Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.8

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.8

கேள்வி 1.
இரண்டு மிகை எண்களின் கூட்டுத் தொகை 12, மேலும் அதன் பெருக்குத் தொகை பெருமம் எனில் அந்த எண்களைக் காண்க.
தீர்வு:
x மற்றும் y இரண்டு மிகை எண்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட x + y = 12
⇒ y = 12 – x ……………. (1)
f (x) = xy என்க
= x (12 – x) = 12x – x²
f'(x) = 12 – 2x
f'(x) = 0
⇒ 12 – 2x = 0
⇒ 12 = 2x
⇒ x = 6
∴ நிலை எண் 6.
f”(x) = -2x
f”(6) = -2(6) = -12 < 0
∴ f(x)-ல் x = 6-ன் பெருமம்
⇒ x = 6 எனில் அதன் பெருக்குத் தொகையின் பெருமம் ஆகும்.
x = 6 எனில் y = 12 – 6 = 6 [(1) லிருந்து]
எனவே தேவையான எண்கள் 6, 6 ஆகும்.

கேள்வி 2.
இரண்டு மிகை எண்களின் பெருக்குத்தொகை 20, மேலும் அதன் கூடுதல் சிறுமம் எனில் அந்த எண்களைக் காண்க.
தீர்வு:
அந்த இரண்டு மிகை எண்கள் x மற்றும் y என்க.
கொடுக்கப்பட்ட x y = 20
⇒ y = \(\frac{20}{x}\)
f (x) = x + y என்க
f(x) = x + \(\frac{20}{x}\)
f'(x) = \(1-\frac{20}{x^{2}}\)
f'(x) = 0
⇒ \(1-\frac{20}{x^{2}}\) = 0
⇒ 1 = \(\frac{20}{x^{2}}\)
⇒ x² = 20
⇒ x = ±\(\sqrt{20}\)
⇒ x = ±2\(\sqrt{5}\)
∴ நிலை எண்கள் 2\(\sqrt{5}\) , -2\(\sqrt{5}\) .
f”(x) = \(\frac{40}{x^{2}}\)
x = 2\(\sqrt{5}\) எனில்,
f”(x) = \(\frac{40}{(2 \sqrt{5})^{3}}\) > 0
∴ f(x) எனில் x = 2\(\sqrt{5}\) -ன் சிறுமம் ஆகும்
x = 2\(\sqrt{5}\), y = \(\frac{20}{2 \sqrt{5}}\) எனில்,
= \(\frac{10}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{10 \sqrt{5}}{5}=2 \sqrt{5}\)
எனவே தேவையான மிகை எண்கள் 2\(\sqrt{5}\), 2\(\sqrt{5}\).

கேள்வி 3.
x² + y² -ன் குறைந்த மதிப்பினை x + y = 10 எனக் கொண்டு காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட x + y = 10
⇒ y = 10 – x …………… (1)
f(x) = x² + y² என்க
= x² + (10 – x)²
= x² + 100 + x² – 20x
f(x) = 2x² – 20x + 100
f'(x) = 4x – 20
f'(x) = 0
4x- 20 = 0
4x = 20
⇒ x = 5
∴ நிலை எண் 5 ஆகும்.
f”(x) = 4
∴ f”(5) = 4 > 0
∴ f(x) எனில் x = 5 சிறுமம் ஆகும்.
x = 5, y = 10 – 5 = 5 எனில் [(1) லிருந்து]
∴ x² + y² -ன் குறைந்த மதிப்பு
= 5² + 5² = 25 + 25 = 50

கேள்வி 4.
ஒருதோட்டம் செவ்வகவடிவில் அமைக்கப்பட்டு கம்பி வேலி மூலம் பாதுகாக்கப்பட வேண்டும். 40 மீட்டர் வேலிக் கம்பி மூலம் பாதுகாக்கப்படும் தோட்டத்தின் பெரும பரப்பினைக் காண்க.
தீர்வு:
X என்பது தோட்டத்தின் நீளம் மற்றும் y என்பது அகலம் ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட 2 (x + y) = 40

[∵ கம்பியின் நீளம் = 40 சுற்றளவு = 40 மீ]
⇒ x + y = 20
⇒ y = 20 – x …………… (1)
f(x) = xy என்க
= x(20 – x) = 20x – x²
f'(x) = 20 – 2x
f'(x) = 0
⇒ 20 – 2x = 0
⇒ 20 = 2x
x = 10
∴ நிலை எண் 10 ஆகும்
f”(x) = -2
இங்கு f”(10) = -2 < 0
∴ f (x) -ல் x = 10 -ன் சிறுமம்
x = 10 எனில்,
y = 20 – 10 = 10
∴ பரப்பு = f (x) =xy
= 10(10) = 100மீ.²
∴ தோட்டத்தின் பெரும பரப்பு = 100 மீ’²

கேள்வி 5.
ஒரு செவ்வக வடிவிலான பக்கத்தில் 24 செ.மீ அளவிற்கு அச்சிடப்பட்டுள்ளது. மேற்புற மற்றும் கீழ்ப்புற ஓரங்கள் 1.5 செ.மீ அளவிலும் மற்ற பக்கங்களின் ஓரங்கள் 1 செ.மீ அளவிலும் இடைவெளி விடப்பட்டுள்ளது. காகித பக்கத்தின் குறைந்த பரப்பளவிற்கு அதன் நீள, அகலங்கள் என்னவாக இருக்க வேண்டும்?.
தீர்வு:
X மற்றும் y அச்சிடப்பட்ட பக்கத்தின் நீளம் மற்றும் அகலம் என்க.

கொடுக்கப்பட்ட xy = 24
⇒ y = \(\frac{24}{x}\) …………. (1)
ஓரங்களுடன் சேர்த்து பக்கத்தின் நீளம்
= x + 1 + 1 = x + 2
ஒரங்களுடன் சேர்த்து பக்கத்தின் அகலம்
= y + 1.5 + 1.5 = y + 3
பக்கத்தின் பரப்பு = (x + 2) (y+ 3)
f (x) = (x + 2) (y + 3) என்க
= (x + 2) \(\left(\frac{24}{x}+3\right)\)
= 24 + 3.x + \(\frac{48}{x}\) +6
= 3x + \(\frac{48}{x}\) + 30
f'(x) = 3 – \(\frac{48}{x^{2}}\)
f'(x) = 0
⇒ 3 – \(\frac{48}{x^{2}}\) = 0 ⇒ 3 = \(\frac{48}{x^{2}}\)
⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4
∴ நிலை எண்கள் 4, 4 ஆகும்
f”(x) = \(-48\left(\frac{-2}{x^{3}}\right)=\frac{96}{x^{3}}\)
f”(4) = \(\frac{96}{64}\) > 0
∴ f(x)-ல் x = 4-ன் சிறுமம் ஆகும்
x = 4 எனில், y = \(\frac{24}{4}\) = 6 [(1) லிருந்து] ,
∴ பக்கத்தின் நீளம் = x + 2 = 4 + 2 = 6 செ.மீ
பக்கத்தின் அகலம் = y + 3 = 6 + 3 = 9 செ.மீ

கேள்வி 6.
ஒரு விவசாயி ஒரு நதியை ஒட்டிய செவ்வக மேய்ச்சல் நிலத்திற்கு வேலி அமைக்க திட்டமிட்டுள்ளார். மந்தைகளுக்கு போதுமான புல் வழங்க மேய்ச்ச ல் நிலம் 1,80,000 சதுர மீட்டர் பரப்பளவு இருக்க வேண்டும். ஆற்றின் குறுக்கே வேலி அமைக்கத் தேவையில்லை. தேவையான குறைந்தபட்ச வேலிக் கம்பியின் நீளம் என்ன?
தீர்வு:
மேய்ச்சல் நிலத்தின் நீளம் x மற்றும் அகலம் y
என்க. கொடுக்கப்பட்ட xy = 1,80,000
⇒ y = \(\frac{1,80,000}{x}\) ………….. (1)
ஆற்றின் குறுக்கே வேலி அமைக்கத் தேவையில்லை
சுற்றளவு = 2x + y
f(x) = 2x + y என்க
= 2x + \(\frac{1,80,000}{x}\) [(1)-ஐ பயன்படுத்தி]
f'(x) = 2 – \(\frac{1,80,000}{x^{2}}\)
f'(x) = 0

⇒ 2 = \(\frac{1,80,000}{x^{2}}\)
⇒ x² = 90,000
⇒ x = ± 300
∴ நிலை எண்கள் 300,-300 ஆகும்
f”(x) = \(-1,80,000\left(\frac{-2}{x^{3}}\right)=\frac{360000}{x^{3}}\)
f”(300) = \(\frac{360000}{(300)^{3}}\) > 0
∴ x = 300 எனில் f (x) ன் சிறுமம் ஆகும்.
(1) லிருந்து x = 300 எனில், y = \(\frac{1,80,000}{x}\) = 600
∴ தேவையான குறைந்தபட்ச வேலிக் கம்பியின் நீளம் = 2x + y
= 2(300) + 600 = 600 + 600 = 1200மீ

கேள்வி 7.
10 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டத்தினுள் அமைக்கப்படும் செவ்வகங்களுள் மீப்பெரு பரப்புடைய செவ்வகத்தின் பரிமாணங்களைக் காண்க.
தீர்வு:
வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளி என்பது

x = r cos θ,
y = r sin θ
⇒ x = 10 cos θ,
y = 10 sin θ
∴ செவ்வகத்தின் நீளம் = 2x மற்றும் செவ்வகத்தின் அகலம் = 2y என்க.
∴ 2x = 20 cos θ, 2y = 20 sin θ
∴ பரப்பு = f (θ) = 2x (2y)
= 400 cos θ sine θ
f(θ) = 200 sin 2θ
f'(θ) = 200 (2) cos 2θ = 400 cos 2θ
f'(θ) = 0
⇒ 400 cos 2θ = 0
⇒ cos 2θ = 0 = cos \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ 2θ = \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)
∴ நிலை எண் θ = \(\frac{\pi}{4}\)
f”(θ) = 400 (2) (-sin 2θ)
= – 800 sin 2θ
f”(7) = -800 sin 2 × \(\frac{\pi}{4}\)
= – 800 sin \(\frac{\pi}{2}\) = – 800 < 0
= \(\frac{\pi}{4}\) -இல் () -ன் பெருமம் ஆகும். செவ்வகத்தின் நீளம் = 2x
θ = 20 cos 0 = 20 cos
∴ செவ்வகத்தின் அகலம் = 2x
= 20 cos θ = 20 cos \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{20}{\sqrt{2}}\)
∴ செவ்வகத்தின் அகலம் = 2y
= 20 sin θ = 20 sin \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{20}{\sqrt{2}}\)

கேள்வி 8.
கொடுக்கப்பட்ட சுற்றளவுள்ள செவ்வகங்களுள், சதுரம் மட்டுமே பெரும் பரப்பைக் கொண்டிருக்கும் என நிறுவுக.
தீர்வு:
செவ்வகத்தின் நீளம் X மற்றும் அகலம் y என்க.
∴ சுற்றளவு P = 2x + 2y
⇒ 2y = P – 2x ⇒ y = \(\frac{\mathrm{P}-2 x}{2}\)
f(x) = பரப்பு
= xy = \(\left(\frac{\mathrm{P}-2 x}{2}\right)\) என்க
f(x) = \(\frac{\mathrm{P} x-2 x^{2}}{2}\)
f'(x) = \(\frac{1}{2}\) [P – 4x]
f'(x) = 0
⇒ \(\frac{1}{2}\) [P – 4x] = 0
⇒ P = 4x
⇒ x = \(\frac{\mathrm{P}}{4}\)
∴ நிலை எண் \(\frac{\mathrm{P}}{4}\)
f”(x) = \(\frac{1}{2}\) [-4] = -2
இங்கு f”(\(\frac{\mathrm{P}}{4}\)) = -2 < 0
∴ x = \(\frac{\mathrm{P}}{4}\) எனில் f (x) -ன் பெருமம் ஆகும்
x = \(\frac{\mathrm{P}}{4}\) எனில்
⇒ \(\frac{P-2\left(\frac{P}{4}\right)}{2}=\frac{P-\frac{P}{2}}{2}=\frac{P}{4}\)
∴ x = y = \(\frac{\mathrm{P}}{4}\)
∴ கொடுக்கப்பட்ட சுற்றளவுள்ள செவ்வகங்களுள், ! சதுரம் மட்டுமே பெரும பரப்பைக் கொண்டிருக்கும்.

கேள்வி 9.
r செ.மீ ஆரமுள்ள அறை வட்டத்தினுள் அமைக்கப்படும் செவ்வகங்களுள் மீப்பெரு செவ்வகத்தின் பரிமாணங்களைக் காண்க?
தீர்வு:
அறை வட்டத்தின் மையம் (0,0) மற்றும் ஆரம் r என்க . .

x = r cos θ,
y = r sin θ
∴ செவ்வகத்தின் நீளம் = 2x = 2r cos θ
செவ்வகத்தின் அகலம் = y = r sin θ
∴ பரப்பு = 2xy = 2r² cos θ sin θ
= r² sin 2θ
f'(θ) என்க = r² 2 cos 2θ
f'(θ) = 0
⇒ 2 r² cos 2θ = 0
⇒ cos 2θ = 0 = cos \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ 2θ = \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)
f”(θ) = 2r² (2) (-sin 2θ)
= 4r² sin 2θ
∴ \(f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = 4r² sin 2\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
= -4r² sin \(\frac{\pi}{4}\) = – 4r² < 0
∴ θ = \(\frac{\pi}{4}\) எனில் f(θ) -ன் சிறுமம் ஆகும்.
∴ செவ்வகத்தின் நீளம் (x) = 2r cos \(\frac{\pi}{4}\)
= \(2 r \times \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} r\)
∴ செவ்வகத்தின் அகலம் = y = r sin θ
= \(r \sin \frac{\pi}{4}=\frac{r}{\sqrt{2}}\)

கேள்வி 10.
ஒரு உற்பத்தியாளர் ஒரு சதுர அடித்தளத்தையும் . 108 சதுர செ.மீ வெளிப்புறப்பரப்பையும் கொண்ட திறந்த பெட்டியை வடிவமைக்க விரும்புகிறார். அதிகபட்ச கன அளவிற்கான பெட்டியின் பரிமாணங்களைக் காண்க. –
தீர்வு:
திறந்த பெட்டி சதுர பரப்பை கொண்டிருப்பதால் பெட்டியின் அகலம், நீளம் மற்றும் உயரம் முறையே l, l மற்றும் b என்க.
∴ மேற்பரப்பு = l² + 41b = 108
l(l + 4b) = 108

f(l) = பெட்டியின் கன அளவு என்க
= l × l × b = l² b

∴ நிலை எண் 6
f”(l) = \(-\frac{6 l}{4}=-\frac{3 l}{2}\)
∴ f”(6) = \(-\frac{3(6)}{2}\) < 0
∴ l = 6 எனில் f”(l) -ன் பெருமம் ஆகும்.
l = 6 எனில் b = \(\frac{27}{6}-\frac{6}{4}\)
= \(\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=\frac{6}{2}\) = 3 செ.மீ
எனவே தேவையான பெட்டியின் அளவுகள் முறையே 6 செ.மீ, 6 செ.மீ மற்றும் 3 செ.மீ.

கேள்வி 11.
ஒரு உருளையின் கன அளவு V = πr² h மேலும் r + h = 6 எனில் கன அளவின் மீப்பெரு மற்றும் மீச்சிறு மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட r + h = 6
⇒ h = 6 – r …………. (1)
f(r) என்க = V = πr² h
= πr² (6 – r) = π (6r² – 1³)
f'(r) = π (12r – 3r²)
∴ f'(r) = 0
⇒ π (12r – 3r²) = 0
⇒ 12r – 3r² = 0
⇒ 3r (4 – r) = 0
⇒ r = 0 (அ) r = 4
∴ நிலை எண்கள் 0, 4
f”(r) = π (12 – 6r)
r = 4 எனில், f”(r) = π (12 – 24) < 0
∴ r = 4 எனில் f (r)-ன் பெருமம் ஆகும்
r = 4 எனில், h = 6 – 4 = 2
r = 0 எனில்,h = 6 – 0 = 6
∴ உருளையின் கன அளவு V = πr² h = π (4)² (2)
= 32 π கன அலகுகள்
அல்லது உருளையின் கன அளவு V = π (0²) (6) = 0 கன அலகுகள்

கேள்வி 12.
ஆரம் a செ.மீ. மற்றும் உயரம் 5 செ.மீ கொண்ட ஒரு வெற்றுக் கூம்பு ஒரு மேசையின் மீது வைக்கப்படுகிறது. இதன் அடியில் மறைத்து வைக்கக் கூடிய மிகப்பெரிய உருளையின் கன அளவு கூம்பின் கன அளவைப் போல் \(\frac{4}{9}\) மடங்கு என்பதைக் காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட AC = b மற்றும் CD = a
உயரம் h மற்றும் ஆரம் r என்க
∴ AB = AC – BC = b – h
படத்தில்,

∆ABE ~ ∆ACD
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CD}}\)
⇒ \(\frac{b-h}{r}=\frac{b}{a}\)
⇒ r = \(\frac{a(b-h)}{b}\) …………. (1)
உருளையின் கன அளவு = πr² h

‘h’ ஐ பொறுத்து வகையிட கிடைப்பது

∴ h = \(\frac{b}{3}\) -ல் V-ன் பெருமம் ஆகும்.
∴ உருளையின் பெரும கன அளவு

= \(\frac{4}{9}\) (கூம்பின் கன அளவு)
எனவே மறைத்து வைக்கக் கூடிய மிகப்பெரிய உருளையின் கன அளவு கூம்பின் கன அளவைப் போல் \(\frac{4}{9}\) மடங்காகும்.