசை அல்லது நாடகம் அல்லது இரண்டிலும் பங்கேற்கிறார்கள். 25 மாணவர்கள் இசையிலும், 30 மாணவர்கள் நாடகத்திலும், 8 மாணவர்கள் இசை மற்றும் நாடகம் இரண்டிலும் பங்கேற்கிறார்கள் எனில்
(i) இசையில் மட்டும் பங்கேற்கும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை.
(ii) நாடகத்தில் மட்டும் பங்கேற்கும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை.
(iii) வகுப்பில் உள்ள மொத்தமாணவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
விடை:
M என்பது இசையில் பங்கேற்கும் மாணவர்களின் கணம் மற்றும் D என்பது நாடகத்தில் பங்கேற்கும் மாணவர்களின் கணம் என்க. n(M) = 25, n(D) = 30, n(M∩D) = 8
(i) இசையில் மட்டும் பங்கேற்கும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை
n(M – D) = n(M) – n(M∩D)
= 25 – 8
= 17

(ii) நாடகத்தில் மட்டும் பங்கேற்கும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை.
n(D – M) = n(D) – n(M∩D)
= 30 – 8
22

(iii) வகுப்பில் உள்ள மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை
n(M∪D) = n(M) + n(D) – n(M∩D)
= 25 + 30 – 8
= 55 – 8
= 47

கேள்வி 5.
45 பேர் கொண்ட ஒரு குழுவில் ஒவ்வொருவரும் தேநீர் அல்லது குளம்பி (Coffee) அல்லது இரண்டையும் விரும்புகிறார்கள். 35 நபர்கள் தேநீர் மற்றும் 20 நபர்கள் குளம்பி விரும்புகிறார்கள். கீழ்க்காணும் நபர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
(i) தேநீர் மற்றும் குளம்பி இரண்டையும் விரும்புபவர்கள்.
(ii) தேநீரை விரும்பாதவர்கள்.
(iii) குளம்பியை விரும்பாதவர்கள்.
விடை:
n(∪) = 45
T என்பது தேநீர் விரும்புபவர்களின் கணம் என்க.
n(T) = 35
C என்பது குளம்பி விரும்புபவர்களின் கணம் என்க.
n(C) = 20
(i) தேநீர் மற்றும் குளம்பி இரண்டையும் விரும்புபவர்கள்.
n(C) = 20
n(T∪C) = 45
35 = n(T)
20 = n(C)
n(T∪C) = x
n(T∪C) = n(T) + n(C) – n(T∩C)
45 = 35 + 20 – x
45 = 55 – x
x = 55 -4 5
x = 10
n(T∩C) = 10
தேநீர் மற்றும் குளம்பி இரண்டையும் வரும்புபவர்களின் எண்ணிக்கை = 10

(ii) தேநீரை விரும்பாதவர்களின் எண்ணிக்கை
n(C – T) = n(C) – n(T∩C)
= 20 – 10
= 10

(iii) குளம்பியை விரும்பாதவர்களின் எண்ணிக்கை
n(T – C) = n(T) – n(T∩C)
= 35 – 10
= 25

கேள்வி 6.
ஒரு தேர்வில் கணிதத்தில் 50% மாணவர்கள் தேர்ச்சி பெற்றனர் மற்றும் 70% மாணவர்கள் அறிவியலில் தேர்ச்சி பெற்றனர். மேலும் 10% இரண்டிலும் தேர்ச்சி பெறாதோர். 300 மாணவர்கள் இரு பாடங்களிலும் தேர்ச்சி பெற்றுள்ளனர். இந்த இரு தேர்வை மட்டுமே மாணவர்கள் எழுதியிருந்தால் தேர்வெழுதிய மாணவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
தீர்வு:
n(∪) = 100
n(M∪S) = 100 – 10
n(M∪S) = n(M) + n(S) – n(M∩S)
90 = 50 + 70 – x
90 = 120 – x
x = 120 – 90
= 30%
தேர்வு எழுதியவர்கள் = \(\frac{100}{30}\)×300
= 1000 பேர்

கேள்வி 7.
A மற்றும் B ஆகிய இரு கணங்கள் n(A – B) = 32 + x, n(B – A) = 5x மற்றும் n(A∩B) = x, என அமைகின்றன. இத்தரவினை வென்படம் மூலம் குறிக்கவும். n(A) = n(B), எனில் x இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
(i) n(A) = n(B)
(தரவு)

32 + 2x = 6x
32 = 4x
4x = 32
x = \(\frac{32}{4}\)
x = 8

(ii) n(A∪B) = n(A – B) + n(A∩B) + n(B – A)
= 32 + x + x + 5x
= 32 + 2x + 5x
= 32 + 7x
= 32 + 7 × 8
= 32 + 56
n(A∪B) = 88

கேள்வி 8.
500 மகிழுந்து உரிமையாளர்களைப் பற்றிய ஆய்வில், 400 பேர் மகிழுந்து A ஐயும் 200 பேர் மகிழுந்து B ஐயும், 50 பேர் இரு வகையான மகிழுந்துகளையும் வைத்துள்ளனர் எனில் இது சரியான தகவலா? விடை:
n(A) = 400
n(B) = 200
n(A∩B) = 50
n(A∪B) = 500
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
= 400 + 200 – 50
= 550
ஆனால், n(A∪B) = 500. எனவே இது சரியான தகவலல்ல.

கேள்வி 9.
ஒரு குடியிருப்பில், 275 குடும்பங்கள் தமிழ்ச் செய்தித்தாளும், 150 குடும்பங்கள் ஆங்கிலச் செய்தித்தாளும், 45 குடும்பங்கள் இந்தி செய்தித்தாளும் வாங்குகின்றனர். 125 குடும்பங்கள் தமிழ் மற்றும் ஆங்கிலச் செய்தித்தாள்களையும், 17 குடும்பங்கள் ஆங்கிலம் மற்றும் இந்தி செய்தித்தாள்களையும், 5 குடும்பங்கள் தமிழ் மற்றும் இந்தி செய்தித் தாள்களையும், 3 குடும்பங்கள் மூன்று செய்தித்தாள்களையும் வாங்குகிறார்கள். குடியிருப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு குடும்பமும் குறைந்தது ஒரு செய்தித்தாளையாவது வாங்குகிறார்கள் எனில்,
i) ஒரு செய்தித்தாளை மட்டும் வாங்கும் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை,
ii) குறைந்தது இரண்டு செய்தித்தாள்களை வாங்கும் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை,
iii) குடியிருப்பில் உள்ள மொத்தக் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றைக் காண்க.
விடை:
T, E, மற்றும் H என்பன முறையே தமிழ், ஆங்கிலம் மற்றும் இந்தி செய்தித் தாள்களை வாங்கும் குடும்பங்களின் கணம் என்க.
n (T) = 275
n (E) = 150
n (H) = 45
n (T∩E) = 125
n (E∩H) = 17

n(T∩H) = 5
n (T∩E∩H) = 3
i)ஒரு செய்தித்தாளை மட்டும் வாங்கும் குடும்பங்கள்
= 148 + 11 + 26
= 185

ii) குறைந்தது இரண்டு செய்தித்தாள்களை வாங்கும் குடும்பங்கள்
= 122 + 3 + 14 + 2
= 141

iii) குடியிருப்பில் உள்ள மொத்தக் குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை
n (T∪E∪H) = n (T) + n (E) + n (H) – n (T∩E) – n (E∩H) – n (T∩H) + n (T∩E∩H)
= 275 + 150 + 45 – 125 – 17 – 5 + 3
= 473 – 147
= 326

கேள்வி 10.
1000 விவசாயிகளிடம் நடத்தப்பட்ட ஆய்வில், 600 விவசாயிகள் நெல் பயிரிட்டதாகவும், 350 விவசாயிகள் கேழ்வரகு பயிரிட்டதாகவும், 280 விவசாயிகள் மக்காச்சோளம் பயிரிட்டதாகவும் தெரிவித்தனர். மேலும், 120 விவசாயிகள் நெல் மற்றும் கேழ்வரகு, 100 விவசாயிகள் கேழ்வரகு மற்றும் மக்காச்சோளம், 80 விவசாயிகள் நெல் மற்றும் மக்காச்சோளப் பயிர்களையும் பயிரிட்டனர். ஒவ்வொரு விவசாயியும் மேற்கண்டவற்றில் குறைந்தது ஒரு பயிராவது பயிர் செய்தார் எனில், மூன்று பயிர்களையும் பயிரிட்ட விவசாயிகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
விடை:
A, B, C என்பன முறையே நெல், கேழ்வரகு, மற்றும் மக்காச்சோளம் பயிரிட்ட விவசாயிகளின் கணம் என்க.
n (A∪B∪C) = 1000
n (A) = 600
n (B) = 350
n (C) = 280
n (A∩B) = 120
n (B∩C) = 100
n (A∩C) = 80
n (A∪B∪C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A∩B) – n (B∩C) – n(A∩C) + n (A∩B∩C)
1000 = 600 + 350 + 280 – 120 – 100 – 80 + n (A∩B∩C)
1000 = 1230 – 300 + (A∩B∩C)
1300 – 1230 = n(A∩B∩C)
70 = = n (A∩B∩C)
எனவே, 70 விவசாயிகள் மூன்று பயிர்களையும் பயிரிட்டவர்கள்.

கேள்வி 11.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், n (U) = 125, y ஆனது x ஐப் போல் இருமடங்கு மற்றும் Z ஆனது x ஐ விட 10 அதிகம் எனில், x, y
மற்றும் 2 ஆகியவற்றின் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
n(U)= 125
y = 2x
Z = x + 10

n (U) = x + y + z + 4 + 6 + 3 + 17 + 5
125 = x + 2x + x + 10 + 35
125 = 4x + 45
4x = 125 – 45
4x = 80
x= \(\frac{80}{4}\)
x = 20
y = 2x
y = 2 × 20
y = 40
Z = x + 10
Z = 20 + 10
Z = 30

கேள்வி 12.
35 மாணவர்கள் கொண்ட ஒரு வகுப்பில் ஒவ்வொருவரும் சதுரங்கம் (Chess), சுண்டாட்டம் (Carrom), மேசை வரிப்பந்து (Table tennis) ஆகிய விளையாட்டுகளில் ஏதேனும் ஒன்றை விளையாடுகிறார்கள். 22 மாணவர்கள் சதுரங்கமும், 21 மாணவர்கள் சுண்டாட்டமும், 15 மாணவர்கள் மேசை வரிப்பந்தும், 10 மாணவர்கள் சதுரங்கம் மற்றும் மேசை வரிப்பந்தும், 8 மாணவர்கள் சுண்டாட்டம் மற்றும் மேசை வரிப்பந்தும், மாணவர்கள் மூன்று விளையாட்டுகளையும் விளையாடுகிறார்கள் எனில்,
(i) சதுரங்கம் மற்றும் சுண்டாட்டம் விளையாடி மேசை வரிப்பந்து விளையாடாதவர்கள்
(ii) சதுரங்கம் மட்டும் விளையாடுபவர்கள்
(iii) சுண்டாட்டம் மட்டும் விளையாடுபவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க. [குறிப்பு வென்படத்தைப் பயன்படுத்தவும்]
விடை :
A, B, C என்பன முறையே சதுரங்கம், சுண்பாட்டம் மற்றும் மேசை வரிப்பந்து விளையாடுபவர்களின் கணங்கள் என்க.
n (A∪B∪C) = 35
n (A) = 22
n (B) = 21
n (C) = 15
n (A∩C) = 10
n (A∩B∩C) = 6

n (B∩C) = 8
n(A∩B) = x + 6
n (A∪B∪C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A∩B) – n (B∩C) – n(A∩C) + n (A∩B∩C)
35 = 22 + 21 + 15 – (x + 6) – 8 – 10 + 6
35 = 58 – (x + 6) – 18 + 6
35 = 58 – (x + 6) – 12
35 = 58 – 12 – (x + 6)
35 = 46 – x – 6
35 = 40 – x
35 = 40 – 35
x = 5

i) சதுரங்கம் மற்றும் சுண்டாட்டம் விளையாடி மேசை விரிப்பந்தை விளையாடாதவர்கள் = 5
ii) சதுரங்கம் மட்டும் விளையாடுபவர்கள்
= 22 – (10 + x)
= 22 – (10 + 5)
= 7
iii) சுண்டாட்டம் மட்டும் விளையாடுபவர்கள்
= 21 – (8 + x)
= 21 – (8 + 5)
= 21 – 13
= 8

கேள்வி 13.
ஒரு வகுப்பிலுள்ள 50 மாணவர்கள், பேருந்து மூலமாகவோ அல்லது மிதிவண்டி மூலமாகவோ அல்லது நடந்தோ பள்ளிக்கு வந்தடைகின்றனர். 25 மாணவர்கள் பேருந்து மூலமும், 20 மாணவர்கள் மிதிவண்டி மூலமும், 30 மாணவர்கள் நடந்தும், 10 மாணவர்கள் மூன்று வகைப் பயணங்களிலும் வருகிறார்கள் எனில் எத்தனை மாணவர்கள் சரியாக இரண்டு வகைப் பயணங்களில் மட்டும் பள்ளிக்கு வந்தடைகின்றனர்.
விடை :
A, B, C என்பன பேருந்து, மிதிவண்டி மற்றும் நடந்து பள்ளிக்கு வரும் மாணவர்களின் கணங்கள் என்க.
n (A∪B∪C) = 50
n (A) = 25
n (B) = 20
n (C) = 30
n (A∩B∩C) = 10
n (A∩B) = x + 10

n (B∩C) = y + 10
n (A∩C) = z + 10
இரண்டு வகைப் பயணங்களில் மட்டும் பள்ளிக்கு வரும் மாணவர்கள்
n (A∪B∪C) = n(A) + n (B) + n (C) – n (A∩B) – n (B∩C) – n(A∩C) + n (A∩B∩C)
50 = 25 + 20 + 30 – (x +10) – (y + 10) – (z + 10) + 10
50 = 75 – x – 10 – y – 10 – z – 10 + 10
50 = 75 – (x + y + z + 10) – 10
x + y + z + 10 = 75 – 50 – 10
x + y + z + 10 = 75 – 60
x + y + z + 10 = 15
x + y + z = 15 – 10
x + y + z = 5
எனவே, இரண்டு வகைப் பயணங்களில் மட்டும் பள்ளிக்கு வரும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = 5

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1

கேள்வி 1
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் கோணம் B ஐப் பொறுத்து அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களையும் காண்க.

விடை:

கேள்வி 2.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில்
i) sin B
ii) sec B
iii)cot B
iv) cos C
v) tan C
vi) cosecC
ஆகியவற்றைக் காண்க.

விடை:

AB² = BD² + DA²
(13)² = (5)² + DA²
169 = 25 + DA²
169 – 25 = DA²
144 = DA²
\(\sqrt{144}\) = DA
12 = DA

AC² = AD² + DC²
(AC)² = (12)² + (16)²
(AC)² = 144 + 256
AC² = 400
AC = \(\sqrt{400}\)
AC = 20

கேள்வி 3.
2cos θ = \(\sqrt{3}\) எனில் , வின் அனைத்து முக்கோணவியல் விகிதங்களையும் காண்க.
விடை:
2 cos θ = \(\sqrt{3}\)

AB² = BC² +CA²
AB² = (\(\sqrt{3}\))² + CA²
(2)² = (\(\sqrt{3}\))² +CA²
4 = 3 + CA²
4 – 3 = CA²
1 = CA²
CA = 1

கேள்வி 4.
cos A = \(\frac{3}{5}\) எனில், \(\frac{\sin A-\cos A}{2 \tan A}\) இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:

= \(\frac{3}{40}\)

PQ² = PR² + RQ²
(5)² = (3)² + RQ²
25 = 9 + RQ²
25 – 9 = RQ²
16 = RQ
RQ = \(\sqrt{16}\)
RQ = 4

கேள்வி 5.
cos A = \(\frac{2 x}{1+x^{2}}\) எனில், sin A மற்றும் tan A இன் மதிப்புகளை X இல் காண்க.
விடை:

PQ² = PR² + RQ²
(1 + x²)² = (2x)² + RQ²
1 + x⁴ + 2x² = 4x² + RQ²
1 + x⁴ – 2x² = RQ²
RO = \(\sqrt{1+x^{4}-2 x^{2}}\)
RQ = \(\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\)
RQ = 1 – x²

கேள்வி 6.
sin θ = \(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\), எனில், b sin θ = a cos θ என நிறுவுக.
விடை:

b sin θ = a cos θ (நிறுவப்பட்டது)
AC² = AB² + BC²
\(\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}\) = AB² + a²
a² + b² = AB² + a²
AB² = a² + b² – a²
AB² = b²
AB = b

கேள்வி 7.
3 cot A = 2 எனில், \(\frac{4 \sin A-3 \cos A}{2 \sin A+3 \cos A}\) மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
3 cot A = 2
cot A = \(\frac{2}{3}\)



PQ² = PR² + RQ²
PQ² = (2)² + (3)²
PQ² = 4 + 9
PQ² = 16
PQ = \(\sqrt{16}\)
PQ = 4

கேள்வி 8.
cos θ : sin θ = 1 : 2, எனில், \(\frac{8 \cos \theta-2 \sin \theta}{4 \cos \theta+2 \sin \theta}\) இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
cos θ : sin θ = 1 : 2

கேள்வி 9.
கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில் θ + Φ = 90° என மெய்பிக்க. இப்படத்தில் மேலும் இரு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன என்பதை மெய்ப்பித்து, sin α, cos β மற்றும் tan Φ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளையும் காண்க.

விடை:
∆ ACB இல்,
∠C = θ + Φ
sin (θ + Φ)= sin θ cos Φ + cos θ sin Φ
= \(\frac{9}{15} \times \frac{12}{20}+\frac{12}{15} \times \frac{16}{20}\)
= \(\frac{108}{300}+\frac{192}{300}\)
= \(\frac{108+192}{300}\)

= \(\frac{16}{12}\)
= \(\frac{4}{3}\)

கேள்வி 10.
ஒரு மாணவன் ‘0’ என்ற புள்ளியில் தரையில் நின்று கொண்டு ‘P’ என்ற புள்ளியில் உள்ள பட்டத்தை OP = 25மீ என்றவாறு காண்கிறான். P இலிருந்து மேலும் 10மீ தொலைவு நகர்ந்து Q என்ற புள்ளியில் பட்டம் உள்ள போது, தரையிலிருந்து பட்டத்தின் உயரம் ‘கேள்வி’ ஐக் காண்க. (முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பயன்படுத்துக).

விடை:
∆ QON இல்
sin θ = \(\frac{\mathrm{கேள்வி}}{\mathrm{OQ}}=\frac{\mathrm{h}}{25+10}\)
sin θ = \(\frac{\mathrm{h}}{35}\) …………… (1)
∆ POM இல்,
sin θ = \(\frac{5}{25}\) ……………… (2)
1 மற்றும் 2 இலிருந்து
\(\frac{\mathrm{h}}{35}=\frac{5}{25}\)
\(\frac{\mathrm{h}}{35}=\frac{1}{5}\)
h = \(\frac{35}{5}\)
h = 7
தரையிலிருந்து பட்டத்தின் உயரம் = 7 மீ

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.3

கேள்வி 1.
கீழ்க்காண்பனவற்றின் மதிப்பு காண்க.
i) \(\left(\frac{\cos 47^{0}}{\sin 43^{\circ}}\right)^{2}+\left(\frac{\sin 72^{\circ}}{\cos 18^{\circ}}\right)^{2}-2 \cos ^{2} 45^{\circ}\)
ii) \(\frac{\cos 70^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}+\frac{\cos 59^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}-8 \cos ^{2} 60^{\circ}\)
iii) tan 15° tan30° tan45° tan 60° tan 75°

விடை:

= 1 + 1 – 2 × \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\)
= 1 + 1 – 2 × \(\frac{1}{2}\)
= 1 + 1 – \(\frac{2}{2}\)
= 1 + 1 – 1
= 0

ii) \(\frac{\cos 70^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}+\frac{\cos 59^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}-8 \cos ^{2} 60^{\circ}\)
= \(\frac{\cos \left(90^{\circ}-20^{\circ}\right)}{\sin 20^{\circ}}+\frac{\cos \left(90^{\circ}-31^{\circ}\right)}{\sin 31^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\cos \theta}-\) \(8 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}+\frac{\sin 31^{\circ}}{\sin 31^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\cos \theta}-8 \times\left(\frac{1}{4}\right)\)
= 1 + 1 + 1 – 2
= 3 – 2
= 1

iii) tan 15° tan30° tan45° tan 60° tan 75°
= tan (90° – 75°) tan30° tan 45o tan 60° tan 75°
= cot 75° × \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × 1 × \(\sqrt{3}\) × tan 75°
= \(\frac{1}{\tan 75^{\circ}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times 1 \times \sqrt{3} \times \tan 78^{\circ}\)
= 1

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.2

கேள்வி 1.
பின்வரும் சமன்பாடுகளைச் சரிபார்க்க.
i) sin² 60° + cos² 60° = 1
ii) 1 + tan² 30° = sec² 30°
iii) cos 90° = 1 – 2 sin² 45° = 2 cos² 45° – 1
iv) sin 30° cos 60° + cos30° sin60° = sin 90°
விடை:
i) LHS = sin² 60° + cos² 60°
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\)
= \(\frac{4}{4}\)
= 1
RHS = 1 (சரிபார்க்கப்பட்டது)

ii) 1 + tan² 30° = sec² 30°
LHS = 1 + tan² 30°
= 1 + \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}\)
= 1 + \(\frac{1}{3}\)
= \(\frac{4}{3}\)
sec² 30° = \(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}\)
= \(\frac{4}{3}\)
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

iii) cos 90° = 1 – 2 sin² 45° = 2 cos² 45° – 1
1 – 2 sin² 45° = 1 – 2 × \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\)
= 1 – 2 × \(\frac{1}{2}\)
= 1 – 1
= 0
2 cos² 45° – 1 = 2 × \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\) – 1
= 2 × \(\frac{1}{2}\) – 1
= \(\frac{2}{2}\) – 1
= 1 – 1
= 0
cos 90° =0
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

iv) sin 30° cos 60° + cos30° sin60° = sin 90°
LHS = sin 30° cos 60° + cos30° sin60°
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}\) = 1
sin 90° = 1
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

கேள்வி 2.
கீழ்க்காண்டவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
i)
ii) (sin90° + cos 60° + cos 45°) × (sin 30° + cos 0° – cos 45°)
iii) sin² 30° – 2 cos² 60° +3 tan⁴ 45°
விடை:
i)
= \(\frac{1}{2}+\frac{2}{1}-\frac{5 \times 1}{2 \times 1}\)
= \(\frac{1+4}{2}-\frac{5}{2}\)
= \(\frac{5}{2}-\frac{5}{2}\)
= 0

ii) (sin90° + cos 60° + cos 45°) × (sin 30° + cos 0° – cos 45°)
= \(\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times\left(\frac{1}{2}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\)
= \(\frac{9}{4}-\frac{1}{2}=\frac{9-2}{4}\)
= \(\frac{7}{4}\)

iii) sin² 30° – 2 cos² 60° +3 tan⁴ 45°
= \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-2 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3 \times 1\)
= \(\frac{1}{4}\) – 2(\(\frac{1}{8}\)) + 3
= \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{1}{4}\) + 3
= 3

கேள்வி 3.
A = 30° எனில், cos 3A = 4 cos³ A – 3 cosA, என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.
விடை:
4 cos³A – 3 cosA மற்றும் A = 30° எனில்,
4 cos³ 30° – 3 cos 30°
= \(4 \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}-3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
= \(4 \times \frac{3 \sqrt{3}}{8}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)
= 0
cos 3 A = cos (3 × 30°) = cos 90°
= 0
LHS = RHS (சரிபார்க்கப்பட்டது)

கேள்வி 4.
x = 15° எனில், 8 sin 2x. cos 4x. sin 6x இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
8 sin 2x cos 4 x sin 6x, x = 15°
8 sin (2 × 15°) cos (4 × 15°) sin (6 × 15°)
= 8 sin 30° cos 60° sin 90°
= 8 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × 1 = \(\frac{8}{4}\) = 2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.4

கேள்வி 1.
முதன்மை மதிப்பு காண்க
(i) sec^-1\(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
(ii) cot^-1\((\sqrt{3})\)
(iii) cosec^-1\((-\sqrt{2})\)
தீர்வு:

(ii)
cot^-1\((\sqrt{3})\)
cot^-1\((\sqrt{3})\) = θ என்க
⇒ \(\sqrt{3}\) = cot θ ⇒ tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ tan θ = tan \(\frac{\pi}{6}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{6}\) [∵ \(\frac{\pi}{6}\) ∈ \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)]
∴ cot^-1\((\sqrt{3})\) = \(\frac{\pi}{6}\)

(iii) cosec^-1\((-\sqrt{2})\)
cosec^-1\((-\sqrt{2})\) = θ என்க
⇒ \(\sqrt{2}\) = cosec θ
⇒ sin θ = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)
⇒ sin θ = –\(\frac{\pi}{4}\)
⇒ sin θ = sin\(\left(\frac{-\pi}{4}\right)\) [∵ sin(-θ) = -sin θ]
⇒ θ = \(\frac{-\pi}{4}\) [∵ \(\frac{\pi}{4}\) ∈ \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)\{0} ]

கேள்வி 2.

(i) tan^-1\((\sqrt{3})\) – sec^-1(-2)
(ii) sin^-1(1) + cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + cot^-1(2)
(iii) cot^-1(1)+ sin^-1\(\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\) – sec^-1\((-\sqrt{2})\)
தீர்வு:
(i) tan^-1\((\sqrt{3})\) – sec^-1(-2)

(ii) sin^-1 + cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + cot^-1(2)

= –\(\frac{\pi}{2}\) + \(\frac{\pi}{3}\) + cot^-1(2)
= cot^-1(2) + \(\frac{-3 \pi+2 \pi}{6}\) = cot^-1(2) – \(\frac{\pi}{6}\)

(iii)

⇒ y = –\(\frac{\pi}{3}\)
sec^-1\((-\sqrt{2})\) = z என்க
⇒ sec z = –\(\sqrt{2}\) ⇒ cos z = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)
⇒ cos z = -cos\(\frac{\pi}{4}\) ⇒ cos z = cos \(\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\)
⇒ cos z = cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}\right)\) ⇒ z = \(\frac{3 \pi}{4}\)
∴ cot^-1(-1) + sin^-1\(\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\) – sec^-1(-\(\sqrt{2}\))
= \(\frac{\pi}{4}\) – \(\frac{\pi}{3}\) – \(\frac{3 \pi}{4}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.3

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் ரோலின் தேற்றம் ஏன் ! பயன்படுத்த முடியாது என்பதை விளக்குக.
(i) f(x) = \(\left|\frac{1}{x}\right|\), x ∈ [-1, 1]
(ii) f(x) = tan x, x ∈ [0, π]
(iii) f(x) = x – 2 log x, x ∈ [2, 7]
தீர்வு:
(i) f(x) = \(\left|\frac{1}{x}\right|\), x ∈ [-1, 1]
கொடுக்கப்பட்ட f(x) = \(\left|\frac{1}{x}\right|\) x ∈ [-1, 1]
[-1, 1] ல் f (x) = \(\left(\frac{1}{x}\right)\), x = 0 -ல் தொடர்ச்சி அற்றது மற்றும் (-1, 1)-ல் வகையிடத்தக்கது அல்ல. ஆதலால் ரோலின் தேற்றத்தை பயன்படுத்த முடியாது

(ii) f(x) = tan x, x ∈ [0, π]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = tan x, x ∈ [0, π]
x = \(\frac{\pi}{2}\) ;-ல் tan x தொடர்ச்சி அற்றது ஆதலால் ரோலின் தேற்றத்தை பயன்படுத்த முடியாது.
[∵ tan \(\frac{\pi}{2}\) = ∞]

(iii) f(x) = x – 2 log.x, x ∈ [2, 7]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x- 2 log x ∈ [2, 7]
(i) f (x), [2, 7] ல் தொடர்ச்சியானது
(ii) f (x), (2, 7) ல் வகையிடத்தக்கது
f(2) = 2 – 2 log 2
= 2 – log 2² = 2 – log 4
f(7) = 7 – 2 log 7
= 7 – log 7² = 7 – log 49
ஆதலால் f (2) ≠ f (7) ரோலின் தேற்றத்தை பயன்படுத்த முடியாது

கேள்வி 2.
ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு x -ன் எம்மதிப்புகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு x- அச்சிற்கு இணையாக இருக்கும்?
(i) f(x) = x² – x, x ∈ [0, 1]
(ii) f(x) = \(\frac{x^{2}-2 x}{x+2}\), x ∈ [-1, 6]
(iii) f(x) = \(\sqrt{x}-\frac{x}{3}\), x ∈ [0, 9]
தீர்வு:
(i) f(x) = x² – x, x ∈ [0, 1]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x² – x, x ∈ [0, 1]
(i) [0, 1]ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
(ii) (0, 1) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
(iii) f(0) = 0² – 0 = 0
f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0
∴ f(0) = f (1) ரோலின் தேற்றப்படி C ∈ [0, 1] பின்வருமாறு உள்ளது
f'(c) = 0
⇒ 2c – 1 = 0
⇒ 2c = 1
c = \(\frac{1}{2}\) ∈ [0, 1]

(ii) (ii) f(x) = \(\frac{x^{2}-2 x}{x+2}\), x ∈ [-1, 6]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{x^{2}-2 x}{x+2}\), x ∈ [-1, 6]
அ) [-1, 6] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (-1, 6) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ) f(-1) = \(\frac{(-1)^{2}-2(-1)}{-1+2}=\frac{1+2}{1}\) = 3
f(6) = \(\frac{6^{2}-2(6)}{6+2}\)
= \(\frac{36-12}{8}=\frac{24}{8} \) = 3
∴ f(-1) = f(6)
ரோலின் தேற்றப்படி c ∈ [-1, 6] பின்வருமாறு உள்ளது.
f'(c) = 0

(iii) f(x) = \(\sqrt{x}-\frac{x}{3}\), x ∈ [0, 9]
அ) [0, 9] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (0, 9) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(0) = 0
f(9) = \(\sqrt{9}-\frac{9}{3}\) = 3 – 3 = 0
f(0) = f (9)
∴ ரோலின் தேற்றப்படி C E [0, 9] பின்வருமாறு
அமைந்துள்ளது f'(c) = 0

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த c = \(\frac{9}{4}\) ∈ [0, 9]

கேள்வி 3.
கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் ஏன் பயன்படுத்த முடியாது என்பதை விளக்குக.
(i) f(x) = \(\frac{x+1}{x}\), x ∈ [-1, 2]
(ii) f(x) = |3x + 1|, x ∈ [-1, 3]
தீர்வு:
(i) f(x) = \(\frac{x+1}{x}\), x ∈ [-1, 2]
x = 0 ல் f (x) தொடர்ச்சியற்றதால் லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு பயன்படுத்த முடியாது.

(ii) f(x) = |3x + 1|, x ∈ [-1, 3]
[-1, 3] ல் f (x) தொடர்ச்சியுடையது ஆனால் x = \(\frac{-1}{3}\) ல் வகையிடத்தக்கதல்ல.

கேள்வி 4.
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியின் முனைப் புள்ளிகள் வழியே செல்லும் நாணுக்கு! இணையாக ஒரு தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -ன் மதிப்பைக் காண்க.
(i) f(x) = x³ – 3x + 2, x ∈ [-2, 2]
(ii) f(x) = (x – 2)(x – 7), x ∈ [3, 11]
தீர்வு:
(i) f(x) = x³ – 3x +2, x ∈ [-2, 2]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x³ – 3x + 2, x ∈ [-2, 2]
அ) [-2, 2] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (-2, 2)ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
f(-2) = (-2)³ – 3 (-2) +2
= -8 + 6 + 2 = 0
f(2) = 2³ – 3 (2) + 2
= 8 – 6 + 2 = 4
லெக்ராஞ்சியின் C ∈ [-2, 2] எனுமாறு
f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
⇒ 3c² – 3 = \(\frac{4-0}{2-(-2)}=\frac{4}{4}\) = 1
⇒ 3c² – 3 = 1
⇒ 3c² = 4 = c² = \(\frac{4}{3}\)
⇒ c = \(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\) ∈ (-2, 2)

(ii) f(x) = (x – 2)(x – 7), x ∈ [3, 11]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = (x- 2)(x – 7),x ∈ [3, 11] ;
அ) [3, 11] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (3, 11) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(11) = (11 – 2) (11 –7)
= (9) (4) = 36
f(3) = (3 – 2) (3 – 7)
= (1) (4) =- 4
∴ லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி c ∈ [3, 11] ஒரு ஆனது f ‘(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) எனுமாறு உள்ளது.
f (x) = (x – 2) (x – 7)
= x² – 7x – 2x + 14
= x² – 9x + 14
⇒ 2c – 9 = \(\frac{36+4}{11-3}\)
⇒ 3c – 9 = \(\frac{40}{8}\)
⇒ 2c = 14
⇒ c = 7 ∈ [3, 11]

கேள்வி 5.
(i) f(x) = \(\frac{1}{x}\) என்ற சார்பிற்கு [a, b] – யை மிகை முழு எண்களாக கொண்ட மூடிய இடைவெளி [a, b] -ல் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி இறுதி மதிப்பு \(\sqrt{ab}\) என நிறுவுக.
(ii) f(x) = Ax² + Bx + C என்ற சார்பிற்கு எந்த ஒரு மூடிய இடைவெளி [a, b] -ல் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி இறுதி மதிப்பு \(\frac{a+b}{2}\) என நிறுவுக .
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{1}{x}\), x ∈ [a, b]
அ) [a, b] ல் f (x) தொடர்ச்சியுடையது
அ) (a, b) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(b) = \(\frac{1}{b}\), f(a) = \(\frac{1}{a}\)
சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தை பயன்படுத்த c ∈ [a, b] எனுமாறு f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) உள்ளது.

(ii) கொடுக்கப்பட்ட f (x) = Ax² + Bx + C, x ∈ [a, b]
அ) [a, b] ல் f (x) தொடர்ச்சியுடையது
ஆ) (a, b) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(b) = Ab² + Bb + c,
f(a) = Aa² + Ba + c
சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தை பயன்படுத்த c ∈ [a, b] எனுமாறு f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) உள்ளது.

கேள்வி 6.
ஒரு பந்தய மகிழுந்து ஓட்டுநர் 20-ஆம் கிலோமீட்டரில் இருந்து புறப்படுகிறார். அதன் வேகம் எப்பொழுதும் 150 கி.மீ/மணி-யை தாண்டவில்லை எனில், அடுத்த இரண்டு மணி நேரத்தில் அவரால் கடக்க முடிந்த அதிகபட்ச வேகம் காண்க.
தீர்வு:
‘t’ காலத்தில் கடந்த தூரம் f (t)
என்க. கொடுக்கப்பட்ட f (0) = 20 மற்றும் f (2) = ?
மேலும் வேகம் = f'(t) ≥ 150 தூர சார்பு தொடர்ச்சியானது மற்றும் வகையிடத்தக்கது லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி C ஆனது
⇒ f’ (c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
⇒ f'(c) = \(\frac{f(2)-20}{2-0}\) ≥ 150
எனுமாறு உள்ளது.
[ஓட்டுநர் வேகம் 150 கி.மீ/மணி மற்றும் f’ (c) வேகத்தை குறிக்கிறது]
⇒ \(\frac{f(2)-20}{2-0}\) ≥ 150
⇒ f(2) – 20 ≥ 300
⇒ f(2) ≥ 320 ஆதலால் அடுத்த 2 மணி நேரத்தில் அவரால் கடக்க முடிந்த அதிகபட்ச தூரம் 320 கி.மீ.

கேள்வி 7.
f(x) சார்பானது, f'(x) ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 4 எனில், f(4) – f(1) ≤ 3 எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
f'(x) = ≤ 1; 1 ≤ x ≤ 4
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி,
f’ (x) = \(\)
[∵ 1, 4] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது மற்றும் (1,4) ல் வகையிடத்தக்கது]
f'(x) = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\)
⇒ \(\frac{f(4)-f(1)}{3}\) = f'(x)
⇒ \(\frac{f(4)-f(1)}{3}\) ≤ 1 [∵ f'(x) ≤ 1]
⇒ f(4) – f (1) ≤ 3

கேள்வி 8.
f(x) என்ற வகையிடத்தக்க சார்பானது f(0) = -1, f(2) = 4 மற்றும் f(x) ≤ 2 ∀ x என்றவாறு இருக்க முடியுமா? எனது பதிலுக்கு தகுந்த விளக்கம் தருக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (0) = -1, f(2) = 4
∴ [0, 2] ல் f (x) ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி,
f’ (x) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}\)
\(\frac{4-(-1)}{2}=\frac{5}{2}\) = 2.5
= 2.5 ∈ [0, 2]
f'(x) ஆனது 2.5ல் எந்த புள்ளி [0, 2), ஆக முடியாது, வகையிடத்தக்க சார்பு f (x) இருக்க முடியாது.

கேள்வி 9.
f(x) = x (x + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)}, -3 ≤ x ≤ 0 என்ற வளைவரைக்கு x-அச்சிற்கு இணையாக ! வரையப்படும் தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -மதிப்பு (-3, 0) என்ற இடை வெளியில் அமையும் என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x (x + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)}, -3 ≤ x ≤ 0
அ) [-3, 0] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (-3, 0) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(0) = 0 (0 + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} = 0
f(-3) = -3 (-3 + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} = 0
∴ ரோலின் தேற்றப்படி c ∈ [-3, 0] எனுமாறு f'(c) = 0 உள்ள து.
(2c + 3)e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} = 0
[∵ f(x) = (x² + 3x) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} f'(x) = (2c + 3) ^{\(-\frac{\pi}{2}\)}]
⇒ 2c + 3 = 0
⇒ 2c = -3
⇒ c \(\frac{-3}{2}\) ∈ [-3, 0]
எனவே f (x) = x (x + 3)e^{\(-\frac{\pi}{2}\)}, -3 ≤ x ≤ 0 என்ற வளைவரைக்கு -அச்சிற்கு இணையாக ! வரையப்படும் தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -மதிப்பு (-3, 0) என்ற இடைவெளியில் அமையும்.

கேள்வி 10.
சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி a > 0, b > 0, |e^-a – e^-b|< |a – b| என நிறுவுக.
தீர்வு:
f(x) = e^-x, .x ∈ [a, b] என்க
அ) [a, b] ல் e^-x தொடர்ச்சியானது
ஆ) (a, b) ல் e “வகையிடத்தக்கது
இ f(b) = e^-b, f (a) = e^-a,
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி,
c ∈ [a, b] எனுமாறு f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) உள்ள து.
⇒ e^-c = \(\frac{e^{-b}-e^{-a}}{b-a}\)
⇒ e^-c = \(\frac{e^{-a}-e^{-b}}{a-b}\)
⇒ |-e^-c| = \(\left|\frac{e^{-a}-e^{-b}}{a-b}\right|\)
⇒ \(\left|\frac{e^{-a}-e^{-b}}{a-b}\right|\) < 1
[∵ |-a^-c|< 1 -க்கு c ∈ [a, b], a > 0, b > 0]
⇒ |e^-a – e^-b| < |a – b| எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.3

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் சார்புகளின் சார்பகம் காண்க.
(i) tan^-1 \(\sqrt{9-x^{2}}\)
(ii) \(\frac{1}{2}\)tan^-1 (1 – x²) – \(\frac{\pi}{4}\)
தீர்வு:
(i) tan^-1 \(\sqrt{9-x^{2}}\) என்க.
\(\sqrt{9-x^{2}}\) ∈ ℝ ஆனால் \(\sqrt{9-x^{2}}\) ≥ 0
∴ 9 – x² ≥ 0

⇒ x² – 9 ≤ 0
⇒ (x + 3)(x – 3) ≤ 0
∴ சார்பகம் [-3, 3]

(ii) g(x) = \(\frac{1}{2}\)tan^-1 (1 – x²) – \(\frac{\pi}{4}\) என்க
tan^-1x, ன் வரையறைப்படி அது மெய்யெண் கோட்டின் முழுவதுமான (-∞, ∞) ஐ சார்பாக கொண்டுள்ளது.
∴ g(x) சார்பகம் = \(\frac{1}{2}\)tan^-1(1 – x²) – \(\frac{\pi}{4}\) R ல்.
∴ g(x) – ன் சார்பகம் R.

கேள்வி 2.
மதிப்பு காண்க.
(i) tan^-1\(\left(\tan \frac{5 \pi}{4}\right)\)
(ii) tan^-1\(\left(\tan \left(\frac{-\pi}{6}\right)\right)\)
தீர்வு:

கேள்வி 3.
மதிப்பு காண்க.
(i) tan\(\left(\tan ^{-1}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right)\)
(ii) tan(tan^-1(1947))
(iii) tan(tan^-1(-0.2021))
தர்வு:
(i) tan\(\left(\tan ^{-1}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right)\) = tan\(\left(\tan ^{-1}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right)\) = \(\frac{7 \pi}{4}\)
[∵ tan (tan^-1(x)) = x எந்த மெய்யெண்ணுக்கும்.]

(ii) tan(tan^-1(1947)) = 1947

(iii) tan(tan^-1(-0.2021)) = -0.2021
[∵ tan (tan^-1x) = x எந்த மெய்யெண்ணுக்கும்]

கேள்வி 4.
மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:
(i)

⇒ x = \(\frac{\pi}{3}\)

(ii)

(iii)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.8

சரியான அல்லது மிகப் பொருத்தமான விடையினை தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக :

கேள்வி 1.
ஒரு வட்ட வடிவ வார்ப்பின் ஆரம் 10 செ.மீ. ஆரத்தின் அளவில் தோராயமாக 0.02 செ.மீ பிழை உள்ளது எனில் அதன் பரப்பில் ஏற்படும் தோராய சதவீதப் பிழையைக் காண்க.
(1) 0.2%
(2) 0.4%
(3) 0.04%
(4) 0.08%
விடை:
(2) 0.4%

குறிப்பு:
வட்டத்தின் பரப்பு = πr²
தோராயமான பரப்பு = 2πrdr
= 2π (10) (0.02) [∵ r = 10, dr = 0.02]
சதவீத பிழை = \(\frac{2 \pi(10)(0.02)}{\pi\left(10^{2}\right)} \times 100\)
= \(\frac{0.04}{10} \times 100\) = 0.4%

கேள்வி 2.
31-ன் 5ஆம்படி மூலசதவீதப்பிழைதோராயமாக, 31-ன் சதவீதப் பிழையைப் போல் எத்தனை மடங்காகும்?
(1) \(\frac{1}{31}\)
(2) \(\frac{1}{5}\)
(3) 5
(4) 31
விடை:
(2) \(\frac{1}{5}\)

குறிப்பு:
31-ன் 5ஆம் படி மூல சதவீதப் பிழை தோராயமாக, 31 -ன் சதவீதப் பிழையைப் போல் \(\frac{1}{5}\) மடங்காகும்.

கேள்வி 3.
u (x, y) = e^x2+y2, எனில் \(\frac{\partial u}{\partial x}\) ன் மதிப்பு
(1) e^x2+y2
(2) 2xu
(3) x²u
(4) y²u
விடை:
(2) 2xu

குறிப்பு:
u (x, y) = e^x2+y2
\(\frac{\partial u}{\partial x}\) = e^x2+y2 (2x) = 2

கேள்வி 4.
v (x, y) = log (e^x + e^y) எனில், \(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\) -ன் மதிப்பு
(1) e^x + e^y
(2) \(\frac{1}{e^{x}+e^{y}}\)
(3) 2
(4) 1
விடை:
(4) 1

குறிப்பு:
v (x, y) = log (e^x + e^y)

கேள்வி 5.
w (x, y) = x^y, x > 0, எனில் \(\frac{\partial w}{\partial x}\) உன் மதிப்பு
(1) x^y logx
(2) y logx
(3) yx^y-1
(4) x logy
விடை:
(3) yx^y-1

குறிப்பு:
w (x, y) = x^y
\(\frac{\partial w}{\partial x}\) = yx^y-1

கேள்வி 6.
f(x, y) = e^xy, எனில் \(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\) -ன் மதிப்பு
(1) xy^xy
(2) (1 + xy)e^xy
(3) (1 +y)e^xy
(4) (1 +x)e^xy
விடை:
(2) (1 + xy)e^xy

குறிப்பு:
\(\frac{\partial f}{\partial y}\) = e^xy (x) = xe^xy
\(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\)
= x. e^xy (y) + e^xy (1)
= e^xy (1 + xy)

கேள்வி 7.
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு 4 செ.மீ மற்றும் அதன் பிழை 0.1 செ.மீ எனில் கன அளவு கணக்கீட்டில் ஏற்படும் பிழை
(1) 0.4 கன செ.மீ
(2) 0.45 கன செ.மீ
(3) 2 கன செ.மீ
(4) 4.8 கன செ.மீ
விடை:
(4) 4.8 கன செ.மீ

குறிப்பு :
V = a³
⇒ கன அளவில் ஏற்படும் பிழை
= 3a² da = 3 (4)² (0.1)
= 48 (0.1) = 4.8 கன செ.மீ.

கேள்வி 8.
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு x₀ இலிருந்து x₀ + dx ஆக மாறும் போது அதன் வளைபரப்பு S = 6x² இல் ஏற்படும் மாற்றம்.
(1) 12 x₀ + dx
(2) 12x₀ dx
(3) 6x₀ dx
(4) 6x₀ + dx
விடை:
(2) 12x₀ dx

குறிப்பு:
s = 6x²
வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் = 12 xdx = 12x₀ dx

கேள்வி 9.
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு 1% அதிகரிக்கும் போது அதன் கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
(1) 0.3xdx மீ³
(2) 0.03 x மீ’³
(3) 0.03.x. மீ’³
(4) 0.03x மீ’³
விடை:
(3) 0.038 மீ³

குறிப்பு:
v = x³ தோராயமாக கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
= 3x² dx
= 3x² (1%) = 3x² (0.01)
= 0.03 x² மீ³

கேள்வி 10.
g(x, y) = 3x² – 5y + 2y², x(t) = e^t மற்றும் y(t) = cost , எனில் \(\frac{d g}{d t}\) -ன் மதிப்பு
(1) 6e^2t + 5 sin t – 4 cos t sin t
(2) 6e^2t – 5 sin t + 4 cos t sin t
(3) 3e^2t + 5 sin t + 4 cos t sin t
(4) 3e^2t – 5 sin t + 4 cos t sin t
விடை:
(1) 6e^2t + 5 sin t – 4 cos t sin t

குறிப்பு:
g(x, y) = 3x² – 5y + 2y²
x = e^t, y = cos t
\(\frac{\partial g}{\partial x}\) = 6x; \(\frac{\partial g}{\partial y}\) = -5 + 4y
\(\frac{d x}{d t}\) = e^t; \(\frac{d y}{d t}\) = -sin t
∴ \(\frac{d g}{d t}=\frac{\partial g}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial g}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}\)
= 6x (e^t) + (-5 + 4y)(- sin t)
= 6e^t e^t + 5 sin t – 4 cos t sin t
= 6e^2t + 5 sin t – 4 cos t sin t

கேள்வி 11.
f(x) = \(\frac{x}{x+1}\), எனில் அதன் வகையீடு
(1) \(\frac{-1}{(x+1)^{2}} d x\)
(2) \(\frac{1}{(x+1)^{2}} d x\)
(3) \(\frac{1}{x+1} d x\)
(4) \(\frac{-1}{x+1} d x\)
விடை:
(2) \(\frac{1}{(x+1)^{2}} d x\)

குறிப்பு:
f(x) = \(\frac{x}{x+1}\)
df = \(\frac{(x+1)(1)-x(1)}{(x+1)^{2}} d x\)
= \(\frac{x+1-x}{(x+1)^{2}} d x=\frac{1}{(x+1)^{2}} d x\)

கேள்வி 12.
u(x, y) = x² + 3xy + y – 2019, எனில் \(\frac{\partial u}{\partial x}_{(4,-5)}\) -மதிப்பு |
(1) -4
(2) -3
(3) -7
(4) 13
விடை:
(3) -7

குறிப்பு:
u (x, y) = x² + 3xy + y – 2019
\(\frac{\partial u}{\partial x}\) = 2x + 3y + 0 – 0 = 2x + 3y
∴ \(\frac{\partial u}{\partial x}_{(4,-5)}\) = 2(4) + 3(-5) = 8 – 15 = -7

கேள்வி 13.
சார்பு.g(x) = cosx-ன் தோராய மதிப்பு x = \(\frac{\pi}{2}\) இல்
(1) x + \(\frac{\pi}{2}\)
(2) -x + \(\frac{\pi}{2}\)
(3) x – \(\frac{\pi}{2}\)
(4) -x – \(\frac{\pi}{2}\)
விடை:
(2) -x + \(\frac{\pi}{2}\)

குறிப்பு:
கொடுக்கப்பட்ட g (x) = cosx
g(\(\frac{\pi}{2}\)) = cos \(\frac{\pi}{2}\) = 0
g'(x) = – sinx
⇒ g(\(\frac{\pi}{2}\)) = – sin \(\frac{\pi}{2}\) = -1
∴ L (x) = g(x₀) + g'(x₀)(x – x₀)
= 0 – 1 (x – \(\frac{\pi}{2}\))
= -x + \(\frac{\pi}{2}\)

கேள்வி 14.
w (x, y, z) = x² (y – z) + y² (z – x) + z² (x – y), எனில் \(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\) -ன் மதிப்பு
(1) xy + yz + zx
(2) x(y + z)
(3) y(z + x)
(4) 0
விடை:
(4) 0

குறிப்பு:
w (x, y, z) = x² (y – z) + y² (z – x) + z² (x – y)

கேள்வி 15.
f(x, y, z) = xy + yz + zx, எனில் f_x – f_z .-ன் மதிப்பு
(1) z – x
(2) y – z
(3) x – z
(4) y – x
விடை:
(1) z – x

குறிப்பு:
f(x, y, z) = xy + yz + zx
f_x = \(\) y + 0 + z = y + z
f_z = \(\) = 0 + y + x = y + x
∴ f_x – f_z = y + z – y – x = z – x