Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.6

கேள்வி 1.
ஆதிப்புள்ளியில் இருந்து 7 அலகுகள் தொலைவில் உள்ளதும், செங்குத்தின் திசை விகிதங்கள் 3, -4, 5 கொண்டதுமான தளத்தின் துணையலகு வெக்டர், மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட p = 7
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.6 1
[∵ 3, -4, 5] திசைவிகிதங்கள் ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து தளத்திற்கு உள்ள தூரம் p மற்றும் தளத்திற்குச் செங்குத்தான ஓரலகு வெக்டர் \(\hat{d}\) எனில், தளத்திற்கு சமன்பாடு \(\vec{r} \cdot \hat{d}=p\).
தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு
\(r \cdot\left(\frac{3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}}{5 \sqrt{2}}\right)=7\)

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.6

கேள்வி 2.
12x + 3y – 4z = 65 என்ற தளத்தின் செங்குத்தின் திசைக் கொசைன்களைக் காண்க. மேலும், தளத்தின் துணைணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் ஆதியில் இருந்து தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் நீளம் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாடு
12x + 3y – 4z = 65.
அதனுடைய வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.6 2
எனவே தளம் 12x + 3y – 4z = 65 -ன் செங்குத்தின்
திசைக் கொசைன்கள் \(\frac{12}{13}, \frac{3}{13}, \frac{-4}{13}\)
மேலும் தளத்தின் துணையலகு இல்லாத வெக்டர் வடிவ சமன்பாடு
\(\vec{r} \cdot\left(\frac{12 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}}{13}\right)=\frac{65}{13}\) [(1)லிருந்து][13–ஆல் வகுக்க]
⇒ \(\vec{r} \cdot \hat{d}=p \Rightarrow p=\frac{65}{13}=5\)

கேள்வி 3.
\(2 \hat{i}+6 \hat{j}+3 \hat{k}\) என்ற நிலை வெக்டரை கொண்ட புள்ளி வழியாகச் செல்வதும் \(\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}\) என்ற வெக்டருக்குச் செங்குத்தானதுமான தளத்தின் வெக்டர் மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\vec{a}=2 \hat{i}+6 \hat{j}+3 \hat{k}\)
\(\vec{n}=\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}\)
புள்ளி \((\vec{a})\) வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டர் \((\vec{n})\) க்கு செங்குத்தான தளத்தின் வெக்டர் வடிவ சமன்பாடு
\(\vec{r} \cdot \vec{n}=\vec{a} \cdot \vec{n}\)
= \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})\)
= \((2 \hat{i}+6 \hat{j}+3 \hat{k}) \cdot(\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})\) = 2 + 18 + 15
⇒ \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k})\) = 35
அதனுடைய கார்டீசியன்
a(x – x1) + b(y – y1) + c(z – z1) = 0
1(x – 2) + 3(1 – 6) + 5(z – 3) = 0
[∵ (x1, y1, z1) = (2, 6, 3) மற்றும் a, b, c = 1, 3, 5]
⇒ – 2 + 3y – 18 + 5z – 15 = 0
⇒ x + 3y + 5z – 35 = 0
⇒ x + 3y + 5z = 35

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.6

கேள்வி 4.
(-1,1,2) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்வதும் ஆய அச்சுகளுடன் சமகோணத்தை ஏற்படுத்தும் எண்ணளவு 3\(\sqrt{3}\) கொண்ட செங்கோட்டைக் கொண்டதுமான தளத்தின் வெக்டர் மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
தளம்,\(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
கொடுக்கப்பட்ட \(|\vec{n}|=3 \sqrt{3}\) மற்றும் α என்பது செங்குத்து ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் கோணம் என்க.
∴ cos2α + cos2α + cos2α = 1 ⇒ 3cos2α = 1
⇒ cos2α = \(\frac{1}{3}\) ⇒ cosα = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ \(\vec{n}=3 \sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}\right)=3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}\)
∴ தேவையான தளத்தின் சமன்பாடானது
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.6 3
என்பது தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு

கேள்வி 5.
\(\vec{r} \cdot(6 \hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k})\) = 12 என்ற தளம் ஆய அச்சுகளுடன் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத் துண்டுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
தளத்தின் சமன்பாட்டிற்கான வெக்டர் வடிவம் என்பது
\(\vec{r} \cdot(6 \hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k})\) = 1
\(\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}\) என்க
⇒ \((x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot(6 \hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k})\) = 12
⇒ 6x + 4y – 3z = 0
12 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது \(\frac{6 x}{12}+\frac{4 y}{12}-\frac{3 z}{12}\) = 1
[∵\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1 என்பது தளத்தின் வெட்டுத்துண்டு வடிவச் சமன்பாடு]
⇒ \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{-4}\) = 1
∴ தளத்தின் x- வெட்டுத்துண்டு 2,yவெட்டுத்துண்டு 3 மற்றும் z- வெட்டுத்துண்டு -4.

Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.6

கேள்வி 6.
ஒரு தளம் ஆய அச்சுக்களை ளை முறையே A,B,C என்ற புள்ளிகளில் வெட்டுவதால் உருவாகும் முக்கோணம் ABC-ன் மை மையக்கோட்டுச் சந்தி (u, v, w) எனில் தளத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
தளம் ஆய அச்சுக்களுடன் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத்
துண்டுகள் முறையே a, b, c என்க.
∴ தளத்தின் வெட்டுத்துண்டு வடிவச் சமன்பாடு
Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.6 4
கொடுக்கப்பட்ட ∆ABC யின் மையக்கோட்டுச் சந்தி (u, v, w)
∴ (u, v, w) = \(\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right)\)
⇒ (u, v, w) = \(\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)\)
ஒத்த ஆயத் தொலைவுகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது
⇒ u = \(\frac{a}{3}\) ⇒ a = 3u
v = \(\frac{b}{3}\) ⇒ b = 3v
w = \(\frac{c}{3}\) ⇒ c = 3w
∴ (1) லிருந்து
\(\frac{x}{3 u}+\frac{y}{3 v}+\frac{z}{3 w}=1 \Rightarrow \quad \frac{x}{u}+\frac{y}{v}+\frac{z}{w}=3\)
என்பது தேவையான தளத்தின் சமன்பாடாகும்.