Prasanna

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.6

கேள்வி 1.
சார்பு u (x,y) = x²y + 3xy⁴, x = e^t மற்றும் y = sin t, எனில் \(\frac{d u}{d t}\) -ஐக் காண்க. மேலும் 1 = 0-ல் அதன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட u (x, y) = x²y + 3xy⁴,
x = e^t, y = sin t
\(\frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}\) ………….. (1)
x = e^t
⇒ \(\frac{d x}{d t}\) = e^t

(1) இல் பிரதியிட கிடைப்பது,
\(\frac{d u}{d t}\) = (2e^t sint + 3 sin⁴ t)e^t + (e^2t + 12e^t sin³ t) cos t
\(\frac{d u}{d t}\) = 2e^2t sin t + 3 e^t sin⁴ t + e^2t cos t + 12e^t sin³ t cos t]
= e^t [2e^t sin t + 3 sin⁴ t + cos t + 12 sin³ t cos t]
\(\left(\frac{d u}{d t}\right)_{t=0}\) = e⁰ [2(1)(0) + 3(0) + 1 + 12 (0)]
= 1 [1] = 1
∴ \(\left(\frac{d u}{d t}\right)_{t=0}\) = 1

கேள்வி 2.
u(x, y, z) =xy²z³, x = sin t, y = cos t, z = 1 + e^2t, எனில் -ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட u (x, y, z) = xy² z³;
x = sin t, y = cos t; z = 1 + e^2t

\(\frac{d z}{d t}\) = 2e^2t
சங்கிலி விதிப்படி,
\(\frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}\)
= cos² t(1 + e^2t)³ (cos t) + 2 sin t cos t ( 1 + e^2t)³ (-sin t) + 3 sin t cos² t (1 + e^2t)² (2e^2t)
= (1 + e^2t)² [cos³ t(1 + e^2t) – 2 sin² t cos t (1 + e^2t) + 6 sin t cos² t e^2t]
= (1 + e^2t)² [cos³ t ( 1 + e^2t) – sin t sin 2t (1 + e^2t) + 6 sin t cos² t. e^2t]
[∵ sin 2t = 2 sin t cos t]

கேள்வி 3.
w (x, y, z) = x² + y² + z², x = e^t, y = e^t sin t; மற்றும் z = e² cos t எனில் \(\frac{d w}{d t}\) -ஐக் காண்க.
தீர்வு:
w (x, y, z) = x² + y² + z²,
x = e^t, y = e^t sin t, z = e^t cos t

சங்கிலி விதிப்படி,
\(\frac{d w}{d t}=\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}\)
∴ \(\frac{d w}{d t}\) = 2e^t(e^t) + 2e^t sin t (e^t cos t + sin t e^t) – e^t sin t + 2e^t cos t (e^t cos t – e^t sin t) .
∴ \(\frac{d w}{d t}\) = 2e^t[2 + 2 sin t cos t + 2 sin² t – 2 sin t cos t + 2cos² t]
= e^2t [2 + 2] = 4e^2t

கேள்வி 4.
U(x, y, z) = xyz, x = e^-t, y = e^-t cos t, z = sin t, T ∈ ℝ எனில் – ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட u (x,y, z) = xyz; x = e^-t; y = e^-t cos t; z = sin t

∴ சங்கிலி விதிப்படி,
\(\frac{d w}{d t}=\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}\)
∴ \(\frac{d w}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d t}+\frac{\partial u}{\partial z} \cdot \frac{d z}{d t}\)
= e^-t cos t sini (-e^-t) + e^-t sin t (-e^-t) + e^-t sin t (-e^-t sin t – e^-t cos t (e^-t cos t) + (- e^-2t) cos t (cos ^-t)
= -e^-2t [(sin t cos t + sin² t + sin t cost – cos² t]
= -e^-2t [2 sin t cos t – (cos² t – sin² t)]
\(\frac{d u}{d t}\) = -e^-2t [sin 2t – cos 2t] [∵ cos 2t = cos² t – sin² t மற்றும் sin 2t = 2 sin t cos t]

கேள்வி 5.
W(x, y) = 6x³ – 3xy + 2y², x= e^t, y = cos s ∈ ℝ \(\frac{d w}{d s}\) எனில் -ஐக் காண்க மற்றும் S = 0 இல் அதன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட W (x, y) = 6x³ – 3xy + 2y²
x = e^s cos s
\(\frac{d w}{d x}\) = 18x² – 3y; \(\frac{d w}{d y}\) = -3x + 4y;
= 18(e^2s) – 3 cos (s);
\(\frac{d w}{d y}\) = -3e^s + 4 cos (s)
\(\frac{d x}{d s}\) = e^s; \(\frac{d y}{d s}\) = -sin(s)
சங்கிலி விதிப்படி,
\(\frac{d w}{d s}=\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d s}+\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d s}\)
= [18 e^2s – 3 cos (s)]e^s + (-3e^s + 4 cos (s)). (- sin (s))
∴ \(\frac{d w}{d s}\) = 18e^s – 3e^s cos (s) + 3e^3s (sin s) – 4 sin s cos s
இங்கு, \(\left(\frac{d w}{d s}\right)_{s=0}\) = 18(1) – 3 (1) (1) + 0 – 0
= 18 – 3 = 15

கேள்வி 6.
z(x, y) = x tan^-1(x, y), x = t², y = se^t, s, t ∈ ℝ \(\frac{\partial z}{\partial s}\) மற்றும் \(\frac{\partial z}{\partial t}\) ஆகியவற்றை s = t = 1 இல் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z (x, y) = x tan^-1 (xy) ;
x = t²; y = s^et

மேலும், \(\frac{d x}{d s}\) = 0; \(\frac{d y}{d s}\) = e^t
சங்கிலி விதிப்படி,

சங்கிலி விதிப்படி

கேள்வி 7.
U(x, y) = e^x sin y, என்க. இங்கு x = st², y = s²t, s t ∈ ℝ. \(\frac{\partial U}{\partial s}, \frac{\partial U}{\partial t}\) ஆகியவற்றை s = t = 1 இல் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட U(x, y) = e^x sin y,; x = st²
y = s²t

சங்கிலி விதிப்படி

கேள்வி 8.
z(x, y) = x³ – 3x²y³ என்க. இங்கு x = se^t, y = se^t, s, t ∈ ℝ. \(\frac{\partial z}{\partial s}\) மற்றும் \(\frac{\partial z}{\partial t}\) -ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z (x, y) = x³ – 3x²y³
x = se^t; y = se^-t

சங்கிலி விதிப்படி ;
∴ \(\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d s}+\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{d y}{d x}\)
= (3s² – e^2t – 6 s⁴ e^-2t) (e^t) + (-9s⁴) (e^-t)
= 3s² – e^3t – 6 s⁴ e^-t – 9 s⁴ e^-t
\(\frac{\partial z}{\partial s}\) = 3s² e^3t – 15 s⁴ e^-t

சங்கிலி விதிப்படி ;
\(\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{d y}{d t}\)
= (3s² e^2t – 6 s⁴ e^-2t) (se^t) + (-9s⁴) (-se^-t)
= 3s³ e^3t – 6s⁵ e^-t + 9s⁵ e^-t
= 3s³ e^3t + 3s⁵ e^-t = 3s³(e^3t + e^-t)

கேள்வி 9.
W(x, y, z) = xy + yz + zx, x = w – v, y = uv, z = u + v, u, v E∈ ℝ. எனில் \(\frac{\partial W}{\partial u}, \frac{\partial W}{\partial v}\) காண்க மற்றும் \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\) இல் அவற்றின் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட
W (x, y, z) = xy + yz + zx; x = u – y; y = uv; z = u + v
\(\frac{\partial \mathrm{W}}{\partial x}\) = y + z ; \(\frac{\partial \mathrm{W}}{\partial y}\) = x + z;
∴ \(\frac{\partial \mathrm{W}}{\partial x}\) = uv + u + v;

சங்கிலி விதிப்படி,

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 7 வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 7.6

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளிகளில் மீப்பெரு மற்றும் மீச்சிறு அறுதி மதிப்புகளை காண்க.
(i) f(x) = x² – 12x + 10; [1, 2]
(ii) f(x) = 3x⁴ – 4x³; [-1, 2]
(iii) f (x) = 6x^{\(\frac{4}{3}\)} – 3x^{\(\frac{1}{3}\)}; [-1, 1]
(iv) f(x) = 2 cos x + sin 2x ; [0, \(\frac{\pi}{2}\)]
தீர்வு:
(i) f(x) = x² – 12x + 10; [1, 2]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = x² – 12x + 10 ; [1, 2]
f'(x) = 2x – 12
f'(x) = 0
⇒ 2x – 12
⇒ 2x = 12
⇒ x = 6
∴ நிலைப்புள்ளி எண் 6. முனைப்புள்ளிகள்.x = 1, x = 2 மற்றும் x = 6 நிலை எண் f(x) ஐ மதிப்பிடும் பொழுது கிடைப்பது
f(1) = 1² – 12 (1) + 10 = -1
f(2) = 2² – 12 (2) + 10 = -10
⇒ f(6) = 6² – 12 (6) + 10
= 36 – 72 + 10 =- 26
இம்மதிப்புகளில் மீப்பெரு அறுதி மதிப்பு -1 அது x = 1 -ல் கிடைக்கிறது மற்றும் x = 6 மீச்சிறு அறுதி மதிப்பு – 26 அது -1ல் கிடைக்கிறது,

(ii) f(x) = 3x⁴ – 4x³; [-1, 2]
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = 3x⁴ – 4x³; [–1, 2]
f'(x) = 12x³ – 12x²
f'(x) = 0
⇒ 12x³ – 12x² = 0
⇒ 12x² (x – 1) = 0
⇒ x = 0 அல்ல து x = 1
f (x) முனைப்புள்ளிகள் x =-1, x = 2 மற்றும் நிலை எண் ஆகியவற்றில் x = 0, x = 1 மதிப்பில் கிடைப்பது,
f(-1) = 3(-1)⁴ – 4 (-1)³
= 3 + 4 = 7
f(2) = 3(2)⁴ – 4(2³)
= 48 – 32 = 16
f(0) = 1
f(1) = 3(1)⁴ – 4(1)³
= 3 – 4 = -1
இம் மதிப்புகளில் மீப்பெரு அறுதி மதிப்பு 16 ஆனது x = 2-ல் கிடைக்கிறது மற்றும் x = 1 | மீச்சிறு அறுதி மதிப்பு அது – 1ல் கிடைக்கிறது.

(iii) f(x) = 6x^{\(\frac{4}{3}\)} – 3x^{\(\frac{1}{3}\)}; [-1, 1]

ஆதலால் நிலை எண் x = \(\frac{1}{8}\)
முனைப்புள்ளிகள் x = -1, x = 1 மற்றும் நிலை எண் x = \(\frac{1}{3}\), ஆகியவற்றில் f (x) ஐ மதிப்பிட கிடைப்பது
f(-1) = 6(-1)^{\(\frac{4}{3}\)} – 3(-1)^{\(\frac{1}{3}\)}
= 6(1) – 3 (-1) = 6 + 3 = 9

இம்மதிப்புகளில் அறுதி மீப்பெரு 9 அது x = -1 -ல் கிடைக்கிறது மற்றும் அறுதி மீச்சிறு –\(\frac{9}{8}\) அது x = \(\frac{1}{8}\) –ல் கிடைக்கிறது.

(iv) f (x) = 2 cos x + sin 2x ; [0, \(\frac{\pi}{2}\)]
f'(x) = -2 sinx + 2 cos 2x
f'(x) = 0
⇒ -2 sinx + 2 cos 2x = 0
⇒ -2 sin x + 2(1 – 2 sin²x) = 0
⇒ 4 sin² x + 2 sin x – 2 = 0
⇒ 4 sin² x + 2 sin x- 2 = 0
⇒ 2 sin² x + sin x – 1 = 0
⇒ (sin x + 1)(2 sin x – 1) = 0
⇒ sin x = -1 (அ) sin x = \(\frac{1}{2}\)
⇒ sin x = – sin \(\frac{\pi}{2}\) (அ)
sin x = sin \(\frac{\pi}{6}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{2}\) (அ) x = \(\frac{\pi}{6}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{6}\) [∵ x = –\(\frac{\pi}{2}\) ∉ [0, \(\frac{\pi}{2}\)]]
∴ நிலைப்புள்ளி x = \(\frac{\pi}{6}\)
முனைப்புள்ளிகள் x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\) மற்றும் நிலை எண் x = \(\frac{\pi}{6}\) ஆகியவற்றில் f (x) மதிப்பிட கிடைப்பது
f(0) = 2 cos 0 + sin 0 = 2
\(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) = 2 cos \(\frac{\pi}{2}\) + sin π = 0
\(f\left(\frac{\pi}{6}\right)\) = 2 cos \(\frac{\pi}{6}\) + sin \(\frac{\pi}{3}\)
= \(2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)
இடமதிப்புகளில் அறுதி மீப்பெரு \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\) அது x = \(\frac{\pi}{6}\) ல் கிடைக்கிறது மற்றும் அறுதி மீச்சிறு 0 அது x = \(\frac{\pi}{2}\) ல் கிடைக்கிறது.

கேள்வி 2.
கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு ஓரியல்பு இடைவெளிகளைக் கணக்கிட்டு அதிலிருந்து இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகளைக் காண்க :
(i) f(x) = 2x³ + 3x² – 12x
(ii) f (x) = \(\frac{x}{x-5}\)
(iii) f(x) = \(\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\)
(iv) f(x) = \(\frac{x^{3}}{3}\) – log x
(v) f (x) = sin x cos x + 5, x ∈ (0, 2π)
தீர்வு:
(i) f(x) = 2x³ + 3x² – 12x
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = 2x³ + 3x² – 12x
கொடுக்கப்பட்ட சார்பானது எல்லா x ∈ (-∞, ∞) க்கும் வரையறுக்கப்பட்டு மற்றும் வகைப்படுத்ததக்கது.
f'(x) = 6x² + 6x – 12
தேக்கநிலை புள்ளிகள் கிடைப்பது 6x² + 6x – 12 = 0
⇒ x² + x – 2 = 0
⇒ (x + 2) (x – 1) = 0
⇒ x = -2, 1

∴ (-∞,- 2), (1, ∞) ஆகிய இடைவெளிகளில் f (x) ல் திட்டமாக ஏறும் மற்றும் (-2, 1) ல் திட்டமாக இறங்கும்.
f'(x) இன் குறி மிகையிலிருந்து குறையாக x = -2ல் மாறுவதால் இடஞ்சார்ந்த பெருமதிப்பு x = – 2ல் கிடைக்கிறது.
∴ f(-2) = 2 (-2)³ + 3 (-2)² – 12 (-2)
= 2(-8) + 3(4) + 24
= -16 + 12 + 24 = 20
மேலும் f ‘(x) குறையிலிருந்து மிகையாக x = 1ல் மாறுகிறது, இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு x = 1 ல் கிடைக்கிறது.
∴ f (1) = 2 (1)³ + 3 (1)² – 12(1)
= 5 – 12 = -7

(ii) f(x) = \(\frac{x}{x-5}\)
கொடுக்கப்பட்ட f (x) = \(\frac{x}{x-5}\)
எல்லா x ∈ ℝ – {5} க்கும் f (x) வரையறுக்கப்படும் மற்றும் f (x) அதில் வகையிடத்தக்கது.
∴ f'(x) = \(\frac{(x-5)(1)-x(1)}{(x-5)^{2}}\)
= \(\frac{x-5-x}{(x-5)^{2}}=\frac{-5}{(x-5)^{2}}\)
f'(x) = 0
⇒ \(\frac{-5}{(x-5)^{2}}\) ≠ 0
தேக்கநிலை புள்ளி இல்லை. சாத்தியமான இடைவெளிகள் (-∞, 5) மற்றும் (5, ∞).

∴ (-∞, 5) மற்றும் (5, ∞) ல் f (x) ஆனது திட்டமாக இறங்கும்.
தேக்கநிலை புள்ளி இல்லை ஆதலால் வளைவரை தனது நிலையை மாற்றவில்லை. எனவே இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகள் இல்லை . !

(iii) f (x) = \(\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\)
(-∞, ∞) ல் f (x) ஆனது வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் வகையிடத்தக்கது.
∴ f'(x) = \(\frac{\left(1-e^{x}\right) e^{x}-e^{x}\left(-e^{x}\right)}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}\)
= \(\frac{1-e^{2 x}+e^{2 x}}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}=\frac{1}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}\)
f'(x) = 0 ⇒ \(\frac{1}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}\) ≠ 0 ஆகையால் தேக்க நிலை புள்ளி இல்லை
எல்லா x ∈ (-∞, ∞) க்கும் f'(x) = \(\frac{1}{\left(1-e^{x}\right)^{2}}\) > 0 ஆதலால் f (x) ஆனது (-∞, ∞) இல் திட்டமாக ஏறும்.
தேக்க நிலை புள்ளி இல்லாதததால், வளைவரையின் நிலையில் மாற்றமில்லை. எனவே இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகள் இல்லை .

(iv) f(x) = \(\frac{x^{3}}{3}\) – log x
x ∈ (0, ∞) ல் f (x) ஆனது வரையறுக்கப் பட்டுள்ளது மற்றும் வகையிடத்தக்கது.
∴ f'(x) = \(\frac{3 x^{2}}{3}-\frac{1}{x}=x^{2}-\frac{1}{x}\)
f'(x) = 0
⇒ \(\frac{1}{x}\) = 0 ⇒ \(\frac{x^{3}-1}{x}\) = 0
⇒ x³ – 1 = 0 ⇒ x³ = 1
⇒ x = 1
∴ தேக்கநிலை புள்ளி x = 1ஆகும்.
தேவையான இடைவெளி (0, 1) மற்றும் (1, ∞).

f'(x)ன் குறி .x = 1ஐ கடக்கும் போது குறையிலிருந்து மிகையாக மாறுவதால் x = 1ல் இடம் சார்ந்த சிறுமம் f'(x) ல் அமைகிறது.
∴ f'(1) = \(\frac{1^{3}}{3}\) – log 1
= \(\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\)

(v) f (x) = sin x cosx + 5, x ∈ (0, 2π)
f(x)ல்.x ∈ (0, 2π) ஆனது வரையறுக்கப்படுகிறது மற்றும் வகையிடத்தக்கது.
f'(x) = sin x (-sin x) + cos x (cos x)
= cos² x – sin² x
= cos 2x
f'(x) = 0
⇒ cos x = 0 = cos\(\frac{\pi}{2}\), cos \(\frac{3\pi}{2}\), cos \(\frac{5\pi}{2}\), cos \(\frac{7\pi}{2}\)
⇒ 2x = \(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\) -ல்
தேக்கநிலை புள்ளிகள் உள்ளன.
\(\left(0, \frac{\pi}{4}\right),\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)\left(\frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)\left(\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right)\)
தேவையான இடைவெளி

∴ f(x) ல் \(\left(0, \frac{\pi}{4}\right)\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)\left(\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right)\) ஆனது . திட்டமாக ஏறும் மற்றும் \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)\left(\frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)\) ல் திட்டமாக ஏறும் மற்றும் திட்டமாக இறங்கும். f'(x) -ன் குறி x = \(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\), ஐ கடக்கும் போது மிகையிலிருந்து குறையாக மாறுவதால் x = \(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\), -க்கு இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு உள்ளது.

மேலும் f ‘(x) -ன் குறி x = \(\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\)–ஐ கடக்கும் ! போது குறையிலிருந்து மிகையாக மாறுவதால் \(\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\)-ல் இடஞ்சார்ந்த சிறுமத்தை அடையும்.
∴ f'(x) = \(\cos \frac{3 \pi}{4} \sin \frac{3 \pi}{4}+5\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 4 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் Ex 4.1

Question 1.
x-ன் அனைத்து மதிப்புகளையும் காண்க.
(i) -10π ≤ x ≤ 10π மற்றும் sin x = 0
(ii) -8π ≤ x ≤ 8π and sin x = -1.
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட sin x = 0
⇒ sin x = sin 0 ⇒ x = nπ, n ∈ Z.
-10π ≤ x ≤ 10π, n ஆனது-1 லிருந்து-10 லிருந்து +10 எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
∴ x = nπ, இங்கு n = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, ±8, ±9, ±10

(ii) sinx = -1
⇒ sin x = sin \(\left(\frac{-\pi}{2}\right)\) ⇒ x = \(\frac{-\pi}{2}\), \(\frac{3 \pi}{2}\), \(\frac{7 \pi}{2}\), ….
⇒ x = (4n – 1)\(\frac{\pi}{2}\) ; n ∈ z. ⇒ x= (4n – 1)\(\frac{\pi}{2}\); n எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள் 0, ±1, ±2, ±3 மற்றும் ±4
ஆதலால் n = -4 எனில், x = \(\frac{-17 \pi}{2}\) < -8π.

Question 2.
பின்வருவனவற்றின் காலம் மற்றும் வீச்சு காண்க.
(i) y = sin 7x
(ii) y = – sin \(\left(\frac{1}{3} x\right)\)
(iii) y = 4sin(-2x).
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட y = sin 7x
sinx- ன் வீச்சு 1 (சைன் வளைவரையின் மீப்பெரு மதிப்பு 1]
⇒ sin 7x -ன் வீச்சும் கூட 1.
சார்பின் காலம் p எனில் f(x + p) = f(x).
சைன் சார்பின் காலம் 2π. ஆதலால் sin 7x ன் காலம் \(\frac{2 \pi}{7}\) ஏனெனில் sin 7 \(\left(\frac{2 \pi}{7}\right)\) = sin 2π.

(ii) y = – sin\(\left(\frac{1}{3} x\right)\) sin x -ன் வீச்சு 1
⇒ – sin\(\left(\frac{1}{3} x\right)\)ன் வீச்சும் மேலும் 1.
– sin\(\left(\frac{1}{3} x\right)\) ன் காலம் \(\left(\frac{1}{3} x\right)\) = 2π ⇒ x = 6π.

(iii) y = 4 sin (-2x)
sin x -ன் வீச்சு1
⇒ sin (-2x) -ன் வீச்சு 1.
∴ 4 sin(-2x)-ன் வீச்சு 4 × 1 = 4.
sin(-2x) ன் காலம் 2x = 2π ⇒ x = \(\frac{2 \pi}{2}\) = π

Question 3.
0 ≤ x ≤ 6π எனும் போது y = sin\(\left(\frac{1}{3} x\right)\) ன் வரைபடம் வரைக.
தீர்வு :

மற்றும் 6π, 0) என்ற புள்ளிகளை குறி

Question 4.
மதிப்பு காண்க
(i) \(\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)\)
(ii) \(\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{5 \pi}{4}\right)\right)\)
தீர்வு:
(i)

(ii)

Question 5.
x-ன் எந்த மதிப்பிற்கு sin x = sin^-1x ஆகும்?
தீர்வு:
y = sin^-1x என்க.
y = 0, 0 = sin^-1x எனில்
⇒ sin(0) = sin(sin^-1(x))
⇒ sin 0 = x
⇒ x = 0
∴ x = 0 எனில் மட்டும் sin x = sin^-1x

Question 6.
பின்வருவனவற்றிற்கு சார்பகம் காண்க.
(i) f(x) = sin^-1\(\left(\frac{x^{2}+1}{2 x}\right)\)
(ii) g(x) = 2 sin^-1(2x – 1) – \(\frac{\pi}{4}\)
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட f(x) = sin^-1\(\left(\frac{x^{2}+1}{2 x}\right)\)
நமக்கு தெரியும் sin(x) -ன் சார்பகம் [-1, 1]

(1) மற்றும் (2) லிருந்து சார்பகம் = {-1, 1}

(ii) g(x) = 2 sin^-1(2x – 1)-\(\frac{\pi}{4}\)
sin^-1x ன் வரையறையிலிருந்து
-1 ≤ 2x – 1 ≤ 1
⇒ -1+1 ≤ 2x ≤ 1 + 1 ⇒ 0 ≤ 2x ≤ 2
⇒ 0 ≤ x ≤ 1
∴ சார்பகம் = [0, 1]

Question 7.
மதிப்பு காண்க sin^-1 (sin \(\frac{5 \pi}{9}\) cos\(\frac{\pi}{9}\) + cos \(\frac{5 \pi}{9}\) sin\(\frac{\pi}{9}\))
தீர்வு:

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.5

கேள்வி 1.
W(x, y) = x³ – 3xy + 2y², x, y ∈ ℝ எனில் (1, -1) இல் W-ன் நேரியல் தோராய மதிப்பு காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட W (x, y) = x³ – 3xy + 2y², x, y ∈ ℝ
w_x = \(\frac{\partial w}{\partial x}\) = 3x² – 3y + 0 = 3x² – 3y
w_x (1, -1) இல் = 3 (1)² – 3-(-1) = 3 + 3 = 6
w_y = \(\frac{\partial w}{\partial y}\) = 0 – 3x + 4y = -3x + 4y
w_y (1, -1) = -3 (1) + 4(-1) = -3 – 4 = -7.
w (x₀, y₀) = w(1, -1)
= 1³ – 3(1) (-1) + 2 (-1)²
= 1 + 3 + 2 = 6
நேரியல் தோராய மதிப்பு காண
L (x, y) = w (x₀, y₀) + \(\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}\) (x – x₀) + \(\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}\) (y – y₀)
= 6 + 6 (x – 1) + -7 (y + 1)
= 6 + 6x – 6 – 7y – 7
= 6x – 7y – 7

கேள்வி 2.
(x, y) = x²y + 3xy⁴, x, y ∈ ℝ எனில் (2, -1) இல் z -ன் நேரியல் தோராய மதிப்பு காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z(x, y) = x²y + 3xy⁴, x, y ∈ ℝ
z (x₀, y₀) = z (2, -1) = 2² (-1) + 3(2) (-1)⁴
= – 4 + 6 = 2
\(\frac{\partial z}{\partial x}\) = 2xy + 3y⁴
\(\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{(2,-1)}\) = 2 (2) (-1) + 3 (-1)⁴
= – 4 + 3 = -1
\(\frac{\partial z}{\partial y}\) = x² + 3x (4y³) = x² + 12xy³
\(\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{(2,-1)}\) = 2² + 12 (2)(-1)³ = 4 – 24 = -20
நேரியல் தோராய மதிப்பு காண
L(x, y) = z(x₀, y₀) + \(\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}\) (x – x₀) + \(\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}\) (y – y₀)
∴ L (x, y) = 2 – 1 (x – 2) – 20 (y + 1)
= 2 – x + 2 – 20y – 20
= -x – 20y – 16
= -(x + 20y + 16)

கேள்வி 3.
v(x, y) = x² – xy + \(\frac{1}{4}\) y² + 7, x, y ∈ ℝ எனில் வகையீடு dv-ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட v (x, y) = x² – xy + \(\frac{1}{4}\) y² + 7, x, y ∈ ℝ
dv = 2x dx – (x dy + y dx) + \(\frac{1}{4}\) (2y) dy + 0
dv = (2x – y) dx + (-x + \(\frac{1}{2}\) y)dy

கேள்வி 4.
V(x, y, z) = y + yz + zx, x, y, z ∈ ℝ எனில் dv-ஐக் காண்க .
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட
V (x, y, z) = xy+ yz + zx, x, y, z ∈ ℝ
dV = x. dx + y. dx + y. dz + z. dy. + z . dx + x.dz
dV = (y + z)dx + (x + z)dy + (y + x)dz

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.7

கொடுக்கப்பட்ட நான்கு விடைகளிலிருந்து சரியான அல்லது மிகப் பொருத்தமான விடையைத் தேர்ந்தெடுக்க.

Question 1.
x³ + 64 – ன் ஒரு பூச்சியமாக்கி
(1) 0
(2) 4
(3) 4i
(4) – 4
விடை:
(4) – 4
குறிப்பு:
x³ = -64 ⇒ x³ = (-4)³ ⇒ x = -4

Question 2.
f மற்றும் g என்பன முறையே 1 மற்றும் n படியுள்ள பல்லுறுப்புக் கோவைகள் மற்றும் h(x) = (f°g)(x) எனில், h – ன் படியானது
(1) mn
(2) m + n
(3) mⁿ
(4) n^m
விடை:
(1) mn

Question 3.
x -ல் n படியுள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு பெற்றுள்ள மூலங்கள்
(1) n வெவ்வேறு மூலங்கள்
(2) n மெய்யெண் மூலங்கள்
(3) n கலப்பெண் மூலங்கள்
(4) அதிகபட்சம் ஒரு மூலம்
விடை:
(1) n வெவ்வேறு மூலங்கள்

Question 4.
x³ + px² + qx + r -க்கு α, β மற்றும் γ என்பவை பூச்சியமாக்கிகள் எனில், \(\sum \frac{1}{\alpha}\) -ன் மதிப்பு
(1) –\(\frac{q}{r}\)
(2) –\(\frac{p}{r}\)
(3) \(\frac{q}{r}\)
(4) –\(\frac{q}{p}\)
விடை:
(1) –\(\frac{q}{r}\)
குறிப்பு :

Question 5.
விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி பின்வருவன வற்றுள் எந்த எண் 4x⁷ + 2x⁴ – 10x – 5 என்பதற்கு சாத்தியமற்ற விகிதமுறு பூச்சியமாகும்?
(1) -1
(2) \(\frac{5}{4}\)
(3) \(\frac{4}{5}\)
(4) 5
விடை:
(2) \(\frac{5}{4}\)

Question 6.
x³ – k² + 9x எனும் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மூன்று மெய்யெண் பூச்சியமாக்கிகள் இருப்பதற்கு தேவையானதும் மற்றும் போமானதுமான நிபந்தனை
(1) |k| ≤ 6
(2) k = 0
(3) |k| > 6
(4) k| ≥ 6
விடை:
(4) k| ≥ 6
குறிப்பு:
மெய் மூலங்களுக்கு b² – 4ae ≥ 0
⇒ k² – 4(1)(9) ≥ 0 ⇒ k² ≥ 36
⇒ k ≥ 6
⇒ | k | ≥ 6

Question 7.
[0, 2π]-ல் sin⁴x – 2sin⁴ x + 1-ஐ நிறைவு செய்யும் மெய்யெண்களின் எண்ணிக்கை
(1) 2
(2) 4
(3) 1
(4) ∞
விடை:
(1) 2
குறிப்பு:
(sin²x) – (2 sin²x) + 1 = 0
⇒ (y² – 2y + 1) = 0 [∵ y = sin x]
⇒ (y – 1)² ⇒ y = 1, 1

Question 8.
x² + 12x² + 10ax + 1999 -க்கு நிச்சயமாக ஒரு மிகையெண் பூச்சியமாக்கி இருப்பதற்கு தேவையானதும் மற்றும் போதுமானதுமான நிபந்தனை
(1) a ≥ 0
(2) a > 0
(3) a < 0
(4) a ≤ 0
விடை:
(3) a < 0
குறிப்பு:
x³ + 12x² + 10ax + 1999 க்கு ஒரு மெய் மூலம் இருக்க குறைந்தபட்சம் ஒரு குறி மாற்றமாவது நிகழ வேண்டும். ⇒ a < 0

Question 9.
x³ + 2x + 3 எனும் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு
(1) ஒரு குறை மற்றும் இரு மெய்யெண் பூச்சியமாக்கிகள் இருக்கும்
(2) ஒரு மிகை மற்றும் இரு மெய்யற்ற கலப்பெண் பூச்சியமாக்கிகள் இருக்கும்
(3) மூன்று மெய்யெண் பூச்சியமாக்கிகள் இருக்கும்
(4) பூச்சியமாக்கிகள் இல்லை
விடை:
(1) ஒரு குறை மற்றும் இரு மெய்யெண் பூச்சியமாக்கிகள் இருக்கும்
குறிப்பு:
p(x) = x³ + 2x + 3
p(x) க்கு குறி மாற்றம் இல்லை
p(-x) = (-x)³ + 2(-x) + 3 =-x³ – 2x + 3
p(-x) க்கு ஒரே ஒரு குறி மாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது
⇒ அதிகபட்சம் ஒரு குறை மூலம்
∴ p(x)க்கு மிகை மூலம் இல்லை மற்றும் அதிகபட்சம் ஒரு குறை மூலம் உள்ளதால் படி 3, ஒரு குறை மற்றும் இரண்டு கற்பனை மூலங்களை உடையது.

Question 10.
\(\sum_{j=0}^{n}{ }^{n} C_{r}(-1)^{r} x^{r}\) எனும் பல்லுறுப்புக் கோவையின் மிகையெண் பூச்சியமாக்கிகளின் எண்ணிக்கை
(1) 0
(2) n
(3) <n
(4) r
விடை:
(2) n
குறிப்பு:

இதனுடைய படி n மற்றும் n குறி மாற்றங்கள் நிகழந்துள்ளது, மிகை மூலங்களின் எண்ணிக்கை n ஆகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 8 வகையீடுகள் மற்றும் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் Ex 8.4

கேள்வி 1.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் பகுதி வகைக்கெழுக்கள் காண்க.
(i) f(x, y) = 3x² – 2xy + y² + 5x + 2, (2, -5)
(ii) g(x, y) = 3x² + y ²+ 5x + 2, (1, -2)
(iii) h (x, y, z) = x sin (xy) + z²x, (2, \(\frac{\pi}{4}\), 1)
(iv) G(x, y) = e^x+3y log (x² + y²), (-1, 1)
தீர்வு:
(i) f(x,y) = 3x² – 2xy + y² + 5x + 2, (2, -5)
கொடுக்கப்பட்ட f (x, y) = 3x² – 2xy + y² + 5x + 2
\(\frac{\partial f}{\partial x}\) = 3x² – 2y (1) +0+ 5
\(\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{(2,-5)}\) = 3(2²) – 2 (-5) +5
= 12 + 10 + 5 = 27
\(\frac{\partial f}{\partial y}\) 0 – 2x (1) + 2y+ 0 + 0
\(\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{(2,-5)}\) = 2 (-5) – 2 (2)
= -10 – 4 = -14

(ii) g(x, y) = 3x² + y² + 5x + 2, (1, -2)
கொடுக்கப்பட்ட g(x, y) = 3x² + y² + 5x + 2
\(\frac{\partial g}{\partial x}\) = 6x + 0 + 5 = 6x + 5
\(\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)_{(1,-2)}\) = 6(1) + 5 = 11
\(\frac{\partial g}{\partial y}\) = 0 + 2y + 0 + 0 = 2y
∴ \(\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)_{(1,-2)}\) = 2 (-2) = -4

(iii) h (x, y, z) = x sin (xy) + z²x, (2, \(\frac{\pi}{4}\), 1)
கொடுக்கப்பட்ட h (x, y, z) = x sin (xy) + z²x
\(\frac{\partial h}{\partial x}\) = x cos (xy). \(\frac{\partial}{\partial x}\) (xy) + sin (xy) (1) + z² (1)
= x. cos (xy) (y) (1) + sin (xy) + z² 1
= xy cos (xy) + sin (xy) + z²

\(\frac{\partial h}{\partial z}\) = 0 + x (2z) = 2xz
∴ \(\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)\left(2, \frac{\pi}{4}, 1\right)\) = 2 (2)(1) = 4

(iv) G(x, y) = e^x+3y log (x² + y²), (-1, 1)
கொடுக்கப்பட்ட G (x, y) = e^x+3ylog (x² + y²)

கேள்வி 2.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு, f_x, f_y, காண்க. மேலும் f_xy = f_yx. எனக் காட்டுக.
(i) f (x, y) = \(\frac{3 x}{y+\sin x}\)
(ii) f (x, y) = tan^-1\(\left(\frac{x}{y}\right)\)
(iii) f (x, y) = cos (x² – 3xy)
தீர்வு:
(i) f (x, y) = \(\frac{3 x}{y+\sin x}\)
கொடுக்கப்பட்ட f (x, y) = \(\frac{3 x}{y+\sin x}\)
f_x = \(\frac{\partial f}{\partial x}\)
= \(\frac{(y+\sin x)(3)-3 x(\cos x)}{(y+\sin x)^{2}}\)

(ii) f (x, y) = tan^-1\(\left(\frac{x}{y}\right)\)
கொடுக்கப்பட்ட f (x, y) = \(\frac{3 x}{y+\sin x}\)


∴ (1) மற்றும் (2)லிருந்து, f_xy = f_yx.

(iii) f(x, y) = cos (x² – 3xy)
கொடுக்கப்பட்ட f (x, y) = cos (x² – 3xy)
f_x = – sin (x² – 3xy) [2x – 3y]
= (3y – 2x) sin (x² – 3xy)
f_y = – sin (x – 3xy) (-3x)
= 3xsin (x² – 3xy)

∴ f_xy = \(\frac{\partial}{\partial x}\) (f_y)
= 3 [x. cos (x² – 3xy) (2x – 3y) + sin (x² – 3xy) (1)]
= 3[(2x² – 3xy) cos(x² – 3xy) + sin (x² – 3xy)] ……….. (1)
f_yx = \(\frac{\partial}{\partial y}\) (f_x)
= (3y- 2x) cos(x² – 3xy) (-3x) + sin (x² – 3xy) (3)
= 3[(2x² – 3xy) cos(x² – 3xy) + sin (x² – 3xy)] ………. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, f_xy = f_yx.

கேள்வி 3.
U(x, y, z) = \(\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}+3 z^{2} y\), எனில் \(\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial x} ; \frac{\partial U}{\partial y}\) எனில், \(\frac{\partial U}{\partial z}\).
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட U (x, y, z) = \(\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}+3 z^{2} y\)

\(\frac{\partial U}{\partial z}\) = 0 + 3y (2z) = 6yz

கேள்வி 4.
U(x, y, z) = log(x³ + y³ + z³) எனில், \(\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z}\)ஐக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட U(x, y, z) = log(x³ + y³ + z³)

கேள்வி 5.
பின்வரும் சார்புகளுக்கு g_xy, g_xx, g_yy, மற்றும் g_yx ஆகியவற்றைக் காண்க.
(i) g(x, y) = xe^y + 3x²y
(ii) g(x, y) = log (5x + 3y)
(iii) g(x, y) = x² + 3xy – y + cos(5x)
தீர்வு:
(i) g(x, y) = xe^y + 3x²y
g_x = e^y + 6xy

(ii) g(x, y) = log (5x + 3y)

(iii) g(x, y) = x² + 3xy – 7y + cos(5x)
கொடுக்கப்பட்ட g (x, y) = x² + 3xy – 7y + cos(5x)
g_x = 2x + 3y – 0 – 5 sin 5x
= 2x + 3y – 5 sin 5x –
g_y 0 + 3x (1) – 7 + 0
3x – 7
g_xy = \(\frac{\partial}{\partial x}\) (g_y) = 3
g_xx = \(\frac{\partial}{\partial x}\) (g_x)
= 2(1) + 0 5(5) cos (5r)
= 2 – 25 cos (5r)

g_yy = \(\frac{\partial}{\partial y}\) (g_y) = 0
g_yx = \(\frac{\partial}{\partial y}\) (g_x)
= 0 + 3(1) – 0 = 3

கேள்வி 6.
w(x, y, z) = \(\), (x, y, z) ≠ (0, 0, 0) எனில் \(\frac{\partial^{2} \boldsymbol{w}}{\partial \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}}+\frac{\partial^{2} \boldsymbol{w}}{\partial \boldsymbol{y}^{2}}+\frac{\partial^{2} \boldsymbol{w}}{\partial z^{2}}=\mathbf{0}\) எனக் காட்டுக
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட w(x, y, z) = \(\)
= (x² + y² + z²)^{–\(\frac{1}{2}\)}



[y² + z² – 2x² + x² +z² – 2y² + x² + y² – 2z²]
= -(x² + y² + 2²)^{–\(\frac{5}{2}\)} (0) = 0 எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 7.
V(x, y) = e^x(x cos y – y sin y) எனில் \(\frac{\partial^{2} \mathbf{V}}{\partial \boldsymbol{x}^{2}}+\frac{\partial^{2} \mathbf{V}}{\partial \boldsymbol{y}^{2}}=\mathbf{0}\) எனில் நிறுவுக்
Ox? * Qy2 = 0 stor $94.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட V(x, y) = e^x(x cos y – y sin y)
\(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial x}\) = e^x (cos y) +(x cos y – y sin y)e^x
= e^x (cos y + x cos y – y sin y)
\(\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}\) = e^x (0 + cos y – 0) + (cos y + x cos y – y sin y)e^x
= e^x (2 cos y + x cos y – y sin y) …………. (1)
\(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial y}\) = e^x (- x sin y – y cos y – sin y)
\(\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}\) = e^x (-x cos y-(-y sin y + cos y) – cos y)
= e^x (- x cos y + y sin y – cos y – cos y)
= e^x (-x cos y + y sin y – 2 cos y) …………….. (2)
(1) + (2) →
\(\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}\) = e^x (2 cos y + x cos y – y sin y – x cos y + y sin y – 2 cos y]
= e^x (0) = 0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 8.
w(x, y) = xy + sin (xy) எனில் \(\frac{\partial^{2} w}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial y}\) நிறுவுக்.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட w (x,y) = xy + sin (xy)
\(\frac{\partial w}{\partial x}\) = y (1) + (cos (xy) [y (1)]
= y + y cos (xy)
\(\frac{\partial w}{\partial y}\) = x(1) + cos (xy) (x = x + xcos (xy)
\(\frac{\partial^{2} w}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)\)
= 1 + y (- sin (xy)) (x) + cos (xy)
= 1 – xy sin (xy) + cos (xy) ……. (1)
\(\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)\)
= 1 + x (- sin (xy)) (y) + cos (xy)
= 1 – xy sin (xy) + cos (xy) ……….. (2)
∴ (1) மற்றும் (2)லிருந்து,
\(\frac{\partial^{2} w}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial y}\)

கேள்வி 9.
V(x, y, z) = x³ + y³ + z³ + 3xyz எனில் \(\frac{\partial^{2} v}{\partial y \partial z}=\frac{\partial^{2} v}{\partial z \partial y}\) என நிறுவுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட V (x, y, z) = x³ + y³ + z³ + 3xyz,
\(\frac{\partial v}{\partial z}\) = 0 + 0 +3z² + 3xy = 3z² + 3xy
\(\frac{\partial v}{\partial y}\) = 0 + 3y² + 0 + 3xz = 3y² + 3xz
இங்கு, \(\frac{\partial^{2} v}{\partial y \partial z}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial z}\right)\) = 0 + 3x = 3x ……….. (1)
\(\frac{\partial^{2} v}{\partial z \partial y}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)\) = 0 + zx = 3x ………. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(\frac{\partial^{2} v}{\partial y \partial z}=\frac{\partial^{2} v}{\partial z \partial y}\)

கேள்வி 10.
ஒரு நிறுவனம் ஒவ்வொரு வாரமும் இரு விதமான கணிப்பான்களை உற்பத்தி செய்கின்றது. அவற்றில் A வகை கணிப்பான்கள் x எண்ணிக்கையும், B வகை கணிப்பான்கள் y எண்ணிக்கையும் உள்ளன. வார வரவு மற்றும் செலவுச் சார்புகள் (ரூபாயில்) முறையே R(x, y) = 80x + 90y + 0.04xy – 0.05x² – 0.05y² மற்றும் C(x, y) = 8x + by + 2000 எனத் தரப்பட்டுள்ளன.
(i) இலாபச் சார்பு P(x, y) -ஐக் காண்க.
(ii) \(\frac{\partial P}{\partial x}\) (1200, 1800) மற்றும் \(\frac{\partial P}{\partial y}\) (1200, 1800) ஆகியவற்றைக் கண்டு முடிவுகளை விளக்குக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட R (x, y) = 80 x + 90 y + 0.04xy – 0.05 x² – 0.05y² மற்றும்
(x, y) = 8x + 6y + 2000
இலாபச் சார்பு P (x, y) = வருவாய் – செலவு
P(x, y) = R (x, y) – C (x, y)
= -80 x + 90y + 0.04xy – 0.05x² – 0.05y² – 8x – 6y – 2000
P (x, y) = 72x + 84y + 0.04 xy – 0.05x² – 0.05y² – 2000

(ii) \(\frac{\partial P}{\partial x}\) = 72 + 0 + 0.04y – 0.05 (2x) – 0 – 0
= 72 + 0.04y – 0.1x
∴ \(\frac{\partial P}{\partial x}\) (1200, (1800) = 72 + 0.04 (1800) – 0.1(1200)
= 72 + 72 – 120 = 24
\(\frac{\partial P}{\partial y}\) = 0 + 84 + 0.4x – 0-0.05(2y) – 0
∴ \(\left(\frac{\partial P}{\partial y}\right)_{(1200,1800)}\) = 84 + 0.04x – 0.1y = 84 + 0.04 (1200) – 0.1(1800)
= 84 + 48 – 180 = – 48

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.6

கேள்வி 1.
9x⁹ – 4x⁸ + 4x⁷ – 3x⁶ + 2x⁵ + x³ + 7x² + 7x + 2 = 0 எனும் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் அதிகபட்ச சாத்தியமான மிகை எண் மற்றும் குறையெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கையை ஆராய்க.
தீர்வு:
p(x) = 9x⁹ – 4x⁸ + 4x⁷ – 3x⁶ + 2x⁵
+ x³ + 7x² + 7x + 2 = 0 என்க
p(x) ன் குறிகளை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

p(x) க்கு 4 முறை குறி மாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது மற்றும் p(x)-ன் மிகை பூச்சியமாக்கிகளின் எண்ணிக்கை 4 – க்கு மிகாது.
மேலும் p(-x) = 9(-x)⁹ – 5(-x)⁸ – 4(-x)⁷ – 3(-x)⁶ + 2(-x)⁵ + (-x)³ + 7 (-x)² + 7(-x) + 2
p(-x) =-9x⁹ – 4x⁸ – 4x⁷ – 3x⁶ – 2x⁵ – x³ + 7x² – 7x + 2
p(-x) – ன் குறிகள்

p(-x)
எனவே p(-x)க்கு இரண்டு முறை குறி மாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது.
p(x)க்கு அதிகபட்சம் இரண்டு குறை.

கேள்வி 2.
x² – 5x + 6 மற்றும் x² – 5x + 16 ஆகிய பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் அதிகபட்ச சாத்தியமான மிகை எண் மற்றும் குறையெண் பூச்சியமாக்கிகளின் எண்ணிக்கையை ஆராய்க. வளைவரைகளின் தோராய வரைபடம் வரைக.
தீர்வு:
p(x) = x² – 5x + 6 என்க
p(x) க்கு இரண்டு குறி மாற்றங்கள் நிகழ்ந்துள்ளது. ஆகையால் p(x) க்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மெய் மூலங்கள் இருக்கும்.
Q(x) = x² – 5x + 16 என்க.
p(- x) = (-x)² – 5 (-x) + 6
= x² + 5x + 6
p(- x)க்கு குறி மாற்றம் இல்லை. எனவே குறை மூலங்கள் இல்லை.
Q(x) = x² – 5x + 6 என்க.
Q(x)க்கு இரண்டு குறி மாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது மற்றும் Q(-x)க்கு குறி மாற்றம் இல்லை.
[∵ Q(-x) = (-x)² -5(-x) + 16 = x² + 5x + 16]
∴ அதற்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மிகை மூலங்கள் மற்றும் குறை மூலங்கள் இல்லை.

கேள்வி 3.
x⁹ – 5x⁵+ 4 + 2x² + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு குறைந்தபட்சம் 6 மெய்யற்ற கலப்பெண்
தீர்வுகள் உண்டு எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
p(x) x⁹ – 5x⁵ + 4x⁴ + 2x² + 1 = 0 என்க
குறிகள் +, -, +, +, +
p(x)-ல் இரண்டு குறிமாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது.
மேலும் p(-x) = (-x)⁹ -5(-x)⁵ + 4(-x)⁴ + 2(-x)⁹ + 1 = 0
p(-x) =-x⁹ + 5x⁵ + 4x⁴ + 2x² + 1 = 0
p(-x)க்கு ஒரே ஒரு குறி மாற்றம்.
∴ p(x) க்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மிகை மூலம் மற்றும் 1 குறை மூலம் உள்ளது.
p(x) – ன் படி 9, ஆதலால் p(x)க்கு குறைந்தபட்சம் 6 கற்பனை தீர்வுகள் உள்ளன.

கேள்வி 4.
x⁹ – 5x³ – 14x⁷ = 0 எனும் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் மிகையெண் மற்றும் குறையெண் மூலங்களின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்க.
தீர்வு:
p(x) = x⁹ – 5x² – 14x⁷ = 0 என்க
p(x) க்கு ஒரே ஒரு குறி மாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது.
மேலும் p(-x) = (-x)⁹ – 5(-x)⁸ – 14(-x)⁷ = 0
⇒ p(-x) = – x⁹ – 5x⁸ + 14x⁷ = 0
p(-x) க்கு ஒரே ஒரு குறி மாற்றம் நிகழந்துள்ளது.
∴ p(-x) -க்கு அதிகபட்சம் ஒரு மிகை மற்றும் ஒரு குறை மூலம் உள்ளது.

கேள்வி 5.
x⁹ + 9x⁷ + 7x⁵ + 5x³ + 3x எனும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மெய்யெண் மற்றும் மெய்யற்ற கலப்பெண் பூச்சியமாக்கிகளின் துல்லியமான எண்ணிக்கையைக் கண்டறிக.
தீர்வு:
p(x) = x⁹ + 9x⁷ + 7x⁵ + 5x³ + 3x என்க
p(x) க்கு குறி மாற்றம் இல்லை.
p(-x) = (-x)⁹ + 9(-x)⁷ + 7(-x)⁵ + 5(-x)³ + 3(-x)
= – x⁹ – 9x⁷ – 7x⁵ – 5x³ – 3x
p(-x) க்கு குறி மாற்றம் இல்லை
∴ p(x) க்கு மிகை மற்றும் குறை மூலங்கள் இல்லை.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 3 சமன்பாட்டியல் Ex 3.5

கேள்வி 1.
பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :
(i) sin² x – 5 sin x + 4 = 0
(ii) 12x³ + 8x = 29x² – 4
தீர்வு:
(i) sin² x – 5 sin x + 4 = 0
பிரதியிடு y = sinx
⇒ y – 5y + 4 = 0
⇒ (y – 4)(y – 1) = 0
⇒ y = 4, 1
நிலை (i)
y = 4 எனில், sin x = 4
மற்றும் sin x = 4-க்கு தீர்வு இல்லை அதனுடைய | வீச்சகம் [-1, 1] ஆகும்.
நிலை (ii)
sin x = 1
⇒ sin x = sin \(\frac{\pi}{2}\) [∵ sin \(\frac{\pi}{2}\) = 1]
x = 2nπ + \(\frac{\pi}{2}\), n ∈ ℤ
[∵ sin x = sin α ⇒ x = 2nπ + α n ∈ ℤ]

(ii) 12x³ + 8x = 29x² – 4
இந்த சமன்பாட்டை பின்வருமாறு திருத்தி எழுதலாம்.
12x³ – 29x² + 8x + 4 = 0

∴ x = 2 ஒரு மூலம் மற்றும் மீதியிருக்கும் காரணி 12x² – 5x – 2
⇒ (3x – 2)(4x + 1) = 0
3x – 2 = 0 (அ) 4x + 1 = 0

⇒ x = \(\frac{2}{3}\),
x = \(\frac{-1}{4}\)
∴ மூலங்கள் 2, \(\frac{2}{3}\) மற்றும் –\(\frac{1}{4}\).

கேள்வி 2.
விகிதமுறு மூலங்கள் உள்ளதா என ஆராய்க.
(i) 2x³ – x² – 1 = 0
(ii) x⁸ – 3x + 1 = 0
தீர்வு:
(i) 2x³ – x² – 1 = 0
கெழுக்களின் கூடுதல் = 2 – 1 – 1 = 0
x = 1 என்பது ஒரு மூலம்

∴ x = 1 ஒரு மூலம் மற்றும் மீதியிருக்கும் காரணி
2x² + x + 1

மூலம் என்பது ஒரு கலப்பெண்
⇒ x = \(\frac{-1 \pm i \sqrt{7}}{2}\)
∴x = 1 என்பது ஒரு விகிதமுறு மூலம்

(ii) x⁸ – 3x + 1 = 0
இங்கு a_n = 1, a₀ = 1
\(\frac{p}{q}\) பல்லுறுப்பு கோவையின் ஒரு மூலம்
இங்கு (p, q) = 1, a₀ = 1-ன் காரணி p மற்றும் a_n = 1-ன் காரணி q
1 க்கு காரணி இல்லை ஆதலால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டுக்கு விகிதமுறு மூலங்கள் இல்லை.

கேள்வி 3.
தீர்க்க : 8\(x^{\frac{3}{2 n}}\) – 8\(x^{\frac{-3}{2 n}}\) = 63
தீர்வு:

⇒ 8y⁶ – 8 = 63y³
⇒ 8y⁶ – 63y³ – 8 = 0
⇒ 8t² – 63t – 8 = 0 [இங்கு t = y³]
⇒ (8t – 1)(t – 8) = 0
⇒ t = \(\frac{1}{8}\), 8
நிலை (i) t = 8 எனில், ⇒ y³ = 8 ⇒ y³ = 2³
⇒ y = 2
நிலை (ii) t = \(\frac{1}{8}\) எனில், y³ = \(\frac{1}{8}\) = y ⇒ y = \(\frac{1}{2}\)
y = 2 எனில் \(x^{\frac{1}{2 n}}\) = 2
⇒ x = (2)²ⁿ ⇒ x = (2²)ⁿ
⇒ x = 4ⁿ

எனவே மூலங்கள் 4ⁿ.

கேள்வி 4.

தீர்வு:

⇒ ab(2y² + 3) = (b² + 6a²)y
⇒ 2aby² + 3ab – y(b² + 6a²) = 0
⇒ 2aby² – y(b² + 6a²) + 3ab = 0
⇒ 2aby² – b²y – 6a²y + 3ab = 0
⇒ by(2ay – b) – 3a (2ay – b) = 0
⇒ (2ay – b) (by – 3a) = 0
⇒ 2ay = b, by = 3a
⇒ y = \(\frac{b}{2 a}\) y = \(\frac{3 a}{b}\)

கேள்வி 5.
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க :
(i) 6x⁴ – 35x³ + 62x² – 35x + 6 = 0
(ii) x⁴ + 3x³ – 3x – 1 = 0
தீர்வு:
(i) 6x⁴ – 35x³ + 62x² – 35x + 6 = 0
இது இரட்டைப்படை முதல் வகை தலைகீழே சமன்பாடாகும்.
எனவே பின்வருமாறு எழுதலாம்.

∴ (1) ஆனது,

⇒ 6(y² – 2) – 35y + 62 = 0
⇒ 6y² – 12 – 35y + 62 = 0
⇒ 6y² – 35y + 50 = 0
⇒ (3y – 10) (2y – 5) = 0
⇒ y = \(\frac{10}{3}\), \(\frac{5}{2}\)
நிலை (i) y = \(\frac{10}{3}\)– எனில், x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{10}{3}\)
⇒ \(\frac{x^{2}+1}{x}\) = \(\frac{10}{3}\)

⇒ 3x² + 3 = 10x
⇒ 3x² – 10x + 3 = 0
⇒ (x – 3)(3x – 1) = 0
⇒ x = 3, \(\frac{1}{3}\)
நிலை (ii)
y = \(\frac{5}{2}\) எனில்,
x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{5}{2}\) ⇒ \(\frac{x^{2}+1}{x}\) = \(\frac{5}{2}\)
⇒ 2x² + 2 = 5x
⇒ 2x² – 5x + 2 = 0

⇒ (x – 2) (2x – 1) = 0
⇒ x = 2, \(\frac{1}{2}\)
எனவே மூலங்கள் 2,\(\frac{1}{2}\), 3, \(\frac{1}{3}\)

(ii) x⁴ + 3x – 3x – 1=0
கெழுக்களின் கூடுதல் = 1 + 3 – 3 – 1 = 0
⇒ x = 1 என்பது ஒரு மூலம்
⇒ (x – 1) ஒரு காரணி

[தொகுமுறை வகுத்தலை பயன்படுத்தி]
x= 1,- 1 மூலங்கள் மற்றும் மீதியுள்ள காரணி x² + 3x + 1]

கேள்வி 6.
4^x – 3(2^x+2) + 2⁵ = 0 எனும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் அனைத்து மெய்யெண்களையும் காண்க.
தீர்வு:
4^x – 3(2^x+2) + 25 = 0
⇒ (2²)^x – 3(2^x) + 2⁵ = 0
⇒ (2^x)² – 12(2^x) + 32 = 0

பிரதியிடு
2^x = y
y² – 12y + 32 = 0
(y – 8) (y – 4) = 0
y = 8, 4
நிலை (i)
y = 8 எனில், 2^x ⇒ 8 = 2^x = 2³ ⇒ x = 3 நிலை (ii)
y = 4 எனில், 2^x = 4 ⇒ 2^x = 2² ⇒ x = ± 2.
∴ மூலங்கள் 2, 3, -2.

கேள்வி 7.
6x⁴ – 5x³ – 38x² – 5x + 6 = 0 எனும் சமன்பாட்டின் ஒரு தீர்வு \(\frac{1}{3}\) எனில், சமன்பாட்டின் தீர்வு காண்க.
தீர்வு:
இது இரட்டைப்படை இரண்டாம் வகை தலைகீழ்
சமன்பாடாகும். எனவே இதனை பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்.
6(x² + \(\frac{1}{x^{2}}\)) – 5(x + \(\frac{1}{x}\)) – 38 = 0 … (1)
பிரதியிடு x + \(\frac{1}{x}\) ⇒ y = (x + \(\frac{1}{x}\))² = y²
⇒ x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) + 2 = y² ⇒ x² + \(\frac{1}{x}\) = y² – 2
∴ (1) லிருந்து,
⇒ 6(y² – 2) – 5y – 38 = 0

⇒ 6y² – 12 – 5y – 38 = 0
⇒ 6y² – 5y – 50 = 0
⇒ (3y – 10) (2y + 5) = 0
y = \(\frac{10}{3}\), \(\frac{-5}{2}\)
நிலை (i)
y = \(\frac{+10}{3}\)
x + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{+10}{3}\)
\(\frac{x^{2}+1}{x}\) = \(\frac{+10}{3}\)
⇒ 3x² + 3 = 10x
⇒ 3x² – 10x + 3 = 0
(x – 3)(x – \(\frac{1}{3}\)) = 0 ⇒ x = 3, \(\frac{1}{3}\)
நிலை (ii)
y = –\(\frac{5}{2}\) எனில்,
⇒ x + \(\frac{1}{x}\) = –\(\frac{5}{2}\) ⇒ \(\frac{x^{2}+1}{x}\) = \(\frac{-5}{2}\)
⇒ 2x² + 2 + 5x = 0 ⇒ 2x² + 5x + 2 = 0
⇒ (x + 2) (2x + 1) = 0 ⇒ x = -2, \(\frac{-1}{2}\)
∴ மூலங்கள் 3, \(\frac{1}{3}\), -2, \(\frac{-1}{2}\)