Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.1

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.1

பின்வருவனவற்றை சுருக்குக :

(i) i¹⁹⁴⁷ + i¹⁹⁵⁰
(ii) i¹⁹⁴⁸ – i^-1869
(iii) \(\sum_{n-1}^{12} i^{n}\)
(iv) i⁵⁹ + \(\frac{1}{i^{59}}\)
(v) i i² i³ …….. i²⁰⁰⁰
(vi) \(\sum_{n-1}^{10} i^{n+50}\)
தீர்வு:
(i) i¹⁹⁴⁷ + i¹⁹⁵⁰
i¹⁹⁴⁷ + i¹⁹⁵⁰ = i¹⁹⁴⁴ . i³ + i¹⁹⁴⁸ .i²
[ ∵1944 என்பது 4 -ன் பெருக்கல், 1948 என்பது மேலும் 4 – ன் பெருக்கல்]
= (i⁴)⁴⁸⁶ . i² . i¹ + (i⁴)⁴⁸⁷ .i² [i⁴ = 1]
= (1⁴⁸⁶)(-1)(i) + (1)⁴⁸⁷ (-1) [i² = -1]
= i – 1 = -1 – i

(ii) i¹⁹⁴⁸ – i^-1869
= (i⁴)⁴⁸⁷ – [i^-1868 .i^-1]
= 1⁴⁸⁷ – [(i⁴)^-467.\(\frac{1}{i}\)] [i⁴ = 1]
= 1-[1.(-i)) [∵ i^-1 = \(\frac{1}{i}\) = -i]
[1 – ன் எந்த அடுக்கும் 1 ஆகும்]
= 1 + i

(iii) \(\sum_{n-1}^{12} i^{n}\)
\(\sum_{n=1}^{12} i^{n}\) = (i¹ + i² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i⁷ + ii⁸) + (i⁹ + i¹⁰ + i¹¹ + i¹²)
= (i – 1 – i + 1) + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + (i⁴)²) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺² + i⁸⁺³ + (i⁴)³)
= 0 + (i + i² + i³ + i⁴) + (i¹ + i² + i³ + i⁴)
[∵ i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1]
0 + (i – 1 – i + 1) + (i – 1 – i + 1 )
= 0 + 0 + 0 = 0

(iv) i⁵⁹ + \(\frac{1}{i^{59}}\)
i^{4×14 + 3} + i^-(4×14+3)
= (i⁴)¹⁴. i³ + (i⁴)^-14. i^-3
= 1. i³ + 1.i^-3 [∵ i⁴ = 1]
= -i + i= 0 [∵ i³= -i மற்றும் i^-3 = i]

(v) i i²….. i²⁰⁰⁰
= i. i² 3…..i²⁰⁰⁰

= i^1000×2001 = i^2001000 = 1
[∵ 2001000 என்பது 4 ஆல் வகுபடும் அதன் கடைசி இரண்டு எண்களும் 4 ஆல் வகுபடும்]

(vi) \(\sum_{n-1}^{10} i^{n+50}\)
i¹⁺⁵⁰ + i²⁺⁵⁰ + ……+ i¹⁰⁺⁵⁰
= i⁵¹ + i⁵² + ……+ i⁶⁰
i⁵⁰ ஐ பொதுவாக எடுக்க கிடைப்பது,
i⁵⁰ [(i + 1² + i³ + i⁴) + (i⁵ + i⁶ + i⁷ + i⁸) + i⁹ + i¹⁰]
= i⁵⁰ [0 + (i⁴⁺¹ + i⁴⁺² + i⁴⁺³ + i⁴⁺⁴) + (i⁸⁺¹ + i⁸⁺²)]
= i⁵⁰ [0 + 0 + i + i²] [∵ i + i² + i + i⁴ = 0]
= i⁵⁰ [i-1] = i⁴⁸⁺² (i -1)
= i² (i-1) [∵ i⁴⁸ = 1]
= -1 (i-1) = -i + 1 = 1 – i