Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 4th Maths Guide Pdf Term 3 Chapter 2 எண்கள் Ex 2.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 4th Maths Solutions Term 3 Chapter 2 எண்கள் Ex 2.1

பின்வருவனவற்றைச் சுருக்குக.
கேள்வி 1.
896 ÷ 5
தீர்வு:

கேள்வி 2.
696 ÷ 6
தீர்வு:

கேள்வி 3.
686 ÷ 7
தீர்வு:

கேள்வி 4.
813 ÷ 8
தீர்வு:

கேள்வி 5.
891 ÷ 9
தீர்வு:

கேள்வி 6.
703 ÷ 2
தீர்வு:

கேள்வி 7.
ராகுலிடம் 192 பொம்மை கார்கள் உள்ளது அவன் அதனை 6 பெட்டிகளில் சமமாக வைத்துள்ளான். ஒவ்வொரு * பெட்டியிலும் எத்தனை பொம்மை கார்கள் வைப்பான்? மீதம் எத்தனைக் கார்கள் இருக்கும்?
தீர்வு:
பொம்மை கார்களின் எண்ணிக்கை = 192
சமமாக வைத்துள்ள பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை = 6
ஒவ்வொரு பெட்டியிலும் வைக்கும் பொம்மைகளின் எண்ணிக்கை = 192 ÷ 6

விடை: ஒவ்வொரு பெட்டியிலும் 32 பொம்மைகள் வைப்பான். மீதம் உள்ள கார்கள் = 0

கேள்வி 8.
அகிலாவிடம் 495 புகைப்படங்கள் ஆல்பத்தில் வைப்பதற்காக, உள்ளன. ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் 9 புகைப்படங்கள் – வைக்கிறாள் எனில், எத்தனை பக்கங்களை அவளால் நிரப்ப முடியும்?
தீர்வு:
மொத்தபுகைப்படங்களின் எண்ணிக்கை = 495
ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் வைக்கும்
புகைப்படங்களின் எண்ணிக்கை = 6
நிரப்ப முடிந்த பக்கங்களின் எண்ணிக்கை = 495 ÷ 6

விடை: நிரப்ப முடிந்த பக்கங்களின் எண்ணிக்கை =82 பக்கம் : 9 பயிற்சி

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 4th Maths Guide Pdf Term 3 Chapter 1 வடிவியல் Ex 1.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 4th Maths Solutions Term 3 Chapter 1 வடிவியல் Ex 1.1

கேள்வி 1.
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அமைப்புகளால் உருவான படங்களில் உள்ள வடிவங்களை எழுதுக.
i)

தீர்வு:
சுருள் |

ii)

தீர்வு:
வட்டம்

கேள்வி 2.
கீழேயுள்ள அமைப்பை பூர்த்தி செய்க.
i)

தீர்வு:

ii)

தீர்வு:

iii)

தீர்வு:

iv)

தீர்வு:

கேள்வி 3.
எளிமையான ரங்கோலி வரைக. உங்களுடைய படைப்புத் திறனை பயன்படுத்தி நிரப்புக.
தீர்வு:

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.2

கேள்வி 1.
\(\vec{a}\) = \(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 2\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 3\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\vec{b}\) = 2\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + \(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 2\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\vec{c}\) = 3\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + \(\hat{\boldsymbol{j}}\) + \(\hat{\boldsymbol{k}}\), எனில் \(\vec{a}\).(\(\vec{b}\) × \(\vec{c}\)) காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec{a}\) = \(\hat{\boldsymbol{i}}\) – 2\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 3\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\vec{b}\) = 2\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + \(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 2\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\vec{c}\) = 3\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 2\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + \(\hat{\boldsymbol{k}}\)

= 1 (1 + 4) + 2 (2 + 6) + 3 (4 – 3)
= 1(5) + 2(8) + 3(1) = 5 + 16 + 3 = 24
∴ \(\vec{a}\).(\(\vec{b}\) × \(\vec{c}\)) = 24 .

கேள்வி 2.
-6\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 14\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 10\(\hat{\boldsymbol{k}}\), 14\(\hat{\boldsymbol{i}}\) – 10\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 6\(\hat{\boldsymbol{k}}\) மற்றும் \(\vec{c}\) = 2\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 4\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 2\(\hat{\boldsymbol{k}}\)
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) என்ற வெக்டர்களால் குறிப்பிடப்படும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளைக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
\(\vec{a}\) = -6\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 14\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 10\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\vec{b}\) = 14\(\hat{\boldsymbol{i}}\) – 10\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 6\(\hat{\boldsymbol{k}}\)
மற்றும் \(\vec{c}\) = 2\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 4\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 2\(\hat{\boldsymbol{k}}\)
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளை கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு \(\vec{a}\).(\(\vec{b}\) × \(\vec{c}\))

= -6(20 + 24) – 14(-28 + 12) + 10(56 + 20)
= -6(44) – 14(-16) + 10(76)
= -264 + 224 + 760 = 720.
∴ தேவையான இணைகரத்திண்மத்தின் கன அளவு = 720 கன அலகுகள்.

கேள்வி 3.
7\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + λ\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 3\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 2\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – \(\hat{\boldsymbol{k}}\) 3\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 7\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 5\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு 90 கன அலகுகள்
எனில், -ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
\(\vec{a}\) = 7\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + λ\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 3\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\vec{b}\) = \(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 2\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – \(\hat{\boldsymbol{k}}\) மற்றும்
\(\vec{c}\) = 3\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 7\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 5\(\hat{\boldsymbol{k}}\)
∴ இணைகரத்தின்மத்தின் கன அளவு = \(\vec{a}\) . (\(\vec{b}\) × \(\vec{c}\)) கொடுக்கப்பட்ட \(\vec{a}\) . (\(\vec{b}\) × \(\vec{c}\)) = 90
⇒ 7(10 + 7) – λ(5 – 3) – 3(7 + 6) = 90
⇒ 7(17) – λ(2) – 3(13) = 90
⇒ 119 – 2λ – 39 = 90
⇒ 119 – 39 – 90 = 2λ
⇒ -10 = 2λ
⇒ λ = -5

கேள்வி 4.
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) என்ற ஒரு தளம் அமையா மூன்று வெக்டர்களை ளை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு 4 கன அலகுகள் எனில் (\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) . (\(\vec{b}\) × \(\vec{c}\))+(\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)) . (\(\vec{c}\) × \(\vec{a}\)) + (\(\vec{c}\) + \(\vec{a}\)) . (\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\)) – ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட இணைகரத்தின் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் வெக்டர்கள் \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) மற்றும் அதனுடைய கொள்ளளவு 4 கன அலகுகள்
∴ \(\vec{a}\)(\(\vec{b}\) × \(\vec{c}\)) = ± 4 கன அலகுகள் …. (1)
கருதுக

கேள்வி 5.
\(\vec{b}\), \(\vec{c}\) என்ற வெக்டர்களால் உருவாக்கப்படும் இணைகரத்தை அடிப்பக்கமாக எடுத்துக் கொண்டு \(\vec{a}\) = -2\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 5\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 3\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\vec{b}\) = \(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 3\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 2\(\hat{\boldsymbol{k}}\) மற்றும் \(\vec{c}\) = -3\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + \(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 4\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்ற வெக்டர்களால் உருவாக்கப்படும் இணைகரத் திண்மத்தின் உயரத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec{a}\) = -2\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 5\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 3\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\vec{b}\) = \(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 3\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 2\(\hat{\boldsymbol{k}}\) மற்றும் \(\vec{c}\) = -3\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + \(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 4\(\hat{\boldsymbol{k}}\)
திண்ம இணைகரத்தின் கன அளவு = \(\vec{a}\) . (\(\vec{b}\) × \(\vec{c}\))

= -2(12 + 2) -5(4 – 6) + 3(1 + 9)
= -2(14) – 5(-2) + 3(10) = -28 + 10 + 30
= 12 ….. (1)
அடிப்பக்க இணைகரத்தின் வெக்டர் பரப்பு = \(\vec{b}\) × \(\vec{c}\)

= \(\hat{\boldsymbol{i}}\)(12 + 2) – \(\hat{\boldsymbol{j}}\)(4 – 6) + \(\hat{\boldsymbol{k}}\)(1 + 9)
= \(\hat{\boldsymbol{i}}\)(14) – \(\hat{\boldsymbol{j}}\)(-2) + \(\hat{\boldsymbol{k}}\)(10) = 14\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 2\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 10\(\hat{\boldsymbol{k}}\)
இணைகரத்தின் பரப்பு = \(\sqrt{14^{2}+2^{2}+10^{2}}\)
= \(\sqrt{196+4+100}\) = \(\sqrt{300}\) = 10\(\sqrt{3}\) … (2)
திண்ம இணைகரத்தின் கன அளவு = அடிப்பரப்பு × உயரம்

கேள்வி 6.
2\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 3\(\hat{\boldsymbol{j}}\) +\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\hat{\boldsymbol{i}}\) – 2\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 2\(\hat{\boldsymbol{k}}\) மற்றும் 3\(\hat{\boldsymbol{i}}\)+ \(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 3\(\hat{\boldsymbol{k}}\)
என்ற மூன்று வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாகுமா எனக் காண்க.
தீர்வு:

= 2 (-6 – 2) – 3(3 – 6) + 1 (1 + 6)
= 2(-8) – 3(-3) + 1(7) = -16 + 9 + 7 = -16 + 16
= 0.
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாகும்.

கேள்வி 7.
\(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}\) = \(\hat{\boldsymbol{i}}\) + \(\hat{\boldsymbol{j}}\) + \(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\overrightarrow{\boldsymbol{b}}\) = \(\hat{\boldsymbol{i}}\) மற்றும் \(\overrightarrow{\boldsymbol{c}}\) = c₁\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + c₂\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + c₃\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்க. c₁ = 1 மற்றும் c₂ = 2 எனில் \(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}\), \(\overrightarrow{\boldsymbol{b}}\), \(\overrightarrow{\boldsymbol{c}}\) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாக இருக்குமாறு c₃ -ன் மதிப்பினைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட

மேலும், கொடுக்கப்பட்ட \(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}\), \(\overrightarrow{\boldsymbol{b}}\) மற்றும் \(\overrightarrow{\boldsymbol{c}}\) ஒரு தள வெக்டர்களாகும்.

கேள்வி 8.
\(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}\) = \(\hat{\boldsymbol{i}}\) – \(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\overrightarrow{\boldsymbol{b}}\) = x\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + \(\hat{\boldsymbol{j}}\) + (1 – x)\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\overrightarrow{\boldsymbol{c}}\) = y\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + x\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + (1 + x – y)\(\hat{\boldsymbol{k}}\), எனில் [\(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}\), \(\overrightarrow{\boldsymbol{b}}\), \(\overrightarrow{\boldsymbol{c}}\)] என்பது x – யையும் y-யையும் பொறுத்து அமையாது என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}\) = \(\hat{\boldsymbol{i}}\) – \(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\overrightarrow{\boldsymbol{b}}\) = x\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + \(\hat{\boldsymbol{j}}\) + (1 – x)\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\overrightarrow{\boldsymbol{c}}\) = y\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + x\(\overrightarrow{\boldsymbol{j}}\) + (1 – x – y)\(\hat{\boldsymbol{k}}\)

∴ [\(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}\) \(\overrightarrow{\boldsymbol{b}}\) \(\overrightarrow{\boldsymbol{c}}\)] = 1 x- மற்றும் yஎன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும்
∴ [\(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}\) \(\overrightarrow{\boldsymbol{b}}\) \(\overrightarrow{\boldsymbol{c}}\)] x -யையும் y-யையும் பொறுத்து அமையாது.

கேள்வி 9.
a\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + a\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + c\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\hat{\boldsymbol{i}}\)+\(\hat{\boldsymbol{k}}\) மற்றும் c\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + c\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + b\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்கள் எனில், a மற்றும் ம் ஆகியவற்றின் பெருக்குச் சராசரி c ஆகும் என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
\(\vec{a}\) = a\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + a\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + c\(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\vec{b}\) = \(\hat{\boldsymbol{i}}\) + \(\hat{\boldsymbol{k}}\), \(\vec{c}\) = c\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + c\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + b\(\hat{\boldsymbol{k}}\) கொடுக்கப்பட்ட \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) மற்றும் \(\vec{c}\) ஒரு தள வெக்டர்கள்

எனவே a மற்றும் b யின் பெருக்குச் சராசரி c ஆகும்.

கேள்வி 10.
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) என்ற பூச்சியமற்ற மூன்று வெக்டர்களில்
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) என்ற வெக்டர்களுக்கு செங்குத்தான அலகு வெக்டர் \(\vec{c}\) என்க. \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) என்ற வெக்டர்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\frac{\pi}{6}\) எனில், [\(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\)]² = \(\frac{1}{4}|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}\) என நிறுவுக.
தீர்வு:
|\(\vec{c}\)| = 1 மற்றும் \(\vec{c}\) ⊥ \(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\)
மேலும், \(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) க்கு இடையேயான கோணம் \(\frac{\pi}{6}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 2 மெய்யெண்கள் Ex 2.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 2 மெய்யெண்கள் Ex 2.4

Question 1.
கீழ்க்கண்ட எண்களை எண்கோட்டில் குறிக்கவும்
(i) 5.348
விடை:

(ii) 6.\(\overline{4}\) ஐ 3 தசம இடத் திருத்தமாக
விடை:
6.\(\overline{4}\) = 6.444

(iii) 4.\(\overline{73}\) ஐ 4 தசம இடத் திருத்தமாக
விடை :
4.\(\overline{73}\) = 4.7373

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 2 மெய்யெண்கள் Ex 2.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 2 மெய்யெண்கள் Ex 2.3

கேள்வி 1.
கீழ்க்கண்ட விகிதமுறா எண்களை எண்கோட்டில் குறிக்கவும்

(i) \(\sqrt{3}\)
(ii) \(\sqrt{4.7}\)
(iii) \(\sqrt{6.5}\)
தீர்வு
(i) \(\sqrt{3}\)

• ஒரு நேர்கோடு வரைந்து அதில் A என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
• AB = 1.732 செ.மீ. எனுமாறு B என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்
• BC = 1 என்ற அலகுக்கு ஒரு கோடு வரைந்து அதை ‘C’ எனக் குறிக்கவும்.
• AC இக்கு மையக் குத்துக்கோடு வரைந்து அதன் மையப் புள்ளியை O எனக் குறிக்கவும்.
• O ஐ மையமாகவும் OC = OA ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு அரை வட்டம் வரையவும்.
• BD இக்குச் செங்குத்தாக B இல் AB என்ற கோடு வரையவும்.
• இப்போது, BD = \(\sqrt{3}\) இதை எண்கோட்டில் BE = BD = \(\sqrt{3}\) எனக் குறிக்கலாம்.

(ii) \(\sqrt{4.7}\)

• ஒரு நேர்கோடு வரைந்து அதில் A என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
• AB = 4.7 செ.மீ. எனுமாறு B என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்
• BC = 1 என்ற அலகுக்கு ஒரு கோடு வரைந்து அதை C எனக் குறிக்கவும்.
• AC இக்கு மையக் குத்துக்கோடு வரைந்து அதன் மையப் புள்ளியை O எனக் குறிக்கவும்.
• O மையமாகவும் OC = OA ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு அரை வட்டம் வரையவும்.
• BD இக்குச் செங்குத்தாக B இல் AB என்ற கோடு வரையவும்.
• இப்போது, BD = \(\sqrt{4.7}\) இதை எண்கோட்டில் BE = BD = \(\sqrt{4.7}\) எனக் குறிக்கலாம்.
  

(iii) \(\sqrt{6.5}\)

• ஒரு நேர்கோடு வரைந்து அதில் A என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
• AB = 6.5 செ.மீ. எனுமாறு B என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்
• BC = 1 என்ற அலகுக்கு ஒரு கோடு வரைந்து அதை ‘C’ எனக் குறிக்கவும்.
• AC இக்கு மையக் குத்துக்கோடு வரைந்து அதன் மையப் புள்ளியை O எனக் குறிக்கவும்.
• O ஐ மையமாகவும் OC = OA ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு அரை வட்டம் வரையவும்.
• BD இக்குச் செங்குத்தாக B இல் AB என்ற கோடு வரையவும்.
  இப்போது, BD = \(\sqrt{6.5}\) இதை எண்கோட்டில் BE = BD = \(\sqrt{6.5}\) எனக் குறிக்கலாம்.
  

கேள்வி 2.
கீழ்க்காணும் எண்களுக்கு இடையே உள்ள எவையேனும் இரு விகிதமுறா எண்களைக் காண்க.
(i) 0.3010011000111 மற்றும் 0.3020020002
விடை:
0.3010011000111 மற்றும் 0.3020020002 இடையேயுள்ள இரு விகிதமுறா எண்கள்
0.301202200222 3.301303300333

(ii) \(\frac{6}{7}\) மற்றும் \(\frac{12}{13}\)
விடை:
\(\frac{6}{7}\) = 0.8571428571
\(\frac{12}{13}\) = 0.9230769231
\(\frac{6}{7}\) மற்றும் \(\frac{12}{13}\) உமற்றும் 2 க்கு இடையேயுள்ள இரு விகித முறா எண்க ள்
0.8616611666111 0.8717711777111

(iii) \(\sqrt{2}\) மற்றும் \(\sqrt{3}\)
விடை:
\(\sqrt{2}\) = 1.414….
\(\sqrt{3}\) = 1.732……
\(\sqrt{2}\) மற்றும் \(\sqrt{3}\) இடையேயுள்ள இரு விகிதமுறா எண்க ள் 1.515511555….1.616611666…..

கேள்வி 3.
2.2360679 மற்றும் 2.236505500 இவ்வெண்களுக்கிடையே எவையேனும் இரு விகிதமுறு எண்களை எழுதுக.
விடை:
2.2360679 மற்றும் 2.236505500 இடையேயுள்ள இரு விகிதமுறு எண்கள் 2.2362 மற்றும் 2.2363

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.4

கேள்வி 1.
\(\hat{4} \hat{i}+3 \hat{j}-7 \hat{k}\) என்ற வெக்டரை நிலை வெக்டராகக் கொண்ட புள்ளி வழிச் செல்வதும் \(2 \hat{i}-6 \hat{j}+7 \hat{k}\) என்ற வெக்டருக்கு இணையானதுமான நேர்க்கோட்டின் துணை அலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
\(\vec{a}=4 \hat{i}+3 \hat{j}-7 \hat{k}\) மற்றும் \(\vec{b}=2 \hat{i}-6 \hat{j}+7 \hat{k}\) என்க.
ஒரு புள்ளி \((\vec{a})\) வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டர் \((\vec{b})\) க்கு இணையான கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு இல்லாத வடிவம்
\((\vec{r}-\vec{a}) \times \vec{b}=\vec{0}\)
⇒ \([\vec{r}-(4 \hat{i}+3 \hat{j}-7 \hat{k})] \times(2 \hat{i}-6 \hat{j}+7 \hat{k})=\vec{0}\)
அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடு
\(\frac{x-x_{1}}{b_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{2}}=\frac{z-z_{1}}{b_{3}}\)
⇒ \(\frac{x-4}{2}=\frac{y-3}{-6}=\frac{z+7}{7}\)
[∵ (x₁, y₁, z₁), (4, 3, -7) மற்றும் (b₁, b₂, b₃), (2,-6, 7)]

கேள்வி 2.
(-2, 3, 4) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்லும் \(\frac{x-1}{-4}=\frac{y+3}{5}=\frac{8-z}{6}\) என்ற கோட்டிற்கு இணையானதுமான நேர்க்கோட்டின் துணை அலகு வெக்டர், சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
\(\vec{a}=-2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}\) மற்றும் \(\vec{b}=-4 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}\)
என்க.
ஒரு புள்ளி \((\vec{a})\) வழிச்செல்லும் \(\vec{b}\) க்கு இணையான நேர்க்கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்
\(\vec{r}=\vec{a}+t \vec{b}\) இங்கு t ∈ ℝ
∴ \(\vec{r}=-2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}+t(-4 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k})\), t ∈ ℝ
அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடு
\(\frac{x-x_{1}}{b_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{2}}=\frac{z-z_{1}}{b_{3}}\)
⇒ \(\frac{x+2}{-4}=\frac{y-3}{5}=\frac{z-4}{-6}\)
[∵ (x₁, y₁, z₁), (-2, 3, 4), (b₁, b₂, b₃), (4, 5,-6)]

கேள்வி 3.
(6, 7, 4) மற்றும் (8,4,9) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் நேர்க்கோடு xz மற்றும் yz தளங்களை வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண்க.
தீர்வு:
(x₁, y₁, z₁), (6, 7, 4) மற்றும் (x₂, y₂, z₂), (8, 4, 9) என்க .
இரண்டு புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் நேர்க்கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு

∴ கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளி (2s + 6,-3s +7,5s +4). ……….(2)
(1) மற்றும் x z தளத்தின் வெட்டுப்புள்ளி காண, y = 0, என (2)ல் பிரதியிடு
∴ -3s + 7 = 0 ⇒ -3s = – 7 ⇒ s = \(\frac{7}{3}\),
s = \(\frac{7}{3}\) என (2) -ல் பிரதியிட வெட்டுப் புள்ளியானது

(1) மற்றும் yz தளத்தின் வெட்டுபுள்ளி காண, x = 0. என (2)ல் பிரதியிடு
∴ 2s + 6 = 0
⇒ 2s = -6
⇒ s = -3.
∴ (2) → (2 (-3) + 6,-3 (-3) + 7, 5 (-3) + 4)
= (0, 16, -11)

கேள்வி 4.
(5, 6, 7) மற்றும் (7, 9, 13) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் திசைக் கொசைன்களைக் காண்க. மேலும், கொடுக்கப்பட்ட இவ்விரு புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் துணை அலகு வெக்டர் சமன்பாடு , மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
\(\vec{b}=5 \hat{i}+6 \hat{j}+7 \hat{k}\) மற்றும் \(\vec{a}=7 \hat{i}+9 \hat{j}+13 \hat{k}\) என்க.
இரண்டு புள்ளிகள் \(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) வழிச்செல்லும் நேர்க்கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்

இரண்டு புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் கார்டீசியன் சமன்பாட்டின் நேர்க்கோட்டு வடிவம்

இது திசை விகிதங்கள் 2, 3, 6 உடைய நேர்க்கோடு ஆகையால் அதனுடைய திசைக் கொசைன்கள்

கேள்வி 5.
பின்வரும் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறுங்கோணம் காண்க.

(iii) 2x = 3y = -z மற்றும் 6x = -y – 4z
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளானது

θ என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளுக்கு இடையேயான கோணம் என்க.

(ii) கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளானது

(iii) கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளானது 2x = 3y = -z மற்றும் 6x = -y – 4z
2x = 3y = -z ⇒ \(\frac{x-0}{\frac{1}{2}}=\frac{y-0}{-1}=\frac{z-0}{-1}\)

∴ \(\vec{b} \perp \vec{d}\)
∴ \(\vec{b}\) மற்றும் \(\vec{d}\) க்கு இடையேயான கோணம் \(\frac{\pi}{2}\)

கேள்வி 6.
A(7, 2, 1), B(6, 0, 3), மற்றும் C(4, 2, 4) என்ப ன ∆ABC -ன் உச்சிகள் எனில், ∠ABC-ஐக் காண்க.
தீர்வு:

AB -ன் திசை விகிதங்கள்
(6 – 7, 0 – 2, 3 – 1) = (-1, -2, 2)
[∵ (x₂ – x₁), (y₂ – y₁), (z₂ – z₁)]
மேலும் BC ன் திசை விகிதங்கள்
(4 – 6, 2 – 0, 4 – 3) = (- 2, 2, 1)
திசை விகிதங்களின் பெருக்கல் பலன்
(-1) (- 2) + (- 2) (2) + 2 (1)
= (2 – 4 + 2)
[∵ இரண்டு கோடுகள் ⊥^r எனில் திசை விகிதங்கள் d₁b₁ + d₂b₂ + d₃b₃ = 0]
= 4 – 4 = 0
எனவே AB ⊥ BC
∠ABC = \(\frac{\pi}{2}\)

கேள்வி 7.
(2, 1, 4) மற்றும் (a – 1, 4, -1) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோடு (0, 2, -1) மற்றும் (5, 3, -2) , என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டுக்கு இணை எனில் a மற்றும் b -ன் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
(2, 1, 4) மற்றும் (a – 1, 4 – 1) என்ற இரு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் கார்டீசியன் வடிவம்

அதே போல் இரண்டு புள்ளிகள் (0, 2, b – 1) மற்றும் (5, 3, -2) வழிச்செல்லும் நேர்க்கோட்டின் கார்டீசியன் வடிவம்

(1) மற்றும் (2)ன் திசைக் கொசைன்கள் சமம் எனில் அவை இணை
∴ கோடு (1)ன் திசை விகிதங்கள் a – 3, 3, -5 (3) கோடு (2)ன் திசை விகிதங்கள் -5, -1, b + 1 (4) திசை விகிதங்கள் சமம் எனில் (4) ஐ -3 ஆல் பெருக்க.
∴ (4) → +15, 3, -3b – 3
(3) → a – 3, 3, -5
∴ a – 3 = + 15 ⇒ a= 15 + 3 = 18 ⇒ a = 18
-3b – 3 = -5 ⇒ -3b = -5 + 3 = -2
⇒ b = \(\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}\)
∴ a = 18 மற்றும் b = \(\frac{2}{3}\)

கேள்வி 8.
\(\frac{x-5}{5 m+2}=\frac{2-y}{5}=\frac{1-z}{-1}\) மற்றும் x = \(\frac{2 y+1}{4 m}=\frac{1-z}{-3}\) என்ற நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை எனில், m-ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்


⇒ (5m + 2) 1 + 2m (-5) + 3(1) = 0
⇒ 5m + 2 – 10m + 3 = 0
⇒ 5 – 5m = 0
⇒ 5 = 5m
⇒ m = 1.

கேள்வி 9.
(2, 3, 4), (-1, 4, 5) மற்றும் (8, 1, 2) என்ற புள்ளிகள் ஒரு கோடமைப் புள்ளிகள் எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
A (2, 3, 4), B (-1, 4, 5) மற்றும் C (8, 1, 2) புள்ளிகள் என்க.
A மற்றும் B யை இணைக்கும் கோட்டின் சமன்பாடு

புள்ளி C (8, 1, 2) வை கோடு (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
\(\frac{8-2}{-3}=\frac{1-3}{1}=\frac{2-4}{1}\) ⇒ -2 = -2 = -2
A மற்றும் B யை இணைக்கும் கோட்டை புள்ளி C பூர்த்தி செய்வதால், மூன்று புள்ளிகளும் ஒரு நேர்க்கோட்டு அமைவன.
எனவே . கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு நேர்க்கோட்டு அமைவன.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5

கேள்வி 1.
(5, 2, 8) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும் \(\vec{r}=(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+s(2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})\) மற்றும் \(\vec{r}=(2 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})+t(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})\) ஆகிய கோடுகளுக்குச் செங்குத்தானதுமான நேர்க்கோட்டின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் \(\vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}+8 \hat{k}\)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்

தேவையான கோடு \(\vec{b}\) மற்றும் \(\vec{d}\) செங்குத்து ஆதலால் அது \(\vec{b} \times \vec{d}\) க்கு இணை

∴ தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு

நேர்க்கோடு மற்றும் செங்குத்து வழி செல்லும் நேர்க்கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு (5, 2, 8).
\(\frac{x-x_{1}}{b_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{2}}=\frac{z-z_{1}}{b_{3}}\)
\(\frac{x-5}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-8}{-2}\)

கேள்வி 2.
\(\vec{r}=(6 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})+s(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})\) மற்றும் \(\vec{r}=(3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k})+t(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})\) என்பன ஒரு தளம் அமையாக் கோடுகள் எனக்காட்டுக. மேலும், அக்கோடுகளுக்கு இடைப்பட் மீச்சிறு தூரத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்
\(\vec{r}=(6 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})+s(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})\)
\(\vec{a}=6 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}\)
மற்றும் \(\vec{r}=(3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k})+t(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})\)
\(\vec{c}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}\), மற்றும் \(\vec{d}=2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}\)
ஆதலால் \(\vec{b} \neq \vec{d}\), இணை இல்லை மற்றும் வெட்டுவதில்லை.
எனவே இரு கோடுகளும் ஒரு தளம் அமையா கோடுகள்.
ஒரு தளம் அமையா கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம்.

கேள்வி 3.
\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}\) மற்று \(\frac{x-3}{1}=\frac{y-m}{2}\) = z என்ற கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்ளும் எனில், m-ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்

கேள்வி 4.
\(\frac{x-3}{3}=\frac{y-3}{-1}\), z – 1 = 0 மற்றும் \(\frac{x-6}{2}=\frac{z-1}{3}\), y – 2 = 0 என்ற கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்ளும் எனக்காட்டுக. மேலும், அவை வெட்டும் புள்ளியைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் = \(\frac{x-3}{3}=\frac{y-3}{-1}\) (1)
மற்றும் z – 1 = 0 ⇒ z = 1
மற்றும் \(\frac{x-6}{2}=\frac{z-1}{3}\) …………. (2)
மற்றும் 2 = 0 ⇒ y = 2
y = 2 மற்றும் z = 1 என (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது
\(\frac{x-3}{3}=\frac{2-3}{-1}=\frac{-1}{-1}\) = 1 ⇒ x – 3 = 3 = x = 6 (6,2, 1) வெட்டுப்புள்ளி (6, 2, 1), (1) மற்றும் (2)ஐ பூர்த்தி செய்கிறதா என்பதை சோதிக்க.
(1) → \(\frac{6-6}{2}=\frac{1-1}{3}\) ⇒ 0 = 0
(2) → \(\frac{6-3}{3}=\frac{1-3}{-1}\) ⇒ -1 = 1
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டுகின்றன மற்றும் வெட்டும் புள்ளி (6, 2, 1).

கேள்வி 5.
x +1 = 2y = -12z மற்றும் x = y + 2 = 6z – 6 என்ற கோடுகள் ஒரு தளம் அமையாக் கோடுகள் எனக் காட்டி, அவற்றிற்கு இடைப்பட்ட மீச்சிறு தூரத்தையும் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் x + 1 = 2y = -12z


\((\vec{c}-\vec{a}) \cdot(\vec{b} \times \vec{a})=0\) ஆதலால் கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமையா

ஒரு தளம் அமையா கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம்

கேள்வி 6.
(-1, 2, 1) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும் \(\vec{r}=(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+t(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})\) என்ற நேர்க் கோட்டிற்கு இணையானதுமான நேர்க்கோட்டின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாட்டைக் காண்க. மேலும் இக்கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட மீச்சிறு தூரத்தையும் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி \(\vec{a}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\)
மற்றும் இணை வெக்டர் \(\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\)
∴ \(\vec{a}\) வழிச் செல்லும் \(\vec{b}\) க்கு இணையான நேர்க்கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்

∴ இணைக்கோடுகளுக்கு இடையேயான தூரம்
d = \(\frac{|(\vec{c}-\vec{a}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}=\frac{\sqrt{83}}{\sqrt{6}}\) அலகுகள்

கேள்வி 7.
(5, 4, 2) என்ற புள்ளியிலிருந்து \(\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{-1}\) என்ற நேர்க்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோட்டின் அடியைக் காண்க. மேலும், இச்செங்குத்துக் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{-1}\) = A என்பது (-1, 3, 1)
மற்றும் \(\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}\)
\(\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{-1}\) = t என்க

D யிலிருந்து நேர்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்து கோட்டின் அடி F எனில் அதனுடைய வடிவம்
(2t – 1, 3t + 3, -t+ 1) …………(1)
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{OF}}=(2 t-1) \hat{i}+(3 t+3) \hat{j}+(-t+1) \hat{k}\)
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி D(5, 4, 2)
⇒ \(\vec{OD}=5 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}\)
∴ \(\vec{DF}=\vec{OF}-\vec{OD}\)
= \((2 t-1-5) \hat{i}+(3 t+3-4) \hat{j}+(-t+1-2) \hat{k}\) …………….. (2)
\(\vec{b} \perp \vec{DF}\) ஆதலால் நம்மிடம் \(\vec{b} \cdot \vec{DF}\) = 0
⇒2(2t – 6) +3(3t – 1) – 1 (-t – 1) = 0
⇒ 4t 12 + 9t – 3 + t + 1 = 0
⇒ 14t – 14 = 0
⇒ 14t = 14
⇒ t = 1
(1)லிருந்து F ஆனது (2(1) – 1, 3(1) + 3, –1 + 1 )
= (1, 6, 0)
∴ செங்குத்தின் அடிப்பகுதி (1, 6, 0)
∴ செங்குத்து DF ன் சமன்பாடு என்பது (5, 4, 2) மற்றும் (1, 6, 0) புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு. அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடு என்பது

தேவையான செங்குத்து கோட்டின் சமன்பாடாகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.1

கேள்வி 1.
ஒரு வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து அவ் வட்டத்தின் ஒரு நாணின் மையப்புள்ளிக்கு வரையப்படும் கோடு அந்நாணிற்கு செங்குத்தாகும் என வெக்டர் முறையில் நிறுவுக.
தீர்வு :

வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகள் A மற்றும் Bயின் நிலை வெக்டர் முறையே \(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) என்க. வட்டத்தின் மையம் O ஆதலால்
|\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)| = |\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)| ⇒ |\(\vec{a}\)| = |\(\vec{b}\)|
மேலும், ABன் மையப்புள்ளி D.

= \(\) = 0
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) . \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = 0 ⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) ⊥ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)
ஆகையால், ஒரு வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து அவ்வட்டத்தின் ஒரு நாணின் மையப்புள்ளிக்கு வரையப்படும் கோடு அந்நாணிற்கு
செங்குத்தாகும்.

கேள்வி 2.
ஓர் இருசமப்பக்க முக்கோணத்தின் அடிப் பக்கத்திற்கு வரையப்படும் நடுக்கோடு , அப்பக்கத்திற்கு செங்குத்தாகும் என வெக்டர்
முறையில் நிறுவுக.
தீர்வு:

AB = AC உடன் ABC ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம் மற்றும் D என்பது BC யின் நடுப்புள்ளி.
A ஆதியாகக் கொண்டு B மற்றும் C யின் நிலை
வெக்டர் \(\vec{b}\) மற்றும் \(\vec{c}\) என்க.


ஆகையால் △ABC-ல் நடுக்கோடு AD அடிப்பக்கம் BC க்கு செங்குத்து △ABC.

கேள்வி 3.
வெக்டர் முறையில், ஓர் அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் ஒரு செங்கோணம் என நிறுவுக.
தீர்வு :

O என்பது அரைவட்டத்தின் மையப்புள்ளி மற்றும் AA’ என்பது விட்டம் என்க. அரைவட்டத்தின் சுற்றளவிலுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி P என்க. O வை ஆதியாக கொண்டு A மற்றும் P யின் நிலை வெக்டர் முறையே \(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{r}\) என்க.
பிறகு, A’ன் நிலை வெக்டர் என்பது – \(\vec{a}\) இங்கு \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) = (P யின் நிலை வெக்டர்) – (Aயின் நிலை வெக்டர்) = \(\vec{r}\) – \(\vec{a}\)
மற்றும் \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) = (P யின் நிலை வெக்டர்) – (A யின் நிலை வெக்டர்)

ஆகையால் அரைவட்டத்தின் அமையும் ஒரு கோணம் செங்கோணம் ஆகும்.

கேள்வி 4.
ஒரு சாய்சதுரத்தின் மூலை விட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக இருசமக்கூறிடும் என வெக்டர் முறையில் நிறுவுக.
தீர்வு:

OACB என்பது ஒரு சாய்சதுரம் என்க. O வை ஆதியாகக் கொண்டு, A மற்றும் B யின் நிலை வெக்டர் முறையே \(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) என்க.

ஆகையால் C யின் நிலை வெக்டர் \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\).
∴ OC ன் நடுப்புள்ளியின் நிலை வெக்டர் என்பது \(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)
அதை போல AB யின் நடுப்புள்ளியின் நிலைவெக்டர் என்பது \(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)
ஆகையால் OC மற்றும் ABயின் நடுப்புள்ளி ஒன்றேயாகும்.

ஆகையால் ஒரு சாய்சதுரத்தின் மூலை விட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக இரு சமக்கூறிடும்.

Question 5.
ஓர் இணைகரத்தின் மூலை விட்டங்கள் சமம் எனில், அந்த இணைகரம் ஒரு செவ்வகமாகும் என வெக்டர் முறையில் நிறுவுக.
தீர்வு:

மூலைவிட்டங்கள் AC மற்றும் BD சமம் எனுமாறு இணைகரம் ABCD என்க. A யை ஆதி என்க. B மற்றும் Dன் நிலை வெக்டர் \(\vec{b}\) மற்றும் \(\vec{a}\) என்க.
பிறகு \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = \(\vec{b}\) மற்றும் \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) = \(\vec{d}\).
△ABCயில் வெக்டர்களின் கூடுதலுக்கான முக்கோண விதியை பயன்படுத்த கிடைப்பது

கேள்வி 6.
வெக்டர் முறையில், AC மற்றும் BD ஆகியவற்றை மூலை விட்டங்களாகக் கொண்ட நாற்கரம் ABCD-ன் பரப்பு \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathbf{A C}} \times \overrightarrow{\mathbf{B D}}|\) என நிறுவுக.
தீர்வு :

நாற்கரம் ABCDயின் வெக்டர் பரப்பு = △ABCயின் வெக்டர் பரப்பு + △ACDயின் வெக்டர் பரப்பு

∴ நாற்கரம் ABCDயின் பரப்பு
= \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{AC}} \times \overrightarrow{\mathrm{BD}}|\)

கேள்வி 7.
ஒரே அடிப்பக்கத்தின் மீதமைந்த இரு இணைகோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட இணை கரங்களின் பரப்பளவுகள் சமமானவை என
வெக்டர் முறையில் நிறுவுக.
தீர்வு:

ABCD என்பது கொடுக்கப்பட்ட இணைகரம் மற்றும் அதே அடிப்பக்கம் AB மற்றும் அதே இணைகோடுகள் AB மற்றும் DCக்கு இடையே அமைந்த புதிய இணைகரம் ABC’ D’.
∴ இணைகரம் ABCD யின் வெக்டர் பரப்பு

= இணைகரம் ABC’D’யின் பரப்பு
∴ இணைகரம் ABCDயின் பரப்பு = இணைகரம் ABC’D’ ன் வெக்டர் பரப்பு
ஆகையால் ஒரே அடிப்பக்கத்தின் மீதமைந்த இரு இணைகோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட இணைகரங்களின் பரப்பளவுகள் சமமானவை.

கேள்வி 8.
△ABC-ன் நடுக்கோட்டு மையம் G எனில், வெக்டர் முறையில் நிறுவுக. (△GAB-ன் பரப்பு) = (△GBC-ன் பரப்பு) = (△GCA-ன் பரப்பு ) = – \(\frac{1}{3}\)(△ABC-ன் பரப்பு) என நிறுவுக.
தீர்வு :

△ABCயின் உச்சி புள்ளிகளின் நிலை
வெக்டர்கள் முறையே \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) மற்றும் \(\vec{c}\) என்க.
△ABCயின் நடுக்கோட்டு மையம் G ஆதலால்

[ ∵ குறுக்கும் பெருக்கல் பங்கீட்டுடையது]



(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
△GABயின் = △GAC யின் பரப்பு = △GBC யின் பரப்பு

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 9.
வெக்டர் முறையில் cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β என நிறுவுக.
தீர்வு :

\(\hat{a}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) மற்றும் \(\hat{b}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) என்பன அலகு வெக்டர்கள் என்க மற்றும் அவைகள் கோணங்கள் α, β, நவை x-அச்சின் மிகையுடன் ஏற்படுத்துகின்றன. AL மற்றும் BM ⊥^r லிருந்து x-அச்சு எனுமாறு வரைக.


[△விதியை பயன்படுத்தி கூட்டு]

(3) மற்றும் (4)லிருந்து,
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β.

கேள்வி 10.
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β என வெக்டர் முறையில் நிறுவுக.
தீர்வு :

\(\hat{a}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) மற்றும் \(\hat{b}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) என்பன அலகு வெக்டர்கள் என்க மற்றும் அவைகள் கோணங்கள் α, βவை x-அச்சின் மிகையுடன் ஏற்படுத்துகின்றன. AL மற்றும் BM ⊥^r லிருந்து x-அச்சு எனுமாறு வரைக.
AL மற்றும் BM ⊥^r லிருந்து x,க்கு எனுமாறு வரைக.
எனவே |\(\overrightarrow{\mathrm{OL}}\)| = |\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)|cos α
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{OL}}\) =|\(\overrightarrow{\mathrm{OL}}\)|\(\hat{i}\) = cosα\(\hat{i}\)


(3) மற்றும் (4) ஐ பயன்படுத்த,
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

கேள்வி 11.
ஒரு துகள் (1, 2, 3) எனும் புள்ளியிலிருந்து (5, 4, 1) எனும் புள்ளிக்கு 8\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 2\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 6\(\hat{\boldsymbol{k}}\) மற்றும் 6\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 2\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 2\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்ற மாறாத விசைகளின் செயல்பாட்டினால் நகர்த்தப்பட்டால், அவ்விசைகள் செய்த மொத்த வேலையைக் காண்க.
தீர்வு:
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) மற்றும் \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}\), என்பன விசைகள் மற்றும் \(\vec{d}\) என்பது இடப்பெயர்ச்சி வெக்டர் என்க.
∴ விளைவு விசை \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}\)

மற்றும் \(\vec{d}\) = இடம் பெயர்ந்த புள்ளி – புள்ளியிலிருந்து இடப்பெயர்வு

செய்த வேலை (w) = \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\).\(\overrightarrow{\mathrm{d}}\)

= 56 + 8 + 16
= 80 அலகுகள்

கேள்வி 12.
முறையே 5\(\sqrt{2}\) மற்றும் 10\(\sqrt{2}\) அலகுகள் எண்ண ளவு கொண்ட 3\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 4\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 5\(\hat{\boldsymbol{k}}\) மற்றும் 10\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 6\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 8\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்ற வெக்டர்களின் திசைகளில் அமைந்த விசைகள், ஒரு துகளை 4\(\hat{\boldsymbol{i}}\) – 3\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 2\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்ற வெக்டரை நிலைவெக்டராகக் கொண்ட புள்ளியிலிருந்து 6\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + \(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 3\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்ற வெக்டரை நிலைவெக்டராகக் கொண்ட புள்ளிக்கு நகர்த்துகிறது எனில், அவ்விசைகள் செய்த வேலையைக் காண்க.
தீர்வு:
\(\overrightarrow{\mathrm{F}_{1}}\) மற்றும் \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}\), கொடுக்கப்பட்ட இரு விசைகள் என்க.

கேள்வி 13.
3\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 4\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 5\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்னும் விசை 4\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 2\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 3\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்ற வெக்டரை நிலைவெக்டராகக் கொண்ட புள்ளி வழியாகக் செயல்படுகிறது எனில், 2\(\hat{\boldsymbol{i}}\) – 3\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 4\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்ற வெக்டரை நிலைவெக்டராகக் கொண்ட புள்ளியைப் பொறுத்து அவ்விசையின் முறுக்குத் திறனின் எண்ணளவு மற்றும் திசைக்கொசைன்களைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = 3\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 4\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 5\(\hat{\boldsymbol{k}}\)

∴ முறுக்குத் திறனின் எண்ணளவு

ஆகையால், திசைக் கொசைன்கள்

கேள்வி 14.
8\(\hat{\boldsymbol{i}}\) – 6\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 4\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்ற வெக்டரை நிலை வெக்டராகக் கொண்ட புள்ளியில் செயல்படும் -3\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 6\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 3\(\hat{\boldsymbol{k}}\), 4\(\hat{\boldsymbol{i}}\) – 10\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 12\(\hat{\boldsymbol{k}}\) மற்றும் 4\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 7\(\hat{\boldsymbol{j}}\) விசைகளின் திருப்புத் திறனை 18\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 3\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 9\(\hat{\boldsymbol{k}}\) என்ற வெக்டரை நிலை வெக்டராகக் கொண்ட புள்ளியைப் பொறுத்துக் காண்க.
தீர்வு:
விளைவு விசை \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}\) + \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{3}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = (-3\(\hat{\boldsymbol{i}}\)+ 6\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 3\(\hat{\boldsymbol{k}}\)) + (4\(\hat{\boldsymbol{i}}\) – 10\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 12\(\hat{\boldsymbol{k}}\)) + (4\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 7\(\hat{\boldsymbol{j}}\))
= 5\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 3\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 9\(\hat{\boldsymbol{k}}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{r}}\) = (விசை செயல்படுகிற புள்ளி) – (புள்ளியை பொறுத்து செயல்படுகிற விசை)
= (8\(\hat{\boldsymbol{i}}\) – 6\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 4\(\hat{\boldsymbol{k}}\)) – (18\(\hat{\boldsymbol{i}}\) + 3\(\hat{\boldsymbol{j}}\) – 9\(\hat{\boldsymbol{k}}\))
= -10\(\hat{\boldsymbol{i}}\) – 9\(\hat{\boldsymbol{j}}\) + 5\(\hat{\boldsymbol{k}}\)
திருப்புத்திறன் (\(\overrightarrow{\mathrm{t}}\)) = \(\overrightarrow{\mathrm{r}}\) × \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.6

கேள்வி 1.
ஆதிப்புள்ளியில் இருந்து 7 அலகுகள் தொலைவில் உள்ளதும், செங்குத்தின் திசை விகிதங்கள் 3, -4, 5 கொண்டதுமான தளத்தின் துணையலகு வெக்டர், மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட p = 7

[∵ 3, -4, 5] திசைவிகிதங்கள் ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து தளத்திற்கு உள்ள தூரம் p மற்றும் தளத்திற்குச் செங்குத்தான ஓரலகு வெக்டர் \(\hat{d}\) எனில், தளத்திற்கு சமன்பாடு \(\vec{r} \cdot \hat{d}=p\).
தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு
\(r \cdot\left(\frac{3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}}{5 \sqrt{2}}\right)=7\)

கேள்வி 2.
12x + 3y – 4z = 65 என்ற தளத்தின் செங்குத்தின் திசைக் கொசைன்களைக் காண்க. மேலும், தளத்தின் துணைணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் ஆதியில் இருந்து தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் நீளம் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாடு
12x + 3y – 4z = 65.
அதனுடைய வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்

எனவே தளம் 12x + 3y – 4z = 65 -ன் செங்குத்தின்
திசைக் கொசைன்கள் \(\frac{12}{13}, \frac{3}{13}, \frac{-4}{13}\)
மேலும் தளத்தின் துணையலகு இல்லாத வெக்டர் வடிவ சமன்பாடு
\(\vec{r} \cdot\left(\frac{12 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}}{13}\right)=\frac{65}{13}\) [(1)லிருந்து][13–ஆல் வகுக்க]
⇒ \(\vec{r} \cdot \hat{d}=p \Rightarrow p=\frac{65}{13}=5\)

கேள்வி 3.
\(2 \hat{i}+6 \hat{j}+3 \hat{k}\) என்ற நிலை வெக்டரை கொண்ட புள்ளி வழியாகச் செல்வதும் \(\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}\) என்ற வெக்டருக்குச் செங்குத்தானதுமான தளத்தின் வெக்டர் மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec{a}=2 \hat{i}+6 \hat{j}+3 \hat{k}\)
\(\vec{n}=\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}\)
புள்ளி \((\vec{a})\) வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டர் \((\vec{n})\) க்கு செங்குத்தான தளத்தின் வெக்டர் வடிவ சமன்பாடு
\(\vec{r} \cdot \vec{n}=\vec{a} \cdot \vec{n}\)
= \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})\)
= \((2 \hat{i}+6 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot(\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})\) = 2 + 18 + 15
⇒ \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})\) = 35
அதனுடைய கார்டீசியன்
a(x – x₁) + b(y – y₁) + c(z – z₁) = 0
1(x – 2) + 3(1 – 6) + 5(z – 3) = 0
[∵ (x₁, y₁, z₁) = (2, 6, 3) மற்றும் a, b, c = 1, 3, 5]
⇒ – 2 + 3y – 18 + 5z – 15 = 0
⇒ x + 3y + 5z – 35 = 0
⇒ x + 3y + 5z = 35

கேள்வி 4.
(-1,1,2) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதும் ஆய அச்சுகளுடன் சமகோணத்தை ஏற்படுத்தும் எண்ணளவு 3\(\sqrt{3}\) கொண்ட செங்கோட்டைக் கொண்டதுமான தளத்தின் வெக்டர் மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
தளம்,\(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
கொடுக்கப்பட்ட \(|\vec{n}|=3 \sqrt{3}\) மற்றும் α என்பது செங்குத்து ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் கோணம் என்க.
∴ cos²α + cos²α + cos²α = 1 ⇒ 3cos²α = 1
⇒ cos²α = \(\frac{1}{3}\) ⇒ cosα = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ \(\vec{n}=3 \sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}\right)=3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}\)
∴ தேவையான தளத்தின் சமன்பாடானது

என்பது தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு

கேள்வி 5.
\(\vec{r} \cdot(6 \hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k})\) = 12 என்ற தளம் ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத் துண்டுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
தளத்தின் சமன்பாட்டிற்கான வெக்டர் வடிவம் என்பது
\(\vec{r} \cdot(6 \hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k})\) = 1
\(\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}\) என்க
⇒ \((x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot(6 \hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k})\) = 12
⇒ 6x + 4y – 3z = 0
12 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது \(\frac{6 x}{12}+\frac{4 y}{12}-\frac{3 z}{12}\) = 1
[∵\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1 என்பது தளத்தின் வெட்டுத்துண்டு வடிவச் சமன்பாடு]
⇒ \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{-4}\) = 1
∴ தளத்தின் x- வெட்டுத்துண்டு 2,yவெட்டுத்துண்டு 3 மற்றும் z- வெட்டுத்துண்டு -4.

கேள்வி 6.
ஒரு தளம் ஆய அச்சுக்களை ளை முறையே A,B,C என்ற புள்ளிகளில் வெட்டுவதால் உருவாகும் முக்கோணம் ABC-ன் மை மையக்கோட்டுச் சந்தி (u, v, w) எனில் தளத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
தளம் ஆய அச்சுக்களுடன் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத்
துண்டுகள் முறையே a, b, c என்க.
∴ தளத்தின் வெட்டுத்துண்டு வடிவச் சமன்பாடு

கொடுக்கப்பட்ட ∆ABC யின் மையக்கோட்டுச் சந்தி (u, v, w)
∴ (u, v, w) = \(\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right)\)
⇒ (u, v, w) = \(\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)\)
ஒத்த ஆயத் தொலைவுகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது
⇒ u = \(\frac{a}{3}\) ⇒ a = 3u
v = \(\frac{b}{3}\) ⇒ b = 3v
w = \(\frac{c}{3}\) ⇒ c = 3w
∴ (1) லிருந்து
\(\frac{x}{3 u}+\frac{y}{3 v}+\frac{z}{3 w}=1 \Rightarrow \quad \frac{x}{u}+\frac{y}{v}+\frac{z}{w}=3\)
என்பது தேவையான தளத்தின் சமன்பாடாகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.6

I. கொடுக்கப்பட்ட நான்கு விடைகளிலிருந்து சரியான அல்லது மிகப் பொருத்தமான
விடையைத் தேர்ந்தெடுக்க.

கேள்வி 1.
(1, 5) மற்றும் (4,1) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்வதும் -அச்சைத் தொட்டுச் செல்வதுமான வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² – 5x – 6y + 9 + λ (4x + 3y = 19) = 0 எனில், λ – ன் மதிப்பு
(1) 0, –\(\frac{40}{9}\)
(2) 0
(3) \(\frac{40}{9}\)
(4) –\(\frac{40}{9}\)
விடை:
(1) 0, –\(\frac{40}{9}\)

கேள்வி 2.
செவ்வகல நீளம் 8 அலகுகள் மற்றும் துணையச்சின் நீளம் குவியங்களுக்கிடையே உள்ள தூரத்தில் பாதி உள்ள அதிபரவளையத்தின் மையத்தொலைத் தகவு
(1) \(\frac{4}{3}\)
(2) \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
(3) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
(4) \(\frac{40}{9}\)
விடை:
(3) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
குறிப்பு:

கேள்வி 3.
வட்டம் x² + y² = 4x + 8y + 5 நேர்க்கோடு 3x – 4y = m-ஐ இரு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகின்றது எனில்
(1) 15 < m < 65
(2) 35 < m < 85
(3) -85 < m < -35
(4) -35 < m < 15
விடை:
(4) -35 < m < 15

கேள்வி 4.
x- அச்சை (1,0) என்ற புள்ளியில் தட்டுச் செல்வதும் (2,3) என்ற புள்ளிவழிச் செல்வதுமான வட்டத்தின் விட்டம்
(1) \(\frac{6}{5}\)
(2) \(\frac{5}{3}\)
(3) \(\frac{10}{3}\)
(4) \(\frac{3}{5}\)
விடை:
(3) \(\frac{10}{3}\)
குறிப்பு:
வட்டம் X- அச்சு (1, 0), என்ற புள்ளியில் தொட்டுச் செல்வதால் அதனுடைய சமன்பாடு (x – 1)² + (y – a)² = a²
இது (2, 3) வழி செல்கிறது
⇒ (2 – 1)² + (3 – a)² = a²
⇒ 1 + 9 + a² – 6a = a²
⇒ 10 – 6a = 0 ⇒ 6a = 10 ⇒ a = \(\frac{10}{6}\)
∴ a = \(\frac{5}{3}\)
∴ ஆரம் = \(\frac{5}{3}\)
⇒ விட்டம் = \(\frac{10}{3}\)

கேள்வி 5.
3x² + by² + 4bx – 6by + b² = 0 என்ற வட்டத்தின் ஆரம்
(1) 1
(2) 3
(3) \(\sqrt{10}\)
(4) \(\sqrt{11}\)
விடை:
(3) \(\sqrt{10}\)
குறிப்பு:
x² – ன் கெழு =y -ன் கெழு ⇒ b = 3
சமன்பாடு 3x² + 3y² + 12x – 18y + 9 = 0
÷3, x² + y² + 4x – 6y + 3 = 0
-g = -2, -f= 3, மற்றும் c = 3
r = \(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) = \(\sqrt{4+9-3}\)
= \(\sqrt{13-3}\) = \(\sqrt{10}\)

கேள்வி 6.
x² – 8x – 12 = 0 மற்றும் y² – 14y + 45 = 0 என்ற கோடுகளால் அடைபடும் சதுரத்தின் உள்ளே வரையப்படும் மிகப்பெரிய வட்டத்தின் ஆரம்
(1) (4, 7)
(2) (7, 4)
(3) (9, 4)
(4) (4, 9)
விடை:
(1) (4, 7)
குறிப்பு : x² – 8x + 12 = 0 தீர்க்க கிடைப்பது
(x – 6)(x – 2) = 0
ஆகையால் y² – 14y + 45 = 0, கிடைப்பது (y – 9)(y – 5) = 0.
ஆகையால் விட்டத்தின் முனைபுள்ளிகள் (6, 9) மற்றும் (2, 5)
∴ (6, 9) மற்றும் (2, 5)ன் மையப்புள்ளி
= \(\left(\frac{6+2}{2}, \frac{9+5}{2}\right)\) = (4, 7)

கேள்வி 7.
நேர்க்கோடு 2x + 4y = 3 -க்கு இணையாக x² + y² – 2x 2y + 1 = 0 என்ற வட்டத்தின் செங்கோட்டுச் சமன்பாடு
(1) x + 2y = 3
(2) x + 2y + 3 = 0
(3) 2x + 4y + 3 = 0
(4) x – 2y + 3 = 0
விடை:
(1) x + 2y = 3
குறிப்பு:
x² + y² – 2x – 2y + 1 = 0
2g = -2, 2f = -2 ⇒ -g = 1 மற்றும் –f = 1
∴ மையம் என்பது (1, 1)
ஒரு வட்டத்திற்கான செங்கோட்டிற்கு இணையான கோடு (1, 1) வழிச் செல்கிறது. அதன் சமன்பாடு 2x + 4y + k = 0
(1, 1)ஐ பிரதியிட, 2(1) + 4(1) + k = 0 ⇒ k = -6
2x + 4y – 6 = 0 ⇒ x + 2y = 3

கேள்வி 8.
P(x, y) என்ற புள்ளி குவியங்கள் F₁(3, 0) மற்றும் F₂(-3, 0) கொண்ட கூம்பு வளைவு 16x² + 25y² = 400 – ன் மீதுள்ள புள்ளி எனில் PF¹ + PF² -ன் மதிப்பு (1) 8
(2) 6
(3) 10
(4) 12
விடை:
(3) 10
குறிப்பு:
16x² + 25x² = 400
⇒ \(\frac{x^{2}}{25}\) + \(\frac{y^{2}}{16}\) = 1
⇒ a² = 25
⇒ a = 5
குவி பண்பின்படி, PF₁ + PF₂ = 2a = 2(5) = 10

கேள்வி 9.
x + y = 6 மற்றும் x + 2y = 4 என்ற நேர்க்கோடுகளை விட்டங்களாகக் கொண்டு (6,2) புள்ளிவழிச் செல்லும் வட்டத்தின் ஆரம்
(1) 10
(2) \(2 \sqrt{5}\)
(3) 6
(4) 4
விடை:
(2) \(2 \sqrt{5}\)
குறிப்பு:
மையம் என்பது விட்டங்களின் வெட்டு புள்ளி

∴ x – 2 = 6 ⇒ x = 8 ⇒ மையம் (8,-2)
r = (8, -2) மற்றும் (6, 2) க்கு இடையேயான தூரம்

கேள்வி 10.
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) – \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 மற்றும் \(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) – \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = -1 என்ற அதியர் வளையங்களின் குவியங்கள் ஒரு நாற்கரத்தின் முனைகள் எனில் அந்த நாற்கரத்தின் பரப்பு
(1) 4(a² + b²)
(2) 2(a² + b²)
(3) a² + b²
(4) \(\frac{1}{2}\)(a² + b²)
விடை:
(2) 2(a² + b²)

கேள்வி 11.
y² = 4x என்ற பரவளையத்தின் செவ்வகல முனை களில் வரையப்பட்ட செங்குத்துக் கோடுகள் (x – 3)² + (y + 2)² = r², என்ற வட்டத்தின் தொடுகோடுகள் எனில் ரீ-ன் மதிப்பு
(1) 2
(2) 3
(3) 1
(4) 4
விடை:
(1) 2

கேள்வி 12.
x + y = k என்ற நேர்க்கோடு பரவளையம் y² = 12x-இன் செங்கோட்டுச் சமன்பாடாக உள்ளது எனில் – ன் மதிப்பு
(1) 3
(2) -1
(3) 1
(4) 9
விடை:
(4) 91
குறிப்பு :
2y\(\frac{d y}{d x}\) = 12 ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{6}{y}\)
செங்கோட்டின் சாய்வு = \(\frac{-y}{6}\)
செங்கோட்டின் சாய்வு x + y = k என்பது \(\frac{-1}{1}\)
\(\frac{-y}{6}\) = -1
⇒ y = 6
y = 6 என y² = 12xல் பிரதியிட
⇒ 36 = 12x
⇒ x = 3
∴ x + y = k
⇒ 3 + 6 = k
⇒ k = 9

கேள்வி 13.
நீள்வட்டம் E₁ : \(\frac{x^{2}}{9}\) + \(\frac{y^{2}}{4}\) = 1 செவ்வகம் R-க்குள்
செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் நீள்வட்டத்தின் அச்சுகளுக்கு இணையாக இருக்குமாறு அமைந்துள்ளன. அந்த செவ்வகத்தின் சுற்று வட்டமாக அமைந்த மற்றொரு நீள்வட்டம் E₂(0, 4) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்கிறது எனில் அந்த நீள்வட்டத்தின் மையத்தொலைத் தகவு
(1) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
(2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(3) \(\frac{1}{2}\)
(4) \(\frac{3}{4}\)
விடை:
(3) \(\frac{1}{2}\)

கேள்வி 14.
2x – y = 1 என்ற கோட்டிற்கு இணையாக \(\frac{x^{2}}{9}\) – \(\frac{y^{2}}{4}\) = 1 திங்க கொடு என்ற நீள்வட்டத்திற்கு தொடு கோடுகள் வரையப்பட்டால் தொடுபுள்ளிகளில் ஒன்று

விடை:
(3) \(\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
குறிப்பு:
\(\frac{x^{2}}{9}\) – \(\frac{y^{2}}{4}\) = 1, a² = 9, b² = 4
தொடுகோடு 2x – y – 1 = 0 க்கு, இணை ஆதலால் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 2x – y + k = 0
⇒ y = 2k + k.
m = 2, c = k
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு என்பது
y = mx ± \(\sqrt{a^{2} m^{2}-b^{2}}\)
y = 2x ± \(\sqrt{9(4)-4}\)
= \(\sqrt{32}\) = 4\(\sqrt{2}\)
ஆகையால் தொடுகோடுகள் ஆனது
-2x + y + 4\(\sqrt{2}\) = 0, அல்லது
-2x + y – 4\(\sqrt{2}\) = 0
2x – 4 – 4\(\sqrt{2}\) = 0 அல்லது
2x – y + 4\(\sqrt{2}\) = 0
∴ c = -4\(\sqrt{2}\)
தொடுபுள்ளி என்பது \(\left(\frac{-a^{2} m}{c}, \frac{-b^{2}}{c}\right)\)

கேள்வி 15.
\(\frac{x^{2}}{16}\) + \(\frac{y^{2}}{9}\) = 1 என்ற நீள்வட்டத்தின் குவியங்கள் வழியாகவும் (0, 3) என்ற புள்ளியை மையமாகவும் கொண்ட நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு
(1) x² + y² – 6y – 7 = 0
(2) x² + y² – 6y + 7 = 0
(3) x² + y² – 6y – 5 = 0
(4) x² + y² – 6y + 5 = 0
விடை:
(1) x² + y² – 6y – 7 = 0
குறிப்பு:
a² = 16, b² = 9

(0, 3) மையம் உடைய வட்டத்தின் சமன்பாடு என்பது
(x – 0)² + (y – 3)² = r²
⇒ x² + (y – 3)² = r² …(1)
(\(\sqrt{7}\), 0) வழி செல்கிறது
7 + (-3)² = r²
⇒ r² = 7 + 9 = 16
∴ (1) → x² + (y – 3)² = 16
⇒ x² + y² – 6y + 9 = 16
⇒ x² + y² – 6y + 9 – 16 = 0
⇒ x² + y² – 6y – 7 = 0

கேள்வி 16.
C என்ற வட்டத்தின் மையம் (1, 1) மற்றும் ஆரம் 1 அலகு என்க. T என்ற வட்டத்தின் மையம் (0, y) ஆகவும் ஆதிப்புள்ளி வழியாகவும் உள்ளது. மேலும் C என்ற வட்டத்தை வெளிப்புறமாகத் தொட்டுச் செல்கிறது எனில் வட்டம் -ன் ஆரம்
(1) \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
(2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(3) \(\frac{1}{2}\)
(4) \(\frac{1}{4}\)
விடை:
(4) \(\frac{1}{4}\)
குறிப்பு:
வட்டம் Cக்கு மையம் C₁(1, 1), r₁ = 1
வட்டம் T க்கு மையம் C₂(0, y) மற்றும், r₂ = y
∴ r₂ = இடையே உள்ள தூரம் (0, 4) மற்றும் (0, 0)க்கு
= \(\sqrt{(0-0)^{2}+(y-0)^{2}}\) = y
வட்டங்கள் வெளிப்புறமாகத் தொட்டுச் செல்வதால்
C₁C₂ = r₁ + r₂

கேள்வி 17.
மையம் ஆதிப்புள்ளியாகவும் நெட்டச்சு x- அச்சாகவும் உள்ள நீள்வட்டத்தைக் கருத்தில் கொள்க. அதன் மையத்தொலைத் தகவு \(\frac{3}{5}\) மற்றும் குவியங்களுக்கிடையே உள்ள தூரம் 6 எனில் அந்த நீள்வட்டத்தின் உள்ளே நெட்டச்சு மற்றும் குற்றச்சுகளை மூலைவிட்டங்களாகக் கொண்டு வரையப்படும் நாற்கரத்தின் பரப்பு
(1) 8
(2) 32
(3) 80
(4) 40
விடை:
(4) 40
குறிப்பு:
கொடுக்கப்பட்ட e = \(\frac{3}{57}\) 2ae = 6
∴ 2a\(\left(\frac{3}{5}\right)\) = 6 ⇒ a = 5
b² = a²(1 – e²) = 25\(\left(1-\frac{9}{25}\right)\) = 16
∴ b = 4
நீள்வட்டத்தின் உள்ளே நெட்டச்சு மற்றும் குற்றச்சுகளை மூலைவிட்டங்களாக கொண்டு வரையப்படும் நாற்கரத்தின் பரப்பு 2ab = 2(5)(4) = 4

கேள்வி 18.
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 என்ற நீள்வட்டத்தினுள் வரையப்படும் மிகப்பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்பு
(1) 2ab
(2) ab
(3) \(\sqrt{a b}\)
(4) \(\frac{a}{b}\)
விடை:
(1) 2ab

கேள்வி 19.
நீள்வட்டத்தின் அரைக்குற்றச்சு OB, F மற்றும் F’ மற்றும் FBF’ ஒரு செங்கோணம் எனில் அந்த நீள்வட்டத்தின் மையத்தொலைத் தகவு காண்க.
(1) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(2) \(\frac{1}{2}\)
(3) \(\frac{1}{4}\)
(4) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
விடை:
(1) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
குறிப்பு:
BEF செங்கோண முக்கோணம் ஆதலால்
EF² = BF² + BF²

(2ac)² = (ae –0)² + (0 – b)² + (0 + ae)² + (b – 0)² 4a²e² = 2a²e² + 2b²
⇒ 2a²e² – 2b² = 0
⇒ a²e² = b²
b² = a²(1 – e²) … (1)
⇒ b² = a² – a²e² = a² – b²
⇒ 2b² = a²

கேள்வி 20.
(x – 3)² + (y – 4)² = \(\frac{y^{2}}{9}\), என்ற நீளவட்டத்தின் மையத்தொலைத் தகவு
(1) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(2) \(\frac{1}{3}\)
(3) \(\frac{1}{3 \sqrt{2}}\)
(4) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
விடை:
(2) \(\frac{1}{3}\)

கேள்வி 21.
P என்ற புள்ளியிலிருந்து y² = 4x என்ற பரவளையத்திற்கு வரையப்படும் இரு தொடுகோடுகளுக்கிடையேயான கோணம் செங்கோணம் எனில் P-ன் நியமப்பாதை
(1) 2x + 1 = 0
(2) x = -1
(3) 2x – 1 = 0
(4) x = 1
விடை:
(2) x = -11
குறிப்பு:
P என்ற புள்ளியிலிருந்து y² = 4x என்ற பரவளையத்திற்கு வரையப்படு தொடு கோடுகளுக்கிடையேயான கோணம் செங்கோணம் எனில் P -ன் நியமப்பாதை இயக்குவரை ஆகும்.
4a = 4 ⇒ a = 1
∴ இயக்குவரையின் சமன்பாடு என்பது
x = -1.

கேள்வி 22.
(1, -2) என்ற புள்ளி வழியாகவும் (3, 0) என்ற புள்ளியில் x அச்சைத் தொட்டுச் செல்வதுமான வட்டம் பின்வரும் புள்ளிகளில் எந்தப் புள்ளி வழியாகச் செல்லும்?
(1) (-5, 2)
(2) (2, -5)
(3) (5, -2)
(4) (-2, 5)
விடை:
(3) (5, -2)
குறிப்பு:
x-அச்சை (3, 0) என்ற புள்ளியில் வட்டம் தொட்டு செல்வதால் வட்டத்தின் மையமானது (3, k) மற்றும் r = 3.

∴ அதனுடைய சமன்பாடு
(x – 3)² + (y – k)² = 3²
இது (1, -2) வழிச் செல்கிறது
⇒ (1 – 3)² + (-2 – k)² = 9
⇒ 4 + (k + 2)² = 9
⇒ (k + 2)² = 5
⇒ k + 2 = \(\sqrt{5}\)
k = \(\sqrt{5}\) – 2
சமன்பாடு என்பது (x – 3)² + (y – \(\sqrt{5}\) + 2)² = 9.
[∴ (5 – 3)² + (-2 – \(\sqrt{5}\))² + 2 = 9
2² + (-\(\sqrt{5}\))² = 9 ⇒ 4 + 5 = 9
(5,-2) மட்டும் இந்த சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது.

கேள்வி 23.
(-2, 0) – இலிருந்து ஒரு நகரும் புள்ளிக்கான தூரம் அந்தப் புள்ளிக்கும் நேர்க்கோடு x = \(\frac{2}{3}\) க்கும் இடையேயான தூரத்தைப் போல் மடங்கு உள்ளது எனில் அந்தப் புள்ளியின் நியமப்பாதை
(1) பரவளையம்
(2) அதிபரவளையம்
(3) நீள்வட்டம்
(4) வட்டம்
விடை:
(3) நீள்வட்டம்
குறிப்பு:
A(-2, 0), P(x₁, y₁) மற்றும் PM = ⊥^r
x = –\(\frac{9}{2}\) லிருந்து நிக்கான செங்குத்து தூரம்
∴ AP = \(\frac{2}{3}\)[PM] ⇒ \(\frac{AP}{PM}\) = \(\frac{2}{3}\)
\(\frac{2}{3}\) = e [∵ e = \(\frac{AP}{PM}\)]
e = \(\frac{2}{3}\) < 1
ஆதலால் P(x₁ , y₁) – ன் நியமப்பாதை நீள்வட்டம் ஆகும்.

கேள்வி 24.
x² – (a + b)x – 4 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்களின் மதிப்புகள் m-ன் மதிப்புகளாக இருக்கும் போது.y = mx + 2\(\sqrt{5}\) என்ற நேர்க்கோடு 16x – 9y² = 144 என்ற அதிபரவளையத்தைத் தொட்டுச் செல்கின்றது எனில் (a+b)-ன் மதிப்பு
(1) 2
(2) 4
(3) 0
(4) -2
விடை:
(3) 0
குறிப்பு:

a² = 9, b² = 16
நிபந்தனை c² = a²m² – b²
⇒ (2\(\sqrt{5}\))² = 9m² – 16
⇒ 20 = 9m² – 16
⇒ 9m² = 36 ⇒ m² = 4
⇒ m = 2, -2
∴ a = 2, b = -2
[∵ x² – (a + b)x – 4 = 0-ன் மூலங்கள் a மற்றும் b]
∴ a + b = 2 – 2 = 0

கேள்வி 25.
x² + y² – 8x – 4y + c = 0 என்ற வட்டத்தின் விட்டத்தின் ஒரு முனை (11, 2) எனில் அதன் மறுமுனை (1) (-5, 2)
(2) (2,-5)
(3) (5, -2)
(4) (-2, 5)
கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து விடைகளும் தவறானது
விடை: ★
[★ சரியான விடை (-3, 2)]
குறிப்பு:
வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² – 8x – 4y + c = 0

2g = -8 ⇒ g = -4
2f = -4 ⇒ f = -2
∴ மையம் (-g, -f) = (4, 2)
(x, y) என்பது மறு முனை என்க. (x, y) மற்றும் (11, 2)இன் நடுப்புள்ளி மையம் ஆகும்.

∴ (-3, 2) என்பது மறுமுனை