Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.2

கேள்வி 1.
k என்பது மெய்யெண் எனில், 2x² + kx + k = 0 எனும் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் இயல்பை, k வழியாக ஆராய்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2.x² + kr +k= 0
இங்கு a = 2, b = k, c = k

∴ பண்புகாட்டி
△ = b² – 4ac = k² – 4 (2)(k)
= k² – 8k = k (k – 8)
k மெய் ஆகையால் k -க்கு சாத்தியமான மதிப்புகள்
k < 0, k = 0 அல்ல து 8, 0 < k < 8 அல்லது k > 8
நிலை (i) k < 0 எனில், △ = k (k – 8) > 0
⇒ அது மெய் மூலங்களை கொண்டிருக்கும்
(∵ k என்பது மெய்)
நிலை (ii) k = 0 அல்ல து 8 எனில், △ = 0,
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் நிலை (iii) 0 < k < 8 எனில், △ = k (k – 8) < 0 கற்பனை மூலங்களை கொண்டிருக்கும் நிலை (iv) k > 8 எனில் , △ = k (k – 8) > 0
⇒ மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை

கேள்வி 2.
2 + \(\sqrt{3} i\) -ஐ மூலமாகக் கொண்ட குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
2 + i\(\sqrt{3}\) பல்லுறுப்பு கோவையின் ஒரு மூலம் ஆதலால் அதனுடைய இணை மேலும் 2 – i
\(\sqrt{3}\) யும் அந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு மூலமாகும்.
∴ மூலங்களின் கூடுதல்
= 2 + i\(\sqrt{3}\) + 2 – i\(\sqrt{3}\) = 4
∴ மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
= (2 + i\(\sqrt{3}\)) + (2 – i\(\sqrt{3}\))
= 2² + \((\sqrt{3})^{2}\)
[∵ (a + ib)(a – ib) = a² + b²]
= 4 + 3 = 7
எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x² – x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் = 0
⇒ x² – x(4) + 7 = 0
⇒ x² – 4x + 7 = 0

கேள்வி 3.
2i + 3 -ஐ மூலமாகக் கொண்ட குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட 2i + 3 என்பது ஒரு மூலம்
∴ அதனுடைய இணை 3 – 2i பல்லுறுப்பு கோவைகளின் ஒரு மூலமாகும்.

மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
= (3 + 2i) (3 – 2i)
= 3² + 2² = 9 + 4 = 13
∴ எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x² – x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் = 0
⇒ x² – x(6) + 13 = 0
⇒ x² – 6x + 13 = 0

கேள்வி 4.
\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{3}\) -ஐ மூலமாகக் கொண்ட குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர்
பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட(\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{3}\)) என்பது ஒரு மூலம்
⇒ \(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{3}\) என்பது மேலும் ஒரு மூலம்
∴ மூலங்களின் கூடுதல்
= \(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{3}\) = 2\(\sqrt{5}\)
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
= (\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{3}\))(\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{3}\))
= (\(\sqrt{5}\))² – (\(\sqrt{3}\))²
= 5 – 3 = 2
∴ ஒரு காரணி x² – x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
⇒ x² – 2x\(\sqrt{5}\) + 2
மற்றொரு காரணியும் x² + 2x\(\sqrt{5}\) + 2 ஆகும். இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. ஆகையால் குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடு.
(x² – 2x\(\sqrt{5}\) + 2) (x² + 2x\(\sqrt{5}\) + 2) = 0
⇒ (x² + 2 – 2\(\sqrt{5}\)x)(x² + 2 + 2\(\sqrt{5}\)x) = 0
⇒ (x² + 2)² – (2\(\sqrt{5}\)x)² = 0
[∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
⇒ x⁴ + 4x² + 4 – 4(5)x² = 0
⇒ x⁴ + 4x² + 4 – 20x² = 0
⇒ x – 16x² + 4 = 0

கேள்வி 5.
ஒரு நேர்க்கோடும் ஒரு பரவளையமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேற்பட்டு வெட்டிக் கொள்ளாது என்பதனை நிரூபிக்க.
தீர்வு:
ஆய அச்சுகளை பொருத்தமாக தேர்ந்தெடுப் பதன் மூலம் நேர்க்கோட்டுக்கான சமன்பாட்டை y = mx + c …(1)
மற்றும் பரவளையத்திற்கான சமன்பாட்டை y² = 4ax என எடுத்துக் கொள்ளலாம் … (2)
(1)ஐ (2)-ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
(mx + c)² = 4ax
⇒ m²x² + c² + 2mcx = 4ax
⇒ m²x² + x(2mc – 4a) + c² = 0
இது x ல் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடு. இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. எனவே ஒரு நேர்க்கோடும் ஒரு பரவளையமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேற்பட்டு வெட்டிக் கொள்ளாது.