Laxmi

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 6 புள்ளியியல் Ex 6.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 6 புள்ளியியல் Ex 6.1

கேள்வி 1.
கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக.

i) வேறாருவரால் முன்பே சேகரித்து வைத்திருக்கும் தரவுகள்
தரவுகள் .
விடை :
இரண்டாம் நிலை

ii) (25 – 35) பிரிவு இடைவெளியின் மேல் எல்லை
விடை :
35

iii) 200, 15, 20, 103, 3, 197 இன் வீச்சு
விடை :
197

iv) பிரிவு அளவு 10 மற்றும் வீச்சு 80 எனில், பிரிவுகளின் எண்ணிக்கை
விடை :
8

v) வட்ட விளக்கப்படம் என்பது வரைபடம்.
விடை :
வட்டவடிவியலான

கேள்வி 2.
சரியா தவறா எனக் கூறுக.

i) உள்ளடக்கியத் தொடர் ஒரு தொடர்ச்சியானத் தொடர்
விடை :
தவறு

ii) வட்ட விளக்கப்படம் மூலம் மொத்த பகுதிகளின் கூறுகளை ஒப்பிட்டு பார்க்க முடியும்
விடை :
சரி

iii) ஊடக மற்றும் தொழிற்துறையினர் வட்ட விளக்கப்படத்தைப் பயன்படுத்துகின்றனர்.
விடை :
சரி

iv) வட்ட விளக்கப்படம் என்பது வட்டத்தைப் பல்வேறு வட்டக்கோணபகுதிக் கூறுகளாகப் பிரிப்பது.
விடை :
சரி

கேள்வி 3.
25 குடும்பங்களிலுள்ள குழந்தைகளின் எண்ணிக்கைக்கு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
இதனைத் தொகுக்கப்படாத நிகழ்வெண் பரவல் அட்டவணையில் குறிக்க.
1, 3, 0, 2, 5, 2, 3, 4, 1, 0, 5, 4, 3, 1, 3, 2, 5, 2, 1, 1, 2, 6, 2, 1, 4.
விடை :

கேள்வி 4.
பத்தாம் வகுப்பு பொதுத் தேர்வில் 30 மாணவர்கள் எடுத்த மதிப்பெண்களுக்குத் தொகுக்கப்பட்ட நிகழ்வெண் பரவல் அட்டவணையைத் தயார் செய்க. 328. 470, 405, 375,298, 326, 276,362, 410, 255,391,370, 455, 229, 300, 183, 283, 366, 400, 495, 215, 157, 374, 306, 280, 409, 321, 269, 398, 200.
விடை :

கேள்வி 5.
ஒரு வண்ண உற்பத்தித் தொழிற்சாலை நிர்வாகத்தினர் ஒரு பகுதி மாணவர்களிடம் தங்களுக்கு விருப்பமான வண்ணம் பற்றி கேட்டு, அத்தரவுகளுக்கு வட்ட விளக்கப்படம் வரைந்துள்ளார்கள். அத்தகவல்களைப் பயன்படுத்திக் கீழ்க்காணும் வினாக்களுக்கு விடையளிக்க.
i) எத்தனைச் சதவீத மாணவர்கள் சிவப்பு
வண்ணத்தை விரும்புகின்றனர்?
ii) எத்தனை மாணவர்கள் பச்சை வண்ணத்தை
விரும்புகின்றனர்?
iii) நீலவண்ணத்தை விரும்பும் மாணவர்களின் பின்னம் என்ன?
iv) எத்தனை மாணவர்கள் சிவப்பு வண்ணத்தை விரும்பவில்லை ?
v) எத்தனை மாணவர்கள் இளஞ்சிவப்பு அல்லது நீல வண்ணத்தை விரும்புகின்றனர்?
vi) எத்தனை மாணவர்களிடம் தங்களுக்குப் பிடித்தமான வண்ணம் பற்றிக் கேட்கப்பட்டது? 10% என்பது 50 மாணவர்கள்

தீர்வு :
i) 20% மாணவர்கள் சிவப்பு வண்ணத்தை விரும்புகின்றனர்.
ii) 75 மாணவர்கள் பச்சை வண்ணத்தை விரும்புகின்றனர்.
iii) \(\frac{125}{500}=\frac{1}{4}\) மாணவர்கள் நீல வண்ணத்தை விரும்புகின்றனர்.
iv) 400 மாணவர்கள் சிவப்பு வண்ணத்தை விரும்பவில்லை.
v) 275 மாணவர்கள் இளஞ்சிவப்பு அல்லது நீல வண்ணத்தை விரும்புகின்றனர்.
vi) 500 மாணவர்களிடம் தங்களுக்கு பிடித்தமான வண்ணம் பற்றிக் கேட்கப்பட்டது.

கேள்வி 6.
ஒரு கருத்துக் கேட்பில், அப்பகுதி மக்களால் விரும்பப்படும் உணவு வகைகள் பற்றிய விவரங்கள் கீழேக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அவ்விவரங்களுக்கு வட்ட விளக்கப்படம் வரைக.

தீர்வு :

கேள்வி 7.
இந்திய அரசாங்கத்திற்குப் பல்வேறு வரிவருவாய் வழிகளில் இருந்துவரும் ஒரு ரூபாயிற்கான வருமானம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அதற்கு வட்ட விளக்கப்படம் வரைக.

தீர்வு :

கேள்வி 8.
குமரனின் மாத குடும்பச் செலவு கீழேக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அதற்குப் பொருத்தமான வட்ட விளக்கப்படம் வரைக.
1. குமரன் வாடகைக்காக ₹6000 ஐ செலவுச் செய்தால் அவர் கல்விக்குச் செய்யும் செலவைக் காண்க.
2. குமரனின் மொத்த மாத வருமானம் எவ்வளவு?
3. கல்வியை விட உணவுக்கு எவ்வளவு அதிகமாகச் செலவு செய்கிறார்?
15% வாடகைக்காக செலவு செய்கிறார் = ₹6000
மாத வருமானம் 10% = ₹4000
i. கல்விக்காக செலவிடப்படும் பணம் = 4000ல் 20% = \(\frac{20}{100}\) x 40000 = ₹8000
ii. மொத்த வருமானம் = 100% =₹ 4000
iii. கல்வியை விட உணவுக்கு 30% அதிகமாக செலவு செய்கிறார்

தீர்வு :

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 5 வடிவியல் Ex 5.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 5 வடிவியல் Ex 5.5

I. கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவுகளைக் கொண்டு பின்வரும் இணைகரங்களை வரைந்து, அவற்றின் பரப்பளவுகளைக் காண்க.

(i) ARTS, AR = 6 செ.மீ, RT = 5 செ.மீ மற்றும் ∠ART = 70°
விடை :
வரைமுறை:
படி 1 : AR = 6 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக
படி 2 : \(\overline{\mathrm{AR}}\) ன் மீது Rல் ∠ART =70° ஐ அமைக்க
படி 3 : Rஐ மையமாகக் கொண்டு, 5 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்ட வில்லானது RX ஐ Tல் வெட்டுமாறு வரைக
படி 4 : A மற்றும் T ஐ மையங்களாகக் கொண்டு, முறையே 5செ.மீ மற்றும் 6 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்ட விற்கள் வரைக அவை Sல் வெட்டட்டும்.
படி 5 : AS மற்றும் TS ஐ இணைக்க
படி 5 : ARTS என்பது
தேவையான இணைகரம் ஆகும்

பரப்பளவு கணக்கிடுதல் :
ARTS என்பது இணைகரத்தின் பரப்பளவு = bh சதுர அலகுகள்
= 6 × 4.7
= 28.2 ச.செ.மீ

ii. CAMP, CA = 6 செ.மீ, AP = 8 செ.மீ மற்றும் CP = 5.5 செ.மீ.
விடை :
வரைமுறை:
படி 1 : CA = 6 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
படி 2 : C மற்றும்A ஐ மையங்களாகக் கொண்டு 5.5 செ.மீ மற்றும் 8 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டவிற்கள் வரைக. அவை P ல் வெட்டட்டும்.
படி 3 : CP மற்றும் APஐ இணைக்க.
படி 4 : A மற்றும் P ஐ மையங்களாகக் கொண்டு முறையே 5.5 செ.மீ மற்றும் 6 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்ட விற்கள் வரைக. அவை Mல் வெட்டட்டும்
படி 5 : AM மற்றும் PM ஐ இணைக்க
படி 6 : CAMP என்பது தேவையான இணைகரம் ஆகும்.
பரப்பளவு கணக்கிடுதல்:
CAMP என்ற இணைகரத்தின் பரப்பளவு = bh சதுர அலகுககள்
= 6 × 5.6
= 33.6 ச.செ.மீ

iii. EARN, ER = 10 செ.மீ , AN = 7 செ.மீ மற்றும் ∠EOA = 110°, \(\overline{\text { ER }}\) மற்றும் \(\overline{\text { AN }}\) ஆகியவை O இல் வெட்டுகின்றன
விடை :
வரைமுறை:
படி 1 : ER = 10 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக
படி 2 : \(\overline{\text { ER }}\) . ன் மையப்புள்ளி O ஐக் குறிக்க
படி 3 : O வழியாக ∠EOY = 110° என இருக்குமாறு \(\overline{\text { XY }}\) என்ற கோடு வரைக.
படி 4: O ஐ மையமாகக் கொண்டு \(\overline{\text { ER }}\) ன் இரு புறங்களிலும், \(\overline{\text { XY }}\) ன் மீது 3.5 செ.மீ ஆரமுள்ள இரண்டு வட்ட விற்களை வரைக. \(\overline{\text { OX }}\) ஐ N லும், \(\overline{\text { OY }}\) ஐ A லும் வெட்டட்டும்.
படி 5: \(\overline{\mathrm{EN}}, \overline{\mathrm{RN}}, \overline{\mathrm{EA}}\) மற்றும் \(\overline{\mathrm{RA}}\). ஐ இணைக்க
படி 6 : EARN என்பது தேவையான இணைகரமாகும்.

பரப்பளவு கணக்கிடுதல் :
EARN என்ற இணைகரத்தின் பரப்பளவு
= bh சதுர அலகுகள்
= 7.3 × 5.3
= 38.69 ச. அலகுகள்

iv. GAIN, GA = 7.5 செ.மீ, GI = 9 செ.மீ மற்றும் ∠GAI = 100°
விடை :
செய்முறை:
படி 1: GA = 7.5 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக
படி 2: \(\overline{\mathrm{GA}}\) ன் மீது Aல் ∠GAI = 100° ஐ அமைக்க
படி 3 : G ஐ மையமாகக் கொண்டு, 9 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்ட வில்லானது AX ஐ Iல் வெட்டுமாறு வரைந்து GI ஐ இணைக்க.
படி 4 : Gஐ மையமாகக் கொண்டு, \(\overline{\mathrm{AI}}\) ன் நீளத்திற்குச் சமமான ஆரமுள்ள ஒரு வட்டவில் வரைக.
படி 5: I ஐ மையமாகக் கொண்டு 7.5 செ.மீ ஆரமுள்ள ஒரு வட்ட வில் வரைக. அவை N ல் வெட்டடும்
படி 6 : IN மற்றும் GN ஐ இணைக்க
படி 7: GAIN என்பது தேவையான இணைகரம் ஆகும்

பரப்பளவு கணக்கிடுதல்:
GAIN என்ற இணைகரத்தின் பரப்பளவு = bh சதுர அலகுகள்
= 7.5 × 4
= 30 ச.செ.மீ

II. கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவுகளைக் கொண்டு, பின்வரும் சாய்சதுரங்கள் வரைந்து அவற்றின் பரப்பளவுகளைக் காண்க.

i) FACE, FA= 6 செ.மீ மற்றும் FC = 8 செ.மீ
ii) CAKE, CA=5 செ.மீ மற்றும் ∠A = 65°
iii) LUCK, LC =7.8 செ.மீ மற்றும் UK = 6 செ.மீ
iv) PARK, PR = 9 செ.மீ மற்றும் ∠P =70°
தீர்வு :

i) FACE, FA= 6 செ.மீ மற்றும் FC = 8 செ.மீ

வரைமுறை :
i) FA = 6 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
ii) F மற்றும் A ஐ மையங்களாகக் கொண்டு, முறையே 8 செ.மீ மற்றும் 6 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டவிற்கள் வரைக. அவை C ல் வெட்டும்.
iii) FC மற்றும் AC ஐ இணைக்க.
iv) F மற்றும் C ஐ மையங்களாகக் கொண்டு, ஒவ்வொன்றும் 5 செ.மீ ஆரமுள்ள இரு வட்டவிற்கள் வரைக. அவை E ல் வெட்டட்டும்.
v) FE மற்றும் CE ஐ இணைக்க
vi) FACE என்பது தேவையான சாய்சதுரம் ஆகும்.

பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல் :
FACE என்ற சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × d₁ × d₂ ச.அலகு
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 8 × 9
= 36 ச.செ.மீ

ii) CAKE, CA = 5 செ.மீ மற்றும் ∠A = 65
தீர்வு :


வரைமுறை :
i) CA = 5 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
ii) ∠A கோட்டுத்துண்டின் மீது A ல் ∠A = 65° ஐ வரைக.
iii) A ஐ மையமாகக் கொண்டு 5 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டவில் வரைக. அது AX ஐ K ல் வெட்டும்
iv) C மற்றும் K ஐ மையங்களாகக் கொண்டு, ஒவ்வொன்றும் 5 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டவிற்கள் வரைக. அவை A ல் வெட்டும்.
v) CE மற்றும் KE ஐ இணைக்க
vi)CAKE என்பது தேவையான சாய்சதுரம் ஆகும்.

பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல் :
CAKE என்ற சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × d₁ × d₂ ச.அலகு
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 8.5 × 5.2
= 8.5 × 2.6 = 22.1 ச, செ.மீ

iii) LUCK, LC = 7.8 செ.மீ மற்றும் UK = 6 செ.மீ
தீர்வு :


வரைமுறை :
i) LC=7.8 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
ii) LC க்கு மையக்குத்துக்கோடு XYஐ வரைக அது LC ஐ O ல் வெட்டட்டும்.
iii) O ஐ மையமாகக் கொண்டு, 0 ன் இரு புறமும் 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டவிற்கள் OX ஐ K யிலும் மற்றும் OY ஐ பலும் வெட்டுமாறு வரைக.
iv) LK, LU, CK மற்றும் CU ஐ இணைக்க.
v) LUCK என்பது தேவையான சாய் சதுரம் ஆகும்.

பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல் :
LUCK என்ற சாய் சதுரத்தின் பரப்பளவு = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × d₁ × d₂ ச.அலகு
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 7.8 × 6
= 7.8 × 3
= 23.4 ச.செமீ

iv) PARK, PR = 9 செ.மீ மற்றும் ∠P =70°
தீர்வு :


வரைமுறை :
i) PR = 9 செமீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
ii) P ல் PR ன் இருபுறமும் ∠RPX = ∠RPY = 350 ஐ வரைக.
iii) R & PR ன் இருபுறமும் ∠URP= ∠VRP = 35° ஐ வரைக.
iv) PX மற்றும் RU ஆனது K இலும் RV மற்றும் PY ஆனது M இலும் வெட்டட்டும்.
v) PARK என்பது தேவையான சாய்சதுரம் ஆகும்.

பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல் :
PARK என்ற சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × d₁ × d₂ ச.அலகு
\(\frac { 1 }{ 2 }\) × 9 × 6.3
= 4.5 × 6.3
= 28.35 ச.செமீ

III. கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவுகளைக் கொண்டு, பின்வரும் செவ்வகங்களை வரைந்து அவற்றின் பரப்பளவுகளைக் காண்க.

i) HAND, HA = 7 செ.மீ மற்றும் AN = 4 செ.மீ
ii) LAND, LA = 8 செ.மீ மற்றும் AD = 10 செ.மீ
தீர்வு :
i) HAND, HA = 7 செ.மீ மற்றும்
AN = 4 செ.மீ

வரைமுறை :
i) HA = 7 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
ii) E ல் HX ⊥ HA ஐ வரைக.
iii) H ஐ மையமாகக் கொண்டு 4 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டவில் வரைக அது H X ஐ Dல் வெட்டட்டும்.
iv) A மற்றும் D ஐ மையங்களாகக் கொண்டு முறையே 4 செ.மீ மற்றும் 7 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டவிற்கள் வரைக. அவை N ல் வெட்டட்டும்.
v) DN மற்றும் AN ஐ இணைக்க
vi) HAND என்பது தேவையான செவ்வகம் ஆகும்.

பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல் :
HAND என்ற செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = l × b ச.அ
=7 × 4 = 28 ச.செமீ

ii) LAND, LA = 8 செ.மீ மற்றும்
AD = 10 செ.மீ

வரைமுறை :
i) LA = 8 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
ii) L ல் LX ⊥ LA ஐ வரைக.
iii) A ஐ மையமாகக் கொண்டு 10செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டவில் வரைக. அது LX ஐ Dல் வெட்டட்டும்.
iv) I மற்றும் Dஐமையங்களாகவும் முறையே LD மற்றும் LAன் நீளங்களை ஆரங்களாகவும்
கொண்டு வட்டவிற்கள் வரைக. அவை N ல் வெட்டட்டும்.
v) DN மற்றும் AN ஐ இணைக்க
vi) LAND என்பது தேவையான செவ்வகம் ஆகும்.

பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல் :
LAND என்ற செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = l × b ச.அலகு
= 8 × 6
= 48 ச.செமீ

IV. கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவுகளைக் கொண்டு, பின்வரும் சதுரங்கள் வரைந்து அவற்றின் பரப்பளவுகளைக் காண்க.

i) EAST, EA = 6.5 செ.மீ
ii) WEST, WS = 7.5 செ.மீ
தீர்வு :
i) EAST, EA = 6.5 செ.மீ


வரைமுறை :
i) EA = 6.5 செமீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
ii) Eல், EX I EA ஐ வரைக.
iii) E ஐ மையமாகக் கொண்டு 6.5 செமீ ஆரமுள்ள வட்டவில் வரைக. அது EX ஐ Tல் வெட்டட்டும்.
iv) A மற்றும் T ஐ மையங்களாகவும், ஒவ்வொன்றும் 6.5 செமீ ஆரமுள்ள இரு வட்டவிற்கள்
வரைக. அவை S ல் வெட்டட்டும்.
v) AS மற்றும் TS ஐ இணைக்க EAST என்பது தேவையான சதுரம் ஆகும்.

பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல் :
EAST என்ற சதுரத்தின் பரப்பளவு = a² ச.அலகு
= 6.5 × 6.5 = 42.25 ச.செமீ

ii) WEST, WS = 7.5 செ.மீ


வரைமுறை :
i) WS = 7.5 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
ii) WS க்கு மையக்குத்துக்கோடு XY ஐ வரைக. அது WS R Oல் இருசமக்கூறிடும்.
iii) O ஐ மையமாகக் கொண்டு, 0 ல் இருபுறமும் 3.7 செமீ ஆரமுள்ள வட்ட விற்கள் OX ஐ
T இலும் மற்றும் OY ஐE லும் வெட்டுமாறு வரைக.
iv) WT, ST, WE மற்றும் SE ஐ இணைக்க
v) WEST என்பது தேவையான சதுரம் ஆகும்.

பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல் :
WEST என்ற சதுரத்தின் பரப்பளவு = a² ச.அ
= 5.2²
= 27.04 ச.செமீ

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.6

பலவுள் தெரிவு வினாக்கள்

கேள்வி 1.
ஒரு புள்ளியின் x அச்சுத் தொலைவு பூச்சியம் எனில் அது எப்பொழுதும் ……………… அமையும்
(1) முதல் காற்பகுதியில்
(2) இரண்டாம் காற்பகுதியில்
(3) x – அச்சின் மீது
(4) x – அச்சின் மீது
விடை:
(3) x – அச்சின் மீது

கேள்வி 2.
(-5, 2) மற்றும் (2, -5) என்ற புள்ளியில் ………………. அமையும்
(1) ஒரே காற்பகுதியில்
(2) முறையே II, III காற்பகுதியில்
(3) முறையே II, IV காற்பகுதியில்
(4) முறையே IV, II காற்பகுதியில்
விடை:
(3) முறையே II, IV காற்பகுதியில்

கேள்வி 3.
புள்ளிகள் O(0, 0), A(3, -4), B(3, 4) மற்றும் C(0, 4) ஐக் குறித்து அவற்றை OA, AB, BC, மற்றும் CO என இணைத்தால் கிடைக்கும் உருவம் ……………… முறையே
(1) சதுரம்
(2) செவ்வகம்
(3) சரிவகம்
(4) சாய்சதுரம்
விடை:
(2) செவ்வகம்

கேள்வி 4.
புள்ளிகள் P(-1, 1), Q(3, -4), R(1, -1), S(-2, -3) மற்றும் T(-4, 4) என்பன ஒரு வரைபடத் தாளில் குறிக்கப்பட்டால் நான்காவது காற்பகுதியில் அமையும் புள்ளிகள் ………………….
(1) P மற்றும் T
(2) Q மற்றும் R
(3) மற்றும் S
(4) P மற்றும் Q
விடை:
(2) Q மற்றும் R

கேள்வி 5.
ஒரு புள்ளியின் y அச்சுத் தொலைவு 4 மற்றும் அப்புள்ளி y அச்சில் அமைந்தால் அப்புள்ளி …………… ஆகும்.
(1) (4, 0)
(2) (0, 4)
(3) (1, 4)
(4) (4, 2)
விடை:
(2) (0, 4)

கேள்வி 6.
(2, 3) மற்றும் (1, 4) என்ற புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு …………………
(1) 2
(2) \(\sqrt{56}\)
(3) \(\sqrt{10}\)
(4) √2
விடை:
(4) √2

கேள்வி 7.
புள்ளிகள் A(2, 0), B(-6, 0), C(3, a-3) ஆனது x அச்சின் மீது அமைந்தால் a இன் மதிப்பு …………………….
(1) 0
(2) 2
(3) 3
(4) -6
விடை:
(3) 3

கேள்வி 8.
(x + 2,4) = (5, y – 2) எனில் (x, y) இன் மதிப்பு …………………….
(1) (7, 12)
(2) (6, 3)
(3) (3, 6)
(4) (2, 1)
விடை:
(3) (3,-6)

கேள்வி 9.
Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, என்பன கார்ட்டீசியன் தளத்தின் நான்கு காற்பகுதிகள் எனில், Q₂ ∪ Q₃, என்பது ……………………
(1)Q₂ ∪ Q₁
(2) Q₂ ∪ Q₃
(3) வெற்றுக்கணம்
(4) x அச்சின் குறைப்பகுதி
விடை:
(3) வெற்றுக்கணம் R

கேள்வி 10.
(5, -1) என்ற புள்ளிக்கு ஆதிப் புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு …………………..
(1) \(\sqrt{24}\)
(2) \(\sqrt{37}\)
(3) \(\sqrt{26}\)
(4) \(\sqrt{17}\)
விடை:
(3) \(\sqrt{26}\)

கேள்வி 11.
P(2,4) மற்றும் Q(5, 7) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டை 2 : 1 என்ற விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளி C இன் ஆயத்தொலைவுகள்
(1) \(\left(\frac{7}{2}, \frac{11}{2}\right)\)
(2) (3, 5)
(3) (4, 4)
(4) (4, 6)
விடை:
(4) (4, 6)

கேள்வி 12.
A(-4,3) மற்றும் B(-2,4) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி P \(\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{2}\right)\) எனில் (a,b) ஆனது
(1) (-9, 7)
(2) \(\left(-3, \frac{7}{2}\right)\)
(3) (9,-7)
(4) \(\left(3,-\frac{7}{2}\right)\)
விடை:
(1) (-9, 7)

கேள்வி 13.
P(2,7) மற்றும் R(-2,3) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை Q(1, 6) என்ற புள்ளியானது என்ன விகிதத்தில் பிரிக்கும்?
(1) 1 : 2
(2) 2 : 1
(3) 1 : 3
(4) 3 : 1
விடை:
(3) 1 : 3

கேள்வி 14.
(-3, 2) என்ற புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தில் (3, 4) ஐ ஒரு முனையாகக் கொண்ட விட்டத்தின் மற்றொரு முனையைக் காண்க.
(1) (0,-3)
(2) (0, 9)
(3) (3, 0)
(4) (-9, 0)
விடை:
(4) (-9, 0)

கேள்வி 15.
A(a1, b1) மற்றும் B(a2, b2) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டை X – அச்சு எந்த விகிதத்தில் பிரிக்கும்?
(1) b1 : b2
(2) – b1 : b2
(3) a1 : a2
(4) – a1 : a2
விடை:
(2) -b1 : b2

கேள்வி 16.
(6, 4) மற்றும் (1, -7) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டை X – அச்சு எந்த விகிதத்தில் பிரிக்கும்?
(1) 2 : 3
(2) 3 : 4
(3) 4 : 7
(4) 4 : 3
விடை :
(3) 4 : 7

கேள்வி 17.
ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் AB, BC மற்றும் CA ஆகியவற்றின் நடுப்புள்ளிகளின் ஆயத் தொலைவுகள் முறையே (3,4), (1,1) மற்றும் (2,-3) எனில் A மற்றும் B இன் ஆயத்தொலைவுகள் யாவை?
(1) (3, 2), (2, 4)
(2) (4, 0), (2, 8)
(3) (3, 4) (2, 0)
(4) (4, 3) (2,4)
விடை:
(2) (4, 0), (2, 8)

கேள்வி 18.
(-a, 2b) மற்றும் (-3a, -4b) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளியானது
(1) (2a, 3b)
(2) (-2a, -b)
(3) (2a, b)
(4) (-2a, -3b)
விடை:
(2) (-2a, -b)

கேள்வி 19.
(-5, 1) மற்றும் (2, 3) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டை Y – அச்சு உட்புறமாக என்ன விகிதத்தில் பிரிக்கும்?
(1) 1 : 3
(2) 2 : 5
(3) 3 : 1
(4) 5 : 2
விடை:
(4) 5 : 2

கேள்வி 20.
(1, -2) (3, 6), (x, 10) மற்றும் (3,2) ஆகியன ஓர் இணைகரத்தின் வரிசையாக எடுக்கப்பட்ட முனைப்புள்ளிகள் எனில் X இன் மதிப்பானது
(1) 6
(2) 5
(3) 4
(4) 3
விடை:
(2) 5

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.5

கேள்வி 1.
பின்வரும் புள்ளிகளை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் காண்க.
(i) (2, -4), (-3, -7) மற்றும் (7,2)
(ii) (-5, -5) (1, -4) மற்றும் (-4,-2).
விடை:
(i) A = (2, -4) B (-3,-7) மற்றும் C(7,2) ஆகிய புள்ளிகளைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம். G (x,y)
(x₁,y₁) = (2,-4)
(x₂, y₂) = (-3,-7)
(x₃, y₃) = (7, 2)
நடுக்கோட்டு மையம் G (x,y)
= G \(\left(\frac{2-3+7}{3}, \frac{-4-7+2}{3}\right)\)
= G \(\left(\frac{6}{3}, \frac{-9}{3}\right)\)
= G (2,-3)

(ii) A (-5, -5) B (1,-4) மற்றும் C(-4,-2) ஆகிய புள்ளிகளைக் கொண்ட முக்கோணத்தின் நடுக் கோட்டு மையம்.
G = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\)
(x₁, y₁) = (-5, -5)
(x₂, y₂) = (1, -4)
(x₃,y₃) = (-4, -2)
நடுக்கோட்டு மையம் G (x,y)
G = \(\left(\frac{-5+1-4}{3}, \frac{-5-4-2}{3}\right)\)
G = \(\left(\frac{-8}{3}, \frac{-11}{3}\right)\)

கேள்வி 2.
ஒரு முக்கோணத்தின் நடுகோட்டு மையம் [4,-2] மற்றும் அதன் இரு முனைப்புள்ளிகள் [3, -2] மற்றும் [5, 2] எனில் மூன்றாவது முனைப் புள்ளியைக் காண்க.
விடை:
(i) (3, -2) மற்றும் (5, 2) ஆகியன முனைப்புள்ளிகள்.
(4, -2) என்பது நடுக்கோட்டு மையம் என்க.

\(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\) = 4
\(\frac{3+5+x_{3}}{3}\) = 4
x₃ = 12 + 8
x₃ = 12 – 8
x₃ = 4

\(\frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{3}\) = -2
\(\frac{-2+2+y_{3}}{3}\) = -2
y₃ = -6
மூன்றாவது முனைப்புள்ளி (4, -6)

கேள்வி 3.
A (-1,3) B (1, -1) மற்றும் C (5,1) ஆகியன ஒரு முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள் எனில் A வழியே செல்லக்கூடிய நடுக்கோட்டின் நீளத்தைக் காண்க.
விடை:

D, E, F என்பன BC, AC மற்றும் AB என்ற பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் என்க.
AD, BE மற்றும் CF ஆகியன நடுக்கோடுகள் என்க.

BC இன் நடுப்புள்ளி = C\(\left(\frac{1+5}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\)
\(=\quad C\left(\frac{6}{2}, \frac{0}{2}\right)\)
= C(3, 0)
AC இன் நடுப்புள்ளி = E\(\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{3+1}{2}\right)\)
= E\(\left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right)\) =E(2, 2)
AB இன் நடுப்புள்ளி
= F\(\left(\frac{-1+1}{2}, \frac{3-1}{2}\right)\) = F\(\left(\frac{0}{2}, \frac{2}{2}\right)\)
= F(0, 1)

நடுக்கோடு AD இன் நீளம் (-1, 3) (3, 0)
AD = \(\sqrt{(3+1)^{2}+(0+3)^{2}}\) (4) (3)
(-1, 3) (3, 0) = \(\sqrt{(4)^{2}+(3)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}\)
= 5

நடுக்கோடு BE இன் நீளம் (1, -1) (2, 2)
BE = \(\sqrt{(2-1)^{2}+(2+1)^{2}}\)
(1, -1) (2, 2)
\(=\sqrt{1+(3)^{2}}\)
\(=\sqrt{1+9}\)
\(=\sqrt{10}\)

நடுக்கோடு CF இன் நீளம் (5, 1) (0, 1)
\(=\sqrt{(0-5)^{2}+(1-1)^{2}}=\sqrt{(-5) 2+(0)}\)
\(=\sqrt{25}\)
= 5

கேள்வி 4.
(1, 2) (h, – 3) மற்றும் (-4, k) ஆகியன ஒரு முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள். மேலும் புள்ளி (5,-1) ஆனது அந்த முக்கோணத்தின் இருக்கோட்டு மையம் எனில்,\(\sqrt{(h+k)^{2}+(h+3 k)^{2}}\) இன் மதிப்பைக் காண்க.
வடை:
(i) (1, 2) (h, – 3) மற்றும் (-4, k)) ஆகியன ஒரு முக்கோணத்தின் முனைப்புள்ளிகள் (5, -1) அந்த முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் G(x, y) = G\(\left(\frac{\mathbf{x}_{1}+\mathbf{x}_{2}+\mathbf{x}_{3}}{3}, \frac{\mathbf{y}_{1}+\mathbf{y}_{2}+\mathbf{y}_{3}}{3}\right)\)
(x1, y1) = (1, 2)
(x2, y2) = (h, -3)
(x3, y3) = (-4, k)

கேள்வி 5.
A(-3, 5) மற்றும் B(3, 3) ஆகியன முறையே ஒரு முக்கோணத்தின் செங்கோட்டு மையம் மற்றும் நடுக்கோட்டு மையம் ஆகும். C ஆனது இந்த முக்கோணத்தின் சுற்று வட்ட மையம் எனில், கோட்டுத்துண்டு AC ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் ஆரம் காண்க.

விடை : [-3, 5]
நடுக்கோட்டு மையம் செங்கோட்டு மையத் தையும் உள்வட்ட மையத்தையும் 2:1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. உள்வட்ட மையம் (x, y) என்க. பிரிவு சூத்திரத்தின் படி,
\(\left(\frac{2(x)-3}{3}, \frac{2 y+5}{3}\right)\) = (3,3)
2x – 3 = 9
2x = 9 + 3
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6

2y + 5 = 9
2y = 9 – 5
2y = 4
y = \(\frac{4}{2}\)
y = 2
உள்வட்ட மையம் = (6,2)
வட்டத்தின் ஆரம்
\(=\sqrt{(6+3)^{2}+(5-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(9)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{81+9}\)
\(=\sqrt{90}\)
= 3\(\sqrt{10}\) அலகுகள்.

கேள்வி 6.
A (3, 4) B (-2, -1) மற்றும் C (5, 3) என்ப ன முக்கோணம் ABC இன் முனைப் புள்ளிகள். G ஆனது அதன் நடுக்கோட்டு மையம் மற்றும் BDCG ஆனது ஒர் இணைகரம் எனில் முனைப்புள்ளி D இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்க.
விடை:
(i) A (3, 4) B (-2, -1) மற்றும் C (5, 3)) என்பன ΔABC இன் முனைப்புள்ளிகள் என்க.
G ஆனது அதன் நடுக்கோட்டு மையம்
(x₁,y₁) = (3, 4)
(x₂, y₂) = (-2, -1)
(x₃,y₃) = (5, 3)
நடுக்கோட்டு மையம் (x,y)

G (x,y) = G(2, 2)

கேள்வி 7.
முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் \(\left(\frac{3}{2}, 5\right),\left(7, \frac{-9}{2}\right)\) மற்றும் \(\left(\frac{13}{2}, \frac{-13}{2}\right)\)
எனில் அந்த முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் காண்க.
விடை:
A (x₁, y₁) B (x₂, y₂) C (x₃, y₃) என்பன முனைப்புள்ளிகள் மற்றும் \(\left(\frac{3}{2}, 5\right),\left(7, \frac{-9}{2}\right)\) மற்றும் \(\left(\frac{13}{2}, \frac{-13}{2}\right)\) ஆகியன பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் என்க.
G ஆனது அதன் நடுக்கோட்டு மையம்
\(\frac{\mathrm{X}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}=\frac{3}{2}\) ⇒ x₁ + x₂ = 3 ……………(1)
\(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\) = 7 ⇒ x₂ + x₃ = 14 …………… (2)
\(\frac{\mathrm{X}_{3}+\mathrm{X}_{1}}{2}=\frac{13}{2}\) ⇒ x₃ + x₁ = 13 ………………. (3)
(1) + (2) + (3) r 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 30
2(x₁ + x₂ + x₃) = 30
x₁ + x₂ + x₃ = 15 …………… (4)
\(\frac{\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}}{2}\) = 5 ⇒ y₁ + y₂ = 10 …………….. (5)
\(\frac{\mathrm{y}_{2}+\mathrm{y}_{3}}{2}=\frac{-9}{2}\) ⇒ y₂ + y₃ = -9 ……………….(6)
\(\frac{\mathrm{y}_{3}+\mathrm{y}_{1}}{2}=\frac{-13}{2}\) ⇒ y₃ + y₁ = -13 ……………..(7)
(5) + (6) + (7) r 2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = -12
2(y₁ + y₂ + y₃)= -12
y₁ + y₂ + y₃ = -6 …………. (8)
(4) – (2) rx₁ = 15 – 14 = 1
(4) – (3) rx₂ = 15 – 13 = 2
(4) – (1) rx₃ = 15 – 3 = 12
(8) – (6) ry₁ = -6 + 9 = 3
(8) – (7) ry₂ = -6 + 13 = 7
(8) – (5) ry₃ = -6- 10 = -16 முனைப்புள்ளிகள் = A (1, 3) B (2,7) C (12, -16) நடுக்கோட்டு மையம்

G (x,y) = G(5, -2)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 5 வடிவியல் Ex 5.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 5 வடிவியல் Ex 5.4

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவுகளைக் கொண்ட நாற்கரங்கள் வரைந்து, அவற்றின் பரப்பளவைக் காண்க.

1. நாற்கரம் ABCD, AB = 5 செ.மீ, BC = 4.5 செ.மீ, CD = 3.8 செ.மீ, DA = 4.4 செ.மீ
மற்றும் AC = 6.2 செ.மீ.
தீர்வு :
AB = 5 செ.மீ, BC = 4.5 செ.மீ
CD = 3.8 செ.மீ, DA = 4.4 செ.மீ, AC = 6. செ.மீ

படிகள்:

1. AB= 5 செ.மீ அளவுள்ள ஒரு கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. A மற்றும் B ஐ மையங்களாகக் கொண்டு, முறையே 6.2 செ.மீ மற்றும் 4.5 செ.மீ ஆரமுள்ள இரண்டு வட்டங்கள் வரைக. அவை Cல் வெட்டட்டும்.
3. AC மற்றும் BC ஐ இணைக்க.
4. A மற்றும் C ஐ மையங்களாகக் கொண்டு, முறையே 4.4 செ.மீ மற்றும் 3.8 செ.மீ ஆரமுள்ள இரண்டு விற்கள் வரைக. அவை D ல் வெட்டட்டும்.
5. AD மற்றும் CD ஐ இணைக்க.
6. ABCD என்பது தேவையான நாற்கரமாகும்.

பரப்பளவு கணக்கிடுதல் :
ABCD என்ற நாற்கரத்தின் பரப்பளவு = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x d x (h₁ + h₂) ச.அ
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 6.2 x (2.7 + 3.7)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 6.2 x 6.4
= 19.84 ச.செ.மீ

2. நாற்கரம் PLAY, PL = 7 செ.மீ, LA = 6 செ.மீ, AY = 6 செ.மீ, PA = 8 செ.மீ மற்றும்
LY = 7 செ.மீ.
தீர்வு :
PL = 7 செ.மீ AY = 6 செ.மீ
LA = 6 செ.மீ PA = 8 செ.மீ LY = 7செ.மீ

படிகள் :

1. PL = 7 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. P மற்றும் 1 ஐ மையங்களாகக் கொண்டு, முறையே 8 செ.மீ மற்றும் 6 செ.மீ ஆரமுள்ள இரண்டு விற்கள் வரைக. அவை A ல் வெட்டட்டும்.
3. PA மற்றும் LA ஐ இணைக்க
4. A மற்றும் L ஜ மையங்களாகக் கொண்டு, முறையே 6 செ.மீ மற்றும் 8 ஆரமுள்ள இரண்டு விற்கள் வரைக. அவை Y ல் வெட்டட்டும்.
5. AY, LY மற்றும் PYஜ இணைக்க.
6. PLAY என்பது தேவையான நாற்கரமாகும்.

பரப்பளவு கணக்கிடுதல் :
PLAY என்ற நாற்கரத்தின் பரப்பு = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x d x (h₁ + h₂) ச. அ
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 8 (1.6 + 5.6)
= 4 x 7.2
= 28.8 ச. செ.மீ

கேள்வி 3.
நாற்கரம் PQRS, PQ = QR = 3.5 செ.மீ, RS = 5.2 செ.மீ, SP = 5.3 செ.மீ மற்றும் ∠Q= 120
தீர்வு :
PQ = QR = 3.5 செ.மீ
RS = 5.2 செ.மீ SP= 5.3 செ.மீ ∠Q = 120°

படிகள் :

1. PQ = 3.5 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2.  ∠Q= 120° ஐ வரைக.
3. Q ஐ மையமாகக் கொண்டு 3.5 செ.மீ ஆரமுள்ள வில் வரைக அது கதிர் QX ஐ Rல் வெட்டட்டும்
4. P மற்றும் R ஜ மையங்களாகக் கொண்டு, முறையே 5.3 செ.மீ மற்றும் 5.2 செ.மீ ஆரமுள்ள இரண்டு விற்கள் வரைக. அவை S ல் வெட்டட்டும்
5. PS மற்றும் RS ஐ இணைக்க.
6. PQRS என்பது தேவையான நாற்கரமாகும்.

பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல்
PQRS என்ற நாற்கரத்தின் பரப்பளவு = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x d x (h₁ + h₂) ச. அ
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 6.1(4.3 + 2.3)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 6.1 x 6.6
= 20.13 ச.செ.மீ

கேள்வி 4.
நாற்கரம் MIND, MI = 3.6செ.மீ, ND = 4 செ.மீ, MD = 4 செ.மீ, ∠ M = 50 மற்றும்
∠D= 100°
தீர்வு :
MI = 3.6 செ.மீ MD = 4 செ.மீ
ND = 4 செ.மீ ∠M = 50°
∠D= 100°

படிகள் :

1. MD = 3.6 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. MI ன் மேல் Mல் ; ∠IMY = 50° மற்றும் Dல் ∠D = 100°
3. M மற்றும் N ஐ மையங்களாகக் கொண்டு 4 செ.மீ ஆரமுள்ள விற்கள் வரைக அவை N ஐ வெட்டட்டும்
4. DN மற்றும் IN ஜ இணைக்க.
5. MIND என்பது தேவையான நாற்கரம் ஆகும்.

பரப்பளவு கணக்கிடுதல் :
MIND என்ற நாற்கரத்தின் பரப்பளவு = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x d x (h₁ + h₂) ச. அ
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 8(1.2 + 2.2)
= 4 x 3.4
= 13.6 ச.செ.மீ

கேள்வி 5.
நாற்கரம் AGRI, AG = 4.5 செ.மீ, GR = 3.8 செ.மீ, ∠ A = 90°, ∠ G = 110° மற்றும் ∠R= 90°
தீர்வு :
AG = 4.5 செ.மீ ∠A = 90°
GR = 3.8 செ.மீ ∠G = 110° ∠R = 90°

படிகள் :

1. AG = 4.5 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. AGன் மேல் ∠AGX = 110 ஜ உருவாக்கு.
3. G ஐ மையமாகக் கொண்டு 3.8செ.மீ ஆரமுள்ள வில் வரைக. அது G X ஐ R ல் வெட்டட்டும்.
4. AG,ன் மேல் Aல் ∠GAI = 90° ஐயும் மற்றும் AR ன் மேல் Rல் ∠ARI = 90°
   ஐயும் உருவாக்கு. அவை 1 ல் வெட்டட்டும்.
5. AGRI என்பது தேவையான நாற்கரமாகும்.

பரப்பளவு கணக்கிடுதல்.
AGRI என்ற நாற்கரத்தின் பரப்பளவு = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x d x (h₁ + h₂) ச. அ
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 6.8(10.2 + 2.4)
= 3.4 x 12.6
= 42.84 ச.செ.மீ

II. கொடுக்கப்பட்டுள்ள அளவுகளைக் கொண்டு, பின்வரும் சரிவகங்கள் வரைந்து அவற்றின் பரப்பளவுகளை காண்க.

கேள்வி 1.
AIMS \(\overline{\mathrm{AI}} \| \overline{\mathrm{SM}}\) , AI = 6 செ.மீ, IM = 5 செ.மீ, AM = 9 செ.மீ மற்றும் MS = 6.5 செ.மீ.
தீர்வு :

வரைமுறை:

1. படி 1: AI = 6 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக
2. படி 2: A மற்றும் 1 ஐ மையங்களாகக் கொண்டு, முறையே 9செ.மீ மற்றும் 5செ.மீ
   ஆரமுள்ள வட்டவிற்கள் வரைக. அவை Mல் வெட்டட்டும்.
3. படி 3 : AM மற்றும் IM ஐ இணைக்க.
4. படி 4 : AI க்கு இணையாக MX ஐ வரைக.
5. படி 5: Mஐ மையமாகக் கொண்டு, 6.5 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டவில்லானது MX ஐ S ல் வெட்டுமாறு வரைக.
6. படி 6 : AS ஐ இணைக்க AIMS என்பது தேவையான சரிவகம் ஆகும்.

பரப்பளவு கணக்கிடுதல் :
AIMS என்ற சரிவகத்தின் பரப்பளவு = \(\frac { 1 }{ 2 }\) h(a+b) சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 4.8(6 + 6.5)
= 2.4 (12.5)
= 30 ச.செ.மீ

கேள்வி 2.
CUTE, \(\overline{\mathrm{CU}} \| \overline{\mathrm{ET}}\), CU = 7 செ.மீ, ∠UCE = 80°, CE = 6 செ.மீ மற்றும் TE = 5 செ.மீ
தீர்வு :

1. படி 1: CU = 7 செ.மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. படி 2 : C ல் ∠UCE = 80° ஐ அமைக்க.
3. படி 3 : C ஐ மையமாகக் கொண்டு
   6 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டவில்லானது CX ஐ E ல் வெட்டுமாறு வரைக.
4. படி 4 : CU க்கு இணையாக ET வரைக. :
5. படி 5: E ஐ மையமாகக் கொண்டு, 5 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்ட வில்லானது EY ஐ T ல் வெட்டுமாறு வரைக.
6. படி 6 : TU. ஐ இணைக்க.CUTE என்பது தேவையான சரிவகம் ஆகும்.

பரப்பளவு கணக்கிடுதல் :
CUTE என்ற சரிவகத்தின் பரப்பளவு
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x h x (a + b) சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 6(7 + 5)
= 3 x 12 = 36 செ.மீ

கேள்வி 3.
ARMY AR ||YM, AR = 7 செ.மீ, RM = 6.5 செ.மீ ∠RAY = 100° மற்றும் ∠ARM = 60°
தீர்வு :

1. படி1 : AR = 7 செ.மீ அளவுள்ள IY 4.5 செ.மீ கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. படி2 : RA ZARM = 60° ஐ வரைக.
3. படி3 : R மையமாகக் கொண்டு 6.5 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்ட வில்லானது RX ஐ Mல் வெட்டுமாறு வரைக.
4. படி4 : AR க்கு இணையாக MZ வரைக
5. படி5 : AW ஐ Y ல் வெட்டுமாறு Aல் ∠RAY = 100° ஐ அமைக்க
6. படி6 :ARMY என்பது தேவையான சரிவகம் ஆகும்

பரப்பளவு கணக்கிடுதல் :
ARMY என்ற சரிவகத்தின் பரப்பளவு = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x h x (a + b) சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 5.6 (7+4.5)
= 2.8 (11.5)
= 32.2 ச.செ.மீ

கேள்வி 4.
CITY \(\overline{\mathrm{CI}} \| \overline{\mathrm{YT}}\), CI = 7 செ.மீ, IT = 5.5 செ.மீ, TY = 4 செ.மீ மற்றும் YC = 6 செ.மீ.
தீர்வு :

1. படி1 : CI = 7 செ,மீ அளவுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. படி2 : CA = 4 செ.மீ இருக்குமாறு CIன் மேல் A என்ற புள்ளியைக் குறிக்க
3. படி3 : A மற்றும் I ஐ மையமாகக் கொண்டு, முறையே 6 செ.மீ மற்றும் 5.5 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்ட விற்கள் வரைக. அவை T ல் வெட்டட்டும் AT மற்றும் IT ஐ இணைக்க.
4. படி4 : C மற்றும் T ஐ மையமாகக் கொண்டு முறையே 6செ,மீ மற்றும் 4செ.மீ ஆரமுள்ள வட்ட விற்கள் வரைக. அவை Yல் வெட்டட்டும். CY மற்றும் TY ஐ இணைக்க
5. படி5 : CITY என்பது தேவையான சரிவகம் ஆகும்

பரப்பளவு கணக்கிடுதல் :
CITY என்ற சரிவகத்தின் பரப்பளவு = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x h x (a + b) சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 5.6 (7 + 4)
= 2.8 (11.)
= 30.8 ச.செ.மீ

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.4

கேள்வி 1.
A (4,-3) மற்றும் B (9,7) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை 3:2 என்ற விகிதத்தில்
உட்புறமாகப் பிரிக்கும் புள்ளியின் ஆயத் தொலைவுகளைக் காண்க.
விடை:
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A (4, -3) மற்றும் B(9,7). P(x,y) ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 3:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது
பிரிவு சூத்திரத்தின் படி

= P(7,3)

கேள்வி 2.
A (-3,5) மற்றும் B (-4,9) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டைப் புள்ளி P (2,-5) என்ன விகிதத்தில் பிரிக்கும்?
விடை:
A (-3,5) மற்றும் B (4,9). P(2,-5) ஆனது AB ஐ m:n என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது
பிரிவு சூத்திரத்தின் படி

4m – 3 n = 2m + 2n
2m = 5n
\(\frac{m}{n}=\frac{5}{2}\)
m : n = 5 : 2

கேள்வி 3.
A (1,2) மற்றும் B (6,7) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டில் AP = \(\frac{2}{5}\) AB என்றவாறு அமையும் புள்ளி P இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்க.
விடை:
A (1,2) மற்றும் B (6,7). P ஆனது AB ஐ m:n என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது
பிரிவு சூத்திரத்தின் படி

\(=\sqrt{50}\)
= 5√2
∴ P இன் ஆயத்தொலைவுகள் = (3, 4)

கேள்வி 4.
A (-5,6) மற்றும் B (4, -3) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை மூன்று சமப் பாகங்களாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்க.
விடை:
தீர்வு:

பரிவு சூத்திரம்:

= (1,0)

கேள்வி 5.
A(6,3) மற்றும் B(-1, -4) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டானது, ABஇன் நீளத்தில் பாதி அளவினை இருமுனைகளிலும் இணைத்து இருமடங்காக ஆக்கப்படுகின்றது எனில் புதிய முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்க.
தீர்வு:

பிரிவு சூத்திரம்:

A ஆனது CD ஐ 1:2 என பிரிக்கிறது. இங்கு A(6,3) B(-1, -4) C(x₁, y₁ ) CA : AD = 1 : 2
\(\left(\frac{2 x 1-1}{2+1}, \frac{2 y 1-4}{2+1}\right)\) = (6,3)
\(\frac{2 x 1-1}{3}\) = 6
2×1 – 1 = 18
2×1 = 19
x1 = \(\frac{19}{2}\)

\(\frac{2 y 1-4}{3}\) = 3
2y1 – 4 = 9
2y1 = 9 + 4
2y1 = 13
y1 = \(\frac{13}{2}\)
B ஆனது CD ஐ 2 : 1 என பிரிக்கிறது.
\(\left(\frac{2 x 2+6}{3}, \frac{2 y 2+3}{3}\right)\) = (-1,-4)

\(\frac{2 x 2+6}{3}\) = -1
2×2 + 6 = -3
2×2 = -3 -6
2×2 = -9
x2 = \(\frac{-9}{2}\)

\(\frac{2 y 2+3}{3}\) = -4
2y2+3 = -12
2y2 = -12-3
2y2 = -15
y2 = \(\frac{-15}{2}\)
C \(\left(\frac{19}{2}, \frac{13}{2}\right)\) மற்றும் D \(\left(\frac{-19}{2}, \frac{-15}{2}\right)\)என்பன
புதிய முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளாகும்.

கேள்வி 6.
பிரிவுச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி A(7,-5) B(9,-3) மற்றும் C (13,1) ஆகியன ஒரே கோட்டில் அமையும் என நிரூபிக்க.
தீர்வு:

(புள்ளி (9,-3) ஆனது A(7,-5), C(13, 1) என்ற கோட்டை r : 1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது என்க.
பிரிவு சூத்திரம்:

\(\frac{13 r+7}{r+1}\) = 9
13r + 7 = 9(r + 1)
13r + 7= 9r + 9
13r – 9r = 9 – 7
4r = 2
r = \(\frac{2}{4}\)

\(\frac{r-5}{r+1}\) = -3
r – 5 = -3(r + 1)
r – 5 = -3r – 3
r + 3r = 5 – 3
4r = 2
r = \(\frac{2}{4}\)

கேள்வி 7.
கோட்டுத்துண்டு AB ஆனது முனை B இலிருந்து C இக்கு அதன் நீளம் 25% அதிகரிக்குமாறு நீட்டப்படுகின்றது. புள்ளிகள் A மற்றும் B இன் ஆயத் தொலைவுகள் முறையே (-2, -3) மற்றும் (2, 1) எனில் C இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்க.

m : n என AB யை வெளிப்புறமாக பிரிக்கிறது.
ie, m: n = 5 : 11
பிரிவு சூத்திரம் – வெளிப்புறமாக பிரித்தல்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 5 வடிவியல் Ex 5.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 5 வடிவியல் Ex 5.3

பல்வகைத் திறனறிப் பயிற்சிக் கணக்குகள்

கேள்வி 1.
படத்தில் , ∠1 ≡ ∠2 மற்றும் ∠3 ≡ ∠4 ஆகும் எனில், ΔMUG ≡ ΔTUB என நிரூபி.

தீர்வு :
∠1 = ∠2 மற்றும் ∠3 = ∠4
GB || MT. MG = BT
ΔBUG ~ ΔMUT
∴ ΔMUG ≡ ΔTUB

கேள்வி 2.
படத்திலிருந்து, Δ SUN – Δ RAY என நிரூபி.

தீர்வு :

⇒ \(\frac{10}{5}=\frac{12}{6}=\frac{14}{7}\) = 2
~ ∆ SUN ~ ∆ RAY

கேள்வி 3.
ஒரு கோபுரத்தின் உச்சியானது தரையில் R என்ற இடத்தில் உள்ள ஒரு கண்ணாடியின் மூலம் பிரதிபலித்து பார்க்கப்படுகிறது ∆PQR ~ ∆STR எனில், கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க.

தீர்வு :
∠ P= ∠ S, ∠ Q = Z ∠T = 90°
∠R = ∠R. (பொதுவான கோணம்)
∴ Δ PQR ~ Δ STR
∴ \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{ST}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{RT}}\)
\(\frac{\mathrm{PQ}}{8}=\frac{60}{10}\)
PQ = \(\frac{60 \times 8}{10}\)
PQ = 48 அடி
∴ கோபுரத்தின் உயரம் 48 அடி.

கேள்வி 4.
படத்தில், ஒரு கம்பத்தினைத் தரையுடன் நிலைநிறுத்தத் தேவையான கம்பியின் நீளம் என்ன ?

தீர்வு :

AC² = AB² + BC² (பித்தாகரஸ் தேற்றத்தின் படி)
AC² = AB² + BC²
x² = 400 + 225
x² = 625
x² = 25²
x = 25 அடி

கேள்வி 5.
ரித்திகா என்பவர் 25 அங்குலம் திரை (screen) கொண்ட ஓர் எல்.இ.டி. (LED)
தொலைக்காட்சியை வாங்குகிறார். அதன் உயரம் 7 அங்குலம் எனில், திரையின் அகலம் என்ன? மேலும், அவளது தொலைக்காட்சிப் பெட்டகம் 20 அங்குலம் அகலம் கொண்டது எனில், தொலைக்காட்சியை அந்த பெட்டகத்தினுள் வைக்க இயலுமா? காரணம் கூறுக?
தீர்வு:
பித்தாகரஸ் தேற்றத்தின் படி,
BC² = AC² – AB²
= 25² – 7²
= 625 – 49 = 576
BC² = 24²

⇒ BC = 24 அங்குலம் இல்லை.
திரையின் அகலத்தைவிட தொலைக்காட்சி அறையின் அகலம் குறைவாக இருப்பதால் வைக்க இயலாது.

மேற்சிந்தனைக் கணக்குகள்

கேள்வி 6.
படத்தில், ∠TMA ≡ ∠IAM மற்றும் ∠TAM ≡ ∠IMA. P ஆனது MI இன் மையப்புள்ளி மற்றும் N ஆனது AI இன் மையப்புள்ளி எனில், ΔPIN ~ ΔATM . என நிரூபி.

தீர்வு :
∠TMA ≡ ∠IAM
∠TAM ≡ ∠IMA
MI ன் மையப்புள்ளி P.
AIன் மையப்புள்ளி N
IM ≡ TM, IA ≡ TA
தேல்ஸ் தேற்றப்படி
\(\frac{\mathrm{PI}}{\mathrm{IM}}=\frac{\mathrm{IN}}{\mathrm{IA}}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{PI}}{\mathrm{TM}}=\frac{\mathrm{IN}}{\mathrm{TA}}\)
∴ ΔPIN ~ ΔATM

கேள்வி 7.
படத்தில் ∠FEG = ∠1 DG² = DE.DF என நிரூபி.
im 12
தீர்வு :
∠FEG = ∠1
கோண இருசமவெட்டி தேற்றப்படி,
\(\frac{D G}{D E}=\frac{D F}{D G}\)
DG² = DE x DF. நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 8.
ஒரு சாய்சதுரத்தின் மூலை விட்டங்கள் 12செ.மீ மற்றும் 16 செ.மீ எனில், அதன் சுற்றளவைக் காண்க. (குறிப்பு : சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருசமக் கூறிடும்).
தீர்வு :
AE = EC, BE = DE

AC = 2AE
16 = 2AE ⇒ AE = 8 செ.மீ
EC = 8 செ.மீ
BD = 2BE
12 = 2BE ⇒ BE = 6 செ.மீ
DE = 6 செ.மீ
Δ ΑΒΕ AB² = BE² + EA²
= 6² + 8²
= 36 + 64 = 100 = 10²
AB² = 10² ⇒ AB = 10 செ.மீ
BC = 10 செ.மீ
CD = 10 செ.மீ
AD = 10 செ.மீ
சுற்றளவு = AB+ BC+CD+DA அலகுகள்
= 10 + 10 + 10 + 10 செ.மீ
= 40 செ.மீ

கேள்வி 9.
படத்தில், AR ஐக் காண்க.

தீர்வு :
Δ AFI
AI² = AF² + FI²
AF² = AI² – FI²
= 25² – 15² = 625 – 225 = 400
AF² = 400 = 20² ⇒ AF = 20
Δ FIR
IR² = FI² + FR²
FR² = IR² – FI²
= 17² – 15²
= 289 – 225 = 64
FR² = 64 = 8² ⇒ FR = 8
AR = AF + FR = 20 + 8 = 28அடி

கேள்வி 10.
ΔDEF இல் DN, EO, FM ஆகியவை நடுக்கோடுகள் மற்றும் புள்ளி P ஆனது நடுக்கோட்டுமையம் ஆகும். எனில் பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
i) DE = 44, எனில் DM = ?
ii) PD = 12, எனில் PN = ?
iii) DO = 8, எனில் FD = ?
iv) OE = 36 எனில் EP = ?

தீர்வு:
i) DE = 44 எனில் DM = \(\frac{\mathrm{DE}}{2}\)
[Mன் நடுப்புள்ளி]
DM = \(\frac{44}{2}\) = 22
∵ DM = ME, 2DM = DE
DM = 22

ii) PD = 12 எனில் PN = ?
PD : PN = 2:1
12 : PN = 2:1
\(\frac{12}{\mathrm{PN}}=\frac{2}{1}\)
2PN = 12 ⇒ PN = 6

iii) DO = 8, எனில் [
[0 ன் நடுப்புள்ளி :OD = OF/2DO = FD]
OD = \(\frac{\mathrm{FD}}{2}\) ⇒ FD = 2OD = 2 x 8 = 16
FD = 16

iv) OE = 36,
EP = X என்க
x : 36 – X = 2:1
\(\frac{x}{36-x}=\frac{2}{1}\)
x = 72 – 2x
x + 2x = 72
3x = 72
x = \(\frac{72}{3}\)
x = 24
EP = 24

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.3

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் புள்ளிகளை இணைத்து உருவாக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளிகளைக் காண்க.
(i) (-2,3) மற்றும் (-6,-5)
(ii) (8,-2) மற்றும் (-8, 0)
(iii) (a,b) மற்றும் (a + 2b, 2a – b)
(iv) \(\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{7}\right)\) மற்றும் \(\left(\frac{3}{2}, \frac{-11}{7}\right)\)
விடை:
(i) (-2, 3) மற்றும் (-6,-5) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி

= (-4, -1)

(ii) (8, -2) மற்றும் (-8,-0) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி

= (0,-1)

(iii) (a + b) மற்றும் (a + 2b, 2a – b) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி

= (a + b, a)

(iv) \(\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{7}\right)\) மற்றும் \(\left(\frac{3}{2}, \frac{-11}{7}\right)\) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி

= (1,-1)

கேள்வி 2.
ஒரு வட்டத்தின் மையம் (-4,2) அந்த வட்டத்தில் (-3,7) என்பது விட்டத்தின் ஒரு முனை எனில், மற்றொரு முனையைக் காண்க.
விடை:
தரவு B (-3,+7)
A இன் ஆயத்தொலைவு (x₁, y₁) என்க. விட்டம் AB இன் நடுப்புள்ளி வட்டத்தின் மையம் என்பதால் நாம் பெறுவது.

மற்றொரு முனை (-5, -3)

கேள்வி 3.
(3,4) மற்றும் (P,7) ஐ இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி (x,y) ஆனது 2x + 2y + 1 = 0 இன் மேல் அமைந்துள்ளது எனில், P இன் மதிப்பு காண்க?
விடை:
(3,4) மற்றும் (P,7) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி

2x + 2y + 1 = 0 இன் மேல் அமைந்துள்ளது

= 3 + P+ 11 + 1 = 0
P+ 15 = 0
P = -15

கேள்வி 4.
ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் (2,4), (-2,3) மற்றும் (5,2) எனில் அந்த முக்கோணத்தின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்க.
விடை:
ஒரு முக்கோணத்தின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளை A (x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) என்க.
(2,4), (-2,3) மற்றும் (5,2) என்பன பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்
\(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\) = 2 …………. (1)    AC² = (3 – 7)² + (4 + 2)²
\(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\) = -2 ………….(2)   (-4)² + 6² = 16 + 36 = 52
\(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}\) = 5 ……………(3)   AC = \(\sqrt{52}\) = 2\(\sqrt{13}\)
x₁ + x₂ = 4
x₂ + x₃ = -4
x₃ + x₁ = 10
y₁ + y₂ = 8 ………………….(5)
y₂ + y₃ = 6 …………………(6)
y₃ + y₁ = 4 ………………..(7)
1 + 2 + 3 ⇒
2x₁ +2x₂ + 2x₃ = 10
x₁ + x₂ + x₃ = 5 ……….. (4)
5+ 6 +7 ⇒
2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = 18
y₁ + y₂ + y₃ = 9 ………………(8)
4 – 2 ⇒ x₁ = 5 + 4 = 9
4 – 3 ⇒ x₂ = 5 – 10 = -5
4 – 1⇒ x₃ = 5 – 4 = 1
8 – 6 ⇒ y₁ = 9 – 6 = 3
8 – 7 ⇒ y₂ = 9 – 4 = 5
8 – 5 ⇒ y₃ = 9 – 8 = 1
முக்கோணத்தின் முனைகளின் ஆயத் தொலைவுகள் A (9,3), B(-5,5) மற்றும் (1,1)

கேள்வி 5.
AB ஐ ஒரு நாணாக உடைய வட்டத்தின் மையம் O(0,0) இங்கு புள்ளிகள் A மற்றும் B முறையே (8,6) மற்றும் (10,0) ஆகும். வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து நாண் AB இக்கு வரையப்படும் செங்குத்து OD எனில், OD இன் மையப்புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்க.
விடை:

D என்பது AB இன் நடுப்புள்ளி என்க.

கேள்வி 6.
புள்ளிகள் A(-5,4), B(-1,2) மற்றும் C(5,2) என்பன இரு சமபக்கச் செங்கோண முக்கோணத்தின் உச்சிகள், இதில் B இல் செங்கோணம் அமைந்துள்ளது. மேலும் ABCD ஒரு சதுரம் எனில் D இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்க.
விடை:

AB² = (-1 + 5)² + (-2 -4)²
= (4)² + (-6)²
= 16 + 36
= 52
BC² = (5 + 1)² + (2 + 2)²
(6)² + (4)²
= 36 + 16
= 52
CD² = (x – 5)² + (y – 2)²
= x² + 25 – 10x + y² + 4 – 4y
= x² + y² – 10x – 4y + 29
x² + y² – 10x – 4y + 29 = 52
x² + y² – 10x – 4y = 52 – 29
x² + y² – 10x – 4y = 23 ……………….. (1)
AD² = (x + 5)² + (y – 4)²
= x² +25 + 10x + y² + 16 – 8y
= x² + y² + 10x – 8y + 41
x² + y² + 10x – 8y + 41 = 52
x² + y² + 10x – 8y = 52 – 41
x² + y² + 10x- 8y = 11…………….. (2)
(1) + (2) ⇒
= x² + y² – 10x – 4y = 23
x² + y² + 10x – 8y = 11
-20x + 4y = 12
4y = 20x + 12
y = 5x + 3
(1) ⇒ x² + (5x + 3)² – 10x – 4(5x + 3) – 23 = 0
x2² +25x² + 9 + 30x – 10x – 20x – 12 – 23 = 0
x² + 25x² + 9 + 30x – 30x – 35 = 0
26x² – 26 = 0
26x² = 26
x² = 1
y = 5(1) + 3
y = 5 + 3
y = 8
Dன் ஆயத்தொலைவு (1, 8)

கேள்வி 7.
முக்கோணம் DEF இன் பக்கங்கள் DE, EF மற்றும் FD களின் முறையே A(-3, 6), B(0, 7) மற்றும் C( 1, 9) எனில், நாற்கரம் ABCD ஓர் இணைகரம் என நிறுவுக.

தீர்வு:
D(x₁, y₁ ), E(x₂, y₂ ) மற்றும் F(x₂, y₃) என்பன ΔDEF ன் உச்சப்புள்ளிகள் E என்க.
A(-3, 6), B(0, 7), C(1, 9) என்ப ன DE, EF மற்றும் FD-ன் நடுப்புள்ளிகள் ஆகும்.

D(-2, 8) E( 4, 4) F(4, 10) என்ப ன முக்கோணத்தின் உச்சிப்புள்ளிகளாகும்.
நிரூபிக்க : ABCD ஒரு இணைகரம்.
A(-3,6), B(0, 7), C(1,9), D(-2, 8)
∴ AB = CD = \(\sqrt{10}\), BC = DA = √5 கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ABCD என்ற இணைகரத்தை அமைக்கும்.

கேள்வி 8.
A(-3,2), B (3,2) மற்றும் C (-3,-2) என்பன
A இல் செங்கோணத்தைக் கொண்டுள்ள செங்கோண முக்கோணத்தின் உச்சிகள்
எனில் கர்ணத்தின் நடுப்புள்ளியானது உச்சிகளிலிருந்து சமத் தொலைவில் உள்ளது என்பதை நிறுவுக.
விடை:

D என்பது BC இன் நடுப்புள்ளி என்க.
D \(\left(\frac{-3+3}{2}, \frac{-2+2}{2}\right)\)
D (0,0)
AD இன் தொலைவு = \(\sqrt{(0+3)^{2}+(0-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+4}\)
\(=\sqrt{13}\)
CD இன் தொலைவு = \(\sqrt{(-3+0)^{2}+(-2-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+4}\)
\(=\sqrt{13}\)
BD இன் தொலைவு = \(\sqrt{(3-0)^{2}+(2-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+4}\)
\(=\sqrt{13}\)
AB=BD=CD \(=\sqrt{13}\) எனவே D என்பது உச்சிகளிலிருந்து சமத்தொலைவில் உள்ளது

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 8th Maths Guide Pdf Chapter 5 வடிவியல் Ex 5.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 8th Maths Solutions Chapter 5 வடிவியல் Ex 5.2

கேள்வி 1.
கோடிட்ட இடங்களை நிரப்புக

i) ΔPQR இல், PR² = PQ² + QR² எனில், ΔPQR இல் செங்கோணத்தைத் தாங்கும் உச்சி ……………….. ஆகும்.
விடை:
Q

ii) ‘l’ மற்றும்’m’ஆகியவை செங்கோணத் தைத் தாங்கும் பக்கங்கள் மற்றும் 11 ஆனது செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ண ம் எனில் l² = ………………….
விடை :
l² = n² – m²

iii) ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் 5 : 12 : 13 என்ற விகிதத்தில் இருந்தால், அது ஒரு ………………… முக்கோணம் ஆகும்
விடை:
செங்கோண

iv) ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி ………………..
ஆகும்.
விடை:
நடுக்கோட்டுமையம்

v) ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையமானது ஒவ்வொரு நடுக்கோட்டையும் …………………… விகிதத்தில் பிரிக்கின்றது.
விடை :
2 : 1

கேள்வி 2.
சரியா அல்லது தவறா? எனக் கூறுக.

i) 8, 15 17 ஆனது ஒரு பிதாகோரியன் மூன்றன் தொகுதியாகும்
விடை:
சரி

ii) செங்கோண முக்கோணத்தில், மிக நீளமான பக்கம் கர்ணம் ஆகும்
விடை:
சரி

iii) எந்தவொரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையமும் உள்வட்ட மையமும் அம் முக்கோணத்தின் உள்பகுதியில் அமையும்
விடை:
சரி

iv) ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையமும் செங்கோட்டு மையமும், உள்வட்ட மையமும் ஒரு கோடமைவுப் புள்ளிகள் ஆகும்
விடை:
சரி

v) ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையமானது அதன் அனைத்து உச்சிப் புள்ளிகளிலிருந்து சமதுாரத்தில் உள்ளது.
விடை:
தவறு

கேள்வி 3.
பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன் படுத்திக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள பக்கங்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களாகுமா? என்பதைச் சரிபார்க்க.
(i) 8, 15, 17
(ii) 12, 13, 15
(iii) 30, 40, 50
(iv) 9, 40, 41
(v) 24, 45, 51
தீர்வு :
(i) பித்தாகரஸ் தேற்றப்படி
AC² = AB² + BC²
17² = 15² + 8²
289 = 225 + 64
289 = 289

எனவே கொடுக்கப்பட்ட பக்கங்கள் செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களாகும்

(ii) 12, 13, 15
AC² = AB² + BC²
15² = 12² + 13²
225 = 144 + 169
225 ≠ 313

எனவே கொடுக்கப்பட்ட பக்கங்கள் செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் இல்லை .

(iii) 30, 40, 50
AC² = AB² + BC²
50² = 30² + 40²
2500 = 900 + 1600 =2500
2500 = 2500

எனவே கொடுக்கப்பட்ட பக்கங்கள் செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களாகும்.

(iv) 9, 40, 41
AC² = AB² + BC²
41² = 40² + 9²
1681 = 1600 + 81
1681 = 1681

எனவே கொடுக்கப்பட்ட பக்கங்கள் செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களாகும்.

(v) 24, 45, 51
AC² = AB² + BC²
51² = 45² + 24²
2601 = 2025 + 576
2601 = 2601

எனவே கொடுக்கப்பட்ட பக்கங்கள் செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களாகும்.

கேள்வி 4.
பின்வரும் முக்கோணங்களில் தெரியாத பக்கங்களைக் காண்க.

தீர்வு :
(i) BC² = AB² + AC² (பித்தாகரஸ் தேற்றம்)
x² = 40² + 9²
x² = 1600 + 81 = 1681
x² = 41²
x = 41

(ii) PR² = PQ² + QR² (பித்தாகரஸ் தேற்றம்)
34² = y² + 30²
y² = 34² – 30²= 1156 – 900
y² = 256 = 16²
y = 16

(iii) YZ² = XY² + XZ² (பித்தாகரஸ் தேற்றம்)
39² = z² + 36²
z² = 39² – 36²
= 1521 – 1296
z² = 225 = 15²
z = 15

கேள்வி 5.
ஓர் இருசமபக்க முக்கோணத்தில் சமபக்கங்கள் ஒவ்வொன்றும் 13 செ.மீ மற்றும் அடிப்பக்கம் 24. செ.மீ எனில், அதன் உயரத்தைக் காண்க.
தீர்வு :

BC = 24 செ.மீ
BD = 12 செ.மீ
AB² = AD² + BD² (பித்தாகரஸ் தேற்றம்)
13² = AD² + 12²
AD² = 13² – 12² = 169 – 144
AD² = 25 = 5²
AD = 5செ.மீ
முக்கோணத்தின் உயரம் 5 செ.மீ

கேள்வி 6.
படத்தில் வானூர்திக்கும் கப்பலுக்கும் இடையே உள்ள தூரத்தைக் காண்க.

தீர்வு :
AS²= AP² + PS² (பித்தாகரஸ் தேற்றம்)
d² = 80² + 150²
d² = 6400 + 22500
d² = 28900
d² = 170²
d = 170
வானூர்தி மற்றும் கப்பல் ஆகியவற்றிற்கு இடையே உள்ள தூரம் 170.மீ.

கேள்வி 7.
முக்கோணம் ABC இல், BC இன் மையக்குத்துக்கோடு l₁ ஆகும் BC = 12 செ.மீ, SM = 8 செ.மீ எனில் CS ஐக் காண்க.

தீர்வு :
BC = 12 செ.மீ
MC = \(\frac{\mathrm{BC}}{2}=\frac{12}{2}\)
MC = 6 செ.மீ
SM = 8 செ.மீ
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி
CS² = SM² + MC²
= 8² + 6²
= 64 + 36
= 100
CS² = 10²
CS = 10 செ.மீ

கேள்வி 8.
ΔPQR இன் நடுக்கோட்டுமையத்தைக் கண்டறிக.

தீர்வு :

W என்பது ΔPQR ன் நடுக்கோட்டுமையம்.

கேள்வி 9.
ΔPQR இன் செங்கோட்டுமையத்தைக் கண்டறிக.

தீர்வு :
P என்பது ΔPQR ன் செங்கோட்டு மையமாகும்.

கேள்வி 10.
கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில், YZ இன் மையப்புள்ளி A மற்றும் G ஆனது முக்கோணம் XYZ இன் நடுக்கோட்டுமையம் ஆகும். GA இன் நீளம் 3 செ.மீ எனில் XA ஐக் காண்க.

தீர்வு :
நடுக்கோட்டுமையத்தின் பண்பின்படி,
G ஆனது முக்கோணம் XYZ இன் நடுக்கோட்டுமையம் 2 : 1 விகிதத்தில் பிரிக்கும்.
∴ XG : GA = 2:1
GA = 3 செ.மீ
\(\frac{\mathrm{XG}}{\mathrm{GA}}=\frac{2}{1}\)
XG = 2 x GA
XG = 2 x 3 செ.மீ
= 6 செ.மீ
∴ XA = XG + GA
= 6 + 3
XA = 9 செ.மீ

கேள்வி 11.
ΔXYZ இன் உள்வட்ட மையம் I, /IYZ = 30° மற்றும் /IZY = 40° எனில் /YXZ
ஐக் காண்க.
தீர்வு :
1ன் உள்வட்டமையம் 80
∠XYI = ∠IYZ = 30°
∠XZI =∠IZY = 40°
∠Y = 30° + 30° = 60°
∠Z = 40° + 40° = 80°
ΔAல், ∠X +∠Y + ∠Z = 180°

∠X + 60 + 80 = 180°
∠X + 140 = 180°
∠X = 180 – 140
∠X = 40°

கொள்குறிவகை வினாக்கள்

கேள்வி 12.
Δ GUT ஆனது ஓர் இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம் எனில் ∠TUG என்பது …………………. ஆகும்.

அ) 30°
ஆ) 40°
இ) 45°
ஈ) 55°
விடை :
இ) 45°

கேள்வி 13.
12 செ.மீ மற்றும் 16 செ.மீ பக்க அளவுகளைக் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் …………………….. ஆகும்.
அ) 28 செ.மீ
ஆ) 20 செ.மீ
இ) 24 செ.மீ
ஈ) 21 செ.மீ
விடை :
ஆ) 20 செ.மீ

கேள்வி 14.
நீளம் 21 செ.மீ மற்றும் மூலைவிட்டம் 29 செ.மீ அளவுடைய ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவு ……………..
அ) 609 செ.மீ 2.
ஆ) 580 செ.மீ 2.
இ) 420 செ.மீ 2
ஈ) 210 செ.மீ 2.
விடை :
இ) 420 செ.மீ

கேள்வி 15.
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதம் 5 : 12 : 13 மற்றும் அதன் சுற்றளவு 120 அலகுகள் எனில், அதன் பக்கங்கள் ……………….. ஆகும்.
அ) 25, 36, 59
ஆ) 10, 24, 26
இ) 36, 39, 45
ஈ) 20, 48, 52
விடை :
ஈ) 20, 48, 52

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.2

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவைக் காண்க.
(i) (1,2) மற்றும் (4,3)
(ii) (3,4) மற்றும் (-7,2)
(iii) (a,b) மற்றும் (c,b)
(iv) (3,9) மற்றும் (-2,3)
விடை:
(i) (1,2) மற்றும் (4,3) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
\(=\sqrt{(4-1)^{2}+(3-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(3)^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+1}\)
\(=\sqrt{10}\) அலகுகள்

(ii) (3,4) மற்றும் (-7,2) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-7-3)^{2}+(2-4)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-10)^{2}+(-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{100+4}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 13}\)
= \(=2 \sqrt{26}\) அலகுகள்

(iii) (a,b) மற்றும் (c,b) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு
இடையே உள்ள தொலைவு
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
\(=\sqrt{(c-b)^{2}+(b-b)^{2}}\)
\(=\sqrt{(\mathrm{c}-\mathrm{a})^{2}+0}\)
= c – a

(iv) (3,-9) மற்றும் (-2,3) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-2-3)^{2}+(3+9)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-5)^{2}+(12)^{2}}\)
\(=\sqrt{25+144}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=\sqrt{13}\) அலகுகள்

கேள்வி 2.
தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ஒரு கோடமையும் புள்ளிகளா என ஆராய்க
(i) (7,-2), (5, 1), (3, 4)
(ii) (a,-2), (a, 3), (a, 0)
விடை : (7,-2), (5, 1), (3, 4) ஒரு கோடமையும் புள்ளிகளை
AB² = (x₂ – x₁ )² + (y₂ + y₁)²
= (5 – 7)² +(1 + 2)²
=(-2)² + 3² = 4 + 9 = 13
AB = \(\sqrt{13}\)
BC² = (3° – 5)² + (4 – 1)²
= (-2)² + 3² = 4 + 9 = 13
BC = \(\sqrt{13}\)
AC² = (3 – 7)² + (4 + 2)²
= (-4)² + 6² = 16 + 36 = 52
AC = \(\sqrt{52}\) = 2\(\sqrt{13}\)
AC = AB + BC
= \(\sqrt{13}\) + \(\sqrt{13}\) = 2\(\sqrt{13}\)
∴ ஆகவே, தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைகின்றன.

(ii) (a, -2), (a, 3), (a, 0)
A (a, -2), B (2, 3), மற்றும் C (a, 0) என்ற தொலைவு வாய்பாட்டின் படி
AB² = (a – a)² + (3 + 2)²
= 0 + (5)²
= 25
AB = \(\sqrt{25}\)
= 5
BC² = (a – a)² + (0 – 3)²
= 0 + (-3)²
= 0 + 9
= 9
BC = √9
CA² = (a – a)² + (0 + 2)²
= 0 + (2)²
= 4
CA = √4
= 2
BC + CA = 3 + 2
= 5
= AB
A, B, C என்பன ஒரு கோடமையும் புள்ளிகள்.

கேள்வி 3.
பின்வரும் புள்ளிகள் வரிசைப்படி எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டால் அது ஓர் இரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும் என நிறுவுக.
(i) A (5, 4), B (2, 0), C(-2, 3)
(ii) A (6, -4), B (-2, -4), C(2, 10)
விடை:
(i) AB² = (2 – 5)² + (0 – 4)²
= (-3)² + (-4)²
= 9 + 16
= 25
AB = \(\sqrt{25}\)
= 5
BC² = (-2 -2)² + (3 – 0)²
= (-4)² + (3)²
= 16 + 9
= 25
BC = \(\sqrt{25}\)
= 5
CA² = (-2 -5)² + (3 – 4)²
=(-72 + (-1)²
= 49 +1
= 50
CA = \(\sqrt{50}\)
\(=\sqrt{5 \times 5 \times 2}\)
= 5√2
AB = BC≠CA ABC என்பது ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

(ii) AB² = (-2 -6)² + (4 – 4)²
= (-8)² + (0)²
= 64
AB = \(\sqrt{64}\)
= \(=\sqrt{8 \times 8}\)
= 8
BC² = (2 + 2)² + (10 – 4)²
= (4)² + (6)²
= 16 + 36)
= 52
BC = \(\sqrt{52}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 13}\)
= 2\(\sqrt{13}\)
CA² = (2 – 6)² + (10 – 4)²
= (-42 + (6)²
= 16 + 36
= 52
CA = \(\sqrt{52}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 13}\)
=2\(\sqrt{13}\)
AB ≠ BC = CA என்பது ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

கேள்வி 4.
பின்வரும் புள்ளிகள் வரிசைப்படி எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால் அது ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும் என நிறுவுக.
(i) A (2, 2), B (-2, -2), C (-2√3, 2√3)
(ii) A (√3, 2), B (0, 1), C(0, 3)
விடை:
(i) AB² = (-2 -2)² + (-2 -2)²
= (-4)² + (-4)²
= 16 + 16
= 32


(ii) AB = \(\sqrt{(0-\sqrt{3})^{2}+(1-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}\)
\(=\sqrt{3+1}\)
= √4
= 2
BC = \(\sqrt{(0-0)^{2}+(3-1)^{2}}\)
\(=\sqrt{\left(0+(2)^{2}\right.}\)
= √4
= 2
CA = \(\sqrt{(0-\sqrt{3})^{2}+(3-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{3+1}\)
= √4
= 2
AB = BC = CA = 4√2 அனைத்துப் பக்கங்களும் சமம். ஆகவே புள்ளிகள் சமபக்க முக்கோணத்தை உருவாக்கும்.

கேள்வி 5.
பின்வரும் புள்ளிகள் வரிசைப்படி எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால் அது ஓர் இணைகரத்தை அமைக்கும் என நிறுவுக.
(i) A (-3, 1), B (-6, -7), C (3, -9) D (6, -1)
(ii) A (-7, -3), B (5, 10), C (15, 8) D (3, -5)
விடை :
(i) A (-3, 1), B (-6,-7), C (3,-9) மற்றும் D (6, -1)
என்க தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,
(i) AB² = (-6, 3)² + (-7 -1)²
= (-3)² + (-8)²
= 9 + 64
= 73
AB = \(\sqrt{73}\)
BC² = (3, 6)² + (-9 + 7)²
= (9)² + (-2)²
= 81 + 4
= 85
BC = \(\sqrt{85}\)
CD² = (6 – 3)² + (-1 + 9)²
= (3)² + (8)²
= 9 + 64
= 73
CD = \(\sqrt{73}\)
DA² = (6 + 3)² + (-1 -1)²
= (9)² + (-2)²
= 81 + 4
= 85
DA = \(\sqrt{85}\)
AB = CD= \(\sqrt{73}\) மற்றும் BC = DA = \(\sqrt{85}\)எதிர்ப்பக்கங்கள் சமம். எனவே ABCD ஒரு இணைகரம் ஆகும்.

(ii) A (-7,-3), B (5, 10), C (15, 8) மற்றும் D (3, -5) என்க தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,
AB² = (5 + 7)² + (10 – 3)²
= 12² + 13² = 144 + 169 = 313
AB = \(\sqrt{313}\)
BC² = (15 – 5)² + (8 – 10)²
= 10² + (-2)² = 100 + 4 = 104
BC = \(\sqrt{104}\)
CD² = (3 – 15)² + (-5, -8)²
= (-12)² + (-13)²
= 144 + 169 = 313
CD = \(\sqrt{313}\)
DA² = (3 + 7)² + (-5 + 3)²
= (10)² = (-2)²
= 100 + 4 = 104
DA = \(\sqrt{104}\)
AB = CD = \(\sqrt{313}\) , மற்றும் BC = DA = \(\sqrt{104}\) எதிர்ப்பக்கங்கள் சமம் என்பதால் தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் இணைகரம் ABCD ன் உச்சிகளாக அமையும்.

கேள்வி 6.
பின்வரும் புள்ளிகள் வரிசைப்படி எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால் அது ஒரு சாய் சதுரத்தை அமைக்குமா
என ஆராய்க.
i. A (3, -2), B (7, 6), C (-1, 2) மற்றும் D (-5, -6)
ii. A (1, 1), B (2, 1), C (2, 2) மற்றும் D (1, 2)
விடை:
i. A (3, -2), B (7, 6), C (-1, 2) மற்றும் D (-5, -6) என்க தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,
AB² = (7 – 3)² + (6 + 2)²
= (4)² + (8)²
= 16 + 64
= 80
AB = \(\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}\)
= 2 × 2√5
= 4√5
BC² = (-1 -7)² + (2 – 6)²
= (-8)² + (-4)²
= 64 + 16
= 80
BC = \(\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}\)
= 2 × 2√5
= 4√5
CD² = (-5 + 1)² + (-6 – 2)²
= (-4)² + (-8)²
= 16 + 64
= 80
CD = \(\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}\)
= 2 × 2√5
= 4√5
DA² = (-5 -3)² + (-6 + 2)²
= (-8)² + (-4)²
= 64 + 16
= 80
DA = \(\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}\)
= 2 × 2√5
= 4√5
AC² = (-1 -3)² + (2 + 2)²
=(-4)² + (4)²
= 16 + 16
= 32
AC = \(\sqrt{32}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}\)
= 2 × 2√2
= 4√2
BD² = (-5 -7)² + (-6 -6)²
= (-12)² + (-12)²
= 144 + 144
= 288
BD = \(\sqrt{288}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3}\)
= 2 × 2 × 3√2
= 12√2
AB = BC = CD = DA
AC ≠ BD ABCD ஒரு சாய்சதுரம் ஆகும்.

ii. A (1, 1), B (2, 1), C (2, 2) மற்றும் D (1, 2) என்க தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,
AB² = (2 – 1)² + (1 – 1)²
= 1 + 0
= 1
AB = √1
= 1
BC² = (2 – 2)² + (2 – 1)²
= 0 + 1
= 1
BC = √1
= 1
CD² = (1 – 2)² + (2 – 2)²
= (-1)² + 0
= 1 + 0
= 1
CD = √1
= 1
DA² = (1 – 1)² + (2 – 1)²
= 0 + (1)²
= 1
DA = √1 √2
= 1
AC² = (2 – 1)² + (2 – 1)²
=(1)² + (1)² = 1 + 1
= 2
AC = √2
BC² = (3 – 1)² + (2 – 1)²
= (-1)² + (1)²
= 1 + 1
= 2
BD = √8
AB = BC = CD = DA
AC = BD ABCD ஒரு சாய்சதுரம் ஆகும்.

கேள்வி 7.
புள்ளிகள் A(-1,1), B(1,3), மற்றும் C(3,a), மேலும் AB = BC எனில் a இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
A(-1,1), B(1,3), மற்றும் C(3, a) எனத் தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,
AC² = (2 – 1)² + (2 – 1)²
= (1)² + (1)²
AB² = (1 + 1)² + (-3 -1)²
= (2)² + (2)²
= 4 + 4
= 8
AB = 2√2
= 2√2
BC² = (3 – 1)² + (a – 3)²
= (2)² + (a – 3)²
= 4 + (a – 3)²
If AB = BC,
\(\sqrt{4+(a-3)^{2}}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
8 = 4 + (a – 3)²
8 – 4 = (a – 3)²
4 = a² + 9 – 6a
a² + 5 – 6a = 0
a² – 6a + 5 = 0
a²– 5a – a + 5 = 0
a(a – 5) – 1 (a – 5) = 0
(a – 1) (a – 5) = 0
a = 1, (or) 5

கேள்வி 8.
புள்ளி A இன் X அச்சுத் தொலைவு அதன் Y அச்சுத் தொலைவிற்குச் சமம். மேலும் B(1,3), என்ற புள்ளியிலிருந்து அப்புள்ளி A ஆனது 10 அலகு தொலைவில் இருக்கிறது. எனில் A இன் அச்சுத் தொலைவுகளைக் காண்க.
விடை:
புள்ளி A ஐ A(x,x) என்க.
A (x,x) மற்றும் B(1,3) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
100 = 2x² + 10 – 8x
2x² – 8x – 90 = 0
x² – 4x -45 = 10
x² – 9x + 5x – 45 = 0
x (x – 9) + 5 (x – 9) = 0
(x + 5) (x – 9) = 0
x = -5, 9
(9, 9) அல்லது (-5,-5) A இன் அச்சுத் தொலைவுகள்

கேள்வி 9.
புள்ளி (x,y) ஆனது புள்ளிகள் (3,4) மற்றும் (-5, 6) என்ற புள்ளிகளிலிருந்து சம தொலைவில் இருக்கிறது. x மற்றும் y க்கு இடையே உள்ள உறவைக் காண்க.
விடை:
புள்ளி P(x,y) ஆனது புள்ளிகள் A(3,4) மற்றும் B(-5,6) என்ற புள்ளிகளிலிருந்து சம தொலைவில் இருப்பதால் PA = PB
PA = PB
PA² = PB²
(x – 3)² + (y – 4)² = (x + 5)² +(y – 6)²
y² + 9 – 6x + x² + 16 – 8y = y² + 25 + 10 + 25 + 36 – 12y
10x + 6x – 12y + 8y + 25 – \(\frac{3}{7}\) + 36 = 0
16x – 4y + 36 = 0
4y = 16x + 36
y = 4x + 9

கேள்வி 10.
புள்ளிகள் A(2,3), B(2,-4) என்க. x அச்சின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளி P ஆனது AP = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)AB என்ற வகையில் அமைந்துள்ளது எனில், புள்ளி P இன் அச்சுத் தொலைகைக் காண்க.
விடை :
புள்ளிகள் A(2,3) மற்றும் B(2,-4) என்க. X அச்சின் மீது P என்ற புள்ளி அமைந்துள்ளது தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,

x² – 4x + 13 = 9
x² – 4x + 4 = 0
x² – 2x + 2x – 4 = 0
x (x – 2) – 2 (x – 2) = 0
(x – 2) (x – 2) = 0
x = 2, 2
P இன் அச்சுத் தொலைவு = (2,0)

கேள்வி 11.
புள்ளிகள் (1,2), (3,-4) மற்றும் (5,-6) இன் வழிச் செல்லும் வட்டத்தின் மையம் (11,2) என நிறுவுக.
விடை:
புள்ளி P(11,2), A(1,2), B(3,-4) மற்றும் C(5,-6) என்க.
P என்பத வட்டத்தின் மையம் எனில், புள்ளிகள் A, B, C வழியாகச் செல்கிறது. மேலும் P என்ற புள்ளி A, B, C இதிலிருந்து இருப்பதால் PA=PB=PC. தொலைவு வாய்பாட்டின் படி

= 10
PA PB=PC
P என்ற மையப் புள்ளி A, B, C என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்கிறது.

கேள்வி 12.
ஆதிப் புள்ளியை மையாக உடைய வட்டத்தின் ஆரம் 30 அலகுகள். அந்த வட்டம் ஆய அச்சுகளை வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண்க. இவ்வாறான எந்த இரு புள்ளிகளுக்கும் இடையே உள்ள தொலைவைக் காண்க.
விடை:
வட்டத்தின் ஆரம் = 30 அலகுகள்
ஆய அச்சுகளை வெட்டும் புள்ளிகள் (30,0), (0,30), (-30,0) மற்றும் (0,-30)
X₁, X₂, என்பன X அச்சின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகளின் X ஆயத் தொலைவுகள் எனில், அவற்றிற்கிடையே உள்ள தொலைவு = \(\left|X_{1}-X_{2}\right|\)
X அச்சின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள் (30,0) மற்றும் (-30,0)
தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,= |X₁ – X₂|
= |30 – (-30)|
= |30 + 30|
= |60|
= 60