Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.4

கேள்வி 1.
முதன்மை மதிப்பு காண்க
(i) sec^-1\(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
(ii) cot^-1\((\sqrt{3})\)
(iii) cosec^-1\((-\sqrt{2})\)
தீர்வு:

(ii)
cot^-1\((\sqrt{3})\)
cot^-1\((\sqrt{3})\) = θ என்க
⇒ \(\sqrt{3}\) = cot θ ⇒ tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ tan θ = tan \(\frac{\pi}{6}\) ⇒ θ = \(\frac{\pi}{6}\) [∵ \(\frac{\pi}{6}\) ∈ \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)]
∴ cot^-1\((\sqrt{3})\) = \(\frac{\pi}{6}\)

(iii) cosec^-1\((-\sqrt{2})\)
cosec^-1\((-\sqrt{2})\) = θ என்க
⇒ \(\sqrt{2}\) = cosec θ
⇒ sin θ = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)
⇒ sin θ = –\(\frac{\pi}{4}\)
⇒ sin θ = sin\(\left(\frac{-\pi}{4}\right)\) [∵ sin(-θ) = -sin θ]
⇒ θ = \(\frac{-\pi}{4}\) [∵ \(\frac{\pi}{4}\) ∈ \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)\{0} ]

கேள்வி 2.

(i) tan^-1\((\sqrt{3})\) – sec^-1(-2)
(ii) sin^-1(1) + cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + cot^-1(2)
(iii) cot^-1(1)+ sin^-1\(\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\) – sec^-1\((-\sqrt{2})\)
தீர்வு:
(i) tan^-1\((\sqrt{3})\) – sec^-1(-2)

(ii) sin^-1 + cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + cot^-1(2)

= –\(\frac{\pi}{2}\) + \(\frac{\pi}{3}\) + cot^-1(2)
= cot^-1(2) + \(\frac{-3 \pi+2 \pi}{6}\) = cot^-1(2) – \(\frac{\pi}{6}\)

(iii)

⇒ y = –\(\frac{\pi}{3}\)
sec^-1\((-\sqrt{2})\) = z என்க
⇒ sec z = –\(\sqrt{2}\) ⇒ cos z = \(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)
⇒ cos z = -cos\(\frac{\pi}{4}\) ⇒ cos z = cos \(\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\)
⇒ cos z = cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}\right)\) ⇒ z = \(\frac{3 \pi}{4}\)
∴ cot^-1(-1) + sin^-1\(\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)\) – sec^-1(-\(\sqrt{2}\))
= \(\frac{\pi}{4}\) – \(\frac{\pi}{3}\) – \(\frac{3 \pi}{4}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.3

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் ரோலின் தேற்றம் ஏன் ! பயன்படுத்த முடியாது என்பதை விளக்குக.
(i) f(x) = \(\left|\frac{1}{x}\right|\), x ∈ [-1, 1]
(ii) f(x) = tan x, x ∈ [0, π]
(iii) f(x) = x – 2 log x, x ∈ [2, 7]
தீர்வு:
(i) f(x) = \(\left|\frac{1}{x}\right|\), x ∈ [-1, 1]
கொடுக்கப்பட்ட f(x) = \(\left|\frac{1}{x}\right|\) x ∈ [-1, 1]
[-1, 1] ல் f (x) = \(\left(\frac{1}{x}\right)\), x = 0 -ல் தொடர்ச்சி அற்றது மற்றும் (-1, 1)-ல் வகையிடத்தக்கது அல்ல. ஆதலால் ரோலின் தேற்றத்தை பயன்படுத்த முடியாது

(ii) f(x) = tan x, x ∈ [0, π]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = tan x, x ∈ [0, π]
x = \(\frac{\pi}{2}\) ;-ல் tan x தொடர்ச்சி அற்றது ஆதலால் ரோலின் தேற்றத்தை பயன்படுத்த முடியாது.
[∵ tan \(\frac{\pi}{2}\) = ∞]

(iii) f(x) = x – 2 log.x, x ∈ [2, 7]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x- 2 log x ∈ [2, 7]
(i) f (x), [2, 7] ல் தொடர்ச்சியானது
(ii) f (x), (2, 7) ல் வகையிடத்தக்கது
f(2) = 2 – 2 log 2
= 2 – log 2² = 2 – log 4
f(7) = 7 – 2 log 7
= 7 – log 7² = 7 – log 49
ஆதலால் f (2) ≠ f (7) ரோலின் தேற்றத்தை பயன்படுத்த முடியாது

கேள்வி 2.
ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு x -ன் எம்மதிப்புகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு x- அச்சிற்கு இணையாக இருக்கும்?
(i) f(x) = x² – x, x ∈ [0, 1]
(ii) f(x) = \(\frac{x^{2}-2 x}{x+2}\), x ∈ [-1, 6]
(iii) f(x) = \(\sqrt{x}-\frac{x}{3}\), x ∈ [0, 9]
தீர்வு:
(i) f(x) = x² – x, x ∈ [0, 1]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x² – x, x ∈ [0, 1]
(i) [0, 1]ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
(ii) (0, 1) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
(iii) f(0) = 0² – 0 = 0
f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0
∴ f(0) = f (1) ரோலின் தேற்றப்படி C ∈ [0, 1] பின்வருமாறு உள்ளது
f'(c) = 0
⇒ 2c – 1 = 0
⇒ 2c = 1
c = \(\frac{1}{2}\) ∈ [0, 1]

(ii) (ii) f(x) = \(\frac{x^{2}-2 x}{x+2}\), x ∈ [-1, 6]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{x^{2}-2 x}{x+2}\), x ∈ [-1, 6]
அ) [-1, 6] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (-1, 6) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ) f(-1) = \(\frac{(-1)^{2}-2(-1)}{-1+2}=\frac{1+2}{1}\) = 3
f(6) = \(\frac{6^{2}-2(6)}{6+2}\)
= \(\frac{36-12}{8}=\frac{24}{8} \) = 3
∴ f(-1) = f(6)
ரோலின் தேற்றப்படி c ∈ [-1, 6] பின்வருமாறு உள்ளது.
f'(c) = 0

(iii) f(x) = \(\sqrt{x}-\frac{x}{3}\), x ∈ [0, 9]
அ) [0, 9] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (0, 9) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(0) = 0
f(9) = \(\sqrt{9}-\frac{9}{3}\) = 3 – 3 = 0
f(0) = f (9)
∴ ரோலின் தேற்றப்படி C E [0, 9] பின்வருமாறு
அமைந்துள்ளது f'(c) = 0

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த c = \(\frac{9}{4}\) ∈ [0, 9]

கேள்வி 3.
கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் ஏன் பயன்படுத்த முடியாது என்பதை விளக்குக.
(i) f(x) = \(\frac{x+1}{x}\), x ∈ [-1, 2]
(ii) f(x) = |3x + 1|, x ∈ [-1, 3]
தீர்வு:
(i) f(x) = \(\frac{x+1}{x}\), x ∈ [-1, 2]
x = 0 ல் f (x) தொடர்ச்சியற்றதால் லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு பயன்படுத்த முடியாது.

(ii) f(x) = |3x + 1|, x ∈ [-1, 3]
[-1, 3] ல் f (x) தொடர்ச்சியுடையது ஆனால் x = \(\frac{-1}{3}\) ல் வகையிடத்தக்கதல்ல.

கேள்வி 4.
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியின் முனைப் புள்ளிகள் வழியே செல்லும் நாணுக்கு! இணையாக ஒரு தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -ன் மதிப்பைக் காண்க.
(i) f(x) = x³ – 3x + 2, x ∈ [-2, 2]
(ii) f(x) = (x – 2)(x – 7), x ∈ [3, 11]
தீர்வு:
(i) f(x) = x³ – 3x +2, x ∈ [-2, 2]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x³ – 3x + 2, x ∈ [-2, 2]
அ) [-2, 2] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (-2, 2)ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
f(-2) = (-2)³ – 3 (-2) +2
= -8 + 6 + 2 = 0
f(2) = 2³ – 3 (2) + 2
= 8 – 6 + 2 = 4
லெக்ராஞ்சியின் C ∈ [-2, 2] எனுமாறு
f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
⇒ 3c² – 3 = \(\frac{4-0}{2-(-2)}=\frac{4}{4}\) = 1
⇒ 3c² – 3 = 1
⇒ 3c² = 4 = c² = \(\frac{4}{3}\)
⇒ c = \(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\) ∈ (-2, 2)

(ii) f(x) = (x – 2)(x – 7), x ∈ [3, 11]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = (x- 2)(x – 7),x ∈ [3, 11] ;
அ) [3, 11] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (3, 11) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(11) = (11 – 2) (11 –7)
= (9) (4) = 36
f(3) = (3 – 2) (3 – 7)
= (1) (4) =- 4
∴ லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி c ∈ [3, 11] ஒரு ஆனது f ‘(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) எனுமாறு உள்ளது.
f (x) = (x – 2) (x – 7)
= x² – 7x – 2x + 14
= x² – 9x + 14
⇒ 2c – 9 = \(\frac{36+4}{11-3}\)
⇒ 3c – 9 = \(\frac{40}{8}\)
⇒ 2c = 14
⇒ c = 7 ∈ [3, 11]

கேள்வி 5.
(i) f(x) = \(\frac{1}{x}\) என்ற சார்பிற்கு [a, b] – யை மிகை முழு எண்களாக கொண்ட மூடிய இடைவெளி [a, b] -ல் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி இறுதி மதிப்பு \(\sqrt{ab}\) என நிறுவுக.
(ii) f(x) = Ax² + Bx + C என்ற சார்பிற்கு எந்த ஒரு மூடிய இடைவெளி [a, b] -ல் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி இறுதி மதிப்பு \(\frac{a+b}{2}\) என நிறுவுக .
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{1}{x}\), x ∈ [a, b]
அ) [a, b] ல் f (x) தொடர்ச்சியுடையது
அ) (a, b) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(b) = \(\frac{1}{b}\), f(a) = \(\frac{1}{a}\)
சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தை பயன்படுத்த c ∈ [a, b] எனுமாறு f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) உள்ளது.

(ii) கொடுக்கப்பட்ட f (x) = Ax² + Bx + C, x ∈ [a, b]
அ) [a, b] ல் f (x) தொடர்ச்சியுடையது
ஆ) (a, b) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(b) = Ab² + Bb + c,
f(a) = Aa² + Ba + c
சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தை பயன்படுத்த c ∈ [a, b] எனுமாறு f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) உள்ளது.

கேள்வி 6.
ஒரு பந்தய மகிழுந்து ஓட்டுநர் 20-ஆம் கிலோமீட்டரில் இருந்து புறப்படுகிறார். அதன் வேகம் எப்பொழுதும் 150 கி.மீ/மணி-யை தாண்டவில்லை எனில், அடுத்த இரண்டு மணி நேரத்தில் அவரால் கடக்க முடிந்த அதிகபட்ச வேகம் காண்க.
தீர்வு:
‘t’ காலத்தில் கடந்த தூரம் f (t)
என்க. கொடுக்கப்பட்ட f (0) = 20 மற்றும் f (2) = ?
மேலும் வேகம் = f'(t) ≥ 150 தூர சார்பு தொடர்ச்சியானது மற்றும் வகையிடத்தக்கது லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி C ஆனது
⇒ f’ (c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
⇒ f'(c) = \(\frac{f(2)-20}{2-0}\) ≥ 150
எனுமாறு உள்ளது.
[ஓட்டுநர் வேகம் 150 கி.மீ/மணி மற்றும் f’ (c) வேகத்தை குறிக்கிறது]
⇒ \(\frac{f(2)-20}{2-0}\) ≥ 150
⇒ f(2) – 20 ≥ 300
⇒ f(2) ≥ 320 ஆதலால் அடுத்த 2 மணி நேரத்தில் அவரால் கடக்க முடிந்த அதிகபட்ச தூரம் 320 கி.மீ.

கேள்வி 7.
f(x) சார்பானது, f'(x) ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 4 எனில், f(4) – f(1) ≤ 3 எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
f'(x) = ≤ 1; 1 ≤ x ≤ 4
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி,
f’ (x) = \(\)
[∵ 1, 4] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது மற்றும் (1,4) ல் வகையிடத்தக்கது]
f'(x) = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\)
⇒ \(\frac{f(4)-f(1)}{3}\) = f'(x)
⇒ \(\frac{f(4)-f(1)}{3}\) ≤ 1 [∵ f'(x) ≤ 1]
⇒ f(4) – f (1) ≤ 3

கேள்வி 8.
f(x) என்ற வகையிடத்தக்க சார்பானது f(0) = -1, f(2) = 4 மற்றும் f(x) ≤ 2 ∀ x என்றவாறு இருக்க முடியுமா? எனது பதிலுக்கு தகுந்த விளக்கம் தருக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (0) = -1, f(2) = 4
∴ [0, 2] ல் f (x) ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி,
f’ (x) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}\)
\(\frac{4-(-1)}{2}=\frac{5}{2}\) = 2.5
= 2.5 ∈ [0, 2]
f'(x) ஆனது 2.5ல் எந்த புள்ளி [0, 2), ஆக முடியாது, வகையிடத்தக்க சார்பு f (x) இருக்க முடியாது.

கேள்வி 9.
f(x) = x (x + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)}, -3 ≤ x ≤ 0 என்ற வளைவரைக்கு x-அச்சிற்கு இணையாக ! வரையப்படும் தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -மதிப்பு (-3, 0) என்ற இடை வெளியில் அமையும் என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x (x + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)}, -3 ≤ x ≤ 0
அ) [-3, 0] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (-3, 0) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(0) = 0 (0 + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} = 0
f(-3) = -3 (-3 + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} = 0
∴ ரோலின் தேற்றப்படி c ∈ [-3, 0] எனுமாறு f'(c) = 0 உள்ள து.
(2c + 3)e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} = 0
[∵ f(x) = (x² + 3x) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} f'(x) = (2c + 3) ^{\(-\frac{\pi}{2}\)}]
⇒ 2c + 3 = 0
⇒ 2c = -3
⇒ c \(\frac{-3}{2}\) ∈ [-3, 0]
எனவே f (x) = x (x + 3)e^{\(-\frac{\pi}{2}\)}, -3 ≤ x ≤ 0 என்ற வளைவரைக்கு -அச்சிற்கு இணையாக ! வரையப்படும் தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -மதிப்பு (-3, 0) என்ற இடைவெளியில் அமையும்.

கேள்வி 10.
சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி a > 0, b > 0, |e^-a – e^-b|< |a – b| என நிறுவுக.
தீர்வு:
f(x) = e^-x, .x ∈ [a, b] என்க
அ) [a, b] ல் e^-x தொடர்ச்சியானது
ஆ) (a, b) ல் e “வகையிடத்தக்கது
இ f(b) = e^-b, f (a) = e^-a,
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி,
c ∈ [a, b] எனுமாறு f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) உள்ள து.
⇒ e^-c = \(\frac{e^{-b}-e^{-a}}{b-a}\)
⇒ e^-c = \(\frac{e^{-a}-e^{-b}}{a-b}\)
⇒ |-e^-c| = \(\left|\frac{e^{-a}-e^{-b}}{a-b}\right|\)
⇒ \(\left|\frac{e^{-a}-e^{-b}}{a-b}\right|\) < 1
[∵ |-a^-c|< 1 -க்கு c ∈ [a, b], a > 0, b > 0]
⇒ |e^-a – e^-b| < |a – b| எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.3

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் சார்புகளின் சார்பகம் காண்க.
(i) tan^-1 \(\sqrt{9-x^{2}}\)
(ii) \(\frac{1}{2}\)tan^-1 (1 – x²) – \(\frac{\pi}{4}\)
தீர்வு:
(i) tan^-1 \(\sqrt{9-x^{2}}\) என்க.
\(\sqrt{9-x^{2}}\) ∈ ℝ ஆனால் \(\sqrt{9-x^{2}}\) ≥ 0
∴ 9 – x² ≥ 0

⇒ x² – 9 ≤ 0
⇒ (x + 3)(x – 3) ≤ 0
∴ சார்பகம் [-3, 3]

(ii) g(x) = \(\frac{1}{2}\)tan^-1 (1 – x²) – \(\frac{\pi}{4}\) என்க
tan^-1x, ன் வரையறைப்படி அது மெய்யெண் கோட்டின் முழுவதுமான (-∞, ∞) ஐ சார்பாக கொண்டுள்ளது.
∴ g(x) சார்பகம் = \(\frac{1}{2}\)tan^-1(1 – x²) – \(\frac{\pi}{4}\) R ல்.
∴ g(x) – ன் சார்பகம் R.

கேள்வி 2.
மதிப்பு காண்க.
(i) tan^-1\(\left(\tan \frac{5 \pi}{4}\right)\)
(ii) tan^-1\(\left(\tan \left(\frac{-\pi}{6}\right)\right)\)
தீர்வு:

கேள்வி 3.
மதிப்பு காண்க.
(i) tan\(\left(\tan ^{-1}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right)\)
(ii) tan(tan^-1(1947))
(iii) tan(tan^-1(-0.2021))
தர்வு:
(i) tan\(\left(\tan ^{-1}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right)\) = tan\(\left(\tan ^{-1}\left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right)\) = \(\frac{7 \pi}{4}\)
[∵ tan (tan^-1(x)) = x எந்த மெய்யெண்ணுக்கும்.]

(ii) tan(tan^-1(1947)) = 1947

(iii) tan(tan^-1(-0.2021)) = -0.2021
[∵ tan (tan^-1x) = x எந்த மெய்யெண்ணுக்கும்]

கேள்வி 4.
மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:
(i)

⇒ x = \(\frac{\pi}{3}\)

(ii)

(iii)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.8

சரியான அல்லது மிகப் பொருத்தமான விடையினை தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக :

கேள்வி 1.
ஒரு வட்ட வடிவ வார்ப்பின் ஆரம் 10 செ.மீ. ஆரத்தின் அளவில் தோராயமாக 0.02 செ.மீ பிழை உள்ளது எனில் அதன் பரப்பில் ஏற்படும் தோராய சதவீதப் பிழையைக் காண்க.
(1) 0.2%
(2) 0.4%
(3) 0.04%
(4) 0.08%
விடை:
(2) 0.4%

குறிப்பு:
வட்டத்தின் பரப்பு = πr²
தோராயமான பரப்பு = 2πrdr
= 2π (10) (0.02) [∵ r = 10, dr = 0.02]
சதவீத பிழை = \(\frac{2 \pi(10)(0.02)}{\pi\left(10^{2}\right)} \times 100\)
= \(\frac{0.04}{10} \times 100\) = 0.4%

கேள்வி 2.
31-ன் 5ஆம்படி மூலசதவீதப்பிழைதோராயமாக, 31-ன் சதவீதப் பிழையைப் போல் எத்தனை மடங்காகும்?
(1) \(\frac{1}{31}\)
(2) \(\frac{1}{5}\)
(3) 5
(4) 31
விடை:
(2) \(\frac{1}{5}\)

குறிப்பு:
31-ன் 5ஆம் படி மூல சதவீதப் பிழை தோராயமாக, 31 -ன் சதவீதப் பிழையைப் போல் \(\frac{1}{5}\) மடங்காகும்.

கேள்வி 3.
u (x, y) = e^x2+y2, எனில் \(\frac{\partial u}{\partial x}\) ன் மதிப்பு
(1) e^x2+y2
(2) 2xu
(3) x²u
(4) y²u
விடை:
(2) 2xu

குறிப்பு:
u (x, y) = e^x2+y2
\(\frac{\partial u}{\partial x}\) = e^x2+y2 (2x) = 2

கேள்வி 4.
v (x, y) = log (e^x + e^y) எனில், \(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\) -ன் மதிப்பு
(1) e^x + e^y
(2) \(\frac{1}{e^{x}+e^{y}}\)
(3) 2
(4) 1
விடை:
(4) 1

குறிப்பு:
v (x, y) = log (e^x + e^y)

கேள்வி 5.
w (x, y) = x^y, x > 0, எனில் \(\frac{\partial w}{\partial x}\) உன் மதிப்பு
(1) x^y logx
(2) y logx
(3) yx^y-1
(4) x logy
விடை:
(3) yx^y-1

குறிப்பு:
w (x, y) = x^y
\(\frac{\partial w}{\partial x}\) = yx^y-1

கேள்வி 6.
f(x, y) = e^xy, எனில் \(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\) -ன் மதிப்பு
(1) xy^xy
(2) (1 + xy)e^xy
(3) (1 +y)e^xy
(4) (1 +x)e^xy
விடை:
(2) (1 + xy)e^xy

குறிப்பு:
\(\frac{\partial f}{\partial y}\) = e^xy (x) = xe^xy
\(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\)
= x. e^xy (y) + e^xy (1)
= e^xy (1 + xy)

கேள்வி 7.
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு 4 செ.மீ மற்றும் அதன் பிழை 0.1 செ.மீ எனில் கன அளவு கணக்கீட்டில் ஏற்படும் பிழை
(1) 0.4 கன செ.மீ
(2) 0.45 கன செ.மீ
(3) 2 கன செ.மீ
(4) 4.8 கன செ.மீ
விடை:
(4) 4.8 கன செ.மீ

குறிப்பு :
V = a³
⇒ கன அளவில் ஏற்படும் பிழை
= 3a² da = 3 (4)² (0.1)
= 48 (0.1) = 4.8 கன செ.மீ.

கேள்வி 8.
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு x₀ இலிருந்து x₀ + dx ஆக மாறும் போது அதன் வளைபரப்பு S = 6x² இல் ஏற்படும் மாற்றம்.
(1) 12 x₀ + dx
(2) 12x₀ dx
(3) 6x₀ dx
(4) 6x₀ + dx
விடை:
(2) 12x₀ dx

குறிப்பு:
s = 6x²
வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் = 12 xdx = 12x₀ dx

கேள்வி 9.
ஒரு கன சதுரத்தின் பக்க அளவு 1% அதிகரிக்கும் போது அதன் கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
(1) 0.3xdx மீ³
(2) 0.03 x மீ’³
(3) 0.03.x. மீ’³
(4) 0.03x மீ’³
விடை:
(3) 0.038 மீ³

குறிப்பு:
v = x³ தோராயமாக கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
= 3x² dx
= 3x² (1%) = 3x² (0.01)
= 0.03 x² மீ³

கேள்வி 10.
g(x, y) = 3x² – 5y + 2y², x(t) = e^t மற்றும் y(t) = cost , எனில் \(\frac{d g}{d t}\) -ன் மதிப்பு
(1) 6e^2t + 5 sin t – 4 cos t sin t
(2) 6e^2t – 5 sin t + 4 cos t sin t
(3) 3e^2t + 5 sin t + 4 cos t sin t
(4) 3e^2t – 5 sin t + 4 cos t sin t
விடை:
(1) 6e^2t + 5 sin t – 4 cos t sin t

குறிப்பு:
g(x, y) = 3x² – 5y + 2y²
x = e^t, y = cos t
\(\frac{\partial g}{\partial x}\) = 6x; \(\frac{\partial g}{\partial y}\) = -5 + 4y
\(\frac{d x}{d t}\) = e^t; \(\frac{d y}{d t}\) = -sin t
∴ \(\frac{d g}{d t}=\frac{\partial g}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial g}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}\)
= 6x (e^t) + (-5 + 4y)(- sin t)
= 6e^t e^t + 5 sin t – 4 cos t sin t
= 6e^2t + 5 sin t – 4 cos t sin t

கேள்வி 11.
f(x) = \(\frac{x}{x+1}\), எனில் அதன் வகையீடு
(1) \(\frac{-1}{(x+1)^{2}} d x\)
(2) \(\frac{1}{(x+1)^{2}} d x\)
(3) \(\frac{1}{x+1} d x\)
(4) \(\frac{-1}{x+1} d x\)
விடை:
(2) \(\frac{1}{(x+1)^{2}} d x\)

குறிப்பு:
f(x) = \(\frac{x}{x+1}\)
df = \(\frac{(x+1)(1)-x(1)}{(x+1)^{2}} d x\)
= \(\frac{x+1-x}{(x+1)^{2}} d x=\frac{1}{(x+1)^{2}} d x\)

கேள்வி 12.
u(x, y) = x² + 3xy + y – 2019, எனில் \(\frac{\partial u}{\partial x}_{(4,-5)}\) -மதிப்பு |
(1) -4
(2) -3
(3) -7
(4) 13
விடை:
(3) -7

குறிப்பு:
u (x, y) = x² + 3xy + y – 2019
\(\frac{\partial u}{\partial x}\) = 2x + 3y + 0 – 0 = 2x + 3y
∴ \(\frac{\partial u}{\partial x}_{(4,-5)}\) = 2(4) + 3(-5) = 8 – 15 = -7

கேள்வி 13.
சார்பு.g(x) = cosx-ன் தோராய மதிப்பு x = \(\frac{\pi}{2}\) இல்
(1) x + \(\frac{\pi}{2}\)
(2) -x + \(\frac{\pi}{2}\)
(3) x – \(\frac{\pi}{2}\)
(4) -x – \(\frac{\pi}{2}\)
விடை:
(2) -x + \(\frac{\pi}{2}\)

குறிப்பு:
கொடுக்கப்பட்ட g (x) = cosx
g(\(\frac{\pi}{2}\)) = cos \(\frac{\pi}{2}\) = 0
g'(x) = – sinx
⇒ g(\(\frac{\pi}{2}\)) = – sin \(\frac{\pi}{2}\) = -1
∴ L (x) = g(x₀) + g'(x₀)(x – x₀)
= 0 – 1 (x – \(\frac{\pi}{2}\))
= -x + \(\frac{\pi}{2}\)

கேள்வி 14.
w (x, y, z) = x² (y – z) + y² (z – x) + z² (x – y), எனில் \(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\) -ன் மதிப்பு
(1) xy + yz + zx
(2) x(y + z)
(3) y(z + x)
(4) 0
விடை:
(4) 0

குறிப்பு:
w (x, y, z) = x² (y – z) + y² (z – x) + z² (x – y)

கேள்வி 15.
f(x, y, z) = xy + yz + zx, எனில் f_x – f_z .-ன் மதிப்பு
(1) z – x
(2) y – z
(3) x – z
(4) y – x
விடை:
(1) z – x

குறிப்பு:
f(x, y, z) = xy + yz + zx
f_x = \(\) y + 0 + z = y + z
f_z = \(\) = 0 + y + x = y + x
∴ f_x – f_z = y + z – y – x = z – x

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 1 கண மொழி Ex 1.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 1 கண மொழி Ex 1.2

கேள்வி 1.
பின்வரும் கணங்களின் ஆதி எண்ணைக் காண்க.
(i) M = {p, q, r, s, t, u}
விடை:
n(M) = 6

(ii) P = {x : x = 3n + 2, n ∈ W மற்றும் x < 15}
விடை:
n(P) = 5

(iii) Q = {y : y = [lat∈x]\frac{4}{3 n}[/lat∈x], n ∈ N மற்றும் 2 < n ≤ 5}
விடை:
n(Q) = 3

(iv) R = {x : x ஆனது முழுக்கள், x ∈ Z மற்றும் -5 ≤ x < 5}
விடை:
n(R) = 10

(v) S = 1882 முதல் 1906 வரை உள்ள அனைத்து நெட்டாண்டுகளின் (Leap year) கணம்.
விடை:
n(S) = 5

கேள்வி 2.
பின்வரும் கணங்களில் எவை முடிவுறு கணம்,எவை முடிவுறாக் கணம் எனக் கூறுக
(i) X = தமிழகத்தில் உள்ள மாவட்டங்களின் கணம்.
விடை:
முடிவுறு

(ii) Y = ஓரு புள்ளி வழிச் செல்லும் நேர்க்கோடுகளின் கணம்.
விடை:
முடிவுறா

(iii) A = {x : x ∈ Z மற்றும் x < 5}
விடை:
முடிவுறா

(iv) B = {x : x² – 5x + 6 = 0, x ∈ N}
விடை:
முடிவுறு பின்வருவனவற்றில் எவை சமான கணங்கள் அல்லது சமமற்ற கணங்கள் அல்லது சமகணங்கள் எனக் கூறுக.
(i) A=ஆங்கில உயிரெழுத்துகளின் கணம். B = ‘VOWEL என்ற சொல்லில் உள்ள எழுத்துகளின் கணம்.
விடை:
சமான கணங்கள்.

(ii) C = {2, 3, 4, 5}
D= x : x ∈ W, 1 < x < 5}
விடை:
சமமற்ற கணங்கள்

(iii) X = x : x என்பது “LIFE” என்ற சொல்லில் உள்ள எழுத்துகளின் கணம். Y = {F, I, L, E}
விடை:
சம கணங்கள்

(iv) G = {x : x ஒரு பகா எண் 3 < x < 23}
H = {x : x என்பது 18 இன் வகு எண்க ள்
விடை:
சமான கணங்கள்

கேள்வி 4.
பின்வருவனவற்றில் எவை வெற்றுக்கணம்; எவை ஒருறுப்புக்கணம் எனக் காண்க.
(i) A = {x : x ∈ N, 1 < x < 2}
விடை:
வெற்றுக்கணம்.

(ii) B = 2 ஆல் வகுபடாத அனைத்து இரட்டைப்படை இயல் எண்களின் கணம். விடை:
வெற்றுக்கணம்.

(iii) C = {0}
விடை:
ஒருறுப்புக்கணம்.

(iv) D = நான்கு பக்கங்களை உடைய முக்கோணங்களின் கணம்.
விடை:
வெற்றுக் கணம்.

கேள்வி 5.
கொடுக்கப்பட்ட கணச் சோடிகள் வெட்டும் கணங்களா? இல்லை வெட்டாக் கணங்களா?

(i) A = {f, i, a, s} மற்றும் B = {a, n, f, h, s}
விடை:
A = { f, i, a, s}
B = {a, n, f , h, s}
A ∩B = { f, a, s}
A மற்றும் B வெட்டும் கணங்கள்

(ii) C = {x : x ஒரு பகா எண், x > 2} மற்றும் D = {x : x ஓர் இரட்டைப்படை பகாஎண் }
விடை:
C = {3}
D = {2}
C ∩ D = {φ}
C மற்றும் D வெட்டாக் கணங்கள்

(iii) E = {x : x என்பது 24 இன் காரணி} மற்றும் F = {x : x ஆனது 3இன் மடங்கு, x < 30}
விடை:
E = {2, 4, 6, 8, 12, 24}
F = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}
E ∩ F = {6, 12, 24}
E மற்றும் F வெட்டும் கணங்கள்.

கேள்வி 6.
S = {சதுரம், செவ்வகம், வட்டம், சாய்சதுரம், முக்கோணம்} எனில் பின்வரும், S இன் உட்கணங்களின் உறுப்புகளைப் பட்டியலிடுக
(i) நான்கு சமபக்கங்களை உடைய வடிவங்களின் கணம்.
விடை:
{சதுரம், சாய்சதுரம்)

(ii) ஆரங்களை உடைய வடிவங்களின் கணம்.
விடை:
{வட்டம்}.

(iii) உட்கோணங்களின் கூடுதல் 180° ஆக உடைய வடிவங்களின் கணம்.
விடை:
{முக்கோணம்}.

(iv) 5 பக்கங்களை உடைய தள வடிவங்களின் கணம்.
விடை:
{}

கேள்வி 7.
A = {a,{a,b}} எனில், A – இன் எல்லா உட்கணங்களையும் எழுதுக.
விடை:
A இன் உட்கணங்கள் f,{a}, {a,b}, {a,{a,b}}

கேள்வி 8.
பின்வருவனவற்றின் அடுக்குக்கணத்தைக் காண்க.
(i) A = {a, b}
விடை:
P(A) = {φ, {a}, {b}, {a, b}}

(ii) B= {1, 2, 3}
விடை:
P(B) = { { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1,2,3}}

(iii) D = {p, q, r, s}
விடை:
P(D) = {{ }, {p}, {q}, {r}, {s}, {p, q}, {p, r}, {p,s}, {q, r}, {q, s}, {r, s}, {p, q, r}, {p, q, s}, {p, r, s}, {q, r, s}, {p, q, r, s}}

(iv) E = φ
விடை:
P(E) = { {} }

கேள்வி 9.
பின்வரும் கணங்களின் உட்கணங்கள் மற்றும் தகு உட்கணங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
(i) W = {சிவப்பு, நீலம், மஞ்சள்}
விடை:
இங்கு m = 3
உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை 2^m = 2³ = 8
தகு உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = 2^m – 1
= 2³ – 1
= 8 – 1 = 7

(ii) X = {x² : x ∈ N, x² ≤ 100}
விடை:
X = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} இங்கு m =9 n(X) = 9
உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை
2^m = 2⁹ = 1024
தகு உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = 2^m -1
= 1024 – 1
= 1023

Question 10.
(i) n(A) = 4, எனில் n[P(A)] ஐக் காண்க
விடை:
(i) n(A) = 4 n[P(A)] = 2^m, m = 4
n[P(A)]=2^m = 2⁴
n[P(A)] = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

(ii) If n(A)=0 எனில், n[P(A)] ஐக் காண்க
விடை:
n(A) = 0 n[P(A)]= 2^m

(iii) If [P(A)] = 256 எனில், n(A) ஐக் காண்க
விடை:
n[P(4)]= 256
2^m = 256
2m = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
m = 8
2^m = 2⁸
n(A) = m
n(A) = 8

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 1 கண மொழி Ex 1.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 1 கண மொழி Ex 1.1

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றில் எவை கணங்களாகும்?
(i) ஒன்று முதல் 100 வரையுள்ள பகாஎண்களின் தொகுப்பு.
விடை:
கணம்.

(ii) இந்தியாவில் உள்ள செல்வந்தர்களின் தொகுப்பு.
விடை:
கணமல்ல

(iii) இந்தியாவில் உள்ள ஆறுகளின் தொகுப்பு.
விடை:
கணம்

(iv) வளைகோல் பந்தாட்டத்தை நன்றாக விளையாடும் வீரர்களின் தொகுப்பு.
விடை:
கணமல்ல

கேள்வி 2.
பின்வரும் ஆங்கிலச் சொற்களிலுள்ள எழுத்துகளைப் பட்டியல் முறையில் எழுதுக.
(i) INDIA
விடை:
A = {I, N, D, A}

(ii) PARALLELOGRAM
விடை:
B = {P, A, R, L, E, G, O, M}

(iii) MISSISSIPPI
விடை:
C = {M, I, S, P}

(iv) CZECHOSLOVAKIA
விடை:
D = {C, Z, E, H, O, S, L, V, A, K, I}

கேள்வி 3.
A = {0,3,5,8}, B = {2,4,6,10} மற்றும் C = {12, 14, 18, 20} என்ற கணங்களைக் கொண்டு.
(அ) சரியா, தவறா எனக் கூறுக.
(i) 18 ∈ C
விடை:
சரி

(ii) 6 ∉ A
விடை:
சரி

(iii) 14 ∉ C
விடை:
தவறு

(iv) 10 ∈ B
விடை:
சரி

(v) 5 ∈ B
விடை:
தவறு

(vi) O ∈ B
விடை:
தவறு

(ஆ) கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக :

(i) 3∈___
விடை:
A

(ii) 14∈ __
விடை:
C

(iii) 1 8__ B
விடை:
4

(iv) 4 __ B
விடை:
4

கேள்வி 4.
பின்வரும் கணங்களைப் பட்டியல் முறையில் எழுதுக.
(i) A = 20 – க்கும் குறைவான இரட்டைப்படை இயல் எண்களின் கணம்.
விடை:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

(ii) B = {y: y = \(\frac{1}{2 n}\), n ∈ N, n < 5}
1 1 1 1 11
விடை:
B = {\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{10}\)}

(iii) C = {x : x என்பது ஒரு முழுக்கன எண் மற்றும் 27 < x < 216}
விடை:
C = {64, 125}

(iv) D = {x : x ∈ Z – 5 < x ≤ 2}
விடை:
D = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2}

கேள்வி 5.
பின்வரும் கணங்களைக் கணக் கட்டமைப்பு முறையில் எழுதுக.
(i) B = ஒரு நாள் ஆட்டங்களில் இரட்டைச் சதமடித்த இந்திய மட்டைப் பந்து வீரர்களின் தொகுப்பு.
விடை:
B = {x: x என்பது ஒரு நாள் சர்வதேச போட்டிகளில் இரட்டைச் சதமடித்த இந்திய வீரர்}

(ii) c = {\(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{4}\)}
விடை:
C={x : x =\(\frac{n}{n+1}\); n ∈N)}

(iii) D ஓர் ஆண்டில் உள்ள தமிழ் மாதங்களின் தொகுப்பு.
விடை:
D = {x : x என்பது ஓர் ஆண்டிலுள்ள தமிழ் மாதம்}

(iv) E = 9 – க்கும் குறைவான ஒற்றை முழு எண்களின் கணம்.
விடை:
E = {x : x என்பது 9ஐ விடக் குறைவான ஒற்றை முழு எண்

கேள்வி 6.
பின்வரும் கணங்களை விவரித்தல் முறையில் எழுதுக.
(i) P = {சனவரி, சூன், சூலை}
விடை:
P = ‘J’ என்ற எழுத்தில் தொடங்கும் ஆங்கில மாதங்களின் கணம்.

(ii) Q = {7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
விடை:
Q = 5 மற்றும் 31 இக்கு இடைப்பட்ட பகா எண்களின் கணம்.

(iii) R = {x : x ∈ N, x < 5}
விடை:
R = 5 ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம்.

(iv) S = {x : x ஓர் ஆங்கில மெய்யெழுத்து}
விடை:
S =ஆங்கில மெய்யெழுத்துக்களின் கணம்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.3

பின்வரும் சமன்பாடுகளிலிருந்து அவற்றின் கூம்பு வளைவு வகையை கண்டறிக.

கேள்வி 1.
2x² – y² = 7
தீர்வு:
2x² – y² = 7
இங்கு A = 1, C = -1, F = -7
இங்கு A ≠ C மற்றும் A மற்றும் C ஒன்றுக் கொன்று எதிர்குறிகளை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அதிபர வளையத்தை குறிக்கிறது.

கேள்வி 2.
3x² + 3y² – 4x + 3y + 10 = 0
தீர்வு:
3x² + 3y² – 4x + 3y + 10 = 0
இங்கு A = 3, C = 3, D = -4, E = 3 மற்றும் F = 10
இங்கு A = C மற்றும் xy உறுப்பு இல்லை.
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு வட்டத்தை குறிக்கிறது.

கேள்வி 3.
3x² + 2y² = 14
தீர்வு:
3x² + 2y² = 14
இங்கு A = 3, C = 2 மற்றும் F = -14
A ≠ C மற்றும் A மற்றும் C ஒரே குறியை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு நீள்வட்டத்தை குறிக்கிறது.

கேள்வி 4.
x² + y² + x – y = 0
தீர்வு:
x² + y² + x – y = 0
இங்கு A = 1, C = 1, D = 1, E = -1
இங்கு A = C மற்றும் .xy உறுப்பு இல்லை.
ஆகையால் சமன்பாடு வட்டத்தை குறிக்கிறது.

கேள்வி 5.
11x² – 25y² – 44x + 50y – 256 = 0
தீர்வு:
11x² – 25y² – 44x + 50y – 256 = 0
A = 11, C = -25, D = -44, E = 50, மற்றும் F = -256
இங்கு A ≠ C மற்றும் A மற்றும் C ஒன்றுக் கொன்று எதிரான குறிகளை கொண்டுள்ளன. ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அதிபர
வளையத்தை குறிக்கிறது.

கேள்வி 6.
y² + 4x + 3y + 4 = 0
தீர்வு:
y² + 4x + 3y + 4 = 0
இங்கு A = 0, C = 1, D = 4, E = 3, F = 4 B = 0 மற்றும் A அல்லது C ஆனது 0 ஆகும். ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு பரவளையத்தை குறிக்கிறது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.5

கேள்வி 1.
மதிப்பு உள்ளது எனில் பின்வருவனவற்றிக்கு மதிப்பு காண்க. மதிப்பு இல்லையெனில் அதற்கான காரணம் தருக.
(i) sin^-1 (cos π)
(i) tan^-1 \(\left(\sin \left(\frac{-5 \pi}{2}\right)\right)\)
(iii) sin^-1(sin 5)
தீர்வு:
(i) sin^-1(cos π)
⇒ sin^-1(cos π) = x என்க
⇒ sin^-1(-1) = x
[∵ cos π = -1]
⇒ -1 = sin x ⇒ sin x = -sin \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ sin x = sin \(\left(\frac{-\pi}{2}\right)\) [∵\(\frac{-\pi}{2}\) ∈ \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)] ∵ sin^-1cos π = \(\frac{-\pi}{2}\)
⇒ x = \(\frac{-\pi}{2}\)

(ii)

(iii) sin^-1(sin 5)
sin^-1(sin 5) = θ; θ ∈ \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) என அறிவோம்
தோராயமாக கருதுக \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{11}{7}\)

sin^-1(sin 5) = sin^-1(sin(5 – π))
= 5 – 2π [∵ 5 – 2π ∈ –\(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\)]

கேள்வி 2.
முக்கோணத்தினை மேற்கோளாகக் கொண்டு x-ன் மதிப்பு காண்க.
(i) sin(cos^-1(1 – x))
(ii) cos(tan^-1(3x – 1))
(iii) tan \(\left(\sin ^{-1}\left(x+\frac{1}{2}\right)\right)\)
தீர்வு:
(i) sin(cos^-1(1 – x))
நமக்கு தெரியும்
0 ≤ x ≤ 1 எனில், cos^-1 x = sin^-1\(\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)\)
∴ cos^-1(1 – x) = sin^-1\(\sqrt{1-(1-x)^{2}}\) [∵ 0 ≤ 1 – x ≤ 1]
= sin^-1\(\left(\sqrt{1-\left(1+x^{2}-2 x\right)}\right)\)
= sin^-1\(\left(\sqrt{\left.1-1-x^{2}+2 x\right)}\right)\) = sin^-1\(\left(\sqrt{2 x-x^{2}}\right)\)
∴ sin^-1(cos^-1(1 – x)) = sin(sin^-1\(\left(\sqrt{2 x-x^{2}}\right)\))
= \(\sqrt{2 x-x^{2}}\)

(ii) cos(tan^-1(3x – 1))
நமக்கு தெரியும்

(iii)

கேள்வி 3.

தீர்வு:
(i)

(ii)

(iii)

கேள்வி 4.
நிரூபிக்க :
(i) tan^-1\(\) + tan^-1\(\) – tan^-1\(\)
(ii) sin^-1\(\) – cos^-1\(\) = sin^-1\(\)
தீர்வு:
(i)

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

(ii)
sin^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\) – cos^-1\(\left(\frac{12}{13}\right)\) = sin^-1\(\left(\frac{16}{65}\right)\)
sin^-1 \(\left(\frac{3}{5}\right)\) = x ⇒ sin x = \(\left(\frac{3}{5}\right)\)

மற்றும் cos x = \(\frac{\mathrm{adj}}{\text { hyp }}\) = \(\frac{4}{5}\)

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 5.
நிரூபிக்க: tan^-1x + tan^-1y + tan^-1z = tan^-1\(\left(\frac{x+y+z-x y}{1-x y-y z-z}\right)\)
தீர்வு:
நமக்கு தெரியும்

[(1) ஐ பயன்படுத்த]

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 6.
tan^-1x + tan^-1y + tan^-1z = π எனில், x + y + z = xyz எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
கேள்வி எண் 5 லிருந்து
tan^-1x + tan^-1y+tan^-1z = tan^-1 \(\left(\frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}\right)\)

⇒ x + y + z – xyz = 0
⇒ x + y + z = xyz

கேள்வி 7.
|x| < \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) எனில் tan¹ x+ tan¹\(\frac{2 x}{1-x^{2}}\) =
tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^{3}}{1-3 x^{2}}\right)\) என நிறுவுக.
தீர்வு:
LHS = tan^-1x + tan^-1\(\frac{2 x}{1-x^{2}}\)

கேள்வி 8.

தீர்வு:

கேள்வி 9.
(i) sin^-1\(\left(\frac{\mathbf{5}}{\boldsymbol{x}}\right)\) + sin^-1\(\left(\frac{\mathbf{12}}{\boldsymbol{x}}\right)\) = \(\frac{\pi}{2}\)
(ii) 2tan^-1x = cos^-1 \(\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}\) – cos^-1 \(\frac{1-b^{2}}{1+b^{2}}\), a > 0, b > 0
(iii) 2tan^-1 – cos^-1(x + 2) = tan^-1(2 cosec x)
(iv) cot^-1x – cot^-1(x + 2) = \(\frac{\pi}{2}\), x > 0
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட sin^-1\(\left(\frac{5}{x}\right)\) + sin^-1\(\left(\frac{12}{x}\right)\) = \(\frac{\pi}{2}\)
நமக்கு தெரியும்
sin^-1x + sin^-1y = sin^-1\(\left(x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}}\right)\)
இங்கு x² + y² ≤ 1 அல்லது xy < 0

x² + y² ≤ 1 அல்லது xy < 0 எனில் மட்டுமே இது சரி
y = \(\frac{5}{x}\) மற்றும் y = \(\frac{12}{x}\) என்க

சாத்தியமில்லை
∴ x² ≥ 13 தீர்வாகும்.
கொடுக்கப்பட்ட sin^-1\(\left(\frac{5}{x}\right)\) + sin^-1\(\left(\frac{12}{x}\right)\) = \(\frac{\pi}{2}\)

x = 13 எனில் மட்டுமே இது சரி
∴ x = 13 தீர்வாகும்.

(ii) 2tan^-1x = cos^-1\(\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}\) – cos^-1\(\frac{1-b^{2}}{1+b^{2}}\), a > 0, b > 0

⇒ tan^-1x = θ – φ

(iii) 2tan^-1(cos x) = tan^-1(2 cosec x)



⇒ 2 sin x cos x – 2 sin²x = 0
⇒ 2 sin x(cos x – sin x) = 0

எனவே தீர்வுகள் x = nπ அல்லது
x = nπ + \(\frac{\pi}{4}\), n ∈ ℤ

(iv) cot^-1(x) – cot^-1(x + 2) = \(\frac{\pi}{12}\), x > 0



இருபுறமும் வர்க்க மூலம் எடுக்க கிடைப்பது

x = என்பது தீர்வாகும்

கேள்வி 10.
சமன்பாட்டின் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க. tan^-1(x – 1) + tan^-1(x + 1) = tan^-1(3x)
தீர்வு:
கருதுக tan^-1(x – 1) + tan^-1(x + 1)

குறுக்கு பெருக்கல் மூலம் நமக்கு கிடைப்பது முப்படி சமன்பாடாகும்.
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு மூன்று தீர்வுகள் இருக்கும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 9 நிகழ்தகவு Ex 9.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 9 நிகழ்தகவு Ex 9.3

பலவுள் தெரிவு வினாக்கள்

கேள்வி 1.
0 மற்றும் 1-க்கும் இடைப்பட்ட ஓர் எண்ணைக் கொண்டு உறுதியற்றவற்றை அளவிடுவது எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது.
(1) சமவாய்ப்பு மாறி
(2) முயற்சி
(3) எளிய நிகழ்ச்சி
(4) நிகழ்தகவு
விடை:
(4) நிகழ்தகவு

கேள்வி 2.
நிகழ்தகவு மதிப்பின் இடைவெளி
(1) -1 மற்றும் +1
(2) 0 மற்றும் 1
(3) 0 மற்றும் n
(4) 0 மற்றும் ∞
விடை:
(2) 0 மற்றும் 1

கேள்வி 3.
ஒப்பீட்டு நிகழ்வெண் கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட நிகழ்தகவு எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது.
(1) பட்டறி நிகழ்தகவு
(2) தொன்மை நிகழ்தகவு
(3) (அ) மற்றும் (ஆ) இரண்டும்
(4) (1) வும் அல்ல (2) வும் அல்ல
விடை:
(1) பட்டறிவு நிகழ்தகவு

கேள்வி 4.
ஒரு நிகழ்ச்சியின் நிகழ்தகவு எவ்வாறு இருக்க முடியாது?
(1) பூச்சியத்திற்குச் சமம்
(2) பூச்சியத்தை விடப் பெரியது
(3) 1 இக்குச் சமம்
(4) பூச்சியத்தை விடச் சிறியது.
விடை:
(4) பூச்சியத்தை விடச் சிறியது

கேள்வி 5.
ஒரு சம வாய்ப்புச் சோதனையில் வாய்ப்புள்ள அனைத்து விளைவுகளின் நிகழ்தகவு எப்பொழுதும் இதற்குச் சமம்.
(1) ஒன்று
(2) பூச்சியம்
(3) முடிவிலி
(4) மேற்கண்ட அனைத்தும்
விடை:
(1) ஒன்று

கேள்வி 6.
A என்பது S இன் ஏதேனும் ஒரு நிகழ்ச்சி மற்றும் A’ என்பது A-ன் நிரப்பு நிகழ்ச்சி எனில் P(A^|) இன் மதிப்பு
(1) 1
(2) 0
(3) 1 – A
(4) 1 – P(A)
விடை:
(4) 1 – P(A)

கேள்வி 7.
பின்வருவனவற்றுள் எது ஒரு நிகழ்ச்சியின் நிகழ்தகவாக இருக்க முடியாது.
(1) 0
(2) 0.5
(3) 1
(4) -1
விடை:
(4) -1

கேள்வி 8.
ஒரு சோதனையின் குறிப்பிட்ட முடிவு எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது?
(1) முயற்சி
(2) எளிய நிகழ்ச்சி
(3) கூட்டு நிகழ்ச்சி
(4) விளைவு
விடை:
(4) விளைவு

கேள்வி 9.
ஒரு சோதனையின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட விளைவுகளின் தொகுப்பு ………… என அழைக்கப்படுகிறது.
(1) நிகழ்ச்சி
(2) விளைவு
(3) கூறுபுள்ளி
(4) மேற்கண்ட எதுவுமில்லை
விடை:
(1) நிகழ்ச்சி

கேள்வி 10.
ஒரு பகடையானது ………. இருக்கும்போது, அதன் ஆறு முகங்களும் சமவாய்ப்புடையவை என அழைக்கப்படுகிறது.
(1) சிறியதாக
(2) சீரானதாக
(3) ஆறு முகம் கொண்டதாக
(4) வட்டமாக
விடை:
(2) சீரானதாக

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 9 நிகழ்தகவு Ex 9.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 9 நிகழ்தகவு Ex 9.2

கேள்வி 1.
ஒரு நிறுவனம் ஆறு மாதத்தில் 10000 மடிக்கணினிகளை உற்பத்தி செய்தது. அவற்றில் 25 மடிக்கணினிகள் குறைபாடு உடையனவாகக் கண்டறியப்பட்டன. சம வாய்ப்பு முறையில் ஒரு மடிக்கணினியைத் தேர்ந்தெடுக்கும் போது அது குறைபாடில்லாத தாக இருக்க நிகழ்தகவு யாது?
விடை:
n(S) = 10000
குறைபாடு உடையவை = 25
E என்பது அது குறைபாடு இல்லாததாக இருக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
P(E) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{9975}{10000}\)
= 0.9775

கேள்வி 2.
16 – 20 வயதுக்குட்பட்ட 400 இளைஞர் களிடம் நடத்தப்பட்ட ஓர் ஆய்வில், 191 பேர் வாக்காளர் அடையாள அட்டை வைத்திருப்பதாகக் கண்டறியப்பட்டது. சமவாய்ப்பு முறையில் அவர்களில் ஒருவரைத் தேர்ந்தெடுக்கும் போது அவர் வாக்காளர் அடையாள அட்டை வைத்திருக்கும் நபராக இல்லாமல் இருக்க நிகழ்தகவு என்ன?
விடை:
n(S) = 400
E என்பது வாக்காளர் அடையாள அட்டை வைத்திருக்கும் நபராக இருப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
P(E) = \(\frac{191}{400}\)
E^| என்பது வாக்காளர் அடையாள அட்டை வைத்திருக்கும் நபராக இல்லாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
P(E^|) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac{191}{400}=\frac{400-191}{400}\)
= \(\frac{209}{400}\)

கேள்வி 3.
ஒரு வினாவிற்கான சரியான விடையை ஊகிப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac{x}{3}\) என்க. சரியான விடையை ஊகிக்காமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac{x}{5}\) எனில் x இன் மதிப்பு காண்க.
விடை:
A என்பது சரியான விடையை ஊகிப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
B என்பது தவறான விடையை ஊகிப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
P(A) = \(\frac{x}{3}\)
P(B) = \(\frac{x}{5}\)
P(S) = 1
P(A) + P(B) = \(\frac{x}{3}\) + \(\frac{x}{5}\)
1 = \(\frac{x}{3}\) + \(\frac{x}{5}\)
1 = \(\frac{5x+3x}{15}\)
1 = \(\frac{8x}{15}\)
8x = 15
x = \(\frac{15}{8}\)

கேள்வி 4.
ஒரு வரிப்பந்து (Tennis) விளையாட்டு வீரர் ஒரு குறிப்பிட்ட ஆட்டத்தில் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.72 எனில் அவர் அந்த விளையாட்டில் தோல்வியடைவதற்கான நிகழ்தகவு என்ன?
விடை:
A என்பது ஒரு விளையாட்டு வீரர் ஒரு குறிப்பிட்ட ஆட்டத்தில் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
P(A) = 0.72
A^| என்பது அவர் அந்த விளையாட்டில் தோல்வி அடைவதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
P(A^|) = 1 – P(A)
= 1 – 0.72
= 0.28

கேள்வி 5.
1500 குடும்பங்களில் அவர்கள் வீட்டிலுள்ள பணிப்பெண்கள் (maids) பற்றிய தரவுகள் திரட்டப்பட்டுப் பின்வருமாறு பதிவு செய்யப்ப்பட்டுள்ளது.

சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு குடும்பம் தேர்ந்தெடுக்கப்படும்போது, அக்குடும்பம்
(i) இரு வகைப் பணிப்பெண்களும் வைத்திருக்க
(ii) பகுதி நேரப் பணிப்பெண் வைத்திருக்க
(iii) பணிப்பெண் வைத்திருக்காமல் இருக்க நிகழ்தகவு காண்க.
விடை:
n(S) = 1500
A என்பது ஒரு குடும்பம் இரு வகைப் பணிப்பெண்களும் வைத்திருக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
P(A) = \(\frac{250}{1500}=\frac{1}{6}\)

B என்பது அக்குடும்பம் பகுதி நேரப் பணிப்பெண்களை வைத்திருக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
P(B) = \(\frac{860}{1500}=\frac{86}{150}\)
= \(\frac{43}{75}\)

C என்பது எந்த பணிப்பெண்களும் வைத்திருக்காமல் இருக்கும் நிகழ்ச்சி என்க.
P(C) = \(\frac{20}{1500}=\frac{2}{150}\)
= \(\frac{1}{75}\)

n(C) = 1500 – (860 + 370 + 250)
= 1500 – 1480
= 20