Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.3

கேள்வி 1.
2x³ – x² – 18x + 9 = 0 எனும் முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்களில் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியமெனில் சமன்பாட்டின் தீர்வு காண்க.
தீர்வு:
மூலங்களின் இரண்டின் கூட்டுத்தொகை பூச்சியம் ஆதலால் மூலங்கள் α, – α மற்றும் β என்க.
α – α + β = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{1}{2}\)
β = \(\frac{1}{2}\)
மேலும், αβγ = \(\frac{-d}{a}\)
⇒ α(-α)(\(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{-9}{2}\)
⇒ \(\frac{\alpha^{2}}{2}\) = \(\frac{9}{2}\) ⇒ α² = 9 ⇒ α = ±3
⇒ α = 3
∴ மூலங்கள் 3,-3 மற்றும் \(\frac{1}{2}\)

கேள்வி 2.
9x³ – 36x² + 44x – 16 = 0 -ன் மூலங்கள் கூட்டுத் தொடரில் அமைந்தவை எனில், சமன்பாட்டைத்
தீர்க்க.
தீர்வு:
இங்கு , a = 9, b = -36, c = 44, d = -16
மூலங்கள் கூட்டுத் தொடரில் அமைந்தவை ஆதலால், மூலங்கள் a – d, a மற்றும் a + d என்க.
மூலங்களின் கூடுதல் = \(\frac{-b}{a}\)
⇒ (a – d) + (a) + (a + d) = \(\frac{-(-36)}{9}\) = 4
⇒ 3a = 4 ⇒ a = \(\frac{4}{3}\) மற்றும்
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் = \(\frac{-d}{a}\)
\(\frac{-(-16)}{9}\) = \(\frac{(16)}{9}\)
⇒ (a – d) (a) (a + d) = \(\frac{(16)}{9}\)
(a² – d²) (a) = \(\frac{(16)}{9}\)

∴ மூலங்களாவன a – d, a, a + d
⇒ \(\frac{4}{2}\) – \(\frac{2}{3}\), \(\frac{4}{3}\), \(\frac{4}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) ⇒ \(\frac{2}{3}\), \(\frac{4}{3}\), 2.

கேள்வி 3.
3x³ – 26x² + 52x – 24 = 0 – ன் மூலங்கள் பெருக்குத் தொடரில் அமைந்தவை எனில்,
சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட முப்படி சமன்பாடு
3x³ – 26x² + 52x – 24 = 0
இங்கு , a = 3, b = -2b, c = 52, d = -24.
மூலங்கள் பெருக்குத் தொடரில் அமைந்தவை ஆதலால்
மூலங்கள் \(\frac{a}{r}\) a, ar. மூலங்களின் கூடுதல் = –\(\frac{b}{a}\)
⇒ \(\frac{a}{r}\) + a + ar = \(\frac{26}{3}\) … (1)
மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் = –\(\frac{d}{a}\)

∴ மூலங்கள் \(\frac{a}{r}\), a, மற்றும் ar
⇒ \(\frac{2}{3}\) மற்றும் 2(3) ⇒ \(\frac{2}{3}\), 2 மற்றும் 6

கேள்வி 4.
2x³ – 6x² + 3x + k = 0 எனும் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் மற்ற இரு மூலங்களின் கூடுதலின் இரு மடங்கு எனில், k – ன் மதிப்பைக் காண்க. மேலும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட முப்படி சமன்பாடு
2x³ – 6x² + 3x + k = 0
இங்கு , a = 2, b = -6, c = 3, d = k
α, β, γ என்பது மூலங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட α = 2 (β + γ) ⇒ \(\frac{\alpha}{2}\) = β + γ …(1)


k = \(\frac{4}{2}\) ⇒ k = 2

கேள்வி 5.
1 + 2i மற்றும் \(\sqrt{3}\) ஆகியவைஸ்’ x⁶ – 3x⁵ – 5x⁴ + 22x³ – 39x² – 39x + 135, என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் இரு பூச்சியமாக்கிகள் எனில்
அனைத்து பூச்சியமாக்கிகளையும் கண்டறிக.
தீர்வு:
f(x) = x⁶ – 3x⁵ – 5x⁴ + 22x³ – 39x² – 39x + 135 என்க.
கொடுக்கப்பட்ட (1 + 2i) ஒரு மூலம் ⇒ (1 – 2i) யும் ஒரு மூலம்
மேலும், \(\sqrt{3}\) ஒரு மூலம் –\(\sqrt{3}\) ஒரு மூலம்
எனவே f(x)-ன் காரணிகள் [x – (1 + 2i)]
[x – (1 – 2i)] [x – \(\sqrt{3}\)[x + \(\sqrt{3}\)]
[(x-1) – 2i] [(x – 1) + 2i][x – \(\sqrt{3}\)][x + \(\sqrt{3}\)] ((x – 1)² + 2²)(x² – 3)
= (x² – 2x + 1 + 4)(x² – 3)
⇒ f(x) ன் காரணிகள் (x² – 2x + 5)(x² – 3)
⇒ x⁴ – 3x² – 2x³ + 6x + 5x² – 15
⇒ (x⁴ – 2x³ + 2x² + 6x – 15), f(x)-ன் காரணி மற்ற காரணியை காண f(x) ஐ
x⁴ + 2x³ + 2x² + 6x – 15 ஆல் வகுக்க

மற்ற காரணியானது x² – x – 9

எனவே மற்ற மூலங்கள்
1 + 2i, 1 – 2i, \(\sqrt{3}\), –\(\sqrt{3}\), \(\frac{1+\sqrt{37}}{2}\), \(\frac{1-\sqrt{37}}{2}\)

கேள்வி 6.
பின்வரும் முப்படி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :
(i) 2x³ – 9x² + 10x = 3,
(ii) 8x³ – 2x² – 7x + 3 = 0.
தீர்வு:
கெழுக்களின் கூடுதல்
2 – 9 + 10 – 3 = 12 – 12 = 0 ஆதலால்

[தொகுமுறை வகுத்தலை பயன்படுத்தி)
f(x) = (x – 1) (x – 3) (2x – 1) = 0
⇒ x – 1 = 0, x – 3 = 0 or 2x – 1 = 0
⇒ x = 1, x = 3, x = \(\frac{1}{2}\)
எனவே மூலங்கள் 1, 3,\(\frac{1}{2}\)

(ii) f(x) = 8x³ – 2x² – 7x + 3 = 0 என்க இங்கு ஒற்றைப்படி உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்
= 8 – 7 = 1
மற்றும் இரட்டைப்படி உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்
= -2 + 3 = 1
எனவே, x = – 1 என்பது f(x) ன் ஒரு மூலமாகும் f(x) ஐ (x + 1) ஆல் வகுக்க

∴மற்ற காரணியானது 8x² – 10x + 3

கேள்வி 7.
x⁴ – 14x² + 45= 0 எனும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க.
தீர்வு:
x² = y என பிரதியிடு
⇒ y² – 14y+ 45 = 0

⇒ (y – 9) (y – 5) = 0
⇒ y = 9 (அ) y = 5
⇒ x² = 9 (அ) x² = 5
⇒ x = ±3 (அ) x = ±\(\sqrt{5}\)
எனவே, மூலங்கள் 3, -3, \(\sqrt{5}\) மற்றும் –\(\sqrt{5}\).

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.2

கேள்வி 1.
k என்பது மெய்யெண் எனில், 2x² + kx + k = 0 எனும் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் இயல்பை, k வழியாக ஆராய்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2.x² + kr +k= 0
இங்கு a = 2, b = k, c = k

∴ பண்புகாட்டி
△ = b² – 4ac = k² – 4 (2)(k)
= k² – 8k = k (k – 8)
k மெய் ஆகையால் k -க்கு சாத்தியமான மதிப்புகள்
k < 0, k = 0 அல்ல து 8, 0 < k < 8 அல்லது k > 8
நிலை (i) k < 0 எனில், △ = k (k – 8) > 0
⇒ அது மெய் மூலங்களை கொண்டிருக்கும்
(∵ k என்பது மெய்)
நிலை (ii) k = 0 அல்ல து 8 எனில், △ = 0,
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் நிலை (iii) 0 < k < 8 எனில், △ = k (k – 8) < 0 கற்பனை மூலங்களை கொண்டிருக்கும் நிலை (iv) k > 8 எனில் , △ = k (k – 8) > 0
⇒ மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை

கேள்வி 2.
2 + \(\sqrt{3} i\) -ஐ மூலமாகக் கொண்ட குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
2 + i\(\sqrt{3}\) பல்லுறுப்பு கோவையின் ஒரு மூலம் ஆதலால் அதனுடைய இணை மேலும் 2 – i
\(\sqrt{3}\) யும் அந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு மூலமாகும்.
∴ மூலங்களின் கூடுதல்
= 2 + i\(\sqrt{3}\) + 2 – i\(\sqrt{3}\) = 4
∴ மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
= (2 + i\(\sqrt{3}\)) + (2 – i\(\sqrt{3}\))
= 2² + \((\sqrt{3})^{2}\)
[∵ (a + ib)(a – ib) = a² + b²]
= 4 + 3 = 7
எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x² – x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் = 0
⇒ x² – x(4) + 7 = 0
⇒ x² – 4x + 7 = 0

கேள்வி 3.
2i + 3 -ஐ மூலமாகக் கொண்ட குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட 2i + 3 என்பது ஒரு மூலம்
∴ அதனுடைய இணை 3 – 2i பல்லுறுப்பு கோவைகளின் ஒரு மூலமாகும்.

மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
= (3 + 2i) (3 – 2i)
= 3² + 2² = 9 + 4 = 13
∴ எனவே குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு
x² – x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன் = 0
⇒ x² – x(6) + 13 = 0
⇒ x² – 6x + 13 = 0

கேள்வி 4.
\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{3}\) -ஐ மூலமாகக் கொண்ட குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர்
பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட(\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{3}\)) என்பது ஒரு மூலம்
⇒ \(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{3}\) என்பது மேலும் ஒரு மூலம்
∴ மூலங்களின் கூடுதல்
= \(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{3}\) = 2\(\sqrt{5}\)
மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
= (\(\sqrt{5}\) – \(\sqrt{3}\))(\(\sqrt{5}\) + \(\sqrt{3}\))
= (\(\sqrt{5}\))² – (\(\sqrt{3}\))²
= 5 – 3 = 2
∴ ஒரு காரணி x² – x (மூலங்களின் கூடுதல்) + மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
⇒ x² – 2x\(\sqrt{5}\) + 2
மற்றொரு காரணியும் x² + 2x\(\sqrt{5}\) + 2 ஆகும். இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. ஆகையால் குறைந்தபட்ச படியுடன் விகிதமுறு கெழுக்களுடைய ஓர் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாடு.
(x² – 2x\(\sqrt{5}\) + 2) (x² + 2x\(\sqrt{5}\) + 2) = 0
⇒ (x² + 2 – 2\(\sqrt{5}\)x)(x² + 2 + 2\(\sqrt{5}\)x) = 0
⇒ (x² + 2)² – (2\(\sqrt{5}\)x)² = 0
[∵ (a + b) (a – b) = a² – b²]
⇒ x⁴ + 4x² + 4 – 4(5)x² = 0
⇒ x⁴ + 4x² + 4 – 20x² = 0
⇒ x – 16x² + 4 = 0

கேள்வி 5.
ஒரு நேர்க்கோடும் ஒரு பரவளையமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேற்பட்டு வெட்டிக் கொள்ளாது என்பதனை நிரூபிக்க.
தீர்வு:
ஆய அச்சுகளை பொருத்தமாக தேர்ந்தெடுப் பதன் மூலம் நேர்க்கோட்டுக்கான சமன்பாட்டை y = mx + c …(1)
மற்றும் பரவளையத்திற்கான சமன்பாட்டை y² = 4ax என எடுத்துக் கொள்ளலாம் … (2)
(1)ஐ (2)-ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
(mx + c)² = 4ax
⇒ m²x² + c² + 2mcx = 4ax
⇒ m²x² + x(2mc – 4a) + c² = 0
இது x ல் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடு. இந்த சமன்பாடு இரண்டு தீர்வுகளுக்கு மேல் கொண்டிருக்காது. எனவே ஒரு நேர்க்கோடும் ஒரு பரவளையமும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேற்பட்டு வெட்டிக் கொள்ளாது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.10 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.10

கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்குவிடைகளிலிருந்து சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

கேள்வி 1.
\(\int_{0}^{\frac{2}{3}} \frac{d x}{\sqrt{4-9 x^{2}}}\)_இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{\pi}{6}\)
(2) \(\frac{\pi}{2}\)
(3) \(\frac{\pi}{4}\)
(4) π
விடை:
(1) \(\frac{\pi}{6}\)
குறிப்பு:

கேள்வி 2.
\(\int_{-1}^{2}|x| d x\) இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{2}\)
(2) \(\frac{3}{2}\)
(3) \(\frac{5}{2}\)
(4) \(\frac{7}{2}\)
விடை:
(3) \(\frac{5}{2}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 3.
ஒவ்வொருா ℤ-க்கும்) \(\int_{0}^{\pi} e^{\cos ^{2} x} \cos ^{3}[(2 n+1) x]\) இன் மதிப்பு –
(1) \(\frac{\pi}{2}\)
(2) π
(3) 0
(4) 2
விடை:
(3) 0

குறிப்பு:
\(\int_{0}^{\pi} e^{\cos ^{2} x} \cos ^{3}[(2 n+1) x]\)
e ^cos2s cos³ [(2n + 1)x] என்க
f(-x) = e^cost(-x)2 cos³[(2n + 1)(-x)]
= e^cosx2 – cos³[(2n + 1)x]
= – f (x)
∴ f(x) ஒரு ஒற்றைச் சார்பு

கேள்வி 4.
\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\) sin² x cosx dx இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{3}{2}\)
(2) \(\frac{1}{2}\)
(3) 0
(4) \(\frac{2}{3}\)
விடை:
(4) \(\frac{2}{3}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 5.
\(\int_{-4}^{4}\left[\tan ^{-1}\left(\frac{x^{2}}{x^{4}+1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x^{4}+1}{x^{2}}\right)\right] d x\) இன் மதிப்பு
(1) π
(2) 2π
(3) 3π
(4) 4π
விடை:
(4) 4π

குறிப்பு:

கேள்வி 6.
\(\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{2 x^{7}-3 x^{5}+7 x^{3}-x+1}{\cos ^{2} x}\right) d x\) இன் மதிப்பு
(1) 4
(2) 3
(3) 2
(4) 0
விடை:
(3) 2

குறிப்பு:

[∵ இவைகள் ஒற்றைச் சார்புகள்]
= \([\tan x]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}=\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)-\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)\)
= 1 – (-1) = 2

கேள்வி 7.
\(\int_{0}^{x}\) t cos t dt, எனில் \(\frac{d f}{d x}\)
(1) cos x-x sin x
(2) sin x+x cos x
(3) x cos x
(4) x sin x
விடை:
(3) x cos x

குறிப்பு:
\(\int_{0}^{x}\) t cos t dt
\(\frac{d f}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\int_{0}^{x} t \cos t d t\right)\) = x cos x
[தொகை நுண்கணிதத்தின் முதலாம் அடிப்படை தேற்றத்தை பயன்படுத்தி]

கேள்வி 8.
y² = 43 என்ற பரவளையத்திற்கும் அதன் செவ்வகலத்திற்கும் இடையே பரப்பானது
(1) \(\frac{2}{3}\)
(2) \(\frac{4}{3}\)
(3) \(\frac{8}{3}\)
(4) \(\frac{5}{3}\)
விடை:
(3) \(\frac{8}{3}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 9.
\(\int_{0}^{x}\) x (1 – x)⁹⁹ dx இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{11000}\)
(2) \(\frac{1}{10100}\)
(3) \(\frac{1}{10010}\)
(4) \(\frac{1}{10001}\)
விடை:
(2) \(\frac{1}{10100}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 10.
\(\int_{0}^{\pi} \frac{d x}{1+5^{\cos x}}\) இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{\pi}{2}\)
(2) π
(3) \(\frac{3\pi}{2}\)
(4) 2π
விடை:
(1) \(\frac{\pi}{2}\)

கேள்வி 11.
\(\frac{\Gamma(n+2)}{\Gamma(n)}\) = 90 எனில் 10 இன் மதிப்பு
(1) 10
(2) 5
(3) 8
(4) 9
விடை:
(4) 9

குறிப்பு:
⇒ \(\frac{\Gamma(n+2)}{\Gamma(n)}\) = 90
⇒ \(\frac{(n+1) \Gamma(n+1)}{\Gamma(n)}\) = 90
⇒ \(\frac{(n+1)(n) \Gamma(n)}{\Gamma(n)}\) = 90
⇒ n² + n – 90 = 0
⇒ (n + 10) (n – 9) = 10, 9
⇒ n = 9

கேள்வி 12.
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\) cos³ 3 x dx இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{2}{3}\)
(2) \(\frac{2}{9}\)
(3) \(\frac{1}{9}\)
(4) \(\frac{1}{3}\)
விடை:
(2) \(\frac{2}{9}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 13.
\(\int_{0}^{\pi}\) sin⁴ x dx இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{3\pi}{10}\)
(2) \(\frac{3\pi}{8}\)
(3) \(\frac{3\pi}{4}\)
(4) \(\frac{3\pi}{2}\)
விடை:
(2) \(\frac{3\pi}{8}\)

குறிப்பு:

கேள்வி 14.
\(\int_{0}^{\infty}\) e^-3x x² dx இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{7}{27}\)
(2) \(\frac{5}{27}\)
(3) \(\frac{4}{27}\)
(4) \(\frac{2}{27}\)
விடை:
(4) \(\frac{2}{27}\)

^{குறிப்பு:}

கேள்வி 15.
\(\int_{a}^{a} \frac{1}{4+x^{2}} d x=\frac{\pi}{8}\)எனில் 14 இன் மதிப்பு
(1) 4
(2) 1
(3) 3
(4) 2
விடை:
(4) 2

குறிப்பு:

கேள்வி 16.
y² = x(a – x) என்ற வளைவரையில் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பை x- அச்சைப் பொருத்து சுழற்றுவதால் உருவாகும் திடப்பொருளின் கன அளவு
(1) πa³
(2) \(\frac{\pi a^{3}}{4}\)
(3) \(\frac{\pi a^{2}}{5}\)
(4) \(\frac{\pi a^{3}}{6}\)
விடை:
(4) \(\frac{\pi a^{3}}{6}\)

குறிப்பு:
கன அளவு

கேள்வி 17.
f(x) = \(\int_{1}^{x} \frac{e^{\sin u}}{u} d u\), x > 1 மற்றும் \(\int_{1}^{3} \frac{e^{\sin x^{2}}}{x} d x=\frac{1}{2}[f(a)-f(1)]\) எனில் பெறக்கூடிய ஒரு மதிப்பு
(1) 3
(2) 6
(3) 9
(4) 5
விடை:
(3) 9

குறிப்பு:

கேள்வி 18.
\(\) (sin^-1x)² இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{\pi^{2}}{4}\) – 1
(2) \(\frac{\pi^{2}}{4}\) + 2
(3) \(\frac{\pi^{2}}{4}\) + 1
(4) \(\frac{\pi^{2}}{4}\) – 2
விடை:
(4) \(\frac{\pi^{2}}{4}\) – 2

குறிப்பு:

கேள்வி 19.
\(\int_{0}^{a}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)^{2} d x\) இன் மதிப்பு

விடை:
(2) \(\frac{3 \pi a^{4}}{16}\)

குறிப்பு:
I = \(\int_{0}^{a}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)^{2} d x\)
x = a sin θ என பிரதியிட ⇒ dx = a cos θ dθ

கேள்வி 20.
\(\int_{0}^{x} f(t) d t=x+\int_{x}^{1} t f(t) d t\), எனில் f(1) இன் மதிப்பு
(1) \(\frac{1}{2}\)
(2) 2
(3) 1
(4) \(\frac{3}{4}\)
விடை:
(1) \(\frac{1}{2}\)

குறிப்பு:
\(\int_{0}^{x} f(t) d t=x+\int_{x}^{1} t f(t) d t\)
இருபுறமும் X-ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்த கிடைப்பது
f(x) = 1 – x f (x)
∴ f(1) = 1- f (1)
2f(1) = 1
f(1) = \(\frac{1}{2}\) [தொகை நுண் கணிதத்தின் முதலாம் அடிப்படை தேற்றத்தை பயன்படுத்தி]

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.2

கேள்வி 1.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு வகையீடு dy காண்க :
(i) y = \(\frac{(1-2 x)^{3}}{3-4 x}\)
(ii) y = (3 + sin(2x))^{\(\frac{2}{3}\)}
(iii) y = e^x2-5x+7 cos (x² – 1)
தீர்வு:
y = \(\frac{(1-2 x)^{3}}{3-4 x}\)
கொடுக்கப்பட்ட y = \(\frac{(1-2 x)^{3}}{3-4 x}\)
வகையீடு எடுக்க

(ii) y = (3+sin(2x))^{\(\frac{2}{3}\)}
கொடுக்கப்பட்ட y = (3+sin(2x))^{\(\frac{2}{3}\)}
வகையீடு எடுக்க
dy = \(\frac{2}{3}(3+\sin 2 x)^{\frac{2}{3}-1}(\cos 2 x)(2) d x\)
dy = \(\frac{4}{3} \cdot \frac{\cos 2 x}{(3+\sin 2 x)^{\frac{1}{3}}} d x\)

(iii) y = e^{x2 – 5x + 7} cos (x² – 1)
கொடுக்கப்பட்ட y = e^{x2 – 5x + 7} cos (x² – 1)
வகையீடு எடுக்க
dy = ( e^{x2 – 5x + 7} (-sin (x² – 1)(2x)) + cos (x² – 1) e^{x2 – 5x + 7} (2x -5))dx
= e^{x2 – 5x + 7} [(2x – 5) cos (x² – 1) – 2x sin (x² -1)]dx

கேள்வி 2.
f(x)= x + 3x என்ற சார்பிற்கு ரி காண்க மற்றும்
(i) x = 2, dx = 0.1
(ii) x = 3 மற்றும் dx = 0.02 எனும் போது df -ஐ மதிப்பிடுக.
தீர்வு:
(i) x= 2, dx = 0.1
வகையீடு எடுக்க
df = (2x + 3) dx
x = 2 எனில், dx = 0.1
df = (2(2) + 3) (0.1)
= 7(0.1) = 0.7

(ii) x= 3 மற்றும் dx = 0.02
x = 3 எனில் dr = 0.02,
df = (6+ 3) (0.02)
= 9(0.02)
= 0.18

கேள்வி 3.
f என்ற சார்பிற்கு கொடுக்கப்பட்ட x, ∆x மதிப்புகளுக்கு ∆f மற்றும் df காண்க. மேலும் அவற்றை ஒப்பிடுக.
(i) f(x) = x³ – 2x²; x = 2, ∆x = dx= 0.5
(ii) f(x) = x² + 2x + 3; x=-0.5, ∆x = dx = 0.1
தீர்வு:
(i) f(x) = x³ – 2x²; x = 2, ∆x = dx = 0.5
கொடுக்கப்பட்ட f(x) = x³ – 2x²; x = 2, ∆x = d =0.5
df = f'(x).∆x = (3x² – 4x) ∆R
= [3(2)² – 4(2)] (0.5)
= 4(0.5) = 2.0

∆f = f (x + ∆x) – f(x)
= f(2.5) – f (2)
= [(2.5)³ – 2 (2.5)²] – [2³ – 2(2²)]
= 15.625 – 12.5 – 0 = 3.125

(ii) f(x) = x² + 2x + 3; x =-0.5, ∆x = dx = 0.1
df = f'(x) ∆r = (2x+ 2) (∆x)
x = -0.5, ∆x = dx = 0.1
df = (2(-0.5) + 2)0.1 = 0.1
∆f = f (x + ∆x) – f(x)
= f (-0.5 +0.1) – f (-0.5)
= f (-0.4) – f (-0.5)
= [(-0.4)² + 2 (-0.4) + 3] – [[-0.5)² + 2 (-0.5) + 3]
= (0.16 – 0.8 + 3) – (0.25 – 1 + 3)
= 2.36 – 2.25 = 0.11

கேள்வி 4.
log₁₀e = 0.4343 எனக்கொண்டு log₁₀1003-ன் தோராய மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட log₁₀e = 0.4343
கண்டுபிடிக்க வேண்டியது log₁₀1003
f(x) = log₁₀x, x₀ = 1000, dx = 3
f(1000) = log₁₀¹⁰⁰⁰
= log₁₀¹⁰³ = 3 log₁₀¹⁰
= 3(1) = 3
f'(x) = \(\frac{1}{x}\) log₁₀^e
f'(1000) = \(\frac{1}{1000}\) log₁₀^e
= \(\frac{1}{1000}\) (0.4343)
∴ L(x) = f(x) + f”(x) (x – x₀)
= 3 + \(\frac{1}{1000}\) (0.4343) (3)
= 3 + \(\frac{1.3029}{1000}\)
= 3 +0.0013029
log₁₀¹⁰⁰³ = 3.0013029

கேள்வி 5.
ஒரு மரத்தின் அடிப்பகுதியின் விட்டம் 30 செ.மீ. அடுத்த ஆண்டு அதன் சுற்றளவு 6 செ.மீ அதிகரிக்கின்றது எனில்
(i) தோராயமாக மரத்தின் விட்டம் எவ்வளவு வளர்ந்துள்ளது?
(ii) அதன் குறுக்கு வெட்டுப் பரப்பானது எவ்வளவு சதவீதம் அதிகரித்திருக்கும்?
தீர்வு:
(i) மூலை விட்டம் = 30 செ.மீ
ஆரம் = 15 செ.மீ
சுற்றளவு (c) = 2πr
= 2π(3) = 6π செ.மீ
dc = 2πdr
6 செ.மீ = 2πdr
\(\frac{6}{2 \pi}\) செ.மீ = dr
\(\frac{3}{\pi}\) செ.மீ = dr
மூலைவிட்டத்தின் தோராயமான வளர்ச்சி
2dr = 2 × \(\frac{3}{\pi}\) செ.மீ
= \(\frac{6}{\pi}\) செ.மீ

(ii) A = πr²
dA = π2r dr
dA = π 2 (15) \(\frac{3}{\pi}\) செ.மீ.
dA = 90 செ.மீ
பரப்பளவு = πr²
= π × 15 × 15 செ.மீ²
அதிகரிக்கும் சதவீதம் = \(\frac{90}{\pi \times 15 \times 15} \times 100=\frac{40}{\pi} \%\)

கேள்வி 6.
ஒரு குறிப்பிட்ட பறவையின் முட்டை கிட்டத்தட்ட கோள வடிவமாக உள்ளது. முட்டையின் ஆரம் ஓட்டிற்கு உள்ளே 5 மி.மீ ஆகவும் ஒட்டிற்கு வெளியே 5.3 மி.மீ ஆகவும் உள்ளது எனில் ஓட்டின் தோராய கன அளவைக் காண்க.
தீர்வு:
கோளத்தின் கன அளவு = \(\frac{4}{3}\) πr³
⇒ கொடுக்கப்பட்ட r = 5 மி.மீ
dr = (5.3 – 5) = 0.3 மி.மீ
தோராய கன அளவு = \(\frac{4}{3}\) π. 3r² dr
= 4π (5²)(0.3)
= 1001 (0.3)
= 30π மி.மீ³

கேள்வி 7.
மனிதனின் இரத்தக் குழாயின் (தமனியின்) குறுக்கு வெட்டானது வட்ட வடிவம் எனக் கொள்க. ஒரு நோயாளிக்கு இரத்தக் குழாய் விரிவடைவதற்கான மருந்து கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இரத்தக் குழாயின் ஆரம் 2 மி.மீ இலிருந்து 2.1 மி.மீ ஆக அதிகரிக்கும் போது அதன் குறுக்கு வெட்டின் பரப்பு தோராயமாக எந்த அளவு அதிகரிக்கும்? !
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட r = 2 மி.மீ
dr = (2.1 – 2) = 0.1 மி.மீ
பரப்பளவு = πr²
தோராயமான பரப்பு dA = 2πrdr
= 2π (2) (0.1)
= 4π (0.1) = 0.4 π மி.மீ.²

கேள்வி 8.
புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட ஒரு நகரத்தின் வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கையின் (ஆயிரங்களில்) அதிகரிப்பு V(t) = 30 + 12t² – t³, 0 ≤ t ≤ 8 என்பதால் மதிப்பிடப்படுகின்றது. இங்கு t என்பது ஆண்டுகளை குறிக்கின்றது. காலம் 4-இலிருந்து 4\(\frac{1}{6}\) வருடமாக இருக்கும் போது ஏற்படும் தோராய வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கை மாற்றத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
V(I) = 30 + 12t² – t³, 0 ≤ t ≤ 8
கொடுக்கப்பட்ட t = 4, dt = 4 \(\frac{1}{6}\) – 4 = 1
தோராயமாக வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கை மாற்றம்
= (24t – 3t²) dt
= [24(4)- 3(4)²]\(\frac{1}{6}\)
= (96 – 48)\(\frac{1}{6}\) = \(\frac{48}{6}\) = 3
தோராயமாக வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கை மாற்றம் = 8000.

கேள்வி 9.
ஒரு மனிதன் : மணி நேரத்தில் கற்கும் வார்த்தைகளுக்கான தொடர்பு ) = 52\(\sqrt{x}\), 0 ≤ x ≤ 9 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. x -ன் மதிப்பு பின்வருமாறு மாறும் போது கற்றல் வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கையில் ஏற்படும் தோராய மாற்றத்தைக் காண்க.
(i) 1 இலிருந்து 1.1 மணி?
(ii) 4 இலிருந்து 4.1 மணி?
தீர்வு:
y = 52\(\sqrt{x}\), 0 ≤ x ≤ 9
(i) கொடுக்கப்பட்ட x = 1, dx = 1.1 – 1 = 0.1
தோராயமாக கற்ற வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை
= \(52 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{26}{\sqrt{x}} d x\)
= \(\frac{26}{\sqrt{1}}\) (0.1) = 2.6
≅ 3 வார்த்தைகள்

(ii) x = 4 எனில், dx = 4.1 – 4 = 0.1
தோராயமாக கற்ற வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை
\(=\frac{26}{\sqrt{x}} d x=\frac{26}{\sqrt{4}}(0.1)=\frac{26}{2}(0.1)\)
= 13(0.1) = 1.3
≅ 1 வார்த்தை .

கேள்வி 10.
ஒரு வட்ட வடிவத் தகடு வெப்பத்தினால் சீராக விரிவடைகின்றது என்க. அதன் ஆரம் 10.5 செ.மீ – இலிருந்து 10.75 செ.மீ – ஆக அதிகரிக்கும் போது அதன் பரப்பில் ஏற்படும் தோராய அதிகரிப்பு மற்றும் தோராய சதவீத அதிகரிப்பு ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட r = 10.5 செ.மீ
dr = 10.75 – 10.5 = 0.25
பரப்பு = πr²
பரப்பில் ஏற்படும் தோராய மாற்றம் = π (2r) dr
= 2π (10.5) (0.25)
= 5.251 செ.மீ²
பரப்பில் ஏற்படும் தோராய சதவீத மாற்றம்
= \(\frac{5.25 \pi}{\pi(10.5)(10.5)} \times 100\)
= \(\frac{5.25}{110.25} \times 100\)
= 0.0476 × 100 = 4.76%

கேள்வி 11.
10 செ.மீ பக்க அளவு கொண்ட ஒரு கன சதுரத்தின் பக்கங்களுக்கு 0.2 செ.மீ கனத்திற்கு வர்ணம் பூசப்படுகின்றது. வகையீடுகளைப் பயன்படுத்தி அந்த கன சதுரத்தின் வர்ணப்! பூச்சிற்கு தோராயமாக எத்தனை கன செ.மீ அளவிற்கு வர்ணம் பயன்படுத்தப்பட்டது எனக் காண்க . மேலும் துல்லியமாக எவ்வளவு வர்ணம் பயன்படுத்தப்பட்டது என்பதையும் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட a = கன சதுரத்தின் பக்க அளவு |
= 10 செ.மீ மற்றும்
dx = 0.2 செ.மீ
கன சதுரத்தின் கன அளவு = a³
தோராயமாக பயன்படுத்தப்பட்ட வர்ணத்தின் கன
செ.மீ அளவு = 3a² da
= 3(10²) (0.2)
= 300\(\left(\frac{2}{10}\right)\) = 60 செ.மீ³
துல்லியமாக பயன்படுத்தப்பட்ட வர்ணத்தின் அளவு
= f (x + ∆x) – f (x)
= f (10.2) – f (10)
= 10.2³ – 10³
= 1061.208 – 1000
= 61.208 செ.மீ³

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.1

கேள்வி 1.
f(x) = \(\sqrt [ 3 ]{ x }\) என்க. x = 27 இல் நேரியல் தோராய மதிப்பைக் காண்க. நேரியல் தோராய மதிப்பை பயன்படுத்தி \(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 }\) ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\sqrt [ 3 ]{ x }\) மற்றும்
x₀ = 27 என்க
∆x = 0.2 என அறிவோம்.
L(x) = f(x₀) + f'(x₀)
(x – x₀) ∀ x ∈ (a, b)
∴ \(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 }\) = f (27) + f'(27) (0.2) …….(1)
இங்கு f (27) = \(\sqrt [ 3 ]{ 27 }\) = 3
f'(x) = \(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3} x^{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}\)
∴ f'(27) = \(\frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}} \frac{1}{3\left(3^{2}\right)}=\frac{1}{27}\)
∴ (1) லிருந்து, 1
\(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 }\) = 3 +\(\frac{1}{27}\) (0.2)
= 3 + .0074 = 3.0074
∴ \(\sqrt [ 3 ]{ 27.2 }\) = 3.0074

கேள்வி 2.
நேரியல் தோராய மதிப்பீட்டு முறையில் பின்வருவனவற்றின் தோராய மதிப்புகளைக் காண்க.
(i) (123)^{\(\frac{2}{3}\)}
(ii) \(\sqrt [ 4 ]{ 15 }\)
(iii) \(\sqrt [ 3 ]{ 26 }\)
தீர்வு:
(i) (123)^{\(\frac{2}{3}\)}, x₀, = 125, ∆x = – 2 என்க.

(ii) \(\sqrt [ 4 ]{ 15 }\)

(iii) \(\sqrt [ 3 ]{ 26 }\)

∴ f'(27) = \(\frac{1}{3(27)^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3\left(3^{2}\right)}=\frac{1}{27}\)
∴ (1) லிருந்து,
\(\sqrt [ 3 ]{ 26 }\) = 3 + \(\frac{1}{27}\)(-1)
= 3 – \(\frac{1}{27}\) = 3 – 0.037
\(\sqrt [ 3 ]{ 26 }\) = 2.963

கேள்வி 3.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு , கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் நேரியல் தோராய மதிப்பைக் காண்க.
(i) f(x) = x³ – 5x + 12, x₀ = 2
(ii) g(x) = \(\sqrt{x^{2}+9}\), x₀ = -4
(iii) h (x) = \(\frac{x}{x+1}\), x₀ = 1
தர்வு:
(i) f(x) = x³ – 5x + 12, x₀ = 2
f(x₀) = x³ – 5x + 12, x₀ = 2
f(x) = 23 – 5(2) + 12
= 8 – 10 + 12 = 10
f'(x) = 3x² – 5
⇒ f'(x) = 3(2²) – 5 = 7
∴ L (x) = f (x) +f’ (x₀) (x – x)
= 10 + 7(x – 2)
= 10 + 7x – 14
L(x) = 7x – 4

(ii) g(x) = \(\sqrt{x^{2}+9}\), x₀ = 4
கொடுக்கப்பட்ட g(x) = \(\sqrt{x^{2}+9}\), x₀ = 4
g(x₀) = \(\sqrt{(-4)^{2}+9}=\sqrt{16+9}=5\)
g'(x) = \(\frac{1}{2}\left(x^{2}+9\right)^{-\frac{1}{2}}(2 x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\)
∴ g'(x₀ = \(\frac{-4}{\sqrt{(-4)^{2}+9}}=\frac{-4}{5}\)
∴ L(x) = g(x₀) + g'(x₀) (x – x₀)
= \(5-\frac{4}{5}(x+4)=\frac{25-4 x-16}{5}\)
L(x) = \(\frac{9-4 x}{5}\)

(iii) h (x) = \(\frac{x}{x+1}\), x₀ = 1

கேள்வி 4.
ஒரு வட்ட தகட்டின் ஆரம் 12.65 செ.மீ-க்குப் பதிலாக 12.5 செ.மீ என அளக்கப்படுகின்றது எனில் அதன் பரப்பு கணக்கிடுவதில் பின்வருவனவற்றை காண்க :
(i) தனிப்பிழை
(ii) சார் பிழை
(iii) சதவீதப் பிழை
தீர்வு:
மெய் மதிப்பு = 12.5 செ.மீ,
தோராய மதிப்பு = 12.65 செ.மீ
வட்ட வடிவ தகட்டின் பரப்பு = πr²
A(12.5) = π(12.5)² = 156.25 1 செ.மீ² –
A(12.65) = π(12.65)² = 160.0225π செ.மீ.²
தோராய மதிப்பு = 12.65 – 12.5 = 0.15

(i) தனிப்பிழை = π(0.15) = 0.0225 1 செ.மீ²
சார் பிழை = A(12.65) – A(12.5)/A(12.5) !

(ii) சார் பிழை = \(\frac{160.0225 \pi-156.25 \pi}{160.0225 \pi}\)
= \(\frac{3.7725 \pi}{160.0225 \pi}\) =0.024 செ.மீ²

(iii)சதவீதப் பிழை = 0.024 × 100 = 2.4%
கோளத்தின் கன அளவு = \(\frac{4}{3}\)πr²

கேள்வி 5.
பனிக்கட்டியிலான ஒரு கோளத்தின் ஆரம் 10 செ.மீ. அதன் ஆரம் 10 செ.மீலிருந்து 9.8 செ.மீ -ஆக குறைகின்றது. பின்வருவனவற்றின் தோராய மதிப்பினைக் காண்க :
(i) கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
(ii) வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம்
தீர்வு:
கன அளவில் ஏற்படும் மாற் = \(\frac{4}{3}\) π r³
கொடுக்கப்பட்ட r = 10 செ.மீ.
\(\frac{d r}{d t}\) = -0.2 செ.மீ

(i) கன அளவு
V = \(\frac{4}{3}\) π r³
கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம்
= \(\frac{4}{3}\) π . 3r² \(\frac{d r}{d t}\)
= 4π (10)² (-0.2)
= 400 π (-0.2) = -80 1 செ.மீ
∴ கன அளவு 80 1 செ.மீ குறைகிறது.

(ii) வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம்
கோளத்தின் வளைபரப்பு = 4 π r²
வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் = 4 π . 2r. \(\frac{d r}{d t}\)
= 8π (10) (-0.2)
= –\(\frac{80 \pi \times 2}{10}\) = -16 π செ.மீ²
∴ வளைப்பரப்பு 16 1 செ.மீ குறைகிறது.

கேள்வி 6.
l நீளம் உள்ள ஒரு தனி ஊசலின் முழு அலைவு நேரம் T என்பது T = 2π \(\sqrt{\frac{1}{g}}\), என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இங்கு 8 ஒரு மாறிலி 1-ல் ஏற்படும் 2 சதவீதப் பிழைக்கு ஏற்ப T-ன் கணக்கீட்டில் ஏற்படும் தோராய சதவீதப் பிழையைக் காண்க. ,
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தனி பிழை = 2%
⇒ \(\frac{d l}{l} .\) = 2% = \(\frac{2}{100}\) =0.02
கொடுக்கப்பட்ட T = 2π \(\sqrt{\frac{1}{g}}\)
இருபுறமும் மடக்கை எடுக்க கிடைப்பது,
log T = log 2π + \(\frac{1}{2}\) log l – \(\frac{1}{2}\) log g
இருபுறமும் வகையீடு எடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac{1}{T}\) dT = 0 + \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{1}{l}\) . dl
\(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) = \(\frac{1}{2}\) (.02)
\(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) = 0.01
∴ \(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) × 100 = 0.01 × 100 = 1%

கேள்வி 7.
ஓர் எண்ணின் n -ஆம் படி மூலம் கணக்கிடப்படும் போது ஏற்படும் சதவீதப் பிழை தோராயமாக, அந்த எண்ணின் சதவீதப் பிழையின் – மடங்கு ஆகும் எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
அந்த எண் என்க.
y = f(x) = x^{\(\frac{1}{n}\)}
பிறகு \(\frac{1}{n}\) log y = – logx
இருபுறமும் வகையீடு எடுக்க கிடைப்பது
\(\frac{1}{y}\) dy = \(\frac{1}{n}\) × \(\frac{1}{x}\) dx
அதாவது \(\frac{\Delta y}{y} \simeq \frac{d y}{y}=\frac{1}{n} \cdot \frac{d x}{x}\)
∴ \(\frac{\Delta y}{y} \times 100 \simeq \frac{1}{n}\left(\frac{d x}{x} \times 100\right)\)

அந்த எண்ணின் சதவீதப் பிழையின் ≅ \(\frac{1}{n}\) மடங்கு எனவே ஒரு எண்ணின் 1ஆம் படி மூலம் கணக்கிடப்படும் போது ஏற்படும் சதவீதம் பிழை தோராயமாக, அந்த எண்ணின் சதவீதப் பிழையின் \(\frac{1}{n}\) மடங்கு ஆகும்.