Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 5 இரு பரிமாண பகுமுறை வடிவியல் – II Ex 5.2

கேள்வி 1.
பின்வரும் ஒவ்வொன்றிற்கும் பரவளையத்தின் சமன்பாடு காண்க:
(i) குவியம் (4, 0) மற்றும் இயக்குவரை x = -4.
(ii) y-அச்சுக்கு சமச்சீரானது மற்றும் (2, -3) வழிச்செல்வது.
(iii) முனை (1,- 2) மற்றும் குவியம் (4, -2).
(iv) செவ்வகலத்தின் முனைகள் (4, -8) மற்றும் (4, 8).
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட குவியம் (4, 0) மற்றும் இயக்குவரை x = 4. (4, 0) குவியம் மற்றும் இயக்குவரை x = 4, ஆதலால் பரவளயைத்தின் வடிவம் y² = 4ax.

மேலும் a = 4
∴ பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4(4)x
⇒ y² = 16x

(ii) பரவளையம் (2,-3) வழி செல்கிறது மற்றும் சமச்சீர் அச்சு y- அச்சு ஆகும்.

பரவளையம் (2, -3) வழிச் செல்வதன் காரணமாக அது கீழ்நோக்கி திறப்புடையது.
∴ அதனுடைய சமன்பாடு x² = -4ay ….(1)
(2, -3) என்ற புள்ளியை பிரதியிட கிடைப்பது,
2² = -4a(-3)
⇒ 4 = 12a

(1) லிருந்து
∴ x² = -4\(\left(\frac{1}{3}\right)\)
⇒ 3x² = -4y

(iii) முனை (1, -2) மற்றும் குவியம் (4, -2).
பரவளையம் வலது புறம் திறப்புடையது.

a = (1, -2) மற்றும் (4, -2) க்கு இடைபட்ட தூரம்
a = \(\sqrt{(1-4)^{2}+(-2+2)^{2}}\)
a = \(\sqrt{(-3)^{2}}\) = 3
பரவளையத்தின் சமன்பாடு
(y – k)² = 4a (x – h)
(y + 2)² = 4(3) (x – 1)
[∵ (h, k) (1, -2)]
⇒ (y + 2)² = 12 (x – 1)

(iv) செவ்வகலத்தின் முனை புள்ளிகள் (4,-8) மற்றும் (4, 8).
குவியம் (4, -8) மற்றும் (4, 8)ன் மையப்புள்ளி

∴ குவியம் = \(\left(\frac{4+4}{2}, \frac{-8+8}{2}\right)\) = (4, 0)
∴ a = 4 மற்றும் உச்சிப்புள்ளி (0, 0)
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax
⇒ y² = 4(4)x
⇒ y² = 16x

கேள்வி 2.
பின்வரும் ஒவ்வொன்றிற்குமான நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு காண்க :
(i) குவியங்கள் (±3, 0), மற்றும் e = \(\frac{1}{2}\),
(ii) குவியங்கள் (0, ±4) மற்றும் நெட்டச்சின் முனைகள் (0, ±5).
(iii) செவ்வகல நீளம் 8, e = \(\frac{3}{5}\) மற்றும் நெட்டச்சு x-அச்சு.
(iv) செவ்வகல நீளம் 4, குவியங்களுக் கிடையேயான தூரம் 4\(\sqrt{2}\) மற்றும் நெட்டச்சு )- அச்சு.
தீர்வு:
(i) குவியங்கள் (±3, 0), e = \(\frac{1}{2}\)
ஆதலால் (±ae, 0) குவியங்கள்
⇒ ae = 3
⇒ a . \(\frac{1}{2}\) = 3 ⇒ a = 6
மையம் (0, 0)
மற்றும் b² = a²(1 – e²)
b² = 36\(\left(1-\frac{1}{4}\right)\)
⇒ b² = 36\(\left(\frac{3}{4}\right)\)
⇒ b² = 27
∴ நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
⇒ \(\frac{x^{2}}{36}\) + \(\frac{y^{2}}{27}\) = 1

(ii) குவியங்கள் (0, ±4) மற்றும் நெட்டச்சின்
முனைப்புள்ளிகள் (0, ±5)
குவியங்க ள் (0, ±be) ⇒ be = 4
நெட்டச்சின் முனை புள்ளிகள் (0, ±5)
⇒ b = 5
∴ 5(e) = 4
⇒ e = \(\frac{4}{5}\)
மேலும், a² = b² (1 – e²)
⇒ a² = 25\(\left(1-\frac{16}{25}\right)\) = \(\left(\frac{25-16}{25}\right)\)
⇒ a² = 9
நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
⇒ \(\frac{x^{2}}{9}\) + \(\frac{y^{2}}{25}\) = 1

(iii) நீள் வட்டத்தின் சமன்பாடு = 8, e = \(\frac{3}{5}\) மற்றும் நெட்டச்சு x-அச்சு
கொடுக்கப்பட்ட \(\frac{2 b^{2}}{a}\) = 8, e = \(\frac{3}{5}\)
b² = 4a
b² = a²(1 – e²)
4a = a²\(\left(1-\frac{9}{25}\right)\)
4 = a\(\left(\frac{25-9}{25}\right)\)
100 = a(16)
a = \(\frac{100}{16}\) = \(\frac{25}{4}\) ⇒ a² = \(\frac{625}{16}\)
b² = 4 × \(\frac{25}{4}\) = 25
நெட்டச்சு X-அச்சு ஆதலால் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு

(iv) செவ்வகத்தின் நீளம் = 4, குவியங்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் = 4\(4 \sqrt{2}\) நெட்டச்ச y- அச்சு.
கொடுக்கப்பட்ட \(\frac{2 b^{2}}{a}\) = 4 மற்றும் குவியங்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம்
= 2ae = 4\(\sqrt{2}\)
⇒ ae = 2\(\sqrt{2}\)
⇒ a²e² = 8 … (1)
\(\frac{2 b^{2}}{a}\) = 4 ⇒ b² = 2a ….(2)
b² = a²(1 – e²)
என அறிவோம்.
⇒ b² = a² – a²e²
⇒ 2a = a² – 8
[(1) மற்றும் (2)ஐ பயன்படுத்தி)
⇒ a² – 2a – 8 = 0
காரணிபடுத்த கிடைப்பது
(a – 4)(a + 2) = 0
⇒ a = 4 அல்ல து -2
a = 4
[∵ a = -2 சாத்தியமில்லை]
⇒ ae = 16
∴ (2)லிருந்து, b² = 2(4) = 8
ஆகையால் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு
\(\frac{x^{2}}{8}\) + \(\frac{y^{2}}{16}\) = 1
[∵ நெட்டச்சு y -அச்சு]

கேள்வி 3.
பின்வரும் ஒவ்வொன்றிற்குமான அதிபர வளையத்தின் சமன்பாடு காண்க:
(i) குவியங்கள் (±2, 0), e = \(\frac{3}{2}\)
(ii) மையம் (2, 1), ஒரு குவியம் (8, 1) மற்றும் இதற்கொத்த இயக்குவரை x = 4.
(iii) (5, -2) வழிச்செல்வது மற்றும் குற்றச்சின் நீளம் 8 அலகுகள், நெட்டச்சு x அச்சு:
தீர்வு:
(i) கொடுக்கப்பட்ட குவியங்கள் (±2, 0)
⇒ ae = 2 மற்றும் மையம் (0, 0)

∴ அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) – \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1

(ii) ae = மையம் மற்றும் குவியத்திற்கு
இடைப்பட்ட தூரம்
ae = \(\sqrt{(8-2)^{2}-(1-1)^{2}}\) = \(\sqrt{6^{2}}\) = 6 … (1)
மேலும் \(\frac{a}{e}\) = மையம் மற்றும் இயக்கு வரைக்கு இடைப்பட்ட தூரம்
\(\frac{a}{e}\) = \(\sqrt{(4-2)^{2}+(1-1)^{2}}\) = \(\sqrt{2^{2}}\) = 2
[∵ (4, 1) இயக்குவரை மீது அமைந்துள்ள புள்ளி]

⇒ a² = 12
(1) → a²e² = 36
12(e²) = 36
⇒ e² = 3
⇒ e = \(\sqrt{3}\)
மேலும், b² = a² (e² – 1) = 12(3 – 1) = 12(2) = 24
∴அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு

(iii) (5, -2)வழிச் செல்வது மற்றும் குற்றச்சின் நீளம் 8 அலகுகள் நெட்டச்சு x-அச்சு.
2a = 8 ⇒ a = 4
நெட்டச்சு x-அச்சு ஆதலால் மையம் (0, 0)
அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு
\(\frac{x^{2}}{16}\) – \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
(5,-2) பரவளையத்தின் வழிச் செல்கிறது, ஆதலால்,

∴ அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு

கேள்வி 4.
பின்வருவனவற்றிற்கான முனை, குவியம், இயக்குவரையின் சமன்பாடு மற்றும் செவ்வகல நீளம் காண்க:
(i) y² = 16x
(ii) x² = 24y
(iii) y² = -8x
(iv) x² + 8y + 17 = 0
(v) y² – 4y – 8x + 12 = 0
தீர்வு:
(i) y² = 16x
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையம் வலது பக்க திறப்புடையது மற்றும்
4a = 16 ⇒ a = 4.
(a) முனை (0, 0)
⇒ h = 0, k = 0
(b) குவியம் (h + a, 0 + k)
⇒ (0 + 4, 0 + 0) = (4, 0)
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு.x = h – a
⇒ x = 0 – 4 ⇒ x = -4
(d) செவ்வகலத்தின் நீளம் 4a = 16.

(ii) x = 24y
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையம் மேல்புறம் திறப்புடையது மற்றும் 4a = 24 ⇒ a = 6.
(a) முனை (0, 0)
⇒ h = 0, k = 0
(b) குவியம் (0 + h, a + k)
⇒ (0 + 0, 6 + 0) = (0, 6)
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு y = k – a
⇒ y = 0 – 6 ⇒ y = -6
(d) இயக்குவரையின் நீளம் 4a = 24.

(iii) y² = -8x
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையம் இடது புறம் திறப்புடையது மற்றும் 4a = 8 ⇒ a = 2.
(a) முனை (0, 0)
⇒ h = 0, k = 0
(b) குவியம் (h – a, 0 + k)
⇒ (0 – 2, 0 +0) ⇒ (-2, 0)
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = h + a
⇒ x = 0 + 2 ⇒ x = 2
(d) செவ்வகத்தின் நீளம் 4a = 8.

(iv) x² – 2x + 8y + 17 = 0
x² – 2x = -8y – 17
இருபுறமும் 1 ஐ கூட்ட கிடைப்பது
x² – 2x + 1 = -8y – 17 + 1
⇒ (x – 1)² = -8y – 16 = -8(y + 2)
⇒ (x – 1)² = -8(y + 2)
இது கீழ்நோக்கி திறப்புடைய பரவளையம், செவ்வ கலம் 4a = 8 ⇒ a = 2.
(a) முனை (1,-2)
⇒ h = 1, k = -2
(b) குவியம் (0 + h, -a + k)
⇒ (0 + 1, -2 – 2)
⇒ (1, -4)
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு y = k + a
⇒ y = -2 + 2 ⇒ y = 0
(d) செவ்வகலத்தின் நீளம் 4a = 8 அலகுகள்.

(v) y² – 4y – 8x + 12 = 0
y² -4y = 8x – 12
இருபுறமும் 4 ஐ கூட்ட கிடைப்பது
y² – 4y + 4 = 8x – 12 + 4 = 8x – 8
⇒ (y – 2) = 8(x – 1)
இது வலதுபுற திறப்புடைய பரவளையம் மற்றும் செவ்வகலம் 4a = 8 ⇒ a = 2.
(a) முனை (1, 2) ⇒ h = 1, k = 2
(b) குவியம் (h + a, 0 + k)
= (1 + 2, 0 + 2)
= (3, 2)
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = h – a
⇒ x = 1 – 2
⇒ x = -1
(d) செவ்வகலத்தின் நீளம் 4a = 8 அலகுகள்.

கேள்வி 5.
பின்வரும் சமன்பாடுகளின் கூம்பு வளைவின் வகையைக் கண்டறிந்து அவற்றின் மையம், குவியங்கள், முனைகள் மற்றும் இயக்குவரைகள் காண்க:

தீர்வு:
(i) \(\frac{x^{2}}{25}\) + \(\frac{y^{2}}{9}\) = 1
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு
a² = 25 மற்றும் b² = 9 மற்றும் c² = a² + b²
⇒ c² = 25 + 9 = 16 ⇒ c = 4
(a) மையம் (0, 0) ⇒ h = 0, k = 0
(b) குவியங்க ள் (h – c, k), (h + c, k)
⇒ (0 – 4, 0), (0 + 4, 0)
⇒ (-4, 0) மற்றும் (4, 0)
(c) முனைகள் (h – a, k) மற்றும் (h + a, k)
⇒ (0 – 5, 0) மற்றும் (0 + 5, 0)
⇒ (-5, 0) மற்றும் (5, 0)
(d) இயக்குவரைகள் x = ±\(\frac{a}{e}\)

∴கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு ⇒ x = ±\(\frac{25}{4}\)

(ii) \(\frac{x^{2}}{3}\) + \(\frac{y^{2}}{10}\) = 1
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac{x^{2}}{3}\) + \(\frac{y^{2}}{10}\) = 1

(c) குவியங்கள் (h, k – c)(h, k + c)

இயக்குவரைகள் y = ± \(\frac{a}{e}\)

(iii)
\(\frac{x^{2}}{25}\) + \(\frac{y^{2}}{144}\) = 1
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு : \(\frac{x^{2}}{25}\) + \(\frac{y^{2}}{144}\) = 1
இது அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடாகும்.
∴ a² = 25 மற்றும் b² = 144
⇒ c² = a² + b² ⇒ 25 + 144 = 169 ⇒ c = 13

(a) மையம் (0, 0) ⇒ h = 0, k = 0
(b) குவியங்க ள் (h + c, k), (h – c, k)
⇒ (0 + 13, 0), (0 – 13, 0)
⇒ (13, 0), (-13, 0)
(c) முனைகள் (h + a, k) மற்றும் (h- a, k)
⇒ (0 + 5, 0), (0 – 5, 0) ⇒ (5, 0), (-5, 0)
(d) இயக்குவரையின் சமன்பாடுகள்

(iv) \(\frac{y^{2}}{16}\) + \(\frac{x^{2}}{9}\) = 1
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac{y^{2}}{16}\) + \(\frac{x^{2}}{9}\) = 1
இது துணையச்சு y-அச்சுக்கு அதிபர வளையத்தின் சமன்பாடாகும்.
∴ a² = 16, b² = 9, c² = a² + b²
⇒ c² = 16 + 9 = 25 ⇒ c = 5

(a) மையம் (0, 0)
⇒ h = 0, k = 0
(b) முனைகள் (h, k + a), (h, k – a)
⇒ (0, 0 + 4), (0, 0 – 4) ⇒ (0, 4) (0, -4)
(c) குவியங்க ள் (h, k + c), (h, k – c)
⇒ (0, 0 + 5), (0, 0 – 5) ⇒ (0, 5) (0,-5)
(d) இயக்குவரையின் சமன்பாடுகள் y = +\(\frac{a}{e}\)

கேள்வி 6.
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) – \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 என்ற அதிபரவளையத்தின் செவ்வகல நீளம் \(\frac{2 b^{2}}{a}\) என நிறுவுக.
தீர்வு:
அதிபரவளையத்தின் செவ்வகலம் LL’ S(ae, 0) வழிச் செல்கிறது.

∴ L = (ae, y₁)
ல் பிரதியிட கிடைப்பது,

கேள்வி 7.
அதிபரவளையத்தின் மீதுள்ளள்ள புள்ளி P-இலிருந்து அதன் குவியத்தூரங்களின் வித்தியாசத்தின் மட்டு மதிப்பு குறுக்கச்சின்
நீளத்திற்குச் சமம் என நிறுவுக.
தீர்வு:
P(x, y) அதிபரவளையத்தின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க.
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1

= துணையச்சின் நீளம்.
ஆகையால், அதிபரவளையத்தின் மீதுள்ள புள்ளி P-இலிருந்து அதன் குவியத்தூரங்களின் வித்தியாசத்தின் மட்டு மதிப்பு குறுக்கச்சின் நீளத்திற்குச் சமம்.

கேள்வி 8.
பின்வரும் சமன்பாடுகளின் கூம்பு வளைவின் வகையைக் கண்டறிந்து அவற்றின் மையம், குவியங்கள், முனைகள் மற்றும் இயக்குவரைகளைக் காண்க:

(v) 18x² + 12y² – 144x + 48y + 120 = 0
(vi) 9x² – y² – 36x – 6y + 18 = 0
தீர்வு:
(i) \(\frac{(x-3)^{2}}{225}\) + \(\frac{(y-4)^{2}}{289}\) = 1
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac{(x-3)^{2}}{225}\) + \(\frac{(y-4)^{2}}{289}\) = 1
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு a² = 289, b² = 225 மற்றும் c² = a² + b² ⇒ 289 – 225 = 64
⇒ c = 8.

(a) மையம் (3, 4) ⇒ h = 3, k = 4
(b) குவியங்க ள் (h, k + c), (h, k – c)
⇒ (3, 4 + 8), (3, 4 – 8) ⇒ (3, 12), (3, -4)
(c) முனைகள் (h, k – a), (h, k + a)
⇒ (3, 4 – 17), (3, 4 + 17) ⇒ (3, -13), (3, 21)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள்

(ii) \(\frac{(x+1)^{2}}{100}\) + \(\frac{(y-2)^{2}}{64}\) = 1
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac{(x+1)^{2}}{100}\) + \(\frac{(y-2)^{2}}{64}\) = 1
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு
∴a² = 100, b² = 64
c² = a² – b²
⇒ c² = 100 – 64 = 36
∴ c = 6

(a) மையம் (-1, 2) ⇒ h = -1, k = 2
(b) குவியங்க ள் (h – c, k), (h + c, k)
⇒ (-1 – 6, 2), (-1 + 6, -2) ⇒ (-7, 2), (5, 2)
(c) முனைகள் (h – a, k) மற்றும் (h + a, k)
⇒ (-1 – 10, 2), (-1 + 10, 2) ⇒ (-11, 2), (9, 2)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள்

(iii) \(\frac{(x+3)^{2}}{225}\) – \(\frac{(y-4)^{2}}{64}\) = 1
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac{(x+3)^{2}}{225}\) – \(\frac{(y-4)^{2}}{64}\) = 1
இது அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு
∴a² = 225, b² = 64
⇒ c² = a² + b² = 225 + 64 = 289
⇒ c = 17

(a) மையம் (-3, 4)
⇒ h = -3, k = 4
(b) குவியங்கள் (h + c, k), (h – c, k)
⇒ (-3 + 17, 4), (-3 – 17, 4)
⇒ (14, 4) (-20, 4)
(c) முனைகள் (h + a, k) மற்றும் (h – a, k)
= (-3 + 15, 4), (-3 – 15, 4)
⇒ (12, 4) (-18, 4)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள்

(iv) \(\frac{(y-2)^{2}}{25}\) – \(\frac{(x+1)^{2}}{16}\) = 1
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac{(y-2)^{2}}{25}\) – \(\frac{(x+1)^{2}}{16}\) = 1
துணையச்சு y-அச்சுக்கு இணையான அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு.
∴a² = 25, b² = 16
⇒ c² = a² + b² = 25 + 16 = 41
⇒ c = \(\sqrt{41}\)

(a) மையம் (-1, 2) ⇒ h = -1, k = 2
(b) குவியங்க ள் (h, k + c), (h, k – c)
= (-1, 2 + \(\sqrt{41}\)), (-1, 2 – \(\sqrt{41}\))
(c) முனைகள் (h, k + a), (h, k – a)
= (-1, 2 + 5), (-1, 2 – 5)
= (-1, 7), (-1, -3)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள்
y – 2 = ±\(\frac{5}{\frac{\sqrt{41}}{5}}\)
⇒ y – 2 = ±\(\frac{25}{\sqrt{41}}\)
⇒ y = 2 + \(\frac{25}{\sqrt{41}}\) மற்றும்
y = 2 – \(\frac{25}{\sqrt{41}}\)

(v) 18x² + 12y² – 144x + 48y + 120 = 0
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
18x² + 12y² – 144x + 48y + 120 = 0
18x² – 144x + 12y² + 48y = -120
⇒ 18(x² – 8x) + 12(y⇒ + 4y) = -120
⇒ 18(x² – 8x + 16 – 16) + 12(y² + 4y + 4 – 4) = -120
18(x – 4)² – 288 + 12 (y + 2)² – 48 = -120
⇒ 18(x – 4)² + 12(y + 2)² = -120 + 288 + 48
⇒ 18(x – 4)² + 12(y + 2)² = 216
216ல் வகுக்க கிடைப்பது,

நெட்டச்சு y- அச்சுக்கு இணையான நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு.

(a) மையம் (4,-2)
⇒ h = 4, k = -2
(b) முனைகள் (h, k – a), (h, k + a)
⇒ (4, -2 – 3\(\sqrt{2}\)), (4, -2 + 3\(\sqrt{2}\))
[∵ a² = 18 ⇒ a = \(\sqrt{18}\) = 3\(\sqrt{2}\))
(c) குவியங்கள் (h, k – c), (h, k + c)
⇒ (4, -2\(\sqrt{6}\)), (4, -2 + \(\sqrt{6}\))
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள்

(vi) 9x² – y² – 36x – 6y + 18 = 0 கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு
9x-y-36x -6y +18=0
9x² – y² – 36x – 6y + 18 = 0
⇒ 9x² – 36x – (y² + 6y) = -18
⇒ 9(x² – 4x) – (y² + 6y) = -18
⇒ 9(x² – 4x + 4 – 4) – (y² + 6y + 9 – 9)= -18
⇒ 9(x – 2)² – 36 – (y + 3)² + 9 = -18
⇒ 9(x – 2)² – (y + 3)² = -18 + 36 – 9
⇒ 9(x – 2)² – (y + 3)² = 9
9 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது, \(\frac{(x-2)^{2}}{1}\) – \(\frac{(y+3)^{2}}{9}\) = 1
துணை அச்சு x- அச்சுக்கு இணையான அதிபர வளையத்தின் சமன்பாடு.

(a) மையம் (2,-3)
⇒ h = 2, k = -3
(b) குவியங்க ள் (h + c, k), (h – c, k)
= (2 + \(\sqrt{10}\),-3), (2 – \(\sqrt{10}\), -3)
(c) முனைகள் (h + a, k) (h – a, k)
= (2 + 1, -3), (2 – 1, -3)
= (3, -3) (1, -3)
(d) இயக்குவரையின் சமன்பாடுகள் x – 2 = ± \(\frac{a}{e}\)