Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5

கேள்வி 1.
(5, 2, 8) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும் \(\vec{r}=(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+s(2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})\) மற்றும் \(\vec{r}=(2 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})+t(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})\) ஆகிய கோடுகளுக்குச் செங்குத்தானதுமான நேர்க்கோட்டின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் \(\vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}+8 \hat{k}\)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 1
தேவையான கோடு \(\vec{b}\) மற்றும் \(\vec{d}\) செங்குத்து ஆதலால் அது \(\vec{b} \times \vec{d}\) க்கு இணை
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 2
∴ தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 3
நேர்க்கோடு மற்றும் செங்குத்து வழி செல்லும் நேர்க்கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு (5, 2, 8).
\(\frac{x-x_{1}}{b_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{2}}=\frac{z-z_{1}}{b_{3}}\)
\(\frac{x-5}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-8}{-2}\)

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5

கேள்வி 2.
\(\vec{r}=(6 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})+s(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})\) மற்றும் \(\vec{r}=(3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k})+t(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})\) என்பன ஒரு தளம் அமையாக் கோடுகள் எனக்காட்டுக. மேலும், அக்கோடுகளுக்கு இடைப்பட் மீச்சிறு தூரத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்
\(\vec{r}=(6 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})+s(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})\)
\(\vec{a}=6 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}\)
மற்றும் \(\vec{r}=(3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k})+t(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})\)
\(\vec{c}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}\), மற்றும் \(\vec{d}=2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}\)
ஆதலால் \(\vec{b} \neq \vec{d}\), இணை இல்லை மற்றும் வெட்டுவதில்லை.
எனவே இரு கோடுகளும் ஒரு தளம் அமையா கோடுகள்.
ஒரு தளம் அமையா கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம்.
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 4

கேள்வி 3.
\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}\) மற்று \(\frac{x-3}{1}=\frac{y-m}{2}\) = z என்ற கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்ளும் எனில், m-ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 5
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 6

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5

கேள்வி 4.
\(\frac{x-3}{3}=\frac{y-3}{-1}\), z – 1 = 0 மற்றும் \(\frac{x-6}{2}=\frac{z-1}{3}\), y – 2 = 0 என்ற கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்ளும் எனக்காட்டுக. மேலும், அவை வெட்டும் புள்ளியைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் = \(\frac{x-3}{3}=\frac{y-3}{-1}\) (1)
மற்றும் z – 1 = 0 ⇒ z = 1
மற்றும் \(\frac{x-6}{2}=\frac{z-1}{3}\) …………. (2)
மற்றும் 2 = 0 ⇒ y = 2
y = 2 மற்றும் z = 1 என (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது
\(\frac{x-3}{3}=\frac{2-3}{-1}=\frac{-1}{-1}\) = 1 ⇒ x – 3 = 3 = x = 6 (6,2, 1) வெட்டுப்புள்ளி (6, 2, 1), (1) மற்றும் (2)ஐ பூர்த்தி செய்கிறதா என்பதை சோதிக்க.
(1) → \(\frac{6-6}{2}=\frac{1-1}{3}\) ⇒ 0 = 0
(2) → \(\frac{6-3}{3}=\frac{1-3}{-1}\) ⇒ -1 = 1
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒன்றையொன்று வெட்டுகின்றன மற்றும் வெட்டும் புள்ளி (6, 2, 1).

கேள்வி 5.
x +1 = 2y = -12z மற்றும் x = y + 2 = 6z – 6 என்ற கோடுகள் ஒரு தளம் அமையாக் கோடுகள் எனக் காட்டி, அவற்றிற்கு இடைப்பட்ட மீச்சிறு தூரத்தையும் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் x + 1 = 2y = -12z
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 7.1
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 7
\((\vec{c}-\vec{a}) \cdot(\vec{b} \times \vec{a})=0\) ஆதலால் கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமையா
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 8
ஒரு தளம் அமையா கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறைந்தபட்ச தூரம்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 9

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5

கேள்வி 6.
(-1, 2, 1) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும் \(\vec{r}=(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+t(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})\) என்ற நேர்க் கோட்டிற்கு இணையானதுமான நேர்க்கோட்டின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாட்டைக் காண்க. மேலும் இக்கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட மீச்சிறு தூரத்தையும் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி \(\vec{a}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\)
மற்றும் இணை வெக்டர் \(\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\)
∴ \(\vec{a}\) வழிச் செல்லும் \(\vec{b}\) க்கு இணையான நேர்க்கோட்டின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 10
∴ இணைக்கோடுகளுக்கு இடையேயான தூரம்
d = \(\frac{|(\vec{c}-\vec{a}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}=\frac{\sqrt{83}}{\sqrt{6}}\) அலகுகள்

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5

கேள்வி 7.
(5, 4, 2) என்ற புள்ளியிலிருந்து \(\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{-1}\) என்ற நேர்க்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோட்டின் அடியைக் காண்க. மேலும், இச்செங்குத்துக் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{-1}\) = A என்பது (-1, 3, 1)
மற்றும் \(\vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}\)
\(\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{-1}\) = t என்க
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 11
D யிலிருந்து நேர்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்து கோட்டின் அடி F எனில் அதனுடைய வடிவம்
(2t – 1, 3t + 3, -t+ 1) …………(1)
⇒ \(\overrightarrow{\mathrm{OF}}=(2 t-1) \hat{i}+(3 t+3) \hat{j}+(-t+1) \hat{k}\)
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி D(5, 4, 2)
⇒ \(\vec{OD}=5 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}\)
∴ \(\vec{DF}=\vec{OF}-\vec{OD}\)
= \((2 t-1-5) \hat{i}+(3 t+3-4) \hat{j}+(-t+1-2) \hat{k}\) …………….. (2)
\(\vec{b} \perp \vec{DF}\) ஆதலால் நம்மிடம் \(\vec{b} \cdot \vec{DF}\) = 0
⇒2(2t – 6) +3(3t – 1) – 1 (-t – 1) = 0
⇒ 4t 12 + 9t – 3 + t + 1 = 0
⇒ 14t – 14 = 0
⇒ 14t = 14
⇒ t = 1
(1)லிருந்து F ஆனது (2(1) – 1, 3(1) + 3, –1 + 1 )
= (1, 6, 0)
∴ செங்குத்தின் அடிப்பகுதி (1, 6, 0)
∴ செங்குத்து DF ன் சமன்பாடு என்பது (5, 4, 2) மற்றும் (1, 6, 0) புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு. அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடு என்பது
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.5 12
தேவையான செங்குத்து கோட்டின் சமன்பாடாகும்.