Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5

கேள்வி 1.
பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :
(i) sin2 x – 5 sin x + 4 = 0
(ii) 12x3 + 8x = 29x2 – 4
தீர்வு:
(i) sin2 x – 5 sin x + 4 = 0
பிரதியிடு y = sinx
⇒ y – 5y + 4 = 0
⇒ (y – 4)(y – 1) = 0
⇒ y = 4, 1
நிலை (i)
y = 4 எனில், sin x = 4
மற்றும் sin x = 4-க்கு தீர்வு இல்லை அதனுடைய | வீச்சகம் [-1, 1] ஆகும்.
நிலை (ii)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 17 sin x = 1
⇒ sin x = sin \(\frac{\pi}{2}\) [∵ sin \(\frac{\pi}{2}\) = 1]
x = 2nπ + \(\frac{\pi}{2}\), n ∈ ℤ
[∵ sin x = sin α ⇒ x = 2nπ + α n ∈ ℤ]

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5

(ii) 12x3 + 8x = 29x2 – 4
இந்த சமன்பாட்டை பின்வருமாறு திருத்தி எழுதலாம்.
12x3 – 29x2 + 8x + 4 = 0
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 20
∴ x = 2 ஒரு மூலம் மற்றும் மீதியிருக்கும் காரணி 12x2 – 5x – 2
⇒ (3x – 2)(4x + 1) = 0
3x – 2 = 0 (அ) 4x + 1 = 0
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 21
⇒ x = \(\frac{2}{3}\),
x = \(\frac{-1}{4}\)
∴ மூலங்கள் 2, \(\frac{2}{3}\) மற்றும் –\(\frac{1}{4}\).

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5

கேள்வி 2.
விகிதமுறு மூலங்கள் உள்ளதா என ஆராய்க.
(i) 2x3 – x2 – 1 = 0
(ii) x8 – 3x + 1 = 0
தீர்வு:
(i) 2x3 – x2 – 1 = 0
கெழுக்களின் கூடுதல் = 2 – 1 – 1 = 0
x = 1 என்பது ஒரு மூலம்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 40
∴ x = 1 ஒரு மூலம் மற்றும் மீதியிருக்கும் காரணி
2x2 + x + 1
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 41
மூலம் என்பது ஒரு கலப்பெண்
⇒ x = \(\frac{-1 \pm i \sqrt{7}}{2}\)
∴x = 1 என்பது ஒரு விகிதமுறு மூலம்

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5

(ii) x8 – 3x + 1 = 0
இங்கு an = 1, a0 = 1
\(\frac{p}{q}\) பல்லுறுப்பு கோவையின் ஒரு மூலம்
இங்கு (p, q) = 1, a0 = 1-ன் காரணி p மற்றும் an = 1-ன் காரணி q
1 க்கு காரணி இல்லை ஆதலால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டுக்கு விகிதமுறு மூலங்கள் இல்லை.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5

கேள்வி 3.
தீர்க்க : 8\(x^{\frac{3}{2 n}}\) – 8\(x^{\frac{-3}{2 n}}\) = 63
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 42
⇒ 8y6 – 8 = 63y3
⇒ 8y6 – 63y3 – 8 = 0
⇒ 8t2 – 63t – 8 = 0 [இங்கு t = y3]
⇒ (8t – 1)(t – 8) = 0
⇒ t = \(\frac{1}{8}\), 8
நிலை (i) t = 8 எனில், ⇒ y3 = 8 ⇒ y3 = 23
⇒ y = 2
நிலை (ii) t = \(\frac{1}{8}\) எனில், y3 = \(\frac{1}{8}\) = y ⇒ y = \(\frac{1}{2}\)
y = 2 எனில் \(x^{\frac{1}{2 n}}\) = 2
⇒ x = (2)2n ⇒ x = (22)n
⇒ x = 4n
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 26
எனவே மூலங்கள் 4n.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5

கேள்வி 4.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 27
தீர்வு:
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 28
⇒ ab(2y2 + 3) = (b2 + 6a2)y
⇒ 2aby2 + 3ab – y(b2 + 6a2) = 0
⇒ 2aby2 – y(b2 + 6a2) + 3ab = 0
⇒ 2aby2 – b2y – 6a2y + 3ab = 0
⇒ by(2ay – b) – 3a (2ay – b) = 0
⇒ (2ay – b) (by – 3a) = 0
⇒ 2ay = b, by = 3a
⇒ y = \(\frac{b}{2 a}\) y = \(\frac{3 a}{b}\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 29

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5

கேள்வி 5.
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :
(i) 6x4 – 35x3 + 62x2 – 35x + 6 = 0
(ii) x4 + 3x3 – 3x – 1 = 0
தீர்வு:
(i) 6x4 – 35x3 + 62x2 – 35x + 6 = 0
இது இரட்டைப்படை முதல் வகை தலைகீழே சமன்பாடாகும்.
எனவே பின்வருமாறு எழுதலாம்.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 30
∴ (1) ஆனது,
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 31
⇒ 6(y2 – 2) – 35y + 62 = 0
⇒ 6y2 – 12 – 35y + 62 = 0
⇒ 6y2 – 35y + 50 = 0
⇒ (3y – 10) (2y – 5) = 0
⇒ y = \(\frac{10}{3}\), \(\frac{5}{2}\)
நிலை (i) y = \(\frac{10}{3}\)– எனில், x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{10}{3}\)
⇒ \(\frac{x^{2}+1}{x}\) = \(\frac{10}{3}\)
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 31.1
⇒ 3x2 + 3 = 10x
⇒ 3x2 – 10x + 3 = 0
⇒ (x – 3)(3x – 1) = 0
⇒ x = 3, \(\frac{1}{3}\)
நிலை (ii)
y = \(\frac{5}{2}\) எனில்,
x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{5}{2}\) ⇒ \(\frac{x^{2}+1}{x}\) = \(\frac{5}{2}\)
⇒ 2x2 + 2 = 5x
⇒ 2x2 – 5x + 2 = 0
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 40.1
⇒ (x – 2) (2x – 1) = 0
⇒ x = 2, \(\frac{1}{2}\)
எனவே மூலங்கள் 2,\(\frac{1}{2}\), 3, \(\frac{1}{3}\)

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5

(ii) x4 + 3x – 3x – 1=0
கெழுக்களின் கூடுதல் = 1 + 3 – 3 – 1 = 0
⇒ x = 1 என்பது ஒரு மூலம்
⇒ (x – 1) ஒரு காரணி
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 41.1
[தொகுமுறை வகுத்தலை பயன்படுத்தி]
x= 1,- 1 மூலங்கள் மற்றும் மீதியுள்ள காரணி x2 + 3x + 1]
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 45.2

கேள்வி 6.
4x – 3(2x+2) + 25 = 0 எனும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் அனைத்து மெய்யெண்களையும் காண்க.
தீர்வு:
4x – 3(2x+2) + 25 = 0
⇒ (22)x – 3(2x) + 25 = 0
⇒ (2x)2 – 12(2x) + 32 = 0
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 46
பிரதியிடு
2x = y
y2 – 12y + 32 = 0
(y – 8) (y – 4) = 0
y = 8, 4
நிலை (i)
y = 8 எனில், 2x ⇒ 8 = 2x = 23 ⇒ x = 3 நிலை (ii)
y = 4 எனில், 2x = 4 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = ± 2.
∴ மூலங்கள் 2, 3, -2.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5

கேள்வி 7.
6x4 – 5x3 – 38x2 – 5x + 6 = 0 எனும் சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வு \(\frac{1}{3}\) எனில், சமன்பாட்டின் தீர்வு காண்க.
தீர்வு:
இது இரட்டைப்படை இரண்டாம் வகை தலைகீழ்
சமன்பாடாகும். எனவே இதனை பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.
6(x2 + \(\frac{1}{x^{2}}\)) – 5(x + \(\frac{1}{x}\)) – 38 = 0 … (1)
பிரதியிடு x + \(\frac{1}{x}\) ⇒ y = (x + \(\frac{1}{x}\))2 = y2
⇒ x2 + \(\frac{1}{x^{2}}\) + 2 = y2 ⇒ x2 + \(\frac{1}{x}\) = y2 – 2
∴ (1) லிருந்து,
⇒ 6(y2 – 2) – 5y – 38 = 0
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 49
⇒ 6y2 – 12 – 5y – 38 = 0
⇒ 6y2 – 5y – 50 = 0
⇒ (3y – 10) (2y + 5) = 0
y = \(\frac{10}{3}\), \(\frac{-5}{2}\)
நிலை (i)
y = \(\frac{+10}{3}\)
x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{+10}{3}\)
\(\frac{x^{2}+1}{x}\) = \(\frac{+10}{3}\)
⇒ 3x2 + 3 = 10x
⇒ 3x2 – 10x + 3 = 0
(x – 3)(x – \(\frac{1}{3}\)) = 0 ⇒ x = 3, \(\frac{1}{3}\)
நிலை (ii)
y = –\(\frac{5}{2}\) எனில்,
⇒ x + \(\frac{1}{x}\) = –\(\frac{5}{2}\) ⇒ \(\frac{x^{2}+1}{x}\) = \(\frac{-5}{2}\)
⇒ 2x2 + 2 + 5x = 0 ⇒ 2x2 + 5x + 2 = 0
⇒ (x + 2) (2x + 1) = 0 ⇒ x = -2, \(\frac{-1}{2}\)
∴ மூலங்கள் 3, \(\frac{1}{3}\), -2, \(\frac{-1}{2}\)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *