Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.6

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.6

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளிகளில் மீப்பெரு மற்றும் மீச்சிறு அறுதி மதிப்புகளை காண்க.
(i) f(x) = x² – 12x + 10; [1, 2]
(ii) f(x) = 3x⁴ – 4x³; [-1, 2]
(iii) f (x) = 6x^{\(\frac{4}{3}\)} – 3x^{\(\frac{1}{3}\)}; [-1, 1]
(iv) f(x) = 2 cos x + sin 2x ; [0, \(\frac{\pi}{2}\)]
தீர்வு:
(i) f(x) = x² – 12x + 10; [1, 2]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x² – 12x + 10 ; [1, 2]
f'(x) = 2x – 12
f'(x) = 0
⇒ 2x – 12
⇒ 2x = 12
⇒ x = 6
∴ நிலைப்புள்ளி எண் 6. முனைப்புள்ளிகள்.x = 1, x = 2 மற்றும் x = 6 நிலை எண் f(x) ஐ மதிப்பிடும் பொழுது கிடைப்பது
f(1) = 1² – 12 (1) + 10 = -1
f(2) = 2² – 12 (2) + 10 = -10
⇒ f(6) = 6² – 12 (6) + 10
= 36 – 72 + 10 =- 26
இம்மதிப்புகளில் மீப்பெரு அறுதி மதிப்பு -1 அது x = 1 -ல் கிடைக்கிறது மற்றும் x = 6 மீச்சிறு அறுதி மதிப்பு – 26 அது -1ல் கிடைக்கிறது,

(ii) f(x) = 3x⁴ – 4x³; [-1, 2]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = 3x⁴ – 4x³; [–1, 2]
f'(x) = 12x³ – 12x²
f'(x) = 0
⇒ 12x³ – 12x² = 0
⇒ 12x² (x – 1) = 0
⇒ x = 0 அல்ல து x = 1
f (x) முனைப்புள்ளிகள் x =-1, x = 2 மற்றும் நிலை எண் ஆகியவற்றில் x = 0, x = 1 மதிப்பில் கிடைப்பது,
f(-1) = 3(-1)⁴ – 4 (-1)³
= 3 + 4 = 7
f(2) = 3(2)⁴ – 4(2³)
= 48 – 32 = 16
f(0) = 1
f(1) = 3(1)⁴ – 4(1)³
= 3 – 4 = -1
இம் மதிப்புகளில் மீப்பெரு அறுதி மதிப்பு 16 ஆனது x = 2-ல் கிடைக்கிறது மற்றும் x = 1 | மீச்சிறு அறுதி மதிப்பு அது – 1ல் கிடைக்கிறது.

(iii) f(x) = 6x^{\(\frac{4}{3}\)} – 3x^{\(\frac{1}{3}\)}; [-1, 1]

ஆதலால் நிலை எண் x = \(\frac{1}{8}\)
முனைப்புள்ளிகள் x = -1, x = 1 மற்றும் நிலை எண் x = \(\frac{1}{3}\), ஆகியவற்றில் f (x) ஐ மதிப்பிட கிடைப்பது
f(-1) = 6(-1)^{\(\frac{4}{3}\)} – 3(-1)^{\(\frac{1}{3}\)}
= 6(1) – 3 (-1) = 6 + 3 = 9

இம்மதிப்புகளில் அறுதி மீப்பெரு 9 அது x = -1 -ல் கிடைக்கிறது மற்றும் அறுதி மீச்சிறு –\(\frac{9}{8}\) அது x = \(\frac{1}{8}\) –ல் கிடைக்கிறது.

(iv) f (x) = 2 cos x + sin 2x ; [0, \(\frac{\pi}{2}\)]
f'(x) = -2 sinx + 2 cos 2x
f'(x) = 0
⇒ -2 sinx + 2 cos 2x = 0
⇒ -2 sin x + 2(1 – 2 sin²x) = 0
⇒ 4 sin² x + 2 sin x – 2 = 0
⇒ 4 sin² x + 2 sin x- 2 = 0
⇒ 2 sin² x + sin x – 1 = 0
⇒ (sin x + 1)(2 sin x – 1) = 0
⇒ sin x = -1 (அ) sin x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ sin x = – sin \(\frac{\pi}{2}\) (அ)
sin x = sin \(\frac{\pi}{6}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{2}\) (அ) x = \(\frac{\pi}{6}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{6}\) [∵ x = –\(\frac{\pi}{2}\) ∉ [0, \(\frac{\pi}{2}\)]]
∴ நிலைப்புள்ளி x = \(\frac{\pi}{6}\)
முனைப்புள்ளிகள் x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\) மற்றும் நிலை எண் x = \(\frac{\pi}{6}\) ஆகியவற்றில் f (x) மதிப்பிட கிடைப்பது
f(0) = 2 cos 0 + sin 0 = 2
\(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) = 2 cos \(\frac{\pi}{2}\) + sin π = 0
\(f\left(\frac{\pi}{6}\right)\) = 2 cos \(\frac{\pi}{6}\) + sin \(\frac{\pi}{3}\)
= \(2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)
இடமதிப்புகளில் அறுதி மீப்பெரு \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\) அது x = \(\frac{\pi}{6}\) ல் கிடைக்கிறது மற்றும் அறுதி மீச்சிறு 0 அது x = \(\frac{\pi}{2}\) ல் கிடைக்கிறது.

கேள்வி 2.
கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு ஓரியல்பு இடைவெளிகளைக் கணக்கிட்டு அதிலிருந்து இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகளைக் காண்க :
(i) f(x) = 2x³ + 3x² – 12x
(ii) f (x) = \(\frac{x}{x-5}\)
(iii) f(x) = \(\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\)
(iv) f(x) = \(\frac{x^{3}}{3}\) – log x
(v) f (x) = sin x cos x + 5, x ∈ (0, 2π)
தீர்வு:
(i) f(x) = 2x³ + 3x² – 12x
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = 2x³ + 3x² – 12x
கொடுக்கப்பட்ட சார்பானது எல்லா x ∈ (-∞, ∞) க்கும் வரையறுக்கப்பட்டு மற்றும் வகைப்படுத்ததக்கது.
f'(x) = 6x² + 6x – 12
தேக்கநிலை புள்ளிகள் கிடைப்பது 6x² + 6x – 12 = 0
⇒ x² + x – 2 = 0
⇒ (x + 2) (x – 1) = 0
⇒ x = -2, 1

∴ (-∞,- 2), (1, ∞) ஆகிய இடைவெளிகளில் f (x) ல் திட்டமாக ஏறும் மற்றும் (-2, 1) ல் திட்டமாக இறங்கும்.
f'(x) இன் குறி மிகையிலிருந்து குறையாக x = -2ல் மாறுவதால் இடஞ்சார்ந்த பெருமதிப்பு x = – 2ல் கிடைக்கிறது.
∴ f(-2) = 2 (-2)³ + 3 (-2)² – 12 (-2)
= 2(-8) + 3(4) + 24
= -16 + 12 + 24 = 20
மேலும் f ‘(x) குறையிலிருந்து மிகையாக x = 1ல் மாறுகிறது, இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு x = 1 ல் கிடைக்கிறது.
∴ f (1) = 2 (1)³ + 3 (1)² – 12(1)
= 5 – 12 = -7

(ii) f(x) = \(\frac{x}{x-5}\)
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{x}{x-5}\)
எல்லா x ∈ ℝ – {5} க்கும் f (x) வரையறுக்கப்படும் மற்றும் f (x) அதில் வகையிடத்தக்கது.
∴ f'(x) = \(\frac{(x-5)(1)-x(1)}{(x-5)^{2}}\)
= \(\frac{x-5-x}{(x-5)^{2}}=\frac{-5}{(x-5)^{2}}\)
f'(x) = 0
⇒ \(\frac{-5}{(x-5)^{2}}\) ≠ 0
தேக்கநிலை புள்ளி இல்லை. சாத்தியமான இடைவெளிகள் (-∞, 5) மற்றும் (5, ∞).

∴ (-∞, 5) மற்றும் (5, ∞) ல் f (x) ஆனது திட்டமாக இறங்கும்.
தேக்கநிலை புள்ளி இல்லை ஆதலால் வளைவரை தனது நிலையை மாற்றவில்லை. எனவே இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகள் இல்லை . !

(iii) f (x) = \(\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\)
(-∞, ∞) ல் f (x) ஆனது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் வகையிடத்தக்கது.
∴ f'(x) = \(\frac{\left(1-e^{x}\right) e^{x}-e^{x}\left(-e^{x}\right)}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}\)
= \(\frac{1-e^{2 x}+e^{2 x}}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}=\frac{1}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}\)
f'(x) = 0 ⇒ \(\frac{1}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}\) ≠ 0 ஆகையால் தேக்க நிலை புள்ளி இல்லை
எல்லா x ∈ (-∞, ∞) க்கும் f'(x) = \(\frac{1}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}\) > 0 ஆதலால் f (x) ஆனது (-∞, ∞) இல் திட்டமாக ஏறும்.
தேக்க நிலை புள்ளி இல்லாதததால், வளைவரையின் நிலையில் மாற்றமில்லை. எனவே இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகள் இல்லை .

(iv) f(x) = \(\frac{x^{3}}{3}\) – log x
x ∈ (0, ∞) ல் f (x) ஆனது வரையறுக்கப் பட்டுள்ளது மற்றும் வகையிடத்தக்கது.
∴ f'(x) = \(\frac{3 x^{2}}{3}-\frac{1}{x}=x^{2}-\frac{1}{x}\)
f'(x) = 0
⇒ \(\frac{1}{x}\) = 0 ⇒ \(\frac{x^{3}-1}{x}\) = 0
⇒ x³ – 1 = 0 ⇒ x³ = 1
⇒ x = 1
∴ தேக்கநிலை புள்ளி x = 1ஆகும்.
தேவையான இடைவெளி (0, 1) மற்றும் (1, ∞).

f'(x)ன் குறி .x = 1ஐ கடக்கும் போது குறையிலிருந்து மிகையாக மாறுவதால் x = 1ல் இடம் சார்ந்த சிறுமம் f'(x) ல் அமைகிறது.
∴ f'(1) = \(\frac{1^{3}}{3}\) – log 1
= \(\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\)

(v) f (x) = sin x cosx + 5, x ∈ (0, 2π)
f(x)ல்.x ∈ (0, 2π) ஆனது வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் வகையிடத்தக்கது.
f'(x) = sin x (-sin x) + cos x (cos x)
= cos² x – sin² x
= cos 2x
f'(x) = 0
⇒ cos x = 0 = cos\(\frac{\pi}{2}\), cos \(\frac{3\pi}{2}\), cos \(\frac{5\pi}{2}\), cos \(\frac{7\pi}{2}\)
⇒ 2x = \(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\) -ல்
தேக்கநிலை புள்ளிகள் உள்ளன.
\(\left(0, \frac{\pi}{4}\right),\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)\left(\frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)\left(\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right)\)
தேவையான இடைவெளி

∴ f(x) ல் \(\left(0, \frac{\pi}{4}\right)\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)\left(\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right)\) ஆனது . திட்டமாக ஏறும் மற்றும் \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)\left(\frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)\) ல் திட்டமாக ஏறும் மற்றும் திட்டமாக இறங்கும். f'(x) -ன் குறி x = \(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\), ஐ கடக்கும் போது மிகையிலிருந்து குறையாக மாறுவதால் x = \(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\), -க்கு இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு உள்ளது.

மேலும் f ‘(x) -ன் குறி x = \(\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\)–ஐ கடக்கும் ! போது குறையிலிருந்து மிகையாக மாறுவதால் \(\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\)-ல் இடஞ்சார்ந்த சிறுமத்தை அடையும்.
∴ f'(x) = \(\cos \frac{3 \pi}{4} \sin \frac{3 \pi}{4}+5\)