Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1

கேள்வி 1.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) cot θ + tan θ = sec θ cosec θ
(ii) tan⁴ θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ
தீர்வு:
(i) இடப்பக்கம் = cot θ + tan θ

= sec θ cosec θ = வலப்பக்கம் –

(ii) இடப்பக்கம் = tan⁴ θ+ tan² θ
= tan² θ (tan² θ + 1)
= tan² θ x sec² θ ——-(1)
வலப்பக்கம் = sec⁴ θ – sec² θ
= sec² θ (sec² θ – 1)
= sec² θ x tan² θ ——-(2)
(1) மற்றும் (2)லிருந்து
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 2.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) \(\frac{1-\tan ^{2} \theta}{\cot ^{2} \theta-1}\) = tan² θ
(ii) \(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}\) = secθ – tanθ
தீர்வு:

கேள்வி 3.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) \(\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}\) = sec θ + tan θ
(ii) \(\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}\) = 2secθ
தீர்வு:

கேள்வி 4.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) Sec⁶ θ = tan⁶ θ + 3 tan² θ Sec² θ + 1
(ii) (Sin θ + Secθ)² + (Cos θ + Cosec θ)²
= 1+ (Sec θ + Cosec θ)²
தீர்வு:
(i) வலப்பக்கம் = Sec⁶ θ
= (Sec² θ )3
= (1 + tan² θ )³
= (1)3 + 3(1)2 (tan 0)2
+ 3(1)(tan² θ )² + (tan² θ )³
= 1+3 tan² θ +3tan⁴ θ + tan⁶ θ
= tan⁶ θ + 3tan² θ (1+ tan² θ ) + 1
= tan⁶ θ + 3tan² θ Sec² θ + 1
= RHS.

(ii) இடப்பக்கம்
= (sin θ + sec θ)² + (cos θ + cosec θ)²
= sin² θ + sec² θ + 2sin θ sec + cos² θ + cosec² θ + 2cosθ cosec θ
= 1 + 2sin θ x \(\frac{1}{\cos \theta}\) + 2cos θ x \(\frac{1}{\sin \theta}\) cosθ + sec² θ + cosec²θ
= 1 + 2[\(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\cos \theta \sin \theta}\) ] + sec² θ + cosec² θ
= 1 + 2[ \(\frac{1}{\cos \theta \sin \theta}\) ]+ sec² θ + cosec²θ
= 1 + 2sec θ cosec θ + sec² e + cosec² θ
= 1 + (sec θ + cosec 6)² = R.H.S

கேள்வி 5.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) Sec⁴ θ (1-sin⁴ θ) – 2tan² θ = 1
(ii) \(\frac{\cot \theta-\cos \theta}{\cot \theta+\cos \theta}=\frac{cosec \theta-1}{cosec \theta+1}\)
தீர்வு :
(i) இடப்பக்கம் = Sec⁴ θ (1-sin⁴ θ) – 2tan² θ = 1

(ii) \(\frac{\cot \theta-\cos \theta}{\cot \theta+\cos \theta}=\frac{cosec \theta-1}{cosec \theta+1}\)

கேள்வி 6.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) \(\frac{\sin A-\sin B}{\cos A+\cos B}+\frac{\cos A-\cos B}{\sin A+\sin B}\)
(ii) \(\frac{\sin ^{3} A+\cos ^{3} A}{\sin A+\cos A}+\frac{\sin ^{3} A-\cos ^{3} A}{\sin A-\cos A}=2\)
தீர்வு :

= (sin²A – sinAcosA + cos²A) + (sin²A + sinAcosA + cos²A)
= 1 – sinA cosA + 1 + sinA cosA
= 2 = வலப்பக்கம்

கேள்வி 7.
i) sinθ + cosθ = √3 எனில், tanθ + cotθ = 1
ii) √3sinθ – cosθ = 0 எனில் tan3θ = \(\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\) என நிறுவுக
தீர்வு :
(i) கொடுக்கப்பட்டவை sinθ +cosθ = √3
(sinθ + cosθ)² = ( √3)²
sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ = 3
1 + 2sinθ cosθ = 3
2sinθ cosθ = 3-1 = 2
sinθ cosθ = 5
sinθ cosθ = 1——–(1)
இடப்பக்கம் = tanθ + cotθ
= \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
= \(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}\)
= 1/1 = 1 = வலப்பக்கம்

(ii) கொடுக்கப்பட்டவை √3sinθ – cosθ = 0
√3 sinθ = cosθ
\(\frac{\sin \theta}{Cos\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = tan 30°
θ = 30°
இடப்பக்கம் = tan 3θ
= tan 3 (30°)
= tan90° = வரையறுக்கப்பட்டவில்லை —— (1)

= வரையறுக்கப்படவில்லை ——- (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 8.
i) \(\frac{\cos \alpha}{\cos \beta}\) = m மற்றும் \(\frac{\cos \alpha}{\sin \beta}\) = n
எனக்கொண்டு (m² + m²) Cos β = n² என்பதை நிரூபிக்கவும்
ii) Cot θ + tan θ = x மற்றும் Sec θ – Cos θ = y, எனில் \(\left(x^{2} y\right)^{\frac{2}{3}}-\left(x y^{2}\right)^{\frac{2}{3}}\) என்பதை நிரூபிக்கவும்
தீர்வு : (i)

(ii) கொடுக்கப்பட்டவை

கேள்வி 9.
(i) sinθ + cosθ = P , மற்றும் secθ + cosecθ = q எனில், q(p² – 1) = 2p என்பதை நிரூபிக்கவும்.
(ii) sinθ (1 + sin²θ) = cos²θ , எனில், cos⁶θ – 4cos⁴θ + 8cos²θ = 4 என்ப தை நிரூபிக்கவும்
(i) தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்டவை, sin θ + cos θ = p
(sinθ +cosθ)² = p²
sin²θ + cos²θ + 2sinθ cosθ = p²
1 + 2sinθ cosθ = p² ——– (1)
secθ + cosecθ = q

secθ + cosθ = p/q ——— (2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட
1 + 2\(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) = p²
2p = q(p² – 1)
q(p² – 1) = 2p
நிரூபிக்கப்பட்டது.

(ii) கொடுக்கப்பட்டவை sine (1+sin²o) = cos²o
sinθ [1+1-cos²θ] = cos²e
sinθ [2-cos²θ] = cos²θ
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
sin²θ [2-cos²θ)² = cos⁴θ
(1-cos²θ) [(2)² – 2(2) (cos²θ) – (cos²θ)² ] = cos⁴θ
(1-cos²θ)[4- 4cos²θ + cos⁴θ] = cos⁴θ
4 – 4cos²θ+ cos⁴θ – 4cos²θ + 4cos⁴θ – cos ⁶θ = cos⁴θ
4 – 8cos²θ – 4cos⁴θ – cos⁶θ – cos⁴θ = 0
cos⁶ θ – 4cos⁴θ – 8cos²θ = 4
நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 10.
\(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1}{a}\), எனில், \(\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}\) = sin θ என்பதை நிரூபிக்கவும்
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்டவை \(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1}{a}\)

a² – a² sinθ = 1 + sinθ
a² – 1 = a sinθ + sinθ
a² – 1 = (a² + 1)sinθ
sinθ = \(\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}\)
நிரூபிக்கப்பட்டது.