Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.4

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.4

கேள்வி 1.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் காண்க.
(i) f(x, y) = 3x² – 2xy + y² + 5x + 2, (2, -5)
(ii) g(x, y) = 3x² + y ²+ 5x + 2, (1, -2)
(iii) h (x, y, z) = x sin (xy) + z²x, (2, \(\frac{\pi}{4}\), 1)
(iv) G(x, y) = e^x+3y log (x² + y²), (-1, 1)
தீர்வு:
(i) f(x,y) = 3x² – 2xy + y² + 5x + 2, (2, -5)
கொடுக்கப்பட்ட f (x, y) = 3x² – 2xy + y² + 5x + 2
\(\frac{\partial f}{\partial x}\) = 3x² – 2y (1) +0+ 5
\(\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{(2,-5)}\) = 3(2²) – 2 (-5) +5
= 12 + 10 + 5 = 27
\(\frac{\partial f}{\partial y}\) 0 – 2x (1) + 2y+ 0 + 0
\(\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{(2,-5)}\) = 2 (-5) – 2 (2)
= -10 – 4 = -14

(ii) g(x, y) = 3x² + y² + 5x + 2, (1, -2)
கொடுக்கப்பட்ட g(x, y) = 3x² + y² + 5x + 2
\(\frac{\partial g}{\partial x}\) = 6x + 0 + 5 = 6x + 5
\(\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)_{(1,-2)}\) = 6(1) + 5 = 11
\(\frac{\partial g}{\partial y}\) = 0 + 2y + 0 + 0 = 2y
∴ \(\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)_{(1,-2)}\) = 2 (-2) = -4

(iii) h (x, y, z) = x sin (xy) + z²x, (2, \(\frac{\pi}{4}\), 1)
கொடுக்கப்பட்ட h (x, y, z) = x sin (xy) + z²x
\(\frac{\partial h}{\partial x}\) = x cos (xy). \(\frac{\partial}{\partial x}\) (xy) + sin (xy) (1) + z² (1)
= x. cos (xy) (y) (1) + sin (xy) + z² 1
= xy cos (xy) + sin (xy) + z²

\(\frac{\partial h}{\partial z}\) = 0 + x (2z) = 2xz
∴ \(\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)\left(2, \frac{\pi}{4}, 1\right)\) = 2 (2)(1) = 4

(iv) G(x, y) = e^x+3y log (x² + y²), (-1, 1)
கொடுக்கப்பட்ட G (x, y) = e^x+3ylog (x² + y²)

கேள்வி 2.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு, f_x, f_y, காண்க. மேலும் f_xy = f_yx. எனக் காட்டுக.
(i) f (x, y) = \(\frac{3 x}{y+\sin x}\)
(ii) f (x, y) = tan^-1\(\left(\frac{x}{y}\right)\)
(iii) f (x, y) = cos (x² – 3xy)
தீர்வு:
(i) f (x, y) = \(\frac{3 x}{y+\sin x}\)
கொடுக்கப்பட்ட f (x, y) = \(\frac{3 x}{y+\sin x}\)
f_x = \(\frac{\partial f}{\partial x}\)
= \(\frac{(y+\sin x)(3)-3 x(\cos x)}{(y+\sin x)^{2}}\)

(ii) f (x, y) = tan^-1\(\left(\frac{x}{y}\right)\)
கொடுக்கப்பட்ட f (x, y) = \(\frac{3 x}{y+\sin x}\)


∴ (1) மற்றும் (2)லிருந்து, f_xy = f_yx.

(iii) f(x, y) = cos (x² – 3xy)
கொடுக்கப்பட்ட f (x, y) = cos (x² – 3xy)
f_x = – sin (x² – 3xy) [2x – 3y]
= (3y – 2x) sin (x² – 3xy)
f_y = – sin (x – 3xy) (-3x)
= 3xsin (x² – 3xy)

∴ f_xy = \(\frac{\partial}{\partial x}\) (f_y)
= 3 [x. cos (x² – 3xy) (2x – 3y) + sin (x² – 3xy) (1)]
= 3[(2x² – 3xy) cos(x² – 3xy) + sin (x² – 3xy)] ……….. (1)
f_yx = \(\frac{\partial}{\partial y}\) (f_x)
= (3y- 2x) cos(x² – 3xy) (-3x) + sin (x² – 3xy) (3)
= 3[(2x² – 3xy) cos(x² – 3xy) + sin (x² – 3xy)] ………. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, f_xy = f_yx.

கேள்வி 3.
U(x, y, z) = \(\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}+3 z^{2} y\), எனில் \(\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial x} ; \frac{\partial U}{\partial y}\) எனில், \(\frac{\partial U}{\partial z}\).
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட U (x, y, z) = \(\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}+3 z^{2} y\)

\(\frac{\partial U}{\partial z}\) = 0 + 3y (2z) = 6yz

கேள்வி 4.
U(x, y, z) = log(x³ + y³ + z³) எனில், \(\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z}\)ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட U(x, y, z) = log(x³ + y³ + z³)

கேள்வி 5.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு g_xy, g_xx, g_yy, மற்றும் g_yx ஆகியவற்றைக் காண்க.
(i) g(x, y) = xe^y + 3x²y
(ii) g(x, y) = log (5x + 3y)
(iii) g(x, y) = x² + 3xy – y + cos(5x)
தீர்வு:
(i) g(x, y) = xe^y + 3x²y
g_x = e^y + 6xy

(ii) g(x, y) = log (5x + 3y)

(iii) g(x, y) = x² + 3xy – 7y + cos(5x)
கொடுக்கப்பட்ட g (x, y) = x² + 3xy – 7y + cos(5x)
g_x = 2x + 3y – 0 – 5 sin 5x
= 2x + 3y – 5 sin 5x –
g_y 0 + 3x (1) – 7 + 0
3x – 7
g_xy = \(\frac{\partial}{\partial x}\) (g_y) = 3
g_xx = \(\frac{\partial}{\partial x}\) (g_x)
= 2(1) + 0 5(5) cos (5r)
= 2 – 25 cos (5r)

g_yy = \(\frac{\partial}{\partial y}\) (g_y) = 0
g_yx = \(\frac{\partial}{\partial y}\) (g_x)
= 0 + 3(1) – 0 = 3

கேள்வி 6.
w(x, y, z) = \(\), (x, y, z) ≠ (0, 0, 0) எனில் \(\frac{\partial^{2} \boldsymbol{w}}{\partial \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}}+\frac{\partial^{2} \boldsymbol{w}}{\partial \boldsymbol{y}^{2}}+\frac{\partial^{2} \boldsymbol{w}}{\partial z^{2}}=\mathbf{0}\) எனக் காட்டுக
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட w(x, y, z) = \(\)
= (x² + y² + z²)^{–\(\frac{1}{2}\)}



[y² + z² – 2x² + x² +z² – 2y² + x² + y² – 2z²]
= -(x² + y² + 2²)^{–\(\frac{5}{2}\)} (0) = 0 எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 7.
V(x, y) = e^x(x cos y – y sin y) எனில் \(\frac{\partial^{2} \mathbf{V}}{\partial \boldsymbol{x}^{2}}+\frac{\partial^{2} \mathbf{V}}{\partial \boldsymbol{y}^{2}}=\mathbf{0}\) எனில் நிறுவுக்
Ox? * Qy2 = 0 stor $94.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட V(x, y) = e^x(x cos y – y sin y)
\(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial x}\) = e^x (cos y) +(x cos y – y sin y)e^x
= e^x (cos y + x cos y – y sin y)
\(\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}\) = e^x (0 + cos y – 0) + (cos y + x cos y – y sin y)e^x
= e^x (2 cos y + x cos y – y sin y) …………. (1)
\(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial y}\) = e^x (- x sin y – y cos y – sin y)
\(\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}\) = e^x (-x cos y-(-y sin y + cos y) – cos y)
= e^x (- x cos y + y sin y – cos y – cos y)
= e^x (-x cos y + y sin y – 2 cos y) …………….. (2)
(1) + (2) →
\(\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}\) = e^x (2 cos y + x cos y – y sin y – x cos y + y sin y – 2 cos y]
= e^x (0) = 0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 8.
w(x, y) = xy + sin (xy) எனில் \(\frac{\partial^{2} w}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial y}\) நிறுவுக்.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட w (x,y) = xy + sin (xy)
\(\frac{\partial w}{\partial x}\) = y (1) + (cos (xy) [y (1)]
= y + y cos (xy)
\(\frac{\partial w}{\partial y}\) = x(1) + cos (xy) (x = x + xcos (xy)
\(\frac{\partial^{2} w}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)\)
= 1 + y (- sin (xy)) (x) + cos (xy)
= 1 – xy sin (xy) + cos (xy) ……. (1)
\(\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)\)
= 1 + x (- sin (xy)) (y) + cos (xy)
= 1 – xy sin (xy) + cos (xy) ……….. (2)
∴ (1) மற்றும் (2)லிருந்து,
\(\frac{\partial^{2} w}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial y}\)

கேள்வி 9.
V(x, y, z) = x³ + y³ + z³ + 3xyz எனில் \(\frac{\partial^{2} v}{\partial y \partial z}=\frac{\partial^{2} v}{\partial z \partial y}\) என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட V (x, y, z) = x³ + y³ + z³ + 3xyz,
\(\frac{\partial v}{\partial z}\) = 0 + 0 +3z² + 3xy = 3z² + 3xy
\(\frac{\partial v}{\partial y}\) = 0 + 3y² + 0 + 3xz = 3y² + 3xz
இங்கு, \(\frac{\partial^{2} v}{\partial y \partial z}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial z}\right)\) = 0 + 3x = 3x ……….. (1)
\(\frac{\partial^{2} v}{\partial z \partial y}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)\) = 0 + zx = 3x ………. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(\frac{\partial^{2} v}{\partial y \partial z}=\frac{\partial^{2} v}{\partial z \partial y}\)

கேள்வி 10.
ஒரு நிறுவனம் ஒவ்வொரு வாரமும் இரு விதமான கணிப்பான்களை உற்பத்தி செய்கின்றது. அவற்றில் A வகை கணிப்பான்கள் x எண்ணிக்கையும், B வகை கணிப்பான்கள் y எண்ணிக்கையும் உள்ளன. வார வரவு மற்றும் செலவுச் சார்புகள் (ரூபாயில்) முறையே R(x, y) = 80x + 90y + 0.04xy – 0.05x² – 0.05y² மற்றும் C(x, y) = 8x + by + 2000 எனத் தரப்பட்டுள்ளன.
(i) இலாபச் சார்பு P(x, y) -ஐக் காண்க.
(ii) \(\frac{\partial P}{\partial x}\) (1200, 1800) மற்றும் \(\frac{\partial P}{\partial y}\) (1200, 1800) ஆகியவற்றைக் கண்டு முடிவுகளை விளக்குக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட R (x, y) = 80 x + 90 y + 0.04xy – 0.05 x² – 0.05y² மற்றும்
(x, y) = 8x + 6y + 2000
இலாபச் சார்பு P (x, y) = வருவாய் – செலவு
P(x, y) = R (x, y) – C (x, y)
= -80 x + 90y + 0.04xy – 0.05x² – 0.05y² – 8x – 6y – 2000
P (x, y) = 72x + 84y + 0.04 xy – 0.05x² – 0.05y² – 2000

(ii) \(\frac{\partial P}{\partial x}\) = 72 + 0 + 0.04y – 0.05 (2x) – 0 – 0
= 72 + 0.04y – 0.1x
∴ \(\frac{\partial P}{\partial x}\) (1200, (1800) = 72 + 0.04 (1800) – 0.1(1200)
= 72 + 72 – 120 = 24
\(\frac{\partial P}{\partial y}\) = 0 + 84 + 0.4x – 0-0.05(2y) – 0
∴ \(\left(\frac{\partial P}{\partial y}\right)_{(1200,1800)}\) = 84 + 0.04x – 0.1y = 84 + 0.04 (1200) – 0.1(1800)
= 84 + 48 – 180 = – 48