Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.3

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் ரோலின் தேற்றம் ஏன் ! பயன்படுத்த முடியாது என்பதை விளக்குக.
(i) f(x) = \(\left|\frac{1}{x}\right|\), x ∈ [-1, 1]
(ii) f(x) = tan x, x ∈ [0, π]
(iii) f(x) = x – 2 log x, x ∈ [2, 7]
தீர்வு:
(i) f(x) = \(\left|\frac{1}{x}\right|\), x ∈ [-1, 1]
கொடுக்கப்பட்ட f(x) = \(\left|\frac{1}{x}\right|\) x ∈ [-1, 1]
[-1, 1] ல் f (x) = \(\left(\frac{1}{x}\right)\), x = 0 -ல் தொடர்ச்சி அற்றது மற்றும் (-1, 1)-ல் வகையிடத்தக்கது அல்ல. ஆதலால் ரோலின் தேற்றத்தை பயன்படுத்த முடியாது

(ii) f(x) = tan x, x ∈ [0, π]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = tan x, x ∈ [0, π]
x = \(\frac{\pi}{2}\) ;-ல் tan x தொடர்ச்சி அற்றது ஆதலால் ரோலின் தேற்றத்தை பயன்படுத்த முடியாது.
[∵ tan \(\frac{\pi}{2}\) = ∞]

(iii) f(x) = x – 2 log.x, x ∈ [2, 7]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x- 2 log x ∈ [2, 7]
(i) f (x), [2, 7] ல் தொடர்ச்சியானது
(ii) f (x), (2, 7) ல் வகையிடத்தக்கது
f(2) = 2 – 2 log 2
= 2 – log 2² = 2 – log 4
f(7) = 7 – 2 log 7
= 7 – log 7² = 7 – log 49
ஆதலால் f (2) ≠ f (7) ரோலின் தேற்றத்தை பயன்படுத்த முடியாது

கேள்வி 2.
ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு x -ன் எம்மதிப்புகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு x- அச்சிற்கு இணையாக இருக்கும்?
(i) f(x) = x² – x, x ∈ [0, 1]
(ii) f(x) = \(\frac{x^{2}-2 x}{x+2}\), x ∈ [-1, 6]
(iii) f(x) = \(\sqrt{x}-\frac{x}{3}\), x ∈ [0, 9]
தீர்வு:
(i) f(x) = x² – x, x ∈ [0, 1]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x² – x, x ∈ [0, 1]
(i) [0, 1]ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
(ii) (0, 1) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
(iii) f(0) = 0² – 0 = 0
f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0
∴ f(0) = f (1) ரோலின் தேற்றப்படி C ∈ [0, 1] பின்வருமாறு உள்ளது
f'(c) = 0
⇒ 2c – 1 = 0
⇒ 2c = 1
c = \(\frac{1}{2}\) ∈ [0, 1]

(ii) (ii) f(x) = \(\frac{x^{2}-2 x}{x+2}\), x ∈ [-1, 6]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{x^{2}-2 x}{x+2}\), x ∈ [-1, 6]
அ) [-1, 6] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (-1, 6) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ) f(-1) = \(\frac{(-1)^{2}-2(-1)}{-1+2}=\frac{1+2}{1}\) = 3
f(6) = \(\frac{6^{2}-2(6)}{6+2}\)
= \(\frac{36-12}{8}=\frac{24}{8} \) = 3
∴ f(-1) = f(6)
ரோலின் தேற்றப்படி c ∈ [-1, 6] பின்வருமாறு உள்ளது.
f'(c) = 0

(iii) f(x) = \(\sqrt{x}-\frac{x}{3}\), x ∈ [0, 9]
அ) [0, 9] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (0, 9) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(0) = 0
f(9) = \(\sqrt{9}-\frac{9}{3}\) = 3 – 3 = 0
f(0) = f (9)
∴ ரோலின் தேற்றப்படி C E [0, 9] பின்வருமாறு
அமைந்துள்ளது f'(c) = 0

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த c = \(\frac{9}{4}\) ∈ [0, 9]

கேள்வி 3.
கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் ஏன் பயன்படுத்த முடியாது என்பதை விளக்குக.
(i) f(x) = \(\frac{x+1}{x}\), x ∈ [-1, 2]
(ii) f(x) = |3x + 1|, x ∈ [-1, 3]
தீர்வு:
(i) f(x) = \(\frac{x+1}{x}\), x ∈ [-1, 2]
x = 0 ல் f (x) தொடர்ச்சியற்றதால் லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு பயன்படுத்த முடியாது.

(ii) f(x) = |3x + 1|, x ∈ [-1, 3]
[-1, 3] ல் f (x) தொடர்ச்சியுடையது ஆனால் x = \(\frac{-1}{3}\) ல் வகையிடத்தக்கதல்ல.

கேள்வி 4.
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியின் முனைப் புள்ளிகள் வழியே செல்லும் நாணுக்கு! இணையாக ஒரு தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -ன் மதிப்பைக் காண்க.
(i) f(x) = x³ – 3x + 2, x ∈ [-2, 2]
(ii) f(x) = (x – 2)(x – 7), x ∈ [3, 11]
தீர்வு:
(i) f(x) = x³ – 3x +2, x ∈ [-2, 2]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x³ – 3x + 2, x ∈ [-2, 2]
அ) [-2, 2] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (-2, 2)ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
f(-2) = (-2)³ – 3 (-2) +2
= -8 + 6 + 2 = 0
f(2) = 2³ – 3 (2) + 2
= 8 – 6 + 2 = 4
லெக்ராஞ்சியின் C ∈ [-2, 2] எனுமாறு
f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
⇒ 3c² – 3 = \(\frac{4-0}{2-(-2)}=\frac{4}{4}\) = 1
⇒ 3c² – 3 = 1
⇒ 3c² = 4 = c² = \(\frac{4}{3}\)
⇒ c = \(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\) ∈ (-2, 2)

(ii) f(x) = (x – 2)(x – 7), x ∈ [3, 11]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = (x- 2)(x – 7),x ∈ [3, 11] ;
அ) [3, 11] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (3, 11) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(11) = (11 – 2) (11 –7)
= (9) (4) = 36
f(3) = (3 – 2) (3 – 7)
= (1) (4) =- 4
∴ லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி c ∈ [3, 11] ஒரு ஆனது f ‘(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) எனுமாறு உள்ளது.
f (x) = (x – 2) (x – 7)
= x² – 7x – 2x + 14
= x² – 9x + 14
⇒ 2c – 9 = \(\frac{36+4}{11-3}\)
⇒ 3c – 9 = \(\frac{40}{8}\)
⇒ 2c = 14
⇒ c = 7 ∈ [3, 11]

கேள்வி 5.
(i) f(x) = \(\frac{1}{x}\) என்ற சார்பிற்கு [a, b] – யை மிகை முழு எண்களாக கொண்ட மூடிய இடைவெளி [a, b] -ல் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி இறுதி மதிப்பு \(\sqrt{ab}\) என நிறுவுக.
(ii) f(x) = Ax² + Bx + C என்ற சார்பிற்கு எந்த ஒரு மூடிய இடைவெளி [a, b] -ல் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி இறுதி மதிப்பு \(\frac{a+b}{2}\) என நிறுவுக .
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{1}{x}\), x ∈ [a, b]
அ) [a, b] ல் f (x) தொடர்ச்சியுடையது
அ) (a, b) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(b) = \(\frac{1}{b}\), f(a) = \(\frac{1}{a}\)
சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தை பயன்படுத்த c ∈ [a, b] எனுமாறு f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) உள்ளது.

(ii) கொடுக்கப்பட்ட f (x) = Ax² + Bx + C, x ∈ [a, b]
அ) [a, b] ல் f (x) தொடர்ச்சியுடையது
ஆ) (a, b) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(b) = Ab² + Bb + c,
f(a) = Aa² + Ba + c
சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தை பயன்படுத்த c ∈ [a, b] எனுமாறு f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) உள்ளது.

கேள்வி 6.
ஒரு பந்தய மகிழுந்து ஓட்டுநர் 20-ஆம் கிலோமீட்டரில் இருந்து புறப்படுகிறார். அதன் வேகம் எப்பொழுதும் 150 கி.மீ/மணி-யை தாண்டவில்லை எனில், அடுத்த இரண்டு மணி நேரத்தில் அவரால் கடக்க முடிந்த அதிகபட்ச வேகம் காண்க.
தீர்வு:
‘t’ காலத்தில் கடந்த தூரம் f (t)
என்க. கொடுக்கப்பட்ட f (0) = 20 மற்றும் f (2) = ?
மேலும் வேகம் = f'(t) ≥ 150 தூர சார்பு தொடர்ச்சியானது மற்றும் வகையிடத்தக்கது லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி C ஆனது
⇒ f’ (c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
⇒ f'(c) = \(\frac{f(2)-20}{2-0}\) ≥ 150
எனுமாறு உள்ளது.
[ஓட்டுநர் வேகம் 150 கி.மீ/மணி மற்றும் f’ (c) வேகத்தை குறிக்கிறது]
⇒ \(\frac{f(2)-20}{2-0}\) ≥ 150
⇒ f(2) – 20 ≥ 300
⇒ f(2) ≥ 320 ஆதலால் அடுத்த 2 மணி நேரத்தில் அவரால் கடக்க முடிந்த அதிகபட்ச தூரம் 320 கி.மீ.

கேள்வி 7.
f(x) சார்பானது, f'(x) ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 4 எனில், f(4) – f(1) ≤ 3 எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
f'(x) = ≤ 1; 1 ≤ x ≤ 4
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி,
f’ (x) = \(\)
[∵ 1, 4] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது மற்றும் (1,4) ல் வகையிடத்தக்கது]
f'(x) = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\)
⇒ \(\frac{f(4)-f(1)}{3}\) = f'(x)
⇒ \(\frac{f(4)-f(1)}{3}\) ≤ 1 [∵ f'(x) ≤ 1]
⇒ f(4) – f (1) ≤ 3

கேள்வி 8.
f(x) என்ற வகையிடத்தக்க சார்பானது f(0) = -1, f(2) = 4 மற்றும் f(x) ≤ 2 ∀ x என்றவாறு இருக்க முடியுமா? எனது பதிலுக்கு தகுந்த விளக்கம் தருக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (0) = -1, f(2) = 4
∴ [0, 2] ல் f (x) ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி,
f’ (x) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}\)
\(\frac{4-(-1)}{2}=\frac{5}{2}\) = 2.5
= 2.5 ∈ [0, 2]
f'(x) ஆனது 2.5ல் எந்த புள்ளி [0, 2), ஆக முடியாது, வகையிடத்தக்க சார்பு f (x) இருக்க முடியாது.

கேள்வி 9.
f(x) = x (x + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)}, -3 ≤ x ≤ 0 என்ற வளைவரைக்கு x-அச்சிற்கு இணையாக ! வரையப்படும் தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -மதிப்பு (-3, 0) என்ற இடை வெளியில் அமையும் என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x (x + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)}, -3 ≤ x ≤ 0
அ) [-3, 0] ல் f (x) தொடர்ச்சியானது
ஆ) (-3, 0) ல் f (x) வகையிடத்தக்கது
இ f(0) = 0 (0 + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} = 0
f(-3) = -3 (-3 + 3) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} = 0
∴ ரோலின் தேற்றப்படி c ∈ [-3, 0] எனுமாறு f'(c) = 0 உள்ள து.
(2c + 3)e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} = 0
[∵ f(x) = (x² + 3x) e^{\(-\frac{\pi}{2}\)} f'(x) = (2c + 3) ^{\(-\frac{\pi}{2}\)}]
⇒ 2c + 3 = 0
⇒ 2c = -3
⇒ c \(\frac{-3}{2}\) ∈ [-3, 0]
எனவே f (x) = x (x + 3)e^{\(-\frac{\pi}{2}\)}, -3 ≤ x ≤ 0 என்ற வளைவரைக்கு -அச்சிற்கு இணையாக ! வரையப்படும் தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -மதிப்பு (-3, 0) என்ற இடைவெளியில் அமையும்.

கேள்வி 10.
சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி a > 0, b > 0, |e^-a – e^-b|< |a – b| என நிறுவுக.
தீர்வு:
f(x) = e^-x, .x ∈ [a, b] என்க
அ) [a, b] ல் e^-x தொடர்ச்சியானது
ஆ) (a, b) ல் e “வகையிடத்தக்கது
இ f(b) = e^-b, f (a) = e^-a,
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்பு தேற்றப்படி,
c ∈ [a, b] எனுமாறு f'(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) உள்ள து.
⇒ e^-c = \(\frac{e^{-b}-e^{-a}}{b-a}\)
⇒ e^-c = \(\frac{e^{-a}-e^{-b}}{a-b}\)
⇒ |-e^-c| = \(\left|\frac{e^{-a}-e^{-b}}{a-b}\right|\)
⇒ \(\left|\frac{e^{-a}-e^{-b}}{a-b}\right|\) < 1
[∵ |-a^-c|< 1 -க்கு c ∈ [a, b], a > 0, b > 0]
⇒ |e^-a – e^-b| < |a – b| எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.