Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.8

கேள்வி 1.
\(\vec{r}=(5 \hat{i}+7 \hat{j}-3 \hat{k})+s(4 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})\) மற்றும் \(\vec{r}=(8 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})+t(7 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})\) ஆகிய கோடுகள் ஒரே தளத்தில் அமையும் எனக் காண்பிக்க மேலும், இக்கோடுகள் அமையும் தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்
\(\vec{r}=(5 \hat{i}+7 \hat{j}-3 \hat{k})+s(4 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})\)
மற்றும் \(\vec{r}=(8 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})+t(7 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})\)
\(\vec{a}=5 \hat{i}+7 \hat{j}-3 \hat{k}, \vec{b}=4 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}\) என்க
\(\vec{c}=8 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}\) மற்றும் \(\vec{d}=7 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}\)
இரண்டு கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன எனில்

∴ கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன. ஒரு தளம் அமையும் கோடுகளை கொண்ட தளம்.

என்பது தேவையான வெக்டர் தளத்திற்கான சமன்பாடு

கேள்வி 2.
\(\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{3}\) மற்றும் \(\frac{x-1}{-3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{1}\) என்ற கோடுகள் ஒரு தளத்தில் அமையும் எனக்காட்டுக. மேலும், இக்கோடுகள் அமையும் தளத்தினைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{3}\) மற்றும்

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன

= \(\hat{i}(1-6)-\hat{j}(1+9)+\hat{k}(2+3)\)
= \(-5 \hat{i}-10 \hat{j}+5 \hat{k}\)
∴ \((\vec{c}-\vec{a}) \cdot(\vec{b} \times \vec{d})=(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(-5 \hat{i}-10 \hat{j}+5 \hat{k})\)
= 5 – 10 + 5 = 10 – 10 = 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமையும்.
அதனுடைய கார்டீசியன் சமன்பாடானது
\(\left|\begin{array}{ccc}
x-x_{2} & y-y_{2} & z-z_{2} \\
b_{1} & b_{2} & b_{3} \\
d_{1} & d_{2} & d_{3}
\end{array}\right|=0\)
⇒ \(\left|\begin{array}{ccc}
x-1 & y-4 & z-5 \\
1 & 1 & 3 \\
-3 & 2 & 1
\end{array}\right|=0\)
⇒ (x – 1) (1 – 6) – (y – 4) (1 + 9) + (z – 5) (2 + 3) =0
⇒ (x – 1) (- 5) – (y – 4) (10) + (z – 5) (5) = 0
⇒ -5x + 5 – 10y + 40 + 5z – 25 = 0
⇒ -5x – 10y + 5z + 20 = 0
÷ -5 கிடைப்பது,
x + 2y – z – 4 = 0 என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் கொண்ட தளத்தின் சமன்பாடு.

கேள்வி 3.
\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{m^{2}}\) மற்றும் \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{m^{2}}=\frac{z-1}{2}\) ஆகிய கோடுகள் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன! எனில், m-ன் வேறுபட்ட மெய்மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{m^{2}}\)

ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன,
\((\vec{c}-\vec{a}) \cdot(\vec{b} \times \vec{d})=0\)
⇒ \((-2 \hat{k}) \cdot\left[\left(4-\dot{m}^{4}\right) \hat{i}-\hat{j}\left(2-m^{2}\right)+\hat{k}\left(m^{2}-2\right)\right]=0\)
⇒ -2(m² – 2) = 0
⇒ m² – 2 = 0 [∵ -2 ≠ 0]
⇒ m² = 2
⇒ m = ±\(\sqrt{2}\)

கேள்வி 4.
\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{\lambda}=\frac{z}{2}\) மற்றும் \(\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{\lambda}\) ஆகிய கோடுகள் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன எனில், 2-ன் மதிப்பைக் காண்க. மேலும், இவ்விரு கோடுகளைக் கொண்ட தளங்களின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒரு தளம் அமைவன ஆதலால்
\((\vec{c}-\vec{a}) \cdot(\vec{b} \times \vec{d})=0\)
⇒ \((-2 \vec{i}) \cdot\left[\left(\lambda^{2}-4\right) \hat{i}-\hat{j}(2 \lambda-10)+\hat{k}(4-5 \lambda)\right]=0\)
⇒ -2 (l² – 4) = 0
⇒ λ² = 4 [∵ -2 ≠ 0]
⇒ λ = ± \(\sqrt{4}\) = ±2
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளை கொண்டிருக்கும் தளத்தின் கார்டீசியம் சமன்பாடு
\(\left|\begin{array}{ccc}
x-x_{2} & y-y_{2} & z-z_{2} \\
b_{1} & b_{2} & b_{3} \\
d_{1} & d_{2} & d_{3}
\end{array}\right|=0\)
⇒ \(\left|\begin{array}{ccc}
x+1 & y+1 & z \\
2 & 2 & 2 \\
5 & 2 & 2
\end{array}\right|=0\) [∵λ = 2]
⇒ (x + 1) (4 – 4) – (y + 1) (4 – 10) + z (4 – 10) = 0
⇒ (x + 1) (0) – (y + 1) (-6) + z (-6) = 0
⇒ 6 (y + 1) – 6z = 0
⇒ y + 1 – z = 0 [÷6]
⇒ y – z + 1 = 0 என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளை கொண்டிருக்கும் தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.4

கேள்வி 1.
(5,2) என்ற புள்ளியிலிருந்து 2x² + 7y² = 14 என்ற நீள்வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடு
கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
நீள் வட்டத்தின் சமன்பாடு 2x² + 7y² = 14
÷ 14 நமக்கு கிடைப்பது \(\frac{x^{2}}{7}\) + \(\frac{y^{2}}{2}\) = 1
∴ a²= 7, b² = 2
y = mx + c என்ற நேர்க்கோடு நீள்வட்டத்தின் தொடுகோடாக இருக்க கட்டுப்பாடு
y = mx ± \(\sqrt{a^{2} m^{2}+b^{2}}\) …. (1)
(5, 2), (1) ன் மீதுள்ள து மற்றும் a² = 7, b² = 2
∴ 2 = m(5) ± \(\sqrt{7 m^{2}+2}\) + 2
2 – 5m = ± \(\sqrt{7 m^{2}+2}\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது
(2 – 5m)² = 7m² + 2
4 + 25m² – 20m = 7m² + 2
18m² – 2m + 2 = 0
9m² – 10m + 1 = 0 (÷2)

காரணிபடுத்த கிடைப்பது
(m – 1)(9m – 1) = 0
∴ m – 1 = 0 (அ)
9m – 1 = 0
⇒ m = 1 (அ)\(\frac{1}{9}\)
m = 1 எனில், (1) லிருந்து
y = 1(x) ± \(\sqrt{7 m^{2}+2}\)
⇒ y = x ± \(\sqrt{7+2}\) ⇒ y = x ± 3
y = x + 3 ⇒ x – y + 3 = 0
m = \(\frac{1}{9}\) எனில் (1)லிருந்து

ஆகையால் தொடுகோட்டின் சமன்பாடுகள் x – y + 3 = 0 மற்றும் x – 9y + 13 = 0.

கேள்வி 2.
\(\frac{x^{2}}{16}\) – \(\frac{y^{2}}{64}\) = 1 என்ற அதிபரவளையத்திற்கு, 10x – 3y + 9 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டிற்கு இணையான தொடுகோட்டுச் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு
\(\frac{x^{2}}{16}\) – \(\frac{y^{2}}{64}\) = 1
y = mx + c என்பது தேவையான தொடுகோடு என்க.
⇒ a² = 16 மற்றும் b² = 64
தொடுகோடுகள் 10x – 3y + 9 = 0 க்கு இணையானது.
∴ தொடுகோட்டின் சாய்வு (m)
= 10x – 3y + 9 = 0 கோட்டின் சாய்வு.

y = mx + c என்பது தேவையான தொடுகோடு என்க c² = a²m² – b²


∴ தேவையான தொடுகோடுகள்
y = \(\frac{10}{3}\)x + \(\frac{32}{3}\), அல்லது y = \(\frac{10 x}{3}\) + \(\frac{32}{3}\)
⇒ 3y = 10x + 32 அல்ல து 3y = 10x – 32
⇒ 10x – 3y + 32 = 0 அல்ல து
10x – 3y – 32 = 0

கேள்வி 3.
x – y + 4 = 0 என்ற நேர்க்கோடு x² + 3y² = 12 என்ற நீள்வட்டத்தின் தொடுகோடு என நிறுவுக.
மேலும் தொடும் புள்ளியைக் காண்க.
தீர்வு:
நீள் வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + 3y² = 12
÷ 12 கிடைப்பது \(\frac{x^{2}}{12}\) + \(\frac{y^{2}}{4}\) = 1
கோடு x – y + 4 = 0 ஐ y = x + 4 என திருத்தி எழுதலாம்.
∴ m = 1, c = 4
y = mx + 4 நீள் வட்டத்தின் தொடுகோடாக இருக்க கட்டுப்பாடு c² = a²m² + b²
∴ (4)² = 12(1)² + 4
⇒ 16 = 12 + 4
நிபந்தனை நிறைவு செய்யப்படுவதால், கோடு x – y + 4 = 0 நீள் வட்டம் x² + 3y² = 12 க்கு தொடுகோடாகும்.
மேலும் தொடுபுள்ளி \(\left(-\frac{a^{2} m}{c}, \frac{b^{2}}{c}\right)\)
\(\left(-\frac{12(1)}{4}, \frac{4}{4}\right)\) ⇒ (-3, 1)
∴ தொடுபுள்ளி (-3, 1).

கேள்வி 4.
y² = 16x என்ற பரவளையத்திற்கு, 2x + 2y + 3 = 0 என்ற கோட்டிற்குச் செங்குத்தான தொடு கோட்டுச் சமன்பாடு காண்க.
தீர்வு:
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 16x
∴ 4a = 16 ⇒ a = 4
y = mx + c என்க. …. (1)
என்பது பரவளையத்தின் தொடுகோடு என்க. 2x + 2y + 3 = 0, தொடுகோடுக்கு செங்குத்து
ஆதலால்

y = mx + c பரவளையத்திற்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை c = \(\frac{a}{m}\)
∴ c = \(\frac{4}{1}\) = 4
(1)லிருந்து , y = 1(x) + 4 ⇒ x – y + 4 = 0
தேவையான தொடுகோடு.

கேள்வி 5.
y² = 8x என்ற பரவளையத்திற்கு t = 2 இல் தொடு கோட்டுச் சமன்பாடு காண்க. (குறிப்பு : துணையலகு வடிவத்தைப் பயன்படுத்துக)
தீர்வு:
பரவளையத்திற்கான சமன்பாடு y² = 8x
∴ 4a = 8 ⇒ a = 2
பரவளையத்திற்கான தொடுகோட்டின் துணையலகு வடிவம் yt = x + at²
t = 2 எனில், தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
y(2) = x + 2(2)² ⇒ 2y = x +8
⇒ x – 2y + 8 = 0 தேவையான தொடுகோட்டின் சமன்பாடாகும்.

கேள்வி 6.
12x² – 9y² = 108 என்ற அதிபரவளையத்திற்கு θ = \(\frac{\pi}{3}\) இல் தொடுகோடு மற்றும் செங்கோட்டுச் சமன்பாடுகளைக் காண்க. (குறிப்பு: துணையலகு வடிவத்தைப் பயன்படுத்துக)
தீர்வு:
அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு 12x² – 9y² = 108
÷ 108 கிடைப்பது, \(\frac{12 x^{2}}{108}\) – \(\frac{9 y^{2}}{108}\) = 1
⇒ \(\frac{x^{2}}{9}\) – \(\frac{y^{2}}{12}\) = 1
∴ a² = 9, b² = 12
அதிபரவளையத்திற்கான தொடுகோட்டின் துணையலகு சமன்பாடு \(\frac{x \sec \theta}{a}\) – \(\frac{y \tan \theta}{b}\) = 1
θ = \(\frac{\pi}{3}\) எனில், சமன்பாடு

⇒ \(\frac{4 x-3 y}{6}\) = 1 ⇒ 4x – 3y – 6 = 0 தேவையான
தொடுகோட்டின் சமன்பாடு. பரவளையத்திற்கான செங்கோட்டின் துணையலகுச் சமன்பாடு

⇒ 3x + 4y – 42 = 0 தேவையான செங்கோட்டின் சமன்பாடாகும்.

கேள்வி 7.
y² = 4ax என்ற பரவளையத்திற்கு ‘t₁‘ மற்றும் ‘t₂‘ ஆகிய புள்ளிகளில் அமையும் தொடுகோடுகள் [at₁t₂a(t₁ + t₂)] என்ற புள்ளியில் சந்திக்கின்றன
என நிறுவுக.
தீர்வு:
y² = 4ax என்ற பரவளையத்திற்கு ‘t₁‘ -ல் தொடுகோட்டிற்கான துணையலகுச் சமன்பாடு yt₁ = x + \(a t_{1}^{2}\) …. (1)
மேலும், y² = 4ax என்ற பரவளையத்திற்கு ‘t₂‘ -ல் தொடுகோட்டிற்கான துணையலகுச் சமன்பாடு yt₂ = x + \(a t_{2}^{2}\) … (2)

⇒ y = a(t₁ + t₂)
y = a(t₁ + t₂) என (1)-ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
a(t₁ + t₂)t₁ = x + a\(t_{1}^{2}\)

இரண்டு நீளங்களின் வெட்டும் புள்ளி
[at₁t₂, a(t₁ + t₂)]

கேள்வி 8.
y² = 4ax என்ற பரவளையத்திற்கு ‘t₁‘ என்ற புள்ளியில் வரையப்படும் செங்கோடு, பரவளையத்தை மீண்டும் ‘t₂‘ என்ற புள்ளியில் சந்திக்குமெனில், t₂ = –\(\left(t_{1}+\frac{2}{t_{1}}\right)\) என நிறுவுக.
தீர்வு:
y² = 4ax என்ற பரவளையத்திற்கு ‘t₁‘ -ல் செங்கோட்டின் சமன்பாடு y + xt₁ = a\(t_{1}^{3}\) + 2at₁, …(1)
பரவளையம் y₂ = 4ax ஐ (1) ‘t₂ல் சந்திக்கிறது.
‘t₂‘-ல் பரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி, x = at², y = 2at₂, (2) ஆனது (1) ன் மீது அடைகிறது.
∴ (2) ஐ (1) -ல் பிரதியிட கிடைப்பது,

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.9

கேள்வி 1.
\(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-7 \hat{j}+4 \hat{k})=3\) மற்றும் 3x – 5y + 4z + 11 = 0, என்ற தளங்களின் வெட்டுக்கோடு வழியாகவும் (-2, 1, 3) என்ற புள்ளி வழியாகவும் செல்லும் தளத்தின் சமன்பாடு காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளங்களின் சமன்பாடு
\(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-7 \hat{j}+4 \hat{k})=3\) மற்றும் 3x – 5y + 4z +11 = 0.
தளங்களின் வெட்டுக்கோட்டின் வழிச்செல்லும் தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாடானது \(\vec{r} \cdot \vec{n}_{1}=d_{1}\) மற்றும் \(\vec{r} \cdot \vec{n}_{2}=d_{2}\)
\(\left(\vec{r} \cdot \vec{n}_{1}-d_{1}\right)+\lambda\left(\vec{r} \cdot \vec{n}_{2}-d_{2}\right)=0\) ………….. (1)
\(\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}\) பிரதியிட
\(\vec{n}_{1}=2 \hat{i}-7 \hat{j}+4 \hat{k}, \vec{n}_{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+4 \hat{k}\)
d₁ = +3, d₂ = -11 என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
\([(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot(2 \hat{i}-7 \hat{j}+4 \hat{k}-3)]\) + \(\lambda[(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}-5 \hat{j}+4 \hat{k})+11]\) = 0
⇒ (2x – 7y + 4z – 3) + λ (3x – 5y + 4z + 11) = 0 ………….. (2)
புள்ளி (-2, 1, 3) வழி தளம் செல்வதால் கிடைப்பது,
[2(-2) – 7(1) + 4(3) – 3] + 2 [-6 – 5 + 12 + 11] = 0
⇒ (-4 – 7 + 12 – 3) + λ (12) = 0
⇒ -2 + 12λ = 0 ⇒ 12λ = 2 ⇒ λ = \(\frac{1}{6}\)
λ = \(\frac{1}{6}\) என (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
(2x-7y +4z – 3) + \(\frac{1}{6}\) (3x – 5y + 4z + 11) = 0
6 ஆல் பெருக்க கிடைப்பது,
⇒ 12x – 42y + 24z – 18 + 3x – 5y + 4z + 11 = 0
⇒ 15x – 47y + 28z – 7 = 0 என்பது தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு

கேள்வி 2.
x+2y + 3z = 2 மற்றும் x – y + z +11 = 3 என்ற தளங்களின் வெட்டுக்கோடு வழிச்செல்வதும், (3, 1, -1) என்ற புள்ளியிலிருந்து \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) தொலைவில் உள்ளதுமான தளத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளங்களின் சமன்பாடுகள்
x + 2y + 3z = 2 மற்றும் x – y + z + 11 = 3
தளங்களின் வெட்டுக்கோட்டின் வழிச் செல்லும் தளத்தின் கார்டீசியன் வடிவம்
(a₁x + b₁y + c₁ z – d₁) + 2 (a₂x + b₂y + c₂z – d₂) = 0
∴ தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு
(x + 2y + 3z – 2) + λ (x + y + z + 8) = 0 (1)
x(λ + 1) + y(2 + λ) + z(3 + λ) — 2 + 8λ = 0
(3, 1, -1) மற்றும் தளத்திற்கு இடையேயான தூரம் \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது
⇒ \(\frac{144 \lambda^{2}}{3 \lambda^{2}+12 \lambda+14}=\frac{4}{3}\)
⇒ 432λ² = 12λ² + 48λ + 56
⇒ 420λ² – 48λ – 56 = 0 ÷ 2
⇒ 210λ² – 24λ – 28 = 0
⇒ 105λ² – 12λ – 14 = 0
1-ன் மதிப்பு காண, சமன்பாட்டை தீர்க்க. ஆனால் இந்த சமன்பாட்டிற்கு விகிதமுறா மூலங்கள் உள்ளன.

கேள்வி 3.
\(\overrightarrow{\boldsymbol{r}}=(2 \hat{\boldsymbol{i}}-\hat{\boldsymbol{j}}+\hat{\boldsymbol{k}})+t(\hat{\boldsymbol{i}}+2 \hat{\boldsymbol{j}}-2 \hat{\boldsymbol{k}})\) என்ற கோட்டிற்கும் \(\vec{r} \cdot(6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k})\) = 8 என்ற தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு
\(\vec{r} \cdot(6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k})\) = 8
∴ \(\vec{n}_{1}=6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}\) மற்றும் அந்த கோடு
\(\overrightarrow{\boldsymbol{r}}=(2 \hat{\boldsymbol{i}}-\hat{\boldsymbol{j}}+\hat{\boldsymbol{k}})+t(\hat{\boldsymbol{i}}+2 \hat{\boldsymbol{j}}-2 \hat{\boldsymbol{k}})\)
∴ \(\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}\)
தளம் மற்றும் கோட்டிற்கும் இடையேயான கோணம்

கேள்வி 4.
\(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})\) = 3 மற்றும் 2x – 2y + z = 2 என்ற தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளங்கள் \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})\) = 3
மற்றும் 2x – 2y + z = 2 ⇒ \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})\) = 2
∴ \(\vec{n}_{1}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}\) மற்றும் \(\vec{n}_{2}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\)
தளங்களுக்கு இடையேயான கோணம்

கேள்வி 5.
(3, 4, -1) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும் 2x – 3y + 5z + 7 = 0 என்ற தளத்திற்கு இணை யானதுமான தளத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க. மேலும், இவ்விரு தளங்களுக்க இடைப்பட்ட தொலைவினைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு
2x – 3y + 5z + 7 = 0
கொடுக்கப்பட்ட தளத்திற்கு இணையான தளத்தின்
சமன்பாடு 2x – 3y + 5z + k =0 …………..(1)
புள்ளி (3,4,-1) வழி தளம் செல்வதால் கிடைப்பது
2(3) – 3(4) + 5(-1) + k = 0
⇒ 6- 12 – 5 + k = 0
⇒ -11 + k = 0 ⇒ k = 11
∴ (1) லிருந்து, 2x – 3y + 5z + 11 = 0 என்பது! தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு
இண்டு இணை தளங்களுக்கு இடையேயான
தூரம் = \(\frac{\left|d_{1}-d_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\)
∴ d = \(\frac{|7-11|}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+5^{2}}}=\frac{|-4|}{\sqrt{4+9+25}}\)
= \(\frac{4}{\sqrt{38}}\) அலகுகள்

கேள்வி 6.
(1,-2, 3) என்ற புள்ளியிலிருந்து x – y + z = 5 என்ற தளத்திற்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் நீளம் காண்க.
தீர்வு:
(x, y, z,) லிருந்து தளம் ax + by + cz – p = 0 க்கான
செங்குத்தின் நீளம் \(\left|\frac{a x_{1}+b y_{1}+c z_{1}-p}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right|\)
∴ (1, -2, 3) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் நீளம்
x – y + z – 5 = 0. δ = \(\left|\frac{1-(-2)+3-5}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}\right|\)
= \(\left|\frac{1+2+3-5}{\sqrt{1+1+1}}\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|\)
= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) அலகுகள்

கேள்வி 7.
x – 1 = \(\), = z + 1 என்ற கோடும் 2x – y + 2z = 2 என்ற தளமும் சந்திக்கும் புள்ளியைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}\) = z + 1 = s
⇒ x – 1 = s ⇒ x = s +1
\(\) = s ⇒ y = 2s
z + 1 = s ⇒ z = s – 1
∴ கோட்டிலுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியின் வடிவம் (s + 1, 2s, s – 1)
இந்த புள்ளியானது 2x – y + 2z = 2 தளத்தில் அமைந்துள்ளது.
⇒ 2(s + 1) – (2s) + 2(s – 1) = 2
⇒ 2s + 2 – 2s + 26 -2 = 2
⇒ 2s = 2 ⇒ s = 1
s = 1, எனில் புள்ளியானது (1 + 1, 2(1), 1 – 1) = (2, 2, 0)
என்பது தளம் மற்றும் கோட்டின் வெட்டு புள்ளி

கேள்வி 8.
(4, 3, 2) என்ற புள்ளியில் இருந்து x + 2y + 3z = 2 என்ற தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடியின் அச்சுத்தூரங்களையும், செங்குத்தின் நீளத்தையும் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு
x + 2y + 3z = 2
(4, 3, 2) லிருந்து தளத்துக்கான செங்குத்தின் நீளம்
d = \(\frac{4+2(3)+3(2)}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}}=\frac{4+6+6}{\sqrt{14}}\)
= \(\frac{14}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}\) அலகுகள்
தளம் x + 2y + 3z = 2 யில் புள்ளி (4, 3, 2) க்கான பிம்பம் காண்போம்.
இங்கு \(\vec{u}=4 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}, \vec{n}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) மற்றும் p = 38

= \(\frac{6 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}}{2}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\)
எனவே செங்குத்தின் அடிப்பகுதியின் ஆயத்தொலைவு (3, 1, -1)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.10 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 6 வெக்டர் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 6.10

சரியான அல்லது மிகப் பொருத்தமான விடையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் :

கேள்வி 1.
\(\vec{a}\) மற்றும் ந\(\vec{b}\) என்பன இணைவெக்டர்கள் எனில், \([\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\) -ன் மதிப்பு
(1) 2
(2) -1
(3) 1
(4) 0
விடை:
(4) 0
குறிப்பு:
\(\vec{a} \| \vec{b} \Rightarrow \vec{a}=m \vec{b}\)
∴ \(\left[\begin{array}{lll}
\vec{a} & \vec{c} & \vec{b}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
m \vec{b} & \vec{c} & \vec{b}
\end{array}\right]\) = m \(\left[\begin{array}{lll}
\vec{b} & \vec{c} & \vec{b}
\end{array}\right]\) = 0

கேள்வி 2.
\(\vec{\beta}\) மற்றும் \(\vec{r}\) ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் \(\vec{\alpha}\) அமைந்துள்ளது எனில்,
(1) \([\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]\)= 1
(2) \([\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]\) = -1
(3) \([\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]\) = 0
(4) \([\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]\) = 2
விடை:
(3) \([\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]\) = 0

குறிப்பு:
\(\vec{\beta}\) மற்றும் \(\vec{\gamma}\) ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் \(\vec{\alpha}\) அமைந்துள்ளதால்
\(\vec{\alpha} \cdot[\vec{\beta} \times \vec{\gamma}]=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{lll}
\vec{\alpha} & \vec{\beta} & \vec{\gamma}
\end{array}\right]\) = 0.

கேள்வி 3.
\(\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}\) = 0 எனில், \([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\) -ன் மதிப்பு
(1) \(|\vec{a}|\quad|\vec{b}| \quad|\vec{c}|\)
(2) \(\frac{1}{3}|\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|\)
(3) 1
(4) -1
விடை:
(1) \(|\vec{a}|\quad|\vec{b}| \quad|\vec{c}|\)

குறிப்பு:
\(\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a} \Rightarrow \vec{a} \perp \vec{b} \perp \vec{c}\)
ஃ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து
\(\left[\begin{array}{lll}
\vec{a} & \vec{b} & \vec{c}
\end{array}\right]\) = இணைகரத்திண்மத்தின் கன அளவு
= \(|\vec{a}|\quad|\vec{b}| \quad|\vec{c}|\)

கேள்வி 4.
\(\vec{b}\)-க்கு செங்குத்தாகவும் \(\vec{c}\) – க்கு இணையாகவும் உள்ள வெக்டர் \(\vec{a}\) என்றவாறுள்ள ஓரலகு வெக்டர்கள் \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) எனில், \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})\) -க்குச் சமமானது
(1) \(\vec{a}\)
(2) \(\vec{b}\)
(3) \(\vec{c}\)
(4) \(\)
விடை:
(2) \(\vec{b}\)

குறிப்பு:
\(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}\)
= \((\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-0\) [∵ \(\vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0\)]
= \(1-\vec{b}\) [∵ \(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) அலகு வெக்டர்கள்]

கேள்வி 5.
\([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\) = 1 எனில், \(\frac{\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})}{(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}}+\frac{\vec{b} \cdot(\vec{c} \times \vec{a})}{(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}}+\frac{\vec{c} \cdot(\vec{a} \times \vec{b})}{(\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}}\) -ன் மதிப்பு
(1) 1
(2) -1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(1) 1

குறிப்பு:

கேள்வி 6.
\(\hat{\boldsymbol{i}}+\hat{\boldsymbol{j}}, \hat{\boldsymbol{i}}+\mathbf{2} \hat{\boldsymbol{j}}, \hat{\boldsymbol{i}}+\hat{\boldsymbol{j}}+\pi \hat{\boldsymbol{k}}\) என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு
(1) \(\frac{\pi}{2}\)
(2) \(\frac{\pi}{3}\)
(3) π
(4) \(\frac{\pi}{4}\)
விடை:
(3) π

குறிப்பு:
கன அளவு = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 1 & \pi
\end{array}\right|\)
= 1(2π – 0) – 1(π – 0) = 2π – π = π

கேள்வி 7.
\(\vec{a}, \vec{b}\) என்பன \([\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}]=\frac{\pi}{4}\) எனுமாறுள்ள ஓரலகு வெக்டர்கள் எனில்,\(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்.
(1) \(\frac{\pi}{6}\)
(2) \(\frac{\pi}{4}\)
(3) \(\frac{\pi}{3}\)
(4) \(\frac{\pi}{2}\)
விடை:
(1) \(\frac{\pi}{6}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 8.
\(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}, \vec{c}=\hat{i}\) மற்றும் \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}\) எனில், λ + μ -ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) 6
(4) 3
விடை:
(1) 0

குறிப்பு:
\((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}\)
= \(1 \vec{b}-1 \vec{a}=\vec{b}-\vec{a}\) ⇒ λ = -1, μ = 1
∴ λ + μ = 1 – 1 = 0

கேள்வி 9.
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன \([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\) = 3 எனுமாறுள்ள ஒரு தளம் அமையா மூன்று பூச்சியமற்ற வெக்டர்கள் \(\{[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]\}^{2}\) – ன் மதிப்பு
(1) 81
(2) 9
(3) 27
(4) 18
விடை:
(1) 8

குறிப்பு:
\([\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]^{2}\)
= \(\left.\left[\begin{array}{lll}
{[\vec{a}} & \vec{b} & \vec{c}
\end{array}\right]^{2}\right]^{2}=\left[\begin{array}{lll}
\vec{a} & \vec{b} & \vec{c}
\end{array}\right]^{4}\) = 3⁴ = 81

கேள்வி 10.
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{\sqrt{2}}\) எனுமாறுள்ள ஒரு தளம் அமையா மூன்று வெக்டர்கள் எனில் \(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{b}\) ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்.
(1) \(\frac{\pi}{2}\)
(2) \(\frac{3\pi}{4}\)
(3) \(\frac{\pi}{4}\)
(4) π
விடை:
(2) \(\frac{3\pi}{4}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 11.
\(\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}\) ஆகியவற்றை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு 8 கன அலகுகள் எனில், \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \quad(\vec{b} \times \vec{c}), \quad(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a})\) மற்றும் \((\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})\) ஆகியவற்றை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு.
(1) 8 கன அலகுகள்
(2) 512 கன அலகுகள்
(3) 64 கன அலகுகள்
(4) 24 கன அலகுகள்
விடை:
(3) 64 கன அலகுகள்

குறிப்பு:

கேள்வி 12.
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}\) என்ப ன \((\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times)=\overrightarrow{0}\) எனுமாறுள்ள வெக்டர்கள் என்க… என்ற ஒரு ஜோடி வெக்டர்களாலும் மற்றும் \(\) என்ற ஜோடி வெக்டர்களாலும் அமைக்கப்படும் தளங்கள் முறையே P₁ மற்றும் P₂ எனில், இத்தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
(1) 0°
(2) 45°
(3) 60°
(4) 90°
விடை:
(1) 0°

குறிப்பு:
\((\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})=\overrightarrow{0}\)
\((\vec{a} \times \vec{b})\) மற்றும் \((\vec{c} \times \vec{d})\) உருவாக்கப்படும் வெக்டர்களின் தளங்கள் இணை
⇒ θ = 0°

கேள்வி 13.
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) என்பன. \(\vec{b} \cdot \vec{c} \neq 0\) மற்றும் \(\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0\) எனுமாறுள்ள மூன்று வெக்டர்கள் என்க. \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}\) எனில் \(\vec{a}\) மற்றும் \(\vec{c}\) என்பவை
(1) செங்குத்தானவை
(2) இணையானவை
(3) \(\frac{\pi}{3}\) என்ற கோணத்தை தாங்குபவை
(4) \(\frac{\pi}{6}\) என்ற கோணத்தை தாங்குபவை
விடை:
(2) இணையானவை

குறிப்பு:

கேள்வி 14.
\(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}_{-}-\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k}, \vec{c}=3 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}\) எனில், \(\vec{a}\) -க்குச் செங்குத்தானதாகவும் \(\vec{b}\) மற்றும் \(\vec{c}\) என்ற வெக்டர்கள் உருவாக்கும் தளத்தில் அமைவதுமான வெக்டர்
(1) \(-17 \hat{i}+21 \hat{j}-97 \hat{k}\)
(2) \(17 \hat{i}+21 \hat{j}-123 \hat{k}\)
(3) \(-17 \hat{i}-21 \hat{j}+97 \hat{k}\)
(4) \(-17 \hat{i}-21 \hat{j}-97 \hat{k}\)
விடை:
(4) \(-17 \hat{i}-21 \hat{j}-97 \hat{k}\)

குறிப்பு:
\(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}_{-}-\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k}, \vec{c}=3 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}\)
\(\vec{a}\) க்கு செங்குத்து \(\vec{b}\) மற்றும் \(\vec{c}\) வெக்டரை கொண்டிருக்கும் தளத்தில் அமைந்திருக்கும் வெக்டரானது \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})\)

கேள்வி 15.
\(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}\), z = 2 மற்றும் \(\frac{x-1}{1}=\frac{2 y+3}{3}, \frac{z+5}{2}\) என்ற கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
(1) \(\frac{\pi}{6}\)
(2) \(\frac{\pi}{4}\)
(3) \(\frac{\pi}{3}\)
(4) \(\frac{\pi}{2}\)
விடை:
(4) \(\frac{\pi}{2}\)

குறிப்பு:
கோடு \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}\) z = 2,திசை விகிதங்கள்
a₁,b₂, c₃ என்பது 3,-2, 0

கேள்வி 16.
\(\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}\) என்ற கோடு x + 3y – αz + β = 0 என்ற தளத்தின் மீது இருந்தால், பின்னர் (α, β) என்பது
(1) (- 5, 5)
(2) (-6, 7)
(3) (5, – 5)
(4) (6, -7)
விடை:
(2) (-6, 7))

குறிப்பு:
கோட்டிலிருந்து கிடைப்பது
\(\vec{a}\) = (x₁, y₂, z ₃) – (2, 1, 2 ) மற்றும்
\(\vec{b}\) = (b₁, b₂, b₃) – (3, -5, 2 )
தளம் \(\vec{n}=\vec{i}+3 \vec{j}-\alpha \vec{k}\) லிருந்து .
∴ \(\vec{n} \cdot \vec{b}\) = 0 = 3 (1) – 5 (3) + 2 (-(α)) = 0
⇒ 3 – 15 – 20 = 0 ⇒ -12 – 2α = 0 ⇒ -2α = 12
α = -16
மேலும் (2, 1, -2) தளத்தில் அமைந்துள்ளது
x + 3y – αz + β = 0
⇒ 2 + 3 (1) – α (-2) + β = 0
⇒ 2 + 3 + 2α + 5 = 0 ⇒ 2α + β =-5
2(-6) + β =-5
⇒ β = -5 + 12 = 7
ஃ (α, β) என்ப து (-6, 7)

கேள்வி 17.
\(\overrightarrow{\boldsymbol{r}}=(\hat{\boldsymbol{i}}+2 \hat{\boldsymbol{j}}-3 \hat{\boldsymbol{k}})+\boldsymbol{t}(\hat{\boldsymbol{i}}+\hat{\boldsymbol{j}}-\boldsymbol{2} \hat{\boldsymbol{k}})\) என்ற கோட்டிற்கும் \(r\cdot(\hat{i}+\hat{j})+4=0\) என்ற தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம்
(1) 0°
(2) 30°
(3) 45°
(4) 90°
விடை:
(3) 45°

குறிப்பு:

கேள்வி 18.
\(\overrightarrow{\boldsymbol{r}}=(\boldsymbol{6} \boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}-\boldsymbol{3} \boldsymbol{k})+\boldsymbol{t}(-\boldsymbol{i}+\boldsymbol{4} \boldsymbol{k})\) என்ற கோடு \(\overrightarrow{\boldsymbol{r}} \cdot(\hat{\boldsymbol{i}}+\hat{\boldsymbol{j}}-\hat{\boldsymbol{k}})=\mathbf{3}\) என்ற தளத்தை சந்திக்கும் புள்ளியின் அச்சுத்தூரங்கள்
(1) (2, 1, 0)
(2) (7, -1, -7)
(3) (1, 2, -6)
(4) (5, -1, 1)
விடை:
(4) (5,-1,1)

குறிப்பு:
\(\frac{x-6}{-1}=\frac{y+1}{0}=\frac{z+3}{4}\) = t ⇒ x = -t + 6, y = -1, z = 4t – 3
இது தளம் x + y – z = 3 யின் மீது அமைந்துள்ளது
⇒ -t + 6 – 1 – 4t + = 3 ⇒ 1 = 1
∴ புள்ளியானது x = − 1 + 6 = 5, y = -1, z = 4 (1)-3 =1
∴ வெட்டுப்புள்ளியானது (5,-1, 1)

கேள்வி 19.
ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து 3x – 6y + 2z + 7 = 0 என்ற தளத்திற்கு உள்ள தொலைவு
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(2) 1

குறிப்பு:
d = \(\frac{0+0+0+7}{\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+2^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{9+36+4}}=\frac{7}{7}\) = 1

கேள்வி 20.
x + 2y + 3z + 7 = 0 மற்றும் 2x + 4y + 67 + 7 = 0 ஆகிய தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு
(1) \(\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}\)
(2) \(\frac{7}{2}\)
(3) \(\frac{\sqrt{7}}{2}\)
(4) \(\frac{7}{2 \sqrt{2}}\)
விடை:
(1) \(\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}\)

குறிப்பு:
தளங்கள் x + 2y + 3z + 7 = 0
மற்றும் x + 2y + 3z + \(\frac{7}{2}\) = 0

கேள்வி 21.
ஒரு கோட்டின் திசைக்கொசைன்கள் \(\frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c}\) எனில்,
(1) c = ±3
(2) c = ±\(\sqrt{3}\)
(3) c > 0
(4) 0 < c < 1
விடை:
(2) c = ±\(\sqrt{3}\)

குறிப்பு:
\(\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\) = 1 [∵ cos²α + cos²β + cos²γ = 1]
⇒ \(\frac{3}{c^{2}}\) = 1 ⇒ c² = 3 ⇒ ±\(\sqrt{3}\)

கேள்வி 22.
\(\vec{r}=(\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k})+t(6 \hat{i}-\hat{k})\) என்ற வெக்டர் சமன்பாடு குறிக்கும் நேர்க்கோட்டின் மீது உள்ள புள்ளிகள்
(1) (0, 6, -1) மற்றும் (1, -2, -1)
(2) (0, 6, -1) மற்றும் (-1, 4, -2)
(3) (1, -2, -1) மற்றும் (1, 4, -2)
(4) (1,-2,-1) மற்றும் (0, -6, 1)
விடை:
(3) (1, -2, -1) மற்றும் (1, 4, -2)]

குறிப்பு:

⇒ அந்த இரண்டு புள்ளிகள் (1, -2, -1), (1, 4, -2)

கேள்வி 23.
ஆதியிலிருந்து (1, 1, 1) என்ற புள்ளிக்கு உள்ள தொலைவானது x + y + z + k = 0 என்ற தளத்திலிருந்து அப்புள்ளிக்கு உள்ள தொலைவில் பாதி எனில், k -ன் மதிப்புகள்
(1) ±3
(2) ±6
(3) -3, 9
(4) 3, -9
விடை:
(4) 3, -9

குறிப்பு : (1, 1, 1) லிருந்து (0, 0, 0) க்கான தூரம் = [(1, 1, 1) லிருந்து தளம் x + y + z +k = 0 க்கான
⇒ ±\(\sqrt{(1-0)^{2}=(1-0)^{2}+(1-0)^{2}}\)
= \(\frac{1}{2}\left[\frac{1+1+1+k}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}\right]\) ⇒ \(\pm \sqrt{3}=\frac{1}{2}\left(\frac{3+k}{\sqrt{3}}\right)\)
⇒ ±2(3) = 3 + k
⇒ 3 + k = 3 + k = 2 (3) (அ) 3 + k = -2 (3)
⇒ 3 + k = 6 (அ) 3 + k =-6
⇒ k = 3 (அ k = -9

கேள்வி 24.
\(\overrightarrow{\boldsymbol{r}} \cdot(2 \hat{\boldsymbol{i}}-\lambda \hat{\boldsymbol{j}}+\hat{\boldsymbol{k}})=\mathbf{3}\) மற்றும் \(\overrightarrow{\boldsymbol{r}} \cdot(\hat{4} \hat{\boldsymbol{i}}+\hat{\boldsymbol{j}}-\mu \hat{\boldsymbol{k}})=\mathbf{5}\) ஆகிய தளங்கள் இணை எனில் λ மற்றும் μ -ன் மதிப்புகள்
(1) \(\frac{1}{2}\), -2
(2) –\(\frac{1}{2}\), 2
(3) –\(\frac{1}{2}\), -2
(4) \(\frac{1}{2}\), 2
விடை:
(3) –\(\frac{1}{2}\), -2

குறிப்பு:

ஒத்த கெழுக்களை ஒப்பிட கிடைப்பது,
– 2λ = 1 ⇒ λ = –\(\frac{1}{2}\)
2 = -μ ⇒ μ = -2

கேள்வி 25.
ஆதியிலிருந்து 2x + 3y + λz = 1, 2 > 0 என்ற தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் நீளம் \(\frac{1}{5}\) எனில், λ- ன் மதிப்பு
(1) 2\(\sqrt{3}\)
(2) 3\(\sqrt{2}\)
(3) 0
(4) 1
விடை:
(1) 2\(\sqrt{3}\)

குறிப்பு:
(0, 0, 0) லிருந்து செங்குத்தின் நீளம்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.10 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.10

சரியான அல்லது மிகப் பொருத்தமான விடையினை தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக :

கேள்வி 1.
ஒரு கோளத்தின் கன அளவு வினாடிக்கு 3π செ.மீ³ வீதத்தில் அதிகரிக்கிறது. ஆரம் \(\frac{1}{2}\) செ.மீ ஆக இருக்கும் போது ஆரத்தின் மாறுபட்டு வீதம்
(1) 3 செ.மீ/வி
(2) 2 செ.மீ/வி
(3) 1 செ.மீ/வி
(4) \(\frac{1}{2}\) செ.மீ/வி
விடை:
(1) 3 செ.மீ/வி

குறிப்பு:

கேள்வி 2.
ஒரு பலூனானது செங்குத்தாக மேல் நோக்கி 10 மீ/வி வீதத்தில் செல்கிறது. பலூன் செலுத்தப்பட்ட இடத்திலிருந்து 40மீ தொலைவில் இடமிருந்து ஒருவர் இதனைப் பார்க்கிறார். பலூனின் ஏற்றக் கோணத்தில் ஏற்படும் மாறுபாட்டு வீதத்தை பலூன் தரையிலிருந்து 30 மீட்டர் உயரத்தில் இருக்கும் போது காண்க.
(1) \(\frac{3}{25}\) ரேடியன்கள்/ வினாடி
(2) \(\frac{4}{25}\) ரேடியன்கள்/ வினாடி
(3) \(\frac{1}{5}\) ரேடியன்கள்/ வினாடி
(4) \(\frac{1}{3}\) ரேடியன்கள்/ வினாடி
விடை:
(2) \(\frac{4}{25}\) ரேடியன்கள்/ வினாடி

குறிப்பு:
tan θ = \(\frac{h}{40}\)

கேள்வி 3.
t என்ற காலத்தில் கிடைமட்டமாக நகரும் துகளின் நிலை s(t) = 3t² -2t — 8 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. துகள் ஓய்வு நிலைக்கு வரும் நேரம்
(1) t = 0
(2) t = \(\frac{1}{3}\),
(3) t = 1
(4) t = 3
விடை:
(2) t = \(\frac{1}{3}\)

குறிப்பு:
S(t) = 3t² – 2t – 8
\(\frac{d s}{d t}\) = 6t – 2
⇒ \(\frac{d s}{d t}\) = 0
⇒ 6t – 2 = 0
⇒ t = \(\frac{1}{3}\)

கேள்வி 4.
ஒரு கல்லானது செங்குத்தாக மேல்நோக்கி எறியப்படுகின்றது. t நேரத்தில் அது அடைந்த உயரம் x = 80t – 16t². கல் அதிகபட்ச உயரத்தை t வினாடி நேரத்தில் அடைந்தால் t ஆனது
(1) 2
(2) 2.5
(3) 3
(4) 3.5
விடை:
(2) 2.5

குறிப்பு:
x = 80t – 16t²
\(\frac{d x}{d t}\) = 80 – 32 t
\(\frac{d x}{d t}\) = 0
⇒ 80 – 32t = 0
⇒ t = \(\frac{80}{32}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\) = 2.5 வினாடி

கேள்வி 5.
6y = x³ + 2 என்ற வளைவரையின் எப்புள்ளியில் y-ஆயத்தொலைவின் மாறுபாட்டு வீதம் x-ஆய்த்தொலைவின் மாறுபாட்டு வீதத்தைப் போல் 8 மடங்கு இருக்கும்.
(1) (4, 11)
(2) (4, -11)
(3) (-4, 11)
(4) (-4, -11)
விடை:
(1) (4, 11)

குறிப்பு:
கொடுக்கப்பட்ட \(\frac{d y}{d t}=8 \frac{d x}{d t}\)
6y = x³ + 2
⇒ 6\(\frac{d y}{d t}\) = 3x² \(\frac{d x}{d t}\)
⇒ \(6\left(8 \frac{d x}{d t}\right)=3 x^{2}\left(\frac{d x}{d t}\right)\)
⇒ x² = 16
⇒ x = ±4
x = 4 எனில், 6y = 64 + 2 = 66 ⇒ y = 11

கேள்வி 6.
f(x) = \(\sqrt{8-2 x}\) என்ற வளைவரையின் எந்த x – ஆயத்தொலைவில் வரையப்பட்ட தொடு கோட்டின் சாய்வு -0.25 இருக்கும்?
(1) -8
(2) -4
(3) -2
(4) 0
விடை:
(2) -4

குறிப்பு: _
f(x) = \(\sqrt{8-2 x}\)
f'(x) = \(\frac{-1}{\sqrt{8-2 x}}\)
∴ \(\frac{-1}{\sqrt{8-2 x}}\) = -0.25
⇒ \(\frac{1}{8-2 x}\) = 0.0625
⇒ 8 – 2x = \(\frac{1}{0.0625}\)
⇒ 8 – 2x = 16
⇒ 2x = -8
⇒ x = -4

கேள்வி 7.
f(x) = 2cos 4x என்ற வளைவரைக்கு x = \(\frac{\pi}{12}\) செங்கோட்டின் சாய்வு
(1) -4\(\sqrt{3}\)
(2) -4
(3) \(\frac{\sqrt{3}}{12}\)
(4) 4\(\sqrt{3}\)
விடை:
(3) \(\frac{\sqrt{3}}{12}\)

குறிப்பு:
f(x) = 2 cos 4x
⇒ f'(x) = -8 sin 4x
x = \(\frac{\pi}{12}\) -ல் செங்குத்தின் சாய்வு
= \(\frac{1}{8 \sin 4 x}=\frac{1}{8 \sin 4 \times \frac{\pi}{12}}=\frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{3}}\)
= \(\frac{1}{8 \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{4 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{12}\)

கேள்வி 8.
y² – xy + 9 = 0 என்ற வளைவரையின் தொடு கோடு எப்போது நிலைகுத்தாக இருக்கும்?
(1) y = 0
(2) y = ± \(\sqrt{3}\)
(3) y = \(\frac{1}{2}\)
(4) y = ± 3
விடை:
(4) y = ± 3

குறிப்பு:
y² – xy + 9 = 0 …….. (1)

தொடுகோடு செங்குத்து எனில் θ = 90°
⇒ tan θ = ∞
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = ∞
⇒ 2y – x = 0
⇒ 2y = x
∴ (1) லிருந்து y – 2y² + 9 = 0
⇒ -y² = -9
⇒ y² = 9
⇒ y = ±3

கேள்வி 9.
ஆதியில் y²= x மற்றும் x² = y என்ற வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்
(1) \(\tan ^{-1} \frac{3}{4}\)
(2) \(\tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)
(3) \(\frac{\pi}{2}\)
(4) \(\frac{\pi}{4}\)
விடை:
(3) \(\frac{\pi}{2}\)

குறிப்பு:
y² = x …. (1)
⇒ 2y \(\frac{d y}{d x}\) = 1
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{2y}\)
⇒ m₁ = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(0,0)}=\frac{1}{0}\) = ∞
θ = \(\frac{\pi}{2}\)
x² = y
⇒ 2x = \(\frac{d y}{d x}\)
⇒ m₂ = 2(0) = 0
∴ θ = 0 [∵ tan θ = tan \(\frac{\pi}{2}\) = ∞]

கேள்வி 10.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\cot x-\frac{1}{x}\right)\) -ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) ∞
விடை:
(4) ∞

கேள்வி 11.
sin⁴x + cos⁴x என்ற சார்பு இறங்கும் இடைவெளி
(1) \(\left[\frac{5 \pi}{8}, \frac{3 \pi}{4}\right]\)
(2) \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{8}\right]\)
(3) \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]\)
(4) \(\left[0, \frac{\pi}{4}\right]\)
விடை:
(3) \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]\)

குறிப்பு:
sin⁴x + cos⁴x = f (x)
⇒ f'(x) = 4 sin³x cos x – 4 cos³x sinx
⇒ f'(x) = 4 sin x cos x (sin²x – cos²x)
= -2 sin 2x (cos 2 x)
f'(x) = -4 cos 4x
\(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\) இல் x = \(\frac{\pi}{3}\) என்க, f'(x) = -4 cos 4\(\frac{\pi}{3}\)
= -4 cos\(\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)\)
f'(x) = \(-4\left(-\cos \frac{\pi}{3}\right)\)
= \(4 \cos \frac{\pi}{3}=4\left(\frac{1}{2}\right)\)
= 2 = +ve
∴ sin⁴x + cos⁴x \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\) -ல் இறங்கும் என்க.

கேள்வி 12.
x³ – 3x², x ∈ [0, 3] என்ற சார்பிற்கு ரோலின் தேற்றத்தை நிறைவு செய்யும் எண்
(1) 1
(2) \(\sqrt{2}\)
(3) \(\frac{3}{2}\)
(4) 2
விடை:
(4) 2

குறிப்பு:
f(x) = x³ – 3x²,
⇒ f'(x) = 3x² – 6x,
c எனும் எண் பின்வருமாறு உள்ளதெனில்
3c² – 6c = 0
3c (c – 2) = 0
⇒ c = 0 அல்லது c = 2

கேள்வி 13.
\(\frac{1}{x}\), x ∈ [1, 9] என்ற சார்பிற்கு சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தை நிறைவு செய்யும் எண்
(1) 2
(2) 2.5
(3) 3
(4) 3.5
விடை:
(3) 3

குறிப்பு:

கேள்வி 14.
|3 – x| + 9 என்ற சார்பின் குறைந்த மதிப்பு
(1) 0
(2) 3
(3) 6
(4) 9
விடை:
(4) 9

குறிப்பு:
f(x) = |3 – x| + 9
⇒ |3 – x| ≥ 0 x ∈ R
⇒ |3 – x| – ன் குறைந்த மதிப்பு 0
∴ f(x) = 0 + 9 = 9 -ன் குறைந்த மதிப்பு

கேள்வி 15.
y = e^x sin x, x ∈ [0, 2π] என்ற வளைவரையின் மீப்பெரு சாய்வு எங்கு அமையும்?
(1) x = \(\frac{\pi}{4}\)
(2) x = \(\frac{\pi}{2}\)
(3) x = π
(4) x = \(\frac{3\pi}{2}\)
விடை:
(2) x = \(\frac{\pi}{2}\)

குறிப்பு:
\(\frac{d y}{d x}\) e^x (sin x + cos x)
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = e^x (sin x + cos x) + e^x(cos x – sin x)
= 2e^x cos x
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 0
x = \(\frac{\pi}{2}\)

கேள்வி 16.
x²e^-2x, x > 0 என்ற சார்பின் பெரும் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{e}\)
(2) \(\frac{1}{2e}\)
(3) \(\frac{1}{e^{2}}\)
(4) \(\frac{4}{e^{4}}\)
விடை:
(3) \(\frac{1}{e^{2}}\)

குறிப்பு:
f(x) = x²e^-2x
f'(x) = 2e^-2x (- x² + x)
f'(x) = 0
⇒ x = 0, 1
f”(x) = 2e^-2x (- 2x² + 1)
x = 1 எனில், f”(1) = 2^-2 (-1) < 0
∴ x = 1 f (x) -ன் பெருமம் ஆகும்
∴ f(1) = 1² e^-2 = \(\frac{1}{e^{2}}\)

கேள்வி 17.
(6, 0) என்ற புள்ளிக்கும் x² – y² = 4 என்ற வளைவரை மீதுள்ள புள்ளிக்கும் உள்ள தொலைவு குறைந்தபட்சம் எனில் அப்புள்ளி
(1) (2, 0)
(2) (\(\sqrt{5}\), 1)
(3) (3, \(\sqrt{5}\))
(4) (\(\sqrt{13}\), –\(\sqrt{3}\))
விடை:
(3) (3, \(\sqrt{5}\))

குறிப்பு:
h² – k² = 4

கேள்வி 18.
இரண்டு மிகை எண்களின் கூடுதல் 200 மேலும் அவற்றின் பெருக்கல் பலனின் பெரும மதிப்பு.
(1) 100
(2) 25\(\sqrt{7}\)
(3) 28
(4) 24\(\sqrt{14}\)
விடை:
(1) 100

குறிப்பு:
x² + y² = 200
⇒ y² = 200 – x²
f (x) = xy
= x\(\sqrt{200-x^{2}}\)

கேள்வி 19.
y = ax⁴ + bx², ab > 0 என்ற வளைவரை
(1) கிடைமட்டத் தொடுகோடு பெறவில்லை
(2) மேற்புறமாக குழிவு
(3) கீழ்புறமாக குழிவு
(4) வளைவு மாற்றுப் புள்ளியை பெறவில்லை
விடை:
(4) வளைவுமாற்றுப்புள்ளியை பெறவில்லை

குறிப்பு:
y = ax⁴ + bx²
\(\frac{d y}{d x}\) = 4ax³ + 2bx|
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 12ax² + 26
⇒ 12ax² = – 2b
⇒ x² = \(\)
⇒ x = கற்பனை எண்
\(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\) = 24ax

கேள்வி 20.
y = (x – 1)³ என்ற வளைவரையின் வளைவு மாற்றுப் புள்ளி
(1) (0, 0)
(2) (0, 1)
(3) (1, 0)
(4) (1, 1)
விடை:
(3) (1, 0)

குறிப்பு:
y = (x – 1)³
\(\frac{d y}{d x}\) = 3(x- 1)²
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 6 (x – 1) = 0
⇒ x = 1
\(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\) = 6 |
x = 1 எனில், \(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\) = 6 ≠ 0
வளைவு மாற்றுப் புள்ளி (1, f (1))
f(1) = (1 – 1)³ = 0