Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.9

கேள்வி 1.
y = 2x², y = 0 மற்றும் x = 1 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை X- அச்சைப் பொருத்துச் சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப்ப பொருளின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு y = 2x²
கன அளவு = π \(\int_{a}^{b}\) y² dx
= \(\pi \int_{0}^{1}\left(2 x^{2}\right)^{2} d x=\pi \int_{0}^{1} 4 x^{4} d x\)
= \(4 \pi\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{4 \pi}{5}(1-0)\)
V = \(\frac{4\pi}{5}\) கன அலகுகள்

கேள்வி 2.
y = e^-2x, y = 0, x = 0 மற்றும் x = 1 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை x-அச்சைப் பொருத்து சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப் பொருளின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு y = e^-2x
தேவைப்படும் கன அளவு

V = \(\frac{\pi}{4}\) (1 – e^-4) கன அலகுகள்

கேள்வி 3.
x² = 1 + y மற்றும் y = 3 ஆகியவற்றால் அடைபடும் பரப்பை : அச்சைப் பொருத்து சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப் பொருளின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு y + 1 = x²
மேல் நோக்கி திறந்த வரைவளையத்தின் முனை (0, -1)

தேவையான கன அளவு = \(\int_{-1}^{3}\) x² dy
= π \(\int_{-1}^{3}\) (1 + y) dy

V = 81 கன அலகுகள்

கேள்வி 4.
y = x மற்றும் y = x² என்ற வளைவரைக்குள் அடைபடும். அரங்கத்தின் பரப்பு R, எனில் பரப்பு R-ஐ x – அச்சைப் பொருத்து 360° சுழற்றும்போது உருவாகும் திடப்பொருளின் கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு கோடு y = x மற்றும்
பரவளையம் y = x²

இந்த கோட்டை X-அச்சை பொறுத்து 360° சுழற்ற கிடைக்கும் கன அளவு

கேள்வி 5.
ஒரு கொள்கலன் (container) ஆனது நேர்வட்டக் கூம்பின் இடைக்கண்டம் (frustum of a cone) வடிவில் படத்தில் உள்ளவாறு அமைந்துள்ளது எனில் அதன் கன அளவைத் தொகுதியிடலைப் பயன்படுத்தி காண்க.

தீர்வு:
y = x என்ற கோட்டை x = a மற்றும் x = b க்கு இடையே x – அச்சை பொறுத்து சுழற்றுவதால் நேர்வட்டக் கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு கிடைக்கப் பெறுகிறது.

∴ இடைக்கண்டத்தின் உயரம் h = b – a
∴ கன அளவு = \(\pi \int_{a}^{b} x^{2} d x=\pi\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{a}^{b}\)
= \(\frac{\pi}{3}\) [b³ – a³]
= \(\frac{\pi}{3}\) (b – a) (b² + ab + a²)
h = b – a, r = a மற்றும் R = b என பிரதியிட கிடைக்கும், நேர்வட்ட கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு.
= \(\frac{\pi}{3}\) [h(R² + rR + r²)] கன அலகுகள்
கொடுக்கப்பட்ட h = 2 மீ, r= 1 மீ, R = 2 மீ
தேவையான கன அளவு = \(\frac{\pi}{3}\) [2(4 + 2 + 1)]
= \(\frac{\pi}{3}\) (14)
= \(\frac{14\pi}{3}\) கன அலகுகள்

கேள்வி 6.
ஒரு தர்பூசணியானது நீள்வட்ட திண்ம வடிவில் (ellipsoid shape) உள்ளது. இந்த நீள்வட்ட தின்மத்தை பெற நெட்டச்சின் நீளம் 20 செ.மீ . குற்றச்சின் நீளம் 10 செ.மீ கொண்ட நீள்வட்டத்தை நெட்டச்சைப் பொருத்து சுழற்ற வேண்டும் எனில் தர்பூசணியின் கன அளவை தொகுதியிடலைப் பயன்படுத்தி காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட 2a = 20 செ.மீ = a = 10 செ.மீ; 2b = 10 செ.மீ ⇒ b = 5 செ.மீ
∴ நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு , \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
⇒ \(\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{25}=1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{25}=1-\frac{x^{2}}{100}=\frac{100-x^{2}}{100}\)
⇒ y² = \(\frac{25}{100}\) (100 – x²)

\(\frac{1000 \pi}{3}\) கன அலகுகள்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.9 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.9

சரியான அல்லது மிகப்பொருத்தமான விடையை தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக :

கேள்வி 1.
iⁿ + iⁿ⁺¹ + iⁿ⁺² + iⁿ⁺³-ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) -1
(4) 1
விடை:
(1) 0
குறிப்பு:
= iⁿ (1 + i + i² + i³)
= 1ⁿ (1 + i – 1 – i) = iⁿ (0)

கேள்வி 2.
\(\sum_{i=1}^{13}\left(i^{n}+i^{n-1}\right)\)-ன் மதிப்பு
(1) 1 + i
(2) i
(3) 1
(4) 0
விடை:
(1) 1 + i
குறிப்பு:
= (i + i⁰) + (i² + i¹) + (i³ + i²) + (i⁴ + i³) +…+ (i¹³ + i¹²)
= (i + i² + + +….+ i¹³) + (1 + i + i²+…+i¹²)

கேள்வி 3.
z, iz, மற்றும் z + iz என்ற கலப்பெண்கள் ஆர்கண்ட் தளத்தில் உருவாக்கும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
(1) \(\frac{1}{2}\)|z|²
(2) |z|²
(3) \(\frac{3}{2}\)|z|²
(4) 2|z|²
விடை:
(1) \(\frac{1}{2}\)|z|²
குறிப்பு:
z = x+ iy, iz = i (x + iy) = y + ix,
z + iz = (x – y) + i (x + y)
A = \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
x & y & 1 \\
-y & x & 1 \\
x-y & x+y & 1
\end{array}\right|\)

கேள்வி 4.
ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac{1}{i-2}\) எனில், அந்த கலப்பெண்
(1) \(\frac{1}{i+2}\)
(2) \(\frac{-1}{i+2}\)
(3) \(\frac{-1}{i-2}\)
(4) \(\frac{1}{i-2}\)
விடை:
(2) \(\frac{-1}{i+2}\)
குறிப்பு:
\(\bar{z}\) =\(\frac{1}{1-2}\)என்க ⇒ \(\bar{z}\) = \(\frac{1}{-i-2}\) ⇒ z = \(\frac{-1}{i+2}\)

கேள்வி 5.
z = \(\frac{(\sqrt{3}+i)^{3}(3 i+4)^{2}}{(8+6 i)^{2}}\) எனில், |z| – ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(3) 2
குறிப்பு:

கேள்வி 6.
z எனும் பூஜ்ஜியமற்ற கலப்பெண்ணிற்கு 2iz² = \(\bar{z}\) எனில், |z| – ன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{2}\)
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(1) \(\frac{1}{2}\)
குறிப்பு:
|2iz² |= |\(\bar{z}\)| ⇒ 2|i||z|²=|z| [∵ |\(\bar{z}\)| = |z|]
⇒ 2(1)|z| = 1
⇒ | z | ஐ நீக்க]
⇒ | z | = \(\frac{1}{2}\)

கேள்வி 7.
|z – 2 + i| ≤ 2 எனில், |z|-ன் மீப்பெரு மதிப்பு
(1) \(\sqrt{3}\) – 2
(2) \(\sqrt{3}\) + 2
(3) \(\sqrt{5}\) – 2
(4) \(\sqrt{5}\) + 2
விடை:
(4) \(\sqrt{5}\) + 2
குறிப்பு:
|z – 2 + i| ≥ |z| – |2 – i|

கேள்வி 8.
|z – \(\frac{3}{z}\)| = 2 எனில், |z| -ன் மீச்சிறு மதிப்பு
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 5
விடை:
(1) 1

கேள்வி 9.
|z| = 1 எனில், \(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\) ன் மதிப்பு
(1) z
(2) \(\bar{z}\)
(3) \(\frac{1}{z}\)
(4) 1
விடை:
(1) 1
குறிப்பு:

கேள்வி 10.
|z| – z = 1 + 2i என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு
(1) \(\frac{3}{2}\) – 2i
(2) –\(\frac{3}{2}\) + 2i
(3) 2 – \(\frac{3}{2}\)i
(4) 2 + \(\frac{3}{2}\)i
விடை:
(1) \(\frac{3}{2}\) – 2i
குறிப்பு:
z = x + iy என்க .
∴|z| = 1 + 2i + z
⇒ x² + y² = 1 + 2i +z
⇒ \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) = 1 + 2i + z
⇒ \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) = (1 + x) + i + (2 + y)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
⇒ x² + y² = (1 + x)² – (2 + y)² + 2i(1+x) (2+y)
கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த
(1+x) (2 +y) = 0
⇒ x = – 1 அல்ல து y =-2
மெய் பகுதிகளை சமப்படுத்த,
x² + y² = (1 + x)² – (2 + y)²
y = -2 என பிரதியிடு,
x² + 4 = (1 + x)² – 0
⇒ x² + 4 = 1 + x² + 2x ⇒ 2x = 3
⇒ x = \(\frac{3}{2}\) z = \(\frac{3}{2}\) – 2i

கேள்வி 11.
|z₁| = 1, |z₂| = 2, |z₃| = 3 மற்றும் |9z₁z₂ + 4z₁z₂ + z₂z₃| = 12 எனில், |z₁ + z₂ + z₃|-ன் மதிப்பு
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
விடை:
(2) 2
குறிப்பு:

கேள்வி 12.
z என்ற கலப்பெண்ணானது ஆகவும் z + \(\frac{1}{z}\) ∈ ℝ, எனவும் இருந்தால், |z| – ன் மதிப்பு
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(2) 1
குறிப்பு:
[[z| = 1 எனில் மட்டுமே கிடைப்பது z + \(\frac{1}{z}\) ∈ ℝ

கேள்வி 13.
z₁, z₂ மற்றும் z₃ என்ற கலப்பெண்கள் z₁ + z₂ + z₃ = 0 எனவும் , |z₁| = |z₂|, = |z₃| = 1 ஆகவும் இருந்தால் ன் மதிப்பு
(1) 3
(2) 2
(3) 1
(4) 0
விடை:
(4)
குறிப்பு:

கேள்வி 14.
\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முழுவதும் கற்பனை எனில், |z| – ன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{2}\)
(2) 1
(3) 2
(4) 3
விடை:
(2) 1
குறிப்பு:
\(\frac{z-1}{z+1}\) முழுவதும் கற்பனை

கேள்வி 15.
z = x + iy என்ற கலப்பெண்ணிற்கு |z + 2| = |z – 2| எனில், z-ன் நியமப்பாதை
(1) மெய் அச்சு
(2) கற்பனை அச்சு
(3) நீள் வட்டம்
(4) வட்டம்
விடை:
(2) கற்பனை அச்சு
குறிப்பு:
|z + 2| = |z – 2| ⇒ |x + iy + 2| = |x + iy – 2|

⇒ 8x = 0 ⇒ x = 0 இது கற்பனை அச்சு

கேள்வி 16.
\(\frac{3}{-1+i}\) என்ற் கலப்பெண்ணின் முதன்மை வீச்சு
(1) \(\frac{-5 \pi}{6}\)
(2) \(\frac{-2 \pi}{3}\)
(3) \(\frac{-3 \pi}{4}\)
(4) \(\frac{-\pi}{2}\)
விடை:
(3) \(\frac{-3 \pi}{4}\)
குறிப்பு:


[ ∵ \(\frac{-3}{2}\)(1 + i) III-ம் கால்பகுதியில் அமைவதால்
θ = α – π

கேள்வி 17.
(sin 40° + i cos 40°)⁵-ன் முதன்மை வீச்சு
(1) -110°
(2) -70°
(3) 70°
(4) 110°
விடை:
(1) -110°
குறிப்பு:
= [cos 40° – i sin 40]
= i⁵[cos 40°) + i sin 40°]⁵
=i [cos 5(- 40°) + i sin 5(- 40°)]
= i [cos (- 200°) + i sin (- 200°)]
= (cos 90° +isin 90°)
(cos (- 200°) + isin(- 200°)]
[∵ i = cos 90° + i sin 90°]
= cos (90° – 200°) + i sin (90° – 200°)
= cos (-110°) + i sin (-110°)

கேள்வி 18.
(1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i)… (1 + ni) = x + iy எனில், 2.5.10 … (1 + n²) -ன் மதிப்பு
(1) 1
(2) i
(3) x² + y²
(4) 1 + n²
விடை:
(3) x² + y²
குறிப்பு:

வர்க்க ப்படுத்த, 2 5 10……..(1 + n²) = x² + y²

கேள்வி 19.
ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் மற்றும் (1 + ω)⁷ = A + Bω எனில், (A, B) என்பது
(1) (1, 0)
(2) (-1, 1)
(3) (0, 1)
(4) (1, 1)
விடை:
(4) (1, 1)
குறிப்பு:
(1 + ω)⁶ . (1 + ω)¹ = A + Bω
⇒ (-ω²)⁶ (1 + ω) = (A + Bω)
⇒ 1 (1 + ω) = A + Bω [∵ (ω²)ω⁶ = ω¹² = 1]
⇒ A = 1, B = 1

கேள்வி 20.
\(\frac{(1+i \sqrt{3})^{2}}{4 i(1-i \sqrt{3})}\) என்ற கலப்பெண்ணின் முதன்மை வீச்சு
(1) \(\frac{2 \pi}{3}\)
(2) \(\frac{\pi}{6}\)
(3) \(\frac{5 \pi}{3}\)
(4) \(\frac{\pi}{2}\)
விடை:
(4) \(\frac{\pi}{2}\)
குறிப்பு:

[நான்காம் கால்பகுதியில் θ =-α]

கேள்வி 21.
x² + x + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α மற்றும் β எனில், α²⁰²⁰ + β²⁰²⁰ -ன் மதிப்பு
(1) -2
(2) -1
(3) 1
(4) 2
விடை:
(2) -1
குறிப்பு:
x² + x + 1 = 0

கேள்வி 22.
\(\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)^{\frac{3}{4}}\) ன் எல்லா நான்கு மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகை
(1) -2
(2) -1
(3) 1
(4) 2
விடை:
(3) 1
குறிப்பு:
cos \(\frac{3}{4}\)(2kπ + \(\frac{\pi}{3}\)) + i sin (2kπ + \(\frac{\pi}{3}\)),
k = 0, 1, 2, 3
k = 0, 1, 2, 3 எனில்,
மூலங்கள் cis \(\frac{\pi}{4}\), cis 7\(\frac{\pi}{4}\), cis 13\(\frac{\pi}{4}\) மற்றும் cis 19\(\frac{\pi}{4}\)
∴ பெருக்கற் பலன் = cis (\(\frac{\pi}{4}\) + 7\(\frac{\pi}{4}\) + 13\(\frac{\pi}{4}\) + 19\(\frac{\pi}{4}\))
= cis \(\left(\frac{40 \pi}{4}\right)\) = cis 10π
= cos 10π + i sin 10π = 1 + i (0) = 1

கேள்வி 23.
ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் மற்றும் \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & -\omega^{2}-1 & \omega^{2} \\
1 & \omega^{2} & \omega^{7}
\end{array}\right|\) = 3k எனில், k -ன் மதிப்பு
(1) 1
(2) -1
(3) \(\sqrt{3} i\)
(4) – \(\sqrt{3} i\)
விடை:
(4) – \(\sqrt{3} i\)
குறிப்பு:

(ω² – ω) – 1(ω – ω²) + 1(ω² – ω) = 3k
⇒ ω² – ω – ω + ω² + ω² – ω = 3k
⇒ 3ω² – 3ω = 3k ⇒ k = ω – ω

கேள்வி 24.

விடை:
(1) cis \(\frac{2 \pi}{3}\)
குறிப்பு:

[∵ 1 – \(\sqrt{3} i\) IV-ம் கால்பகுதியில் அமைந்தால், θ = -α]

கேள்வி 25.
ω = cis \(\frac{2 \pi}{3}\) எனில் \(\left|\begin{array}{rrr}
z+1 & \omega & \omega^{2} \\
\omega & z+\omega^{2} & 1 \\
\omega^{2} & 1 & z+\omega
\end{array}\right|\) = 0 என்ற சமன்பாட்டின் வெவ்வேறான மூலங்களின் எண்ணிக்கை
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
விடை:
(1) 1
குறிப்பு :
\(\left|\begin{array}{rrr}
z+1 & \omega & \omega^{2} \\
\omega & z+\omega^{2} & 1 \\
\omega^{2} & 1 & z+\omega
\end{array}\right|\) = 0
C → C₁ +C₂ + C₃ செயல்படுத்த கிடைப்பது

⇒ z + (1 + ω + ω²) ஒரு மூலம்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.8

கேள்வி 1.
w ≠ 1 என்பது ஒன்றின் மூன்றாம் படிமூலம் என நிறுவுக.
தீர்வு:

கேள்வி 2.
\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{5}\) + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)^{5}\) = –\(\sqrt{3}\) கணக்காட்டுக
தீர்வு:


(1) மற்றும் (2) ஐ கூட்ட கிடைப்பது,

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 3.

தீர்வு:

கேள்வி 4.
2 cos α = x + \(\frac{1}{x}\) மற்றும் 2 cos β = y + \(\frac{1}{y}\) எனக் கொண்டு. கீழக்காண்பவைகளை நிறுவுக.

தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட 2cos α = x + \(\frac{1}{x}\)
⇒ 2 cos α = \(\frac{x^{2}+1}{x}\)
⇒ x² + 1 = 2x cos α

(i) \(\frac{x}{y}\) + \(\frac{y}{x}\) = 2cos(α – β)

= cos(α – β) + i sin(α – β)
= cos(α – β) + i sin(α – β) + cos(α – β) – i sin(α – β)
= 2 cos(α – β)

(ii) xy – \(\frac{1}{x y}\) = 2sin(α + β)
xy = (cos α + i sin β) (cos α + i sin β)
= cos(α + β) + i sin(α + β)
\(\frac{1}{xy}\) = cos(α + β) – i sin (α + β)

= 2i sin(α + β)

(iii) \(\frac{\boldsymbol{x}^{m}}{\boldsymbol{y}^{n}}\) – \(\frac{y^{n}}{x^{m}}\) = 2i sim (mα – nβ)
x^m = (cos α + sin α)^m = cos mα + i sin mα
[டி மாய்வரின் தேற்றப்படி]
yⁿ = (cos β + i sin β)ⁿ = cos nβ + i sin nβ

(iv)
x^m yⁿ + \(\frac{1}{x^{m} y^{n}}\) = 2 cos(mα + nβ)
x^m yⁿ = (cos α +i sin mα) (cos n β+ i sin nβ)
= cos (mα + nβ) + i sin (mα + nβ)
\(\frac{1}{x^{m} y^{n}}\) = cos(mα + nβ) – i sin(mα + nβ)

= 2 cos(mα + nβ)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 5.

தீர்வு:
z³ = – 27 =(- 1 × 3)3 = – 1 × 3³


எனவே, மூலங்கள் 3 cis \(\frac{\pi}{3}\), – 3,3 cis 5\(\frac{\pi}{3}\)

கேள்வி 6.
ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் எனில் (z – 1)³ + 8 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் -1, 1 – 2ω, 1 – ω² எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட (z – 1)³ + 8 = 0
(z – 1)³ = -8 = -1 × 2³


= 2 [cos π + i sinπ] = -2
⇒ z = – 2 + 1 = -1 …. (2)
k = 2 எனில்,

(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து, மூலங்கள் -1, 1–2ω² மற்றும் 1 – 2ω² ஆகும்.

கேள்வி 7.
ன் மதிப்பு காண்க
தீர்வு:

கேள்வி 8.
ω ≠ 1 என்பது ஒன்றின் முப்படி மூலம் எனில், பின்வருவனவற்றை நிறுவுக.
(i) (1 – ω + ω²)⁶ +(1 + ω – ω²)⁶ = 128
(ii) (1 + ω)(1 + ω²)(1 + ω⁴)(1 + ω⁸)….(1 + \(\omega^{2^{11}}\))
தீர்வு:
(i) (1 – ω + ω²)⁶ +(1 + ω – ω²)⁶ = 128
LHS = (1 – ω + ω²)⁶ +(1 + ω – ω²)⁶
= (1 + ω² – ω)⁶ + (-ω² + ω²)⁶
[∵ 1 + ω + ω² = 0]
⇒ 1 + ω = -ω²
⇒ 1 + ω² = -ω
= (-ω – ω)⁶ + (-2ω²)⁶
= (-2ω)⁶ + (-2ω²)⁶
= 2⁶.ω⁶ + 2⁶.ω¹²
= 2⁶[(ω³)² + ω³)⁴]
= 2⁶[1 + 1] [∵ω³ = 1]
2⁶ × 2¹ = 2⁷ = 128 = RHS

(ii) (1 + ω)(1 + ω²)(1 + ω⁴)(1 + ω⁸)….. (1 + \(\omega^{2^{11}}\)) = 1 LHS = (1 + ω)(1 + ω²)(1 + ω⁴)(1 + ω⁸)….. (1 + \(\omega^{2^{11}}\))

12 உறுப்புகள் உள்ளன.
=(1 + ω) (1 + ω²) (1 + ω) (1 + \(\omega^{2^{1}}\))….
12 உறுப்புகள்
= (1 + ω)⁶ (1 + ω²)⁶ (-ω)⁶(-ω²)⁶
= (ω³)⁶ = 16 = 1 = RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 9.
z = 2 – 2i, எனில், ஆதியைப் பொருத்து 7 -ஐ θ ரேடியன்கள் கடிகார திசைக்கு எதிர் திசையில் சுழற்றினால் 3-ன் மதிப்பை கீழக்காணும் θ மதிப்புகளுக்கு காண்க.
(i) θ = \(\frac{\pi}{3}\)
(ii) θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
(iii) θ = \(\frac{3 \pi}{3}\)
தீர்வு:
(1) θ = \(\frac{\pi}{3}\)
கொடுக்கப்பட்ட z = 2 – 2i
θ = \(\frac{\pi}{3}\)
z = 2 – 2i = r (cos θ + i sin θ) என்க

2 – 2i என்ற கலப்பெண் IV -ம் கால்பகுதியில் அமைவதால்

z e^iθ என்பது z ஆதியை பொறுத்து θ கோணம் கடிகார எதிர்திசையில் சுற்றுவது ஆகும்.
∴ z ஐ சுற்றுவதால், z \(e^{i \frac{\pi}{3}}\)

(ii) θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
θ = 2\(\frac{\pi}{3}\) எனில்

(iii) θ = \(\frac{3 \pi}{2}\)

கேள்வி 10.
\(\sqrt[4]{-1}\) இன் மதிப்புகள் ±\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)(1 ± i) என நிரூபிக்க.
தீர்வு:
z = (-1)^{\(\frac{1}{4}\)} என்க
⇒ z = (cos π + i sin π)^{\(\frac{1}{4}\)}
[∵ cos π = -1 மற்றும் sin π = 0 ]

= – cos \(\frac{\pi}{4}\) + isin\(\frac{\pi}{4}\)


இங்கு cos θ மிகை மற்றும் sin θ குறை

எனவே நான்கு மூலங்கள்

Subject Matter Experts at SamacheerKalviGuru.Com have created Tamil Nadu State Board Samacheer Kalvi 3rd Tamil Book Answers Solutions Guide Pdf Free Download of Term 1, 2, 3 are part of 3rd Standard Samacheer Book Solutions.

Let us look at these TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Std Tamil Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes and revise our understanding of the subject.

Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi 3rd Tamil Book Back Answers Solutions Guide Term 1, 2, 3.

Samacheer Kalvi 3rd Std Tamil Book Back Answers

Samacheer Kalvi 3rd Standard Tamil Book Solutions Back Answers Guide

3rd Standard Tamil Guide Samacheer Kalvi Term 1

• Chapter 1 தமிழ் அமுது
• Chapter 2 கண்ணன் செய்த உதவி
• Chapter 3 தனித்திறமை
• Chapter 4 கல்யாணமாம் கல்யாணம்!
• Chapter 5 மாணவர்கள் நினைத்தால்…
• Chapter 6 துணிந்தவர் வெற்றி கொள்வர்
• Chapter 7 சான்றோர் மொழி
• Chapter 8 நூலகம்
• Chapter 9 மாட்டு வண்டியிலே…

Samacheer Kalvi 3rd Standard Tamil Book Solutions Term 2

• Chapter 1 உண்மையே உயர்வு
• Chapter 2 ஒன்றுபட்டால் உண்டு வாழ்வு
• Chapter 3 கல்வி கண் போன்றது
• Chapter 4 திருக்குறள் கதைகள்
• Chapter 5 வாலு போயி கத்தி வந்தது! டும்…டும்..டும்…டும்
• Chapter 6 எழில் கொஞ்சும் அருவி
• Chapter 7 நாயும், ஓநாயும்
• Chapter 8 நட்பே உயர்வு

Samacheer Kalvi 3rd Standard Tamil Book Answers Term 3

• Chapter 1 உள்ளங்கையில் ஓர் உலகம்
• Chapter 2 தூக்கணாங்குருவியும் ஒட்டகச்சிவிங்கியும்
• Chapter 3 வீம்பால் வந்த விளைவு
• Chapter 4 மழைநீர்
• Chapter 5 காகமும் நாகமும்
• Chapter 6 நல்வழி
• Chapter 7 தமிழ்மொழியின் பெருமை
• Chapter 8 அறிவூட்டும் தொலைக்காட்சிச் செய்திகள்

We hope these Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi Class 3rd Tamil Book Solutions Answers Pdf Free Download will help you get through your subjective questions in the exam.

Let us know if you have any concerns regarding TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Standard Tamil Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes drop a comment below and we will get back to you as soon as possible.

Subject Matter Experts at SamacheerKalviGuru.Com have created Tamil Nadu State Board Samacheer Kalvi 3rd English Book Answers Solutions Guide Pdf Free Download of Term 1, 2, 3 are part of 3rd Standard Samacheer Book Solutions.

Let us look at these TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Std English Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes and revise our understanding of the subject.

Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi 3rd English Book Back Answers Solutions Guide Term 1, 2, 3.

Samacheer Kalvi 3rd Standard English Book Solutions Back Answers Guide

3rd Standard English Guide Samacheer Kalvi Term 1

• Chapter 1 Our Kitchen
• Chapter 2 The Insects
• Chapter 3 The World Around Us

Samacheer Kalvi 3rd Standard English Book Solutions Term 2

• Chapter 1 Seasons’ Story
• Chapter 2 Trip to the Store

Samacheer Kalvi 3rd Standard English Book Answers Term 3

• Chapter 1 Our Leafy Friends
• Chapter 2 Tools We Use
• Chapter 3 Places in My Town

We hope these Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi Class 3rd English Book Solutions Answers Pdf Free Download will help you get through your subjective questions in the exam.

Let us know if you have any concerns regarding TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Standard English Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes drop a comment below and we will get back to you as soon as possible.

Subject Matter Experts at SamacheerKalviGuru.Com have created Tamil Nadu State Board Samacheer Kalvi 3rd Social Science Book Answers Solutions Guide Pdf Free Download of Term 1, 2, 3 in English Medium and Tamil Medium are part of 3rd Standard Samacheer Book Solutions.

Let us look at these TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Std Social Science Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes and revise our understanding of the subject.

Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi 3rd Social Science Book Back Answers Solutions Guide Term 1, 2, 3.

Samacheer Kalvi 3rd Social Science Book Back Answers

Samacheer Kalvi 3rd Standard Social Science Book Solutions Back Answers Guide

3rd Standard Social Science Guide Samacheer Kalvi Term 1

• Chapter 1 Family
• Chapter 2 Our Friends
• Chapter 3 Panchayat
• Chapter 4 Safety

Samacheer Kalvi 3rd Standard Social Science Book Solutions Term 2

• Chapter 1 Historical Places
• Chapter 2 Sanctuaries
• Chapter 3 District Administration

Samacheer Kalvi 3rd Standard Social Science Book Answers Term 3

• Chapter 1 Freedom Fighters of Tamil Nadu
• Chapter 2 Mineral Resources
• Chapter 3 Child Safety

Samacheer Kalvi 3rd Std Social Science Book Solutions in Tamil Medium

Samacheer Kalvi 3rd Social Science Book Solutions Term 1

• Chapter 1 குடும்பம்
• Chapter 2 நமது நண்பர்கள்
• Chapter 3 ஊராட்சி மன்றம்
• Chapter 4 பாதுகாப்பு

Samacheer Kalvi 3rd Social Science Book Solutions Term 2

• Chapter 1 வரலாற்றுச் சிறப்புமிக்க இடங்கள்
• Chapter 2 சரணாலயங்கள்
• Chapter 3 மாவட்ட நிருவாகம்

Samacheer Kalvi 3rd Social Science Book Solutions Term 3

• Chapter 1 தமிழ்நாட்டின் சுதந்திரப் போராட்ட வீரர்கள்
• Chapter 2 கனிம வளங்கள்
• Chapter 3 குழந்தைகளின் பாதுகாப்பு

We hope these Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi Class 3rd Social Science Book Solutions Answers Pdf Free Download in English Medium and Tamil Medium will help you get through your subjective questions in the exam.

Let us know if you have any concerns regarding TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Standard Social Science Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes drop a comment below and we will get back to you as soon as possible.

Subject Matter Experts at SamacheerKalviGuru.com have created Tamil Nadu State Board Samacheer Kalvi 3rd Science Book Answers Solutions Guide Pdf Free Download of Term 1, 2, 3 in English Medium and Tamil Medium are part of 3rd Standard Samacheer Book Solutions.

Let us look at these TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Std Science Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes and revise our understanding of the subject.

Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi 3rd Science Book Back Answers Solutions Guide Term 1, 2, 3.

Samacheer Kalvi 3rd Standard Science Book Solutions Back Answers Guide

3rd Standard Science Guide Samacheer Kalvi Term 1

• Chapter 1 My Body
• Chapter 2 States of Matter
• Chapter 3 Force
• Chapter 4 Science in Everyday Life

Samacheer Kalvi 3rd Standard Science Book Solutions Term 2

• Chapter 1 Food
• Chapter 2 Water
• Chapter 3 Plants

Samacheer Kalvi 3rd Standard Science Book Answers Term 3

• Chapter 1 Our Environment
• Chapter 2 Animal Life
• Chapter 3 Air

Samacheer Kalvi 3rd Std Science Book Solutions in Tamil Medium

Samacheer Kalvi 3rd Science Book Solutions Term 1

• Chapter 1 எனது உடல்
• Chapter 2 பருப்பொருள்களின் நிலைகள்
• Chapter 3 விசை
• Chapter 4 அன்றாட வாழ்வில் அறிவியல்

Samacheer Kalvi 3rd Science Book Solutions Term 2

• Chapter 1 உணவு
• Chapter 2 நீர்
• Chapter 3 தாவரங்கள்

Samacheer Kalvi 3rd Science Book Solutions Term 3

• Chapter 1 நமது சுற்றுச்சூழல்
• Chapter 2 விலங்குகளின் வாழ்க்கை
• Chapter 3 காற்று

We hope these Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi Class 3rd Science Book Solutions Answers Pdf Free Download in English Medium and Tamil Medium will help you get through your subjective questions in the exam.

Let us know if you have any concerns regarding TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Standard Science Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes drop a comment below and we will get back to you as soon as possible.

Subject Matter Experts at SamacheerKalviGuru.com have created Tamil Nadu State Board Samacheer Kalvi 3rd Maths Book Answers Solutions Guide Pdf Free Download of Term 1, 2, 3 in English Medium and Tamil Medium are part of 3rd Standard Samacheer Book Solutions.

Let us look at these TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Std Maths Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes, Formulas and revise our understanding of the subject.

Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi 3rd Maths Book Back Answers Solutions Guide Term 1, 2, 3.

Samacheer Kalvi 3rd Standard Maths Book Solutions Back Answers Guide

3rd Standard Maths Guide Samacheer Kalvi Term 1

• Chapter 1 Geometry
• Chapter 2 Numbers
• Chapter 3 Patterns
• Chapter 4 Measurements
• Chapter 5 Time
• Chapter 6 Information Processing

Samacheer Kalvi 3rd Standard Maths Book Solutions Term 2

• Chapter 1 Numbers
• Chapter 2 Patterns
• Chapter 3 Measurements
• Chapter 4 Time
• Chapter 5 Information Processing

Samacheer Kalvi 3rd Standard Maths Book Answers Term 3

• Chapter 1 Geometry
• Chapter 2 Numbers
• Chapter 3 Patterns
• Chapter 4 Measurements
• Chapter 5 Money
• Chapter 6 Time
• Chapter 7 Information Processing

Samacheer Kalvi 3rd Std Maths Book Solutions in Tamil Medium

Samacheer Kalvi 3rd Maths Book Solutions Term 1

• Chapter 1 வடிவியல்
• Chapter 2 எண்கள்
• Chapter 3 அமைப்புகள்
• Chapter 4 அளவீடுகள்
• Chapter 5 நேரம்
• Chapter 6 தகவல் செயலாக்கம்

Samacheer Kalvi 3rd Maths Book Solutions Term 2

• Chapter 1 எண்கள்
• Chapter 2 அமைப்புகள்
• Chapter 3 அளவைகள்
• Chapter 4 காலம்
• Chapter 5 தகவல் செயலாக்கம்

Samacheer Kalvi 3rd Maths Book Solutions Term 3

• Chapter 1 வடிவியல்
• Chapter 2 எண்கள்
• Chapter 3 அமைப்புகள்
• Chapter 4 அளவைகள்
• Chapter 5 பணம்
• Chapter 6 நேரம்
• Chapter 7 தகவல் செயலாக்கம்

We hope these Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi Class 3rd Maths Book Solutions Answers Pdf Free Download in English Medium and Tamil Medium will help you get through your subjective questions in the exam.

Let us know if you have any concerns regarding TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Standard Maths Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes, Formulas, drop a comment below and we will get back to you as soon as possible.

Subject Matter Experts at SamacheerKalviGuru.Com have created Tamil Nadu State Board Samacheer Kalvi 3rd Standard Books Answers Solutions Guide Pdf Free Download of Term 1, 2, 3 in English Medium and Tamil Medium are part of Samacheer Kalvi Books Solutions.

Let us look at these TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Std Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes, Formulas and revise our understanding of the subject.

Samacheer Kalvi 3rd Standard Text Book Solutions Back Answers Guide Pdf Free Download

• Samacheer Kalvi 3rd Standard Maths Guide
• Samacheer Kalvi 3rd Standard Science Guide
• Samacheer Kalvi 3rd Standard Social Science Guide
• Samacheer Kalvi 3rd Standard English Guide
• Samacheer Kalvi 3rd Standard Tamil Guide

We hope these Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi Class 3rd Standard Books Term 1, 2, 3 Solutions Answers Guide Pdf Free Download in English Medium and Tamil Medium will help you get through your subjective questions in the exam.

Let us know if you have any concerns regarding TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Standard Guides Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes, Formulas, drop a comment below and we will get back to you as soon as possible.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.8

கேள்வி 1.
3x -2y +6 = 0, x = -3, x = 1 மற்றும் X – அச்சு ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 3x-2y+6 = 0
2y = 3x + 6 ⇒ y = \(\frac{3x+6}{2}\)

∴ பரப்பு = \(\int_{-3}^{-2}-y d x+\int_{-2}^{1} y d x\)
[∵ x – அச்சுக்கு கீழ் உள்ள பரப்பு]

∴ A = 7.5 ச.அலகுகள்

கேள்வி 2.
2x – y + 1 = 0 , y = -1, y = 3 மற்றும் X- அச்சு ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 2x – y + 1 = 0
⇒ 2x = y – 1 ⇒ x = \(\frac{y-1}{2}\)

[∵ X- அச்சுக்கு இடது புறத்தில் உள்ள பரப்பு]

= 2 ச. அலகுகள்

கேள்வி 3.
வளைவரை 2 + x – x² + y = 0, x- அச்சு,x = -3 மற்றும் x = 3 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு
2 + x – x² + y = 0
⇒ y = x² – x – 2

∴ தேவையான பரப்பு = \(\int_{-3}^{-1} y d x+\int_{-1}^{2}-y d x+\int_{2}^{3} y d x\)


∴ பரப்பு = 16 ச. அலகுகள்

கேள்வி 4.
கோடு y = 2x + 5 மற்றும் பரவளையம் y = x² – 2x ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு
y = x² – 2x ……….. (1)
மற்றும் கோடு y = 2x + 5 ………… (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, பரவளையத்திற்கு

x² – 2x = 2x + 5
⇒ x² – 4x-5 =0
⇒ y = (x – 5) (x + 1) = 0
⇒ கோட்டிற்கு x = 5, -1


= 36 ச.அலகுகள்

கேள்வி 5.
வளைவரைகள் y = sin x, y = cos x மற்றும் கோடுகள் x = 0 மற்றும் x = π ஆகியவற்றுக்கு இடையே அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகள் y = sinx …. (1)
y = cos x ………. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, sinx = cos x

⇒ x = \(\frac{\pi}{4}\)

∴ தேவையான பரப்பு = 2 \(\begin{array}{l}
\frac{3 \pi}{4} \\
\int \\
\frac{\pi}{4}
\end{array}\) (sinx – cos x)dx
[∵ X – அச்சை பொறுத்த சமச்சீராக உள்ளது]

கேள்வி 6.
y = tan x, y = cot x மற்றும் கோடுகள் x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\), y = 0 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகளின் சமன்பாடு
y = tanx, y = cot x.
y = tanx மற்றும் y = cot x வெட்டிக் கொள்ளும்
tan x = cot x = x = \(\frac{\pi}{4}\)
∴ தேவையான பரப்பு = \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\) (tan x – cot x)dx

[∵ log 1 = 0]

கேள்வி 7.
பரவளையம் y² = x மற்றும் கோடு y = x – 2 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு
y² = x மற்றும் கோடு y = x – 2 ⇒ x = y + 2
y = x – 2

∴ y ²= y + 2 ⇒ y² – y – 2 = 0
⇒ (y – 2) (y + 1) = 0
⇒ y = – 1, 2
∴ தேவையான பரப்பு = \(\int_{-1}^{2}\) (x₁ – x₂)dy

பரப்பு = \(\frac{9}{2}\) ச.அலகுகள்

கேள்வி 8.
ஒரு குடும்பத் தலைவர், x = 0 , x = 4 , y = 4 மற்றும் y = 0 ஆகியவற்றால் அடைபடும் சதுரநிலத்தின் பரப்பை y = 4x மற்றும் x = 4y என்ற வளைவரைகளின் வாயிலாக தன்னுடைய மனைவி, மகள் மற்றும் மகன் ஆகியோர்களுக்கு மூன்று சமபாகங்களாகப் பிரிக்க விரும்புகிறார். அவ்வாறு பிரிக்க இயலுமா? பிரிக்க இயலும் எனில் ஒவ்வொருவருக்கும் கிடைக்கும் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகளுக்கான சமன்பாடுகள்
y² = 4x மற்றும் x² = 4y

= \(\frac{4}{3}(4)(2)-\frac{64}{12}\)
= \(\frac{32}{3}-\frac{32}{6}=\frac{64-32}{6}=\frac{32}{6}\)
= \(\frac{16}{3}\) ச. அலகுகள்
ஆம் 3 சமபாகங்களாக பிரிக்கலாம். மகன், மகள் மற்றும் மனைவி ஒவ்வொருவருக்கும் கிடைக்கும்
பரப்பு \(\frac{16}{3}\) ச.அலகுகள்.

கேள்வி 9.
P என்பது y = (x – 2)² + 1 என்ற வளைவரைக்கு ஒரு மீச்சிறு புள்ளி. Q என்ற புள்ளியானது, PQ-ன் சாய்வு 2 உள்ளவாறு வளை வரையின் மேல் உள்ளது எனில் வளைவரைக்கும் நாண் PQ – க்கும் இடையில் அடைபடும் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு
(y – 1) = (x – 2)²
⇒ y = (x – 2)² + 1 ………… (1)
அதனுடைய முனை (2, 1) ஆனது மீச்சிறு புள்ளி Pஆகும்.
Q(x, y) ஆனது பரவளையத்தின் மேல் உள்ள புள்ளி என்க. கொடுக்கப்பட்ட சாய்வு PQ = 2
⇒ \(\frac{y-1}{x-2}\) = 2 [∵ சாய்வு = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)]
⇒ y – 1 = 2 (x – 2) ⇒ y – 1 = 2x – 4 ⇒ y = 2x – 4 + 1
⇒ y = 2x + 3 ………….(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, (x – 2)² + 1 = 2x – 3
⇒ x² – 4x + 4 + 1 = 2x – 3 ⇒ x² – 6x + 8 = 0
⇒ (x – 4) (x – 2) = 0 ⇒ x = 2, 4

கேள்வி 10.
x² + y² = 16 என்ற வட்டத்திற்கும் y = 6x என்ற பரவளையத்திற்கும் பொதுவான அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² = 16 …….. (1)
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 6x ……(2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
x² + 6x – 16 = 0 ⇒ (x + 8) (x – 2) = 0
⇒ x = -8, 2

∴ தேவையான பரப்பு
= 2 \(\begin{array}{l}
2 \\
\int \\
0
\end{array}\) பரவளையத்திற்கு கீழுள்ள பரப்பு + \(\begin{array}{l}
4 \\
\int \\
2
\end{array}\) வட்டத்திற்கு கீழுள்ள பரப்பு

= \(\frac{4}{3}[4 \pi+\sqrt{3}]\) ச. அலகுகள்