Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.9

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.9

கேள்வி 1.
y = 2x², y = 0 மற்றும் x = 1 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை X- அச்சைப் பொருத்துச் சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப்ப பொருளின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு y = 2x²
கன அளவு = π \(\int_{a}^{b}\) y² dx
= \(\pi \int_{0}^{1}\left(2 x^{2}\right)^{2} d x=\pi \int_{0}^{1} 4 x^{4} d x\)
= \(4 \pi\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{4 \pi}{5}(1-0)\)
V = \(\frac{4\pi}{5}\) கன அலகுகள்

கேள்வி 2.
y = e^-2x, y = 0, x = 0 மற்றும் x = 1 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை x-அச்சைப் பொருத்து சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப் பொருளின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு y = e^-2x
தேவைப்படும் கன அளவு

V = \(\frac{\pi}{4}\) (1 – e^-4) கன அலகுகள்

கேள்வி 3.
x² = 1 + y மற்றும் y = 3 ஆகியவற்றால் அடைபடும் பரப்பை : அச்சைப் பொருத்து சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப் பொருளின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு y + 1 = x²
மேல் நோக்கி திறந்த வரைவளையத்தின் முனை (0, -1)

தேவையான கன அளவு = \(\int_{-1}^{3}\) x² dy
= π \(\int_{-1}^{3}\) (1 + y) dy

V = 81 கன அலகுகள்

கேள்வி 4.
y = x மற்றும் y = x² என்ற வளைவரைக்குள் அடைபடும். அரங்கத்தின் பரப்பு R, எனில் பரப்பு R-ஐ x – அச்சைப் பொருத்து 360° சுழற்றும்போது உருவாகும் திடப்பொருளின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு கோடு y = x மற்றும்
பரவளையம் y = x²

இந்த கோட்டை X-அச்சை பொறுத்து 360° சுழற்ற கிடைக்கும் கன அளவு

கேள்வி 5.
ஒரு கொள்கலன் (container) ஆனது நேர்வட்டக் கூம்பின் இடைக்கண்டம் (frustum of a cone) வடிவில் படத்தில் உள்ளவாறு அமைந்துள்ளது எனில் அதன் கன அளவைத் தொகுதியிடலைப் பயன்படுத்தி காண்க.

தீர்வு:
y = x என்ற கோட்டை x = a மற்றும் x = b க்கு இடையே x – அச்சை பொறுத்து சுழற்றுவதால் நேர்வட்டக் கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு கிடைக்கப் பெறுகிறது.

∴ இடைக்கண்டத்தின் உயரம் h = b – a
∴ கன அளவு = \(\pi \int_{a}^{b} x^{2} d x=\pi\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{a}^{b}\)
= \(\frac{\pi}{3}\) [b³ – a³]
= \(\frac{\pi}{3}\) (b – a) (b² + ab + a²)
h = b – a, r = a மற்றும் R = b என பிரதியிட கிடைக்கும், நேர்வட்ட கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு.
= \(\frac{\pi}{3}\) [h(R² + rR + r²)] கன அலகுகள்
கொடுக்கப்பட்ட h = 2 மீ, r= 1 மீ, R = 2 மீ
தேவையான கன அளவு = \(\frac{\pi}{3}\) [2(4 + 2 + 1)]
= \(\frac{\pi}{3}\) (14)
= \(\frac{14\pi}{3}\) கன அலகுகள்

கேள்வி 6.
ஒரு தர்பூசணியானது நீள்வட்ட திண்ம வடிவில் (ellipsoid shape) உள்ளது. இந்த நீள்வட்ட தின்மத்தை பெற நெட்டச்சின் நீளம் 20 செ.மீ . குற்றச்சின் நீளம் 10 செ.மீ கொண்ட நீள்வட்டத்தை நெட்டச்சைப் பொருத்து சுழற்ற வேண்டும் எனில் தர்பூசணியின் கன அளவை தொகுதியிடலைப் பயன்படுத்தி காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட 2a = 20 செ.மீ = a = 10 செ.மீ; 2b = 10 செ.மீ ⇒ b = 5 செ.மீ
∴ நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு , \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
⇒ \(\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{25}=1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{25}=1-\frac{x^{2}}{100}=\frac{100-x^{2}}{100}\)
⇒ y² = \(\frac{25}{100}\) (100 – x²)

\(\frac{1000 \pi}{3}\) கன அலகுகள்