Laxmi

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.18 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.18

கேள்வி 1.
A = \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 9 \\
3 & 4 \\
8 & -3
\end{array}\right]\) , B = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 7 \\
3 & 3 \\
1 & 0
\end{array}\right]\) எனில், பின்வருவனவற்றைச் சரிபார்க்க.
i) A + B = B + A
ii) A + (- A) = (- A) + A = 0
தீர்வு :

கேள்வி 2.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
4 & 3 & 1 \\
2 & 3 & -8 \\
1 & 0 & -4
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 3 & 4 \\
1 & 9 & 2 \\
-7 & 1 & -1
\end{array}\right]\) மற்றும் C = \(\left[\begin{array}{rrr}
8 & 3 & 4 \\
1 & -2 & 3 \\
2 & 4 & -1
\end{array}\right]\) எனில் A + (B + C) = (A + B) + C என்பதைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு :

கேள்வி 3.
X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
3 & 5
\end{array}\right]\), X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 4
\end{array}\right]\) எனில், x மற்றும் y ஆகிய அணிகளைக் காண்க.
தீர்வு :
X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
3 & 5
\end{array}\right]\) மற்றும்
X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 4
\end{array}\right]\)
(1) + (2) ⇒  2 × = \(\left[\begin{array}{cc}
10 & 0 \\
3 & 9
\end{array}\right]\)
x = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 0 \\
\frac{3}{2} & \frac{9}{2}
\end{array}\right]\)
X என்ற அணியை (1) ல் பிரதியிட

கேள்வி 4.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 4 & 9 \\
8 & 3 & 7
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
7 & 3 & 8 \\
1 & 4 & 9
\end{array}\right]\) எனில் பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
i) B – 5A
ii) 3A – 9B
தீர்வு :

கேள்வி 5.
பின்வரும் அணிச் சமன்பாடுகளில் இருந்து x, y, மற்றும் z – களின் மதிப்பைக் காண்க.
i) \(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 3 x-z \\
x+y+7 & x+y+z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 6
\end{array}\right]\)
ii) [x y – z z + 3] + [y 4 3] = [4 8 16]
தீர்வு:
i) கொடுக்கப்பட்டுள்ள அணிகள் சமம் ஒத்த
உறுப்புகள் சமம்
∴ x – 3 = 1
x = 4

3x – z = 0
3 x 4 – z = 0
z = 12

x + y + 7 = 1
4 + y + 7 = 1
y = -10

ii) [x y – 7. z + 3] + [y 4 3] = [4 8 16]
⇒ [x + y y – Z + 4 z + 6] = [4 8 16]
z + 6 = 16
z = 10

y – z + 4 = 8
y – 10 + 4 = 8
y = 14

x + y = 4
x + 14 = 4
x = -10

கேள்வி 6.
\(\mathbf{x}\left(\begin{array}{c}
4 \\
-3
\end{array}\right)+\mathbf{y}\left(\begin{array}{c}
-2 \\
3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
4 \\
6
\end{array}\right)\) எனில், x மற்றும் yன் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு :

∴ 4x – 2y = 4 மற்றும் – 3x + 3y = 6
⇒ 2x – y = 2 —(1)
– x + y = 2 — (2)
(1) & (2) ஐ கூட்ட

x = 4 ஐ (2),ல் பிரதியிட
– 4 + y = 2, y = 6
∴ x = 4
y = 6

கேள்வி 7.
\(\times\left[\begin{array}{cc}
2 x & 2 \\
3 & x
\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}
8 & 5 x \\
4 & 4 x
\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{cc}
x^{2}+8 & 24 \\
10 & 6 x
\end{array}\right]\) என்ற அணிச் சமன்பாட்டில் பூச்சியமற்ற மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
\(\times\left[\begin{array}{cc}
2 x & 2 \\
3 & x
\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}
8 & 5 x \\
4 & 4 x
\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{cc}
x^{2}+8 & 24 \\
10 & 6 x
\end{array}\right]\)

ஒத்த உறுப்பு 12x = 48
∴ x = 4

கேள்வி 8.
x, y ஜத் தீர்க்க – \(\left(\begin{array}{l}
x^{2} \\
y^{2}
\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}
-2 x \\
-y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
+5 \\
8
\end{array}\right)\)
தீர்வு :

x² – 4x = + 5 மற்றும் y² – 2y = 8
x² – 4x – 5 = 0
(x – 5) (x + 1) = 0
∴ x = – 1, 5

y² – 2y – 8 = 0
(y – 4) (y + 2) = 0
∴ y = 4, – 2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.17 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.17

கேள்வி 1.
A = \(\left[\begin{array}{cccc}
8 & 9 & 4 & 3 \\
-1 & \sqrt{7} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 5 \\
1 & 4 & 3 & 0 \\
6 & 8 & -11 & 1
\end{array}\right]\) என்ற அணியின்
i) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க
ii) அணியின் வரிசையைக் காண்க.
iii) a₂₂, a₂₃, a₂₄, a₃₄, a₄₃, a₄₄ ஆகிய உறுப்புகளை எழுதுக.
தீர்வு :
i) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை = 16
ii) அணியின் வரிசை 4 x 4
iii) a₂₂ = √7, a₂₃ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
a₂₄ = 5, a₃₄ = 0, a₄₃ = -11, a₄₄ = 1

கேள்வி 2.
18 உறுப்புகளைக் கொண்ட ஓர் அணிக்கு எவ்வகை வரிசைகள் இருக்க இயலும்? ஓர் அணியின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 6 எனில், எவ்வகை வரிசைகள் இருக்க இயலும்?
தீர்வு :
18 உறுப்புகள் கொண்ட அணியின் வரிசைகள் 1 × 18, 2 × 9, 3 × 6, 6 × 3, 9 × 2, 18 × 1
அணியின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 6 எனில் வரிசைகள் 1 × 6, 2 × 3, 3 × 2, 6 × 1

கேள்வி 3.
பின்வருவனவற்றைக் கொண்டு 3 x 3 வரிசையைக் கொண்ட அணி A =(a_ij)- யினைக் காண்க.
i) a_ij = |i – 2j|
ii) a_ij = \(\frac{(i+j)^{3}}{3}\)
தீர்வு :
i) a₁₁ = |1 – 2 x 1 = |1 – 2| = 1
a₁₂ = |1 – 2 x 2 = |1 – 4| = 3
a₁₃ = |1 – 2 x 3| = |1 – 6| = 5
a₂₁ = |2 – 2 x 1| = | 2 – 2| = 0
a₂₂ = |2 – 2 x 2 = |2 -4| = 2

a₂₃ = | 2 – 2 × 3 | = 12 – 6 | = 4
a₃₁ = | 3 – 2 × 1 | = | 3 – 2 | = 1
a₃₂ = | 3 – 2 × 2 | = | 3 – 4 | = 1
a₃₃ = | 3 – 2 × 3 | = | 3 – 6 | = 3
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 3 & 5 \\
0 & 2 & 4 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right]\)

ii)

கேள்வி 4.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
5 & 4 & 3 \\
1 & -7 & 9 \\
3 & 8 & 2
\end{array}\right]\) எனில், A யின் நிரை நிரல் மாற்று அணியைக் காண்க.
தீர்வு :
A^T= \(\left[\begin{array}{ccc}
5 & 1 & 3 \\
4 & -7 & 8 \\
3 & 9 & 2
\end{array}\right]\)

கேள்வி 5.
A= \(\left[\begin{array}{rr}
\sqrt{7} & -3 \\
-\sqrt{5} & 2 \\
\sqrt{3} & -5
\end{array}\right]\) எனில், – A யின் நிரை நிரல் மாற்று அணியைக் காண்க.
தீர்வு :
-A = \(\left[\begin{array}{rr}
-\sqrt{7} & 3 \\
\sqrt{5} & -2 \\
-\sqrt{3} & 5
\end{array}\right]\)
-A^T = \(\left[\begin{array}{rrr}
-\sqrt{7} & \sqrt{5} & -\sqrt{3} \\
3 & -2 & 5
\end{array}\right]\)

கேள்வி 6.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
5 & 2 & 2 \\
-\sqrt{7} & 0.7 & \frac{5}{2} \\
8 & 3 & 1
\end{array}\right]\) – எனில், (A^T)^T = A என்பதனைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு :
A^T = \(\left[\begin{array}{rrr}
5 & 2 & 2 \\
-\sqrt{7} & 0.7 & \frac{5}{2} \\
8 & 3 & 1
\end{array}\right]\)
(A^T)^T = \(\left[\begin{array}{rrr}
5 & 2 & 2 \\
-\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\
8 & 3 & 1
\end{array}\right]\) = A

கேள்வி 7.
கீழ்க்காணும் சமன்பாடுகளில் இருந்து x, y மற்றும் 2 யின் மதிப்பைக் காண்க.
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
12 & 3 \\
x & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
y & z \\
3 & 5
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
x+y & 2 \\
5+z & x y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
6 & 2 \\
5 & 8
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{c}
x+y+z \\
x+z \\
y+z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
9 \\
5 \\
7
\end{array}\right]\)
தீர்வு :
i) கொடுக்கப்பட்ட அணிகள் சமம்
∴ ஒத்த உறுப்புகள் சமம்
∴ x = 5, y = 12, z = 3

ii) கொடுக்கப்பட்ட அணிகள் சமம்
∴ ஒத்த உறுப்புகள் சமம்
∴ x + y = 6 — (1)
xy = 8 — (2)
5 + z = 5
∴ z = 0

(1) ⇒ y = 6 – x
y = 6 – x ஐ (2) ல் பிரதியிட xy = 8
x (6 – x) = 8
6x – x² = 8
x² – 6x + 8 = 0
(x – 2)(x – 4) = 0
∴ x = 2 (அ) 4
x = 2 எனில் y = 4
x = 4, எனில் y = 2
∴ x, y மற்றும் 2 ன் மதிப்புகள் 4, 2, 0(or) 2, 4, 0

iii) கொடுக்கப்பட்ட அணிகள் சமம்
ஒத்த உறுப்புகள் சமம்
∴ x + y + z = 9 — (1)
x+ z = 5 — (2)
y + z = 7 — (3)
(1) ⇒ x + y + z = 9
⇒ x + 7 = 9 (3) லிருந்து
x = 2
(1) ⇒ x + y + z = 9
y + 5 = 9 (2) லிருந்து
∴ y = 4
x = 2, y = 4 ஐ (1) ல் பிரதியிட
z = 3,  ∴ x = 2
y = 4,  z = 3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.16 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.16

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடுகளின் வரைபடம் வரைக. அவற்றின் தீர்வுகளின்
தன்மையைக் கூறுக.
i) x² – 9x + 20 = 0
ii) x² – 4x + 4 = 0
iii) x² + x + 7 = 0
iv) x² – 9 = 0
v) x² – 6x + 9 = 0
vi) (2x – 3) (x + 2) = 0
தீர்வு :
i) x² – 9x + 20 = 0
y = x² – 9x + 20 என்க

x² – 9x + 20 = 0 என்ற இருபடி சமன்பாடு X – அச்சை இருவேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. எனவே இச்சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமல்ல.

ii) x² – 4x + 4 = 0, y = x² – 4x + 4 என்க

x² – 4x + 4 = 0 என்ற சமன்பாடு X அச்சை ஒரேயொரு புள்ளியில் வெட்டுவதால் இச்சமன்பாட்டிற்கு மெய் மற்றும் சமமான தீர்வுகள் உண்டு.

iii) x² + x +7 = 0
y = x² + x + 7 என்க

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் பரவயைமானது x அச்சை எந்தப் புள்ளியிலும் வெட்டவில்லை ஃ இச்சமன்பாடிற்கு மெய்யெண் மூலங்கள் இல்லை.

iv) x² – 9 = 0 , y = x² – 9 என்க

x² – 9 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாடு X-அச்சை இருவேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
ஃ இச்சமன்பாடிற்கு மூலங்கள் இருசமமற்ற மெய்யெண்களாக இருக்கும்.

v) x² – 6x + 9 = 0
y = x² – 6x + 9 என்க

x² – 6x + 9 = 0 என்ற சமன்பாடு X-அச்சை ஓரே புள்ளியில் வெட்டுவதால் இச்சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமான தீர்வுகள் உண்டு.

vi) (2x – 3) (x + 2) = 0
= 2x² + x -6 = 0
y = 2x² + x – 6 = 0 என்க

தீர்வு : கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு x – அச்சை இருவேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. இச்சமன்பாட்டுக்கு மெய் மற்றும் சமமல்ல என்ற மூலங்கள் இருக்கும்.

கேள்வி 2.
y = x² – 4 வரைபடம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி x² – x – 12 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = x² – 4


∴ x² – x – 12 = 0 ன் தீர்வுகள் -3, 4

கேள்வி 3.
y = x² + x – யின் வரைபடம் வரைந்து, x² + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = x² + x

y = x – 1

நேர்கோடு y = x – 1 ஆனது பரவளையம்
y = x² + x ஐ வெட்டவில்லை .
∴ x² + 1 = 0 க்கு மெய்யெண் தீர்வு இல்லை

கேள்வி 4.
y = x² + 3x + 2 – யின் வரைபடம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி x² + 2x + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = x² + 3x + 2

தீர்வு :
y = x + 1 என்ற கோடானது பரவளையம்
y = x² + 3x + 2 ஐ ஒரே ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறது.
∴ x² + 2x + 1 = 0 ன் தீர்வுகள் -1, -1

கேள்வி 5.
y = x² + 3x – 4 யின் வரைபடம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி x² + 3x – 4 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = x² + 3x – 4

y = 0 என்பது x அச்சின் சமன்பாடு
∴ x² + 3x – 4 ன் தீர்வுகள் – 4,1

கேள்வி 6.
y = x² – 5x – 6 யின் வரைபடம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி x² – 5x – 14 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = x² + 5x – 6

y = 8 ன் நேர்க்கோடு வரைய வேண்டும்.
y = 8 என்ற நேர்க்கோடானது பரவளையம் y = x² – x – 6 ஐ இரு வெவ்வேறான புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
x² – 5x – 14 = 0 ன் தீர்வுகள் – 2 மற்றும் 7

கேள்வி 7.
y = 2x² – 3x – 5 யின் வரைபடம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி 2x² – 4x – 6 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = 2x² – 3x – 5

y = x + 1 என்ற கோடானது பரவளையம் y = 2x² – 3x – 5-யை இரு வேறு புள்ளியில் வெட்டுகிறது.
∴ 2x² – 4x – 6 = 0 ன் தீர்வுகள் = (-1, 3)

கேள்வி 8.
y = (x – 1) (x + 3) -யின் வரைபடம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி x³ – x – 6 = 0 என்ற
சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = (x – 1) (x + 3)
= x² – x + 3x – 3
= x² + 2x – 3

விடை :
y = 3x + 3 என்ற கோடானது பரவளையம் y = (x – 1) (x + 3) -யை இருவேறு புள்ளியில் வெட்டுகிறது.
∴ x² – x – 6= 0 ன் தீர்வுகள் =-2, 3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.3

கேள்வி 1.
ஒரு மனிதன் 18 மீ கிழக்கே சென்று பின்னர் 24 மீ வடக்கே செல்கிறான். தொடக்க நிலையிலிருந்து அவர் இருக்கும் தொலைவைக் காண்க?
தீர்வு :

பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
தொடக்க நிலையிலிருந்து அவர் இருக்கும்
தொலைவு = \(\sqrt{18^{2}+24^{2}}\)
= \(\sqrt{324+576}\)
= \(\sqrt{900}\)
= 30மீ

கேள்வி 2.
சாராவின் வீட்டிலிருந்து ஜேம்ஸின் வீட்டிற்குச் செல்ல இரண்டு வழிகள் உள்ளன. ஒரு வழி c
என்ற தெரு வழியாகச் செல்வதாகும். மற்றொரு வழி B மற்றும் A ஆகிய தெருக்குள் வழியாகச் செல்வதாகும். நேரடி பாதை C வழி செல்லும் போது தொலைவு எவ்வளவு குறையும்? (படத்தைப் பயன்படுத்துக)
தீர்வு :

C வழிச் செல்லும் போது தூரம்
C வழிச் செல்லும் போது தூரம் = \(\sqrt{2^{2}+1.5^{2}}\)
= \(\sqrt{4+2.25}\)
= \(\sqrt{6.25}\) = 2.5
A மற்றும் B வழியாக செல்லும் போது தூரம் = 2 + 15
= 3.5மைல்ஸ்
∴ நேரடி பாதை வழிச் செல்லும் போது குறையும் தொலைவு 3.5 – 2.5 = 1 மைல்

கேள்வி 3.
A என்ற புள்ளியில் இருந்து B என்ற புள்ளிக்குச் செல்வதற்கான ஒரு குளம் வழியாக, நடந்து செல்ல வேண்டும். குளம் வழியே செல்வதைத் தவிர்க்க 34 மீ தெற்கேயும், 41 மீ கிழக்கு நோக்கியும் நடக்க வேண்டும். குளம் வழியாகச் செல்வதற்குப் பாதை அமைந்து அப்பாதை வழியே சென்றால் எவ்வளவு மீட்டர் தொலைவு சேமிக்கப்படும்?
தீர்வு :

குளம் வழியாக நடந்து சென்றால் தூரம்

குளம் வழியாக செல்வதை தவிர்த்தால்
41மீ தூரம் = 34 + 41 = 75 மீ
குளம் வழியாகச் செல்வதற்குப் பாதை அமைத்து அப்பாதை வழியே சென்றால் சேமிக்கப்படும் தொலைவு
75 – 53.26 = 21.74 மீ.

கேள்வி 4.
WXYZ, என்ற செவ்வகத்தில் XY + YZ = 17 செ.மீ மற்றும் XZ + YW = 26 செ.மீ. எனில்
செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலத்தைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு :


செவ்வகம் WXYZ ல் மூலைவிட்டங்கள் XZ, WY ஆனது சமமாகும்.
∴ XZ = WY
கணக்கின் படி XZ +WY = 26
∴ மூலைவிட்டத்தின் நீளம் = 13 செ.மீ
செவ்வகத்தின் அகலத்தை x என்க
∴ அதன் நீளம் YZ = 17 – x
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
x² + (17 – x)² = 13²
⇒ x² + x² – 34x + 289 = 169
⇒ 2x² – 34x + 120 = 0
⇒ x² – 17x + 60 = 0
(x – 12) (x – 5) = 0
∴ x = 12,5
∴ செவ்வகத்தின் நீளம் = 12 செ.மீ, அகலம் = 5 செ.மீ.

கேள்வி 5.
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் சிறிய பக்கத்தின் 2 மடங்கை விட 6 மீ அதிகம். மேலும் மூன்றாவது பக்கமானது கர்ணத்தை விட 2 மீ குறைவு எனில், முக்கோணத்தின் பக்கங்களை காண்க?
தீர்வு :

செங்கோண முக்கோணத்தின் சிறிய பக்கத்தை x என்க
∴ கர்ணம் = 2x + 6 மற்றும்
மற்றொரு பக்கம் = 2x + 6 – 2
= 2x + 4
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
x² + (2x + 4)² = (2x + 6)²
x² + 4x² + 16x + 16 = 4x² + 24x + 36
= x² – 8x – 20 = 0
(x – 10) (x + 2) = 0
∴ x = 10, – 2
x குறை எண் அல்ல, ∴x = 10
∴ செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் 10மீ, 24மீ, 26மீ.

கேள்வி 6.
5மீ நீளமுள்ள ஓர் ஏணியானது ஒரு செங்குத்து சுவர் மீது சாய்த்து வைக்கப்படுகிறது. ஏணியின்
மேல் முனை சுவரை 4 மீ உயரத்தில் தொடுகிறது. ஏணியின் கீழ்முனை சுவரை நோக்கி 1.6 மீ நகர்த்தப்படும் போது, ஏணியின் மேல்முனை சுவரில் எவ்வளவு தொலைவு மேல்நோக்கி நகரும் எனக் கண்டுபிடி.
தீர்வு :

ஏணியின் கீழ்முனை சுவரை நோக்கி 1.6 மீ நகர்த்தப்படும்
போது சுவற்றிற்கும் ஏணியின் கீழ் முனைக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு
= 3 – 1.6
= 1.4 மீ

∴ ஏணியின் மேல்முனை சுவரில் மேல்நோக்கி நகரும் தொலைவு

கேள்வி 7.
ΔPQR யில் அடிப்பக்கம் QR க்கு செங்குத்தாக உள்ள PS ஆனது, QR – ஐ S யில் சந்திக்கிறது. மேலும், QS = 3SR எனில், 2PQ² = 2PR² + QR² என நிறுவுக.
தீர்வு :

SR = X என்க
∴ QS = 3x
QR = 4x
ΔPSQ, = PQ² = PS² + (3x)²
= PS² + 9x² — (1)
ΔPSR, ல்
PR² = PS² + x² — (2)
2PR² + QR² = 2(PS² + x²) + (4x)²
= 2ps² + 2x² + 16x²
= 2ps² + 18x²
= 2(PS² + 9x²)
= 2PQ² (1 லிருந்து)

கேள்வி 8.
படத்தில், செங்கோண முக்கோணம் ABCல் கோணம் B ஆனது செங்கோணம் மற்றும் D, E என்ற புள்ளிகள் பக்கம் BC ஐ மூன்று சமபகுதிகளாக பிரிக்கிறது எனில், 8AE² = 3AC² + 5AD² என நிறுவுக.
தீர்வு :

BD = x என்க
∴ BE = 2x, BC = 3x
ΔABD ல் , AD² = AB² + BD²
= AD² = AB² + x² — (1)
இதேபோல ΔABE, AE² = AB² + BE²
= AB² + (2x)²
= AB² + 4x² — (2)
= Δ????ABCD AC² + AB² + BC²
= AB² + (3x)²
= AB² + 9x² — (3)
3AC² + 5AD² = 3(AB² + 9x² ) + (AB² + x² )
= 3AB² + 27x² + 5AB² + 5x²
= 8AB² + 32x² )
= 8(AB² + 4x² )
= 8AE² (2) லிருந்து

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.2

கேள்வி 1.
ΔABC, யின் பக்கங்கள் AB மற்றும் AC – யின் மீதுள்ள புள்ளிகள் முறையே D மற்றும் E ஆனது DE || BC என்றவாறு அமைந்துள்ளது.
i) \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{3}{4}\) மற்றும் AC = 15 செ.மீ எனில்
AE யின் மதிப்பு காண்க.
ii) AD = 8x – 7, DB = 5x – 3, AE = 4x – 3 மற்றும் EC = 3x – 1 எனில் X – ன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :

i) ΔABC,ல் DE|| BC
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) [AE = x, EC = 15 – x]
\(\frac{3}{4}=\frac{x}{15-x}\)
= 3 (15 – x) = 4x
⇒ 45 – 3x = 4x
7x = 45
x = \(\frac{45}{7}\) = 6.42

ii) \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
⇒ \(\frac{8 x-7}{5 x-3}=\frac{4 x-3}{3 x-1}\)
⇒ (8x – 7)(3x – 1) = (4x – 3)(5x – 3)
⇒ 24x² – 29x +7 = 20x² – 27x + 9
⇒ 4x² – 23 – 2 = 0
⇒ 2x² – x – 1 = 0
(x – 1) (2x + 1) = 0
∴ x = 1 (or) = – 1/2
x ஆனது குறை எண் அல்ல x = 1

கேள்வி 2.
ABCD என்ற ஒரு சரிவகத்தில் AB| | DC மற்றும் P, Q என்பன முறையே பக்கங்கள் AD மற்றும் BC யின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள் ஆகும். மேலும் PQ | |DC, PD = 18 செ.மீ, BQ = 35 செ.மீ மற்றும் QC = 15 செ.மீ எனில், AD காண்க.
தீர்வு :

AB ||DC||PQ
∴ \(\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QB}}\)
\(\frac{18}{x}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}\)
x = 18 x 2/3 = 42
∴ AD = AP + PD = 42 + 18 = 60 செ.மீ

கேள்வி 3.
ΔABC, யில் D மற்றும் E என்ற புள்ளிகள் முறையே பக்கங்கள் AB மற்றும் AC ஆகியவற்றின் மீது அமைந்துள்ளன. பின்வருவனவற்றிற்கு DE| |BC என நிறுவுக.
i) AB = 12செ.மீ, AD = 8செ.மீ, AE = 12
செ.மீ மற்றும் AC = 18 செ.மீ
ii) AB = 5.6 செ.மீ, AD = 1.4 செ.மீ, AC =7.2 செ.மீ மற்றும் AE = 1.8 செ.மீ.
தீர்வு :

கேள்வி 4.
படத்தில் PQ ||BC மற்றும் PR| | CD எனில்
i) \(\frac{A R}{A D}=\frac{A Q}{A B}\)
ii) \(\frac{\mathrm{QB}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{AR}}\)என நிருவுக.
தீர்வு :

i) ΔACB, ல் PQ|| BC
∴ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}}\) — (1)
மற்றும் ΔACD, ல் PR|| CD
∴ \(\frac{A R}{A D}=\frac{A P}{A C}\) —(2)
(1) = (2)
∴ \(\frac{A Q}{A B}=\frac{A R}{A D}\)

ii) ΔACB, PQ | | BC
∴ \(\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QB}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}}\) — (1)
மற்றும் ΔACD, PR| | CD
∴ \(\frac{A P}{P C}=\frac{A R}{R D}\) — (2)
(1) & (2), லிருந்து \(\frac{A Q}{Q B}=\frac{A R}{R D}\)
தலைகீழ் காண \(\frac{Q B}{A Q}=\frac{R D}{A R}\)

கேள்வி 5.
ΔABC யின் உள்ளே B ஐ ஒரு கோணமாகக் கொண்ட சாய்தூரம் PQRB அமைந்துள்ளது. P, Q மற்றும் R என்பன முறையே பக்கங்கள் AB, AC மற்றும் BC மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள் ஆகும். AB = 12 செ.மீ மற்றும் BC = 6 எனில், சாய்சதுரத்தின் பக்கங்கள் PQ, RB – யைக் காண்க.
தீர்வு :

படத்திலிருந்து \(\frac{A R}{A B}=\frac{P Q}{B C}\)
⇒ \(\frac{12-x}{12}=\frac{x}{6}\)
⇒ 12x = 72 – 6x
⇒ 18x = 72
x = 4
∴ PQ = 4 செ.மீ மற்றும் RB = 4 செ.மீ

கேள்வி 6.
சரிவகம் ABCD யில், AB| |DC, E மற்றும் F என்பன முறையே இணையற்ற பக்கங்கள் AD மற்றும் BC ன் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள், மேலும் EF||AB, என அமைந்தால் \(\frac{A E}{E D}=\frac{B F}{F C}\) என நிறுவுக
தீர்வு :

ΔABD,ல் EG| | AB
∴ தேல்ஸ் தேற்றப்படி, \(\frac{\mathrm{DG}}{\mathrm{GB}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}}\) — (1)
ΔCBD,ல் FG|| CD
∴ தேல்ஸ் தேற்றப்படி, \(\frac{\mathrm{BG}}{\mathrm{GD}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\)
தலைகீழ் காண, \(\frac{G D}{B G}=\frac{F C}{B F}\) —(2)
(1) & (2) -லிருந்து
\(\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{FC}}{\mathrm{BF}}\)
மீண்டும் தலைகீழ் காண, \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\)

கேள்வி 7.
படத்தில் DE|| BC மற்றும் CD||EF. எனில் AD² = AB X AF என நிறுவுக.
தீர்வு :

DE || BC
∴ தேல்ஸ் தேற்றப்படி, \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}\) — (1)
AF AE மேலும் CDT |EF, \(\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}\) — (2)
AD AF (1) & (2) லிருந்து \(\frac{A D}{A B}=\frac{A F}{A D}\)
= AD² = AB X AF

கேள்வி 8.
பின்வருவனவற்றுள் ΔABC யில் AD ஆனது ∠A யின் இருசம வெட்டி ஆகுமா எனச் சோதிக்கவும்.
i) AB = 5 செ.மீ, AC = 10செ.மீ, BD = 1.5
செ.மீ மற்றும் CD = 3.5செ.மீ
ii) AB = 4 செ.மீ, AC = 6 செ.மீ,
BD = 1.6 செ.மீ மற்றும் CD = 2.4 செ.மீ
தீர்வு :

i) \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) ——(1)
\(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{1.5}{3.5}=\frac{3}{7}\) — (2)
(1) & (2) லிருந்து \(\frac{A B}{A C} \neq \frac{B D}{D C}\)
∴ AD ஆனது ∠Aன் இருசம வெட்டி அல்ல

ii) \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)——(1)
\(\frac{B D}{D C}=\frac{1.6}{2.4}=\frac{2}{3}\)—– (2)
(1) & (2)லிருந்து \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \neq \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\)
∴ AD ஆனது ∠A ன் இருசம வெட்டி ஆகும்.

கேள்வி 9.
படத்தில் ∠QPR = 90°, PS ஆனது. ∠P – யின் இருசமவெட்டி மேலும், ST⊥PR, எனில், ST x (PQ + PR) = PQ X PR என நிறுவுக.
தீர்வு:

படத்தில் ∠DPR = 90°
PS என்பது ∠Pன் இருசமவெட்டி
∴ \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}\)
இருபுறமும் 1ஐ கூட்ட

(1) & (2) லிருந்து
\(\frac{P Q+P R}{P R}=\frac{P Q}{S T}\)
⇒ ST (PQ + PR) = PQ x PR

கேள்வி 10.
நாற்கரம் ABCDயில் AB= AD, ∠BAC மற்றும் ∠CAD யின் கோண இருசமவெட்டிகள் BC மற்றும் CD ஆகிய பக்கங்களை முறையே E மற்றும் F என்ற புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றன எனில், EF||BD என நிறுவுக.
தீர்வு :

AC, BD மற்றும் EF யை இணை ACAB ல்
AE ஆனது ∠BAC ன் இருசமவெட்டி

தேல்ஸ் தேற்றத்தின் மறுதலையின் படி EF | | BD

கேள்வி 11.
PQ = 4.5 செ.மீ, ∠R = 35 மற்றும் உச்சி R – லிருந்து வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் RG = 6செ.மீ என அமையுமாறு ΔPQR வரைக
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. PQ = 4.5 செ.மீ வரைக.
2. புள்ளி P வழியாக ∠QPE = 35° என இருக்கும்படி PE வரைக.
3. புள்ளி P வழியே ∠EPF = 90° என இருக்கும்படி PF வரைக.
4. PQ, க்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக்கோடு PF ஐ O விலும் PQ ஐ G யிலும் சந்திக்கிறது.
5. O வை மையமாகவும் OP யை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
6. G யிலிருந்து 6 செ.மீ ஆரமுள்ள வில்லை வட்டத்தில் வெட்டுமாறு வரைக.
7. PR ,RQ.யை இணை. ΔPQR தேவையான முக்கோணமாகும்.

கேள்வி 12.
QR = 5 செ.மீ, ∠P = 40° மற்றும் உச்சி P யிலிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் PG = 4.4 செ.மீ என இருக்கும்படி ΔPQR வரைக. மேலும் P லிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் காண்க. தீர்வு :

வரைமுறை

1. QR = 5 செ.மீ வரைக்
2. ∠ROE = 40° வரைக
3. ∠EQF = 90° வரைக
4. QR, க்கு மையக்குத்துக்கோடு வளரக அது QR, QF ஐ வெட்டும் புள்ளிக்கு G, O என்க.
5. O வை மையமாகக் வைத்து வட்டம் வரைக.
6. GP = 4.4 செ.மீ வரைக.
7. ΔPQR தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.
8. p யிலிருந்து QR க்கு செங்குத்துக்கோடு வரைக. அதன் நீளம் 2.1 செ.மீ ஆகும்.

கேள்வி 13.
QR = 6.5 செ.மீ, ∠P = 60° மற்றும் உச்சி P யிலிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.5 செ.மீ உடைய ΔPQR வரைக.
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. QR = 6.5 செ.மீ வரைக. ∠RQE = 60° வரைக ∠EQF = 90°
2. QR, க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது QR ஐ M விலும் QF யை ) விலும் சந்திக்கும்.
3. O வை மையமாக வைத்து விட்டம் வரைக.
4. M லிருந்து G க்கு MG = 4.5 செ.மீ வில்
   வரைக.
5. G வழியே XY| | QR வரைக.
6. XY யானது வட்டத்தை சந்திக்கும் புள்ளி P என்க
7. PQR என்பது தேவையான முக்கோணமாகும்.

கேள்வி 14.
AB = 5.5 செ.மீ ∠C = 25° மற்றும் உச்சி C யிலிருந்து AB க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4 செ.மீ உடைய ΔABC வரைக.
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. AB = 5.5 செ.மீ வரைக. ∠BAE = 25°∠FAE = 90°
2. AB க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது AF, AB யை O, G ல் வெட்டுகிறது.
3. O வை மையமாகக் கொண்டு விட்டம் வரைக.
4. GM = 4 செ.மீல் வில் வரைக.
5. M வழியாக XY|| AB வரைக.
6. XY யானது வட்டத்தை சந்திக்கும் புள்ளி C என்க
7. ΔABC என்பது தேவையான முக்கோணமாகும்.

கேள்வி 15.
அடிப்பக்கம் BC = 5.6 செ.மீ ∠A = 40° மற்றும்,∠A இருசம வெட்டியானது அடிப்பக்கம் BCஐ CD = 4 செ.மீ என D யில் சந்திக்குமாறு அமையும் முக்கோணம் ABC வரைக.
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. BC = 5.6 செ.மீ வரைக. ∠CBE = 40° ∠FBE = 90°
2. BC க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது BF யை O ல் சந்திக்கிறது.
3. O வை மையமாக வைத்து வட்டம் வரைக.
4. CD = 4 செ.மீ வரைக. மையக்குத்துக்கோடு வட்டத்தை தொடும் புள்ளிக்கு 1 என்க.
5. DI யை இணை. அது விட்டத்தை தொடும் புள்ளி A என்க.
6. AD ஆனது Aன் இருசம் வெட்டியாகும்.
7. ΔABC தேவையான முக்கோணமாகும்.

கேள்வி 16.
PQ = 6.8 செ.மீ, உச்சிக்கோணம் 50° மற்றும் உச்சிக்கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது அடிப்பக்கத்தை PD = 5.2 செ.மீ எனD யில் சந்திக்குமாறு அமையும் APQR.வரைக.
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. PQ = 6.8செ.மீ வரைக. ∠QPE = 50° ∠FPE = 90° வரைக்
2. PQ க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது PF யை O ல் சந்திக்கிறது.
3. O வை மையமாக கொண்டு வட்டம் வரைக
4. PD = 5.2 செ.மீ வரைக. மையக்குத்துக் கோடானது வட்டத்தை தொடும் புள்ளிக்கு என்க
5. DI யை இணை, அது வட்டத்தை தொடும் புள்ளி R.
6. RD ஆனது Rன் இருசம வெட்டியாகும்.
7. ΔPQR என்பது தேவையான முக்கோணமாகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 4 வடிவியல் Unit Exercise 4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 4 வடிவியல் Unit Exercise 4

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் BD⊥AC மற்றும் CE⊥AB, எனில்
i) ∆AEC ~ ∆ADB
\(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{DB}}\) நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு :
i) ∆AECமற்றும் ∆ADB இவற்றில்
∠AEC = ∠ADB = 90, ∠A பொது
∆AEC ~ ∆ADB (AA விதிமுறைப்படி)
ii) ∆AEC ~ ∆ADB [ (i)ன் படி)
\(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{DB}}\)

கேள்வி 2.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் AB||CD| |EF AB = 6 செ.மீ , CD = xசெ .மீ, EF = 4 செ.மீ, BD = 5செ.மீ மற்றும் DE = y செ.மீ எனில் , மற்றும் புன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :

WkT, இரு தூண்களின் உச்சியிலிருந்து எதிரேயுள்ள தூண்களின் அடிக்கு வரையப்படும் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் உயரமானது \(\frac{a b}{a+b}\) ஆகும்.

கேள்வி 3.
O ஆனது முக்கோணம் ABC ,யின் உள்ளே அமைந்த ஒரு புள்ளி ஆகும். ∠AOB , ∠BOC மற்றும் COA யின் இருசமவெட்டிகள், பக்கங்கள் AB, BC மற்றும் CA வை முறையே D, E மற்றும் Fல் சந்திக்கின்றன எனில், AD * BEX CF= DBX ECX FA எனக் காட்டுக
தீர்வு :

Δ AOB, OD ஆனது ∠AOB ன் இருசமவெட்டி
∴ \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}\) ————- (1)
Δ BOC, OE ஆனது ∠BOC ன் இருசமவெட்டி
∴ \(\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}\) —————– (2)
Δ COA, OF ஆனது ∠COA ன் இருசமவெட்டி
∴ \(\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}\)—————- (3)
(1) x (2) x (3)

கேள்வி 4.
கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ABC யில் AB = ACஆகும். AD = AE என இருக்குமாறு D மற்றும் என்ற புள்ளிகள் முறையே பக்கங்கள் AB மற்றும் AC-யின் மீது அமைந்துள்ளன. B,C,E மற்றும் D என்ற புள்ளிகள் ஒரே வட்டத்தில் அமையும் எனக் காட்டுக

தீர்வு :
கணக்கின் படி. AB = AC
⇒ ∠B = ∠C
AD + DB = AE + EC
⇒ BD = EC[: AD = AE]
∴ DE || BC
AEC என்பது நேர்க்கோடு என்பதால்

எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் 180°
∴ BCED என்பது விட்ட நாற்கரம் ஆகும். ..
∴ B, C, E மற்றும் D என்ற
புள்ளிகள் ஒரு வட்டத்தில் அமையும்.

கேள்வி 5.
இரண்டு தொடர்வண்டிகள் ஒரே நேரத்தில் ஒரு தொடர்வண்டி நிலையத்திலிருந்து புறப்படுகின்றன. முதல் வண்டி மேற்கு நோக்கியும், இரண்டாவது வண்டி வடக்கு நோக்கியும் செல்கின்றன. முதல் தொடர்வண்டி 20 கி.மீ/மணி வேகத்திலும், இரண்டாவது வண்டி 30கி.மீ/மணி வேகத்திலும் செல்கின்றன. இரண்டு மணி நேரத்திற்குப் பின்னர் அவைகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு எவ்வளவு?
தீர்வு :
இரண்டு மணி நேரத்திற்குப் பின்னர் முதல் மற்றும் இரண்டாம் தொடர்வண்டிகள் கடந்து சென்ற தொலைவு 40 கி.மீ மற்றும் 60கி.மீ.

அவைகளுக்கு இடைப்பட்ட

கேள்வி 6.
BC யின் மையப்புள்ளி D மற்றும் AE ⊥ BC. BC = a, AC = b, AB = C, ED = x, AD = P மற்றும் AE = h, எனில், (i) b² = p² + ax + \(\frac{a^{2}}{4}\)
(ii) c² = p² – ax + \(\frac{a^{2}}{4}\)
(iii) b² + c² = 2p² + \(\frac{a^{2}}{2}\) என நிரூபிக்க.

கணக்கின் படி, D என்பது BC ன் மையப்புள்ளி
CD = BD = \(\frac{a}{2}\) மற்றும் BE = x – \(\frac{a}{2}\)
∆AED & P² = h² + x² —— (1)
(பிதாகரஸ் தேற்றப்படி)

i) ∆AEC, ல் b² = h² + (x + \(\frac{a}{2}\) )²
= h² + x² + ax + \(\frac{a^{2}}{4}\)
= p² + ax + \(\frac{a^{2}}{4}\) (1) லிருந்து

ii) ∆AEB ல், C² = h² + (x – \(\frac{\mathrm{a}}{2}\) )²
= h² + x² – ax + \(\frac{a^{2}}{4}\)
= p² – ax + \(\frac{a^{2}}{4}\) (1) லிருந்து
(iii) (i) & (ii) ஐ கூட்ட
b² + c² = p² + ax + \(\frac{a^{2}}{4}\) + p² – ax + \(\frac{a^{2}}{4}\)
= 2p² + \(\frac{a^{2}}{2}\)

கேள்வி 7.
2 மீ உயரமுள்ள மனிதர் ஒரு மரத்தின் உயரத்தைக் கணக்கிட விரும்புகிறார். மரத்தின் அடியிலிருந்து 20 மீ தொலைவில் B என்ற புள்ளியில் ஒரு கண்ணாடி கிடைமட்டமாக மேல் நோக்கி வைக்கப்படுகிறது. கண்ணாடியிலிருந்து 4 மீ தொலைவில் C என்ற புள்ளியில் நிற்கும் மனிதர் மரத்தின் உச்சியின் பிரதிபலிப்பைக் கண்ணாடியில் காண முடிகிறது எனில், மரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (மரத்தின் அடி, கண்ணாடி, மனிதர் ஒரே நேர்க்கோட்டில் உள்ளதாகக் கொள்க).
தீர்வு :

படத்திலிருந்து ∆ACB ~ ∆QTB
∴ \(\frac{\mathrm{TQ}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{TB}}{\mathrm{BC}}\)
⇒ \(\frac{h}{2}=\frac{16}{4}\)
∴ h = \(\frac{16}{4}\) x 2
= 8
மரத்தின் உயரம் = 8 + 2
= 10மீ

கேள்வி 8.
30 அடி உயரமுள்ள ஒரு தூணின் அடிப்பகுதியிலிருந்து 8 அடி உயரமுள்ள ஒரு ஈமு கோழி விலகி நடந்து செல்கிறது. ஈமு கோழியில் நிழல் அது நடந்து செல்லும் திசையில் அதற்கு முன் விழுகிறது. ஈமு கோழியின் நிழலின் நீளத்திற்கும், ஈமு தூணிலிருந்து இருக்கும் தொலைவிற்கும் இடையே உள்ள தொடர்பைக் காண்க.

தேல்ஸ் தேற்றப்படி,
\(\frac{O A}{O B}=\frac{A D}{B C}\)
∴ ⇒ \(\frac{x}{x+y}=\frac{8}{30}\)
இருபுறமும் தலைகீழ் காண

கேள்வி 9.
A மற்றும் B என்ற புள்ளிகளில் இரு வட்டங்கள் வெட்டிக்கொள்கின்றன. ஒரு வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளி P யிலிருந்து வரையப்படும் PAC மற்றும் PBD என்ற கோடுகள் இரண்டாவது வட்டத்தினை முறையே ( மற்றும் D யில் வெட்டுகின்றன எனில் CD யானது P வழியே வரையப்படம் தொடுகோட்டிற்கு இணை என நிரூபிக்கவும். தீர்வு :
MPஎன்பது புள்ளி P ல் வட்டத்தின் தொடுகோடு என்க.
AB இணை

இவைகள் ஒன்று விட்ட உள்கோணங்களின் சோடிகள்.
∴ MP || CD

கேள்வி 10.
ABC என்ற ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் AB, BC, AC யின் (அல்லது பக்கங்களின் நீட்சி) மீது முறையே D,E,F என்ற புள்ளிகள் உள்ள ன. AD : DB = 5:3, BE:EC = 3:2 மற்றும் AC = 21. எனில், கோட்டுத்துண்டு CF யின் நீளம் காண்க.
தீர்வு :

சீவாஸ் தேற்றப்படி
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} \times \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}} \times \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}}\) = 1
⇒ \(\frac{5}{3} \times \frac{3}{2} \times \frac{x}{21-x}\) = 1
⇒ 5x = 2 (21 – x)
= 42 – 2x
7x = 42
x = 6
∴ CF = 6

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.2

கேள்வி 1.
x அச்சுடன் மிகை திசையில் சாய்வு கோணத்தை கொண்ட கோட்டின் சாய்வு – என்ன ?
i) 90°
ii) 0°
தீர்வு :
i) θ = 90° = சாய்வு m = tanθ
m = tan90°
வரையறுக்கப்படாதது

ii) θ = 0° ⇒ சாய்வு m = tan0°
m = 0

கேள்வி 2.
பின்வரும் சாய்வுகளைக் கொண்டநேர்க்கோடுகளின் சாய்வுக் கோணம் என்ன ?
(i) 0
(ii) 1
தீர்வு :
i) m = 0 – சாய்வு m= tanθ
0 = tanθ
tanθ = tanθ
0° = θ

ii) m = 1 = சாய்வு m = tanθ
1 = tanθ
tan45° = tanθ
45° = θ

கேள்வி 3.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.
(i) (5, √5) மற்றும் ஆதிப்புள்ளி
(ii) (sinθ, -cosθ) மற்றும் (-sinθ, cosθ)
தீர்வு:
i) (5, √5) மற்றும் ஆதிப்புள்ளி
சாய்வு, m = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{0-\sqrt{5}}{0-5}=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
ii) (sinθ, -cosθ) மற்றும் (-sinθ, cosθ)
சாய்வு,m = \(\frac{\cos \theta+\cos \theta}{-\sin \theta-\sin \theta}=\frac{2 \cos \theta}{-2 \sin \theta}\) = -cotθ

கேள்வி 4.
A(5,1) மற்றும் P ஆகியவற்றை இணைக்கும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு என்ன? இதில் P என்பது (4,2) மற்றும் (-6, 4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி ஆகும்.
தீர்வு :
P என்பது (4, 2) மற்றும் (-6, 4) ஐ முனைகளை கொண்ட கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி ஆகும்.

(-1, 3) = P(x,y)
A(5, 1), P(-1, 3) ஆகிய முனைகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு
m₁ = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{3-1}{-1-5}=\frac{2}{-6}=\frac{-1}{3}\)
தேவையான கோடானது AP க்கு செங்குத்தாக உள்ளது.
m₁ × m₂ = -1
\(\frac{-1}{3}\) × m₂ = -1
m₂ = 3
சாய்வு = 3

கேள்வி 5.
(-3,-4), (7, 2) மற்றும் (12,5) என்ற புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை A(-3, -4), B(7, 2) மற்றும் C(12, 5) என்க.
AB ன் சாய்வு = \(\frac{2+4}{7+3}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\) ——- (1)
BC ன் சாய்வு = \(\frac{5-2}{12-7}=\frac{3}{5}\)——- (2)
(1) = (2)
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைவன.

கேள்வி 6.
(3,-1), (a, 3) மற்றும் (1,-3) ஆகிய மூன்று புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனில் a-ன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை A(3, -1), B(a,3), மற்றும் C(1,-3) என்க.
A,B,C ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைந்தது.
AB ன் சாய்வு = BCன் சாய்வு
\(\frac{3+1}{a-3}=\frac{-3-3}{1-a}\)
\(\frac{4}{a-3}=\frac{-6}{1-a}\)
4(1-a) = -6(a-3)
4 – 4a = -6a + 18
-4a + 6a = 18 – 4
2a = 14
a = 7

கேள்வி 7.
(-2,a) மற்றும் (9, 3) என்ற புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வு \(\frac { -1 }{ 2 }\) எனில் என் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் (-2, a), (9, 3)
சாய்வு = \(\frac { -1 }{ 2 }\)
\(\frac{3-a}{9+2}=-\frac{1}{2}\)
\(\frac{3-a}{11}=-\frac{1}{2}\)
2(3 – a) = -11
6 – 2a = -11
6 + 11 = 2a
\(\frac{17}{2}\) = a
a = \(\frac{17}{2}\)

கேள்வி 8.
(-2, 6) மற்றும் (4, 8) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோடானது (8, 12) மற்றும் (x, 24) என்ற புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் நேர்க்கோட்டிற்குச் செங்குத்து எனில் , ன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(-2,6), B(4,8)மற்றும் C(8, 12) மற்றும் D(x, 24)
AB ன் சாய்வு
m₁ = \(\frac{8-6}{4+2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
CD ன் சாய்வு
m₂ = \(\frac{24-12}{x-8}=\frac{12}{x-8}\)
கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக உள்ளது. எனில்,
m₁ × m₂ = -1
\(\frac{1}{3} \times \frac{12}{x-8}\) = -1
\(\frac{12}{3}\) = -1(x – 8)
4 = -x + 8
x = 8 – 4 = 4
x = 4

கேள்வி 9.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும் எனக் காட்டுக. மேலும் பிதாகரஸ் தேற்றத்தை நிறைவு செய்யுமா என ஆராய்க. (i) A(1,-4), B(2,-3) மற்றும் C(4,-7)
தீர்வு :

பிதாகரஸ் தேற்றம்.
BC² = AB² + CA²
\((\sqrt{20})^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{18})^{2}\)
20 = 2 + 18
20 = 20
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

(ii) L(0,5), M(9,12) மற்றும் (3,14)
தீர்வு :

பிதாகரஸ் தேற்றம்
LM² = NL² + MN²
\((\sqrt{130})^{2}=(\sqrt{90})^{2}+(\sqrt{40})^{2}\)
130 = 90 + 40
130 = 130
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

கேள்வி 10.
A(2.5, 3.5), B(10, -4), C(2.5-2.5) மற்றும் D(-5, 5) ஆகியன இணைகரத்தின் முனைப்புள்ளிகள் எனக் காட்டுக. தீர்வு :

AB ன் சாய்வு = \(\frac{-4-3.5}{10-2.5}=\frac{-7.5}{7.5}\) = -1
CDன் சாய்வு = \(\frac{5+2.5}{-5-2.5}=\frac{-7.5}{7.5}\) = -1
AB ன் சாய்வு = CD ன் சாய்வு
எனவே, AB, CD க்கு இணையாக உள்ளது.

AD ன் சாய்வு = CB ன் சாய்வு
AD ம் CB ம் இணை எதிர் எதிர் பக்கங்கள்
∴ ABCD இணைகரமாகும்.

கேள்வி 11.
A(2,2), B(-2, -3), C(1, -3) மற்றும் D(x,y) ஆகிய புள்ளிகள் இணைகரத்தை அமைக்கும் எனில் x மற்றும் புன் மதிப்பைக் காண்க
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட முனைகள் A (2, 2), B (-2, -3), C (1, -3) மற்றும் D (x, y) ஆகியவை இணைகரத்தை உருவாக்கும். எனவே
AB ன் சாய்வு = CD ன் சாய்வு

5x – 5 = 4y + 12
5x – 4y = 12 + 5 = 17
5x – 4y = 17 —–(1)
AD ன் சாய்வு = BCன் சாய்வு
\(\frac{y-2}{x-2}=\frac{-3+3}{1+2}\)
\(\frac{y-2}{x-2}=\frac{0}{3}\)
3(y – 2) = 0(x – 2)
3y-6 = 0
÷ by 3 = y – 2 = 0
y = 2
y = 2 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
5x – 4(2) = 17
5x – 8 = 17
5x = 17 + 8 = 25
x = \(\frac{25}{5}\)
x = 5
x ன் மதிப்பு 5, y ன் மதிப்பு 2

கேள்வி 12.
A(3,-4), B(9,-4) , C(5,-7) மற்றும் D(7,-7) ஆகிய புள்ளிகள் ABCD என்ற சரிவகத்தை அமைக்கும் எனக் காட்டுக.
தீர்வு :

AB ன் சாய்வு = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-4+4}{9-3}\) = 0
DCன் சாய்வு = \(\frac{-7+7}{5-7}\) = 0
AB ன் சாய்வு = DCன் சாய்வு
எனவே AB மற்றும் DC இணையாக உள்ளது

BD ன் தொலைவு = \(\sqrt{(9-7)^{2}+(-4+7)^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}\)
ACன் தொலைவு = BD ன் தொலைவு கொடுக்கப்பட்ட நான்கு புள்ளிகளும் சரிவத்தை உருவாக்கும்.

கேள்வி 13.
A(-4,-2), B(5,-1), C(6,5) மற்றும் D(-7,6). ஆகியவற்றை முனைப்புள்ளிகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நடுபுள்ளிகள் ஓர் இணைகரத்தை அமைக்கும் எனக் காட்டும்.
தீர்வு :

EFன் சாய்வு = HG ன் சாய்வு
EF மற்றும் HG இணையாக உள்ளது.

EH ன் சாய்வு = FGன் சாய்வு
EH மற்றும் FG இணையாக உள்ளது.
எனவே, எதிர் எதிர் பக்கங்கள் இணையாக உள்ளது. இணைகரத்தை உருவாக்கும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.5

கேள்வி 1.
\(\frac{A B}{D E}=\frac{B C}{F D}\) எனில், ABC மற்றும் EDF எப்பொழுது ……………………. வடிவொத்தவையாக அமையும்?
அ) ∠B = ∠E
இ) ∠B = ∠D
ஆ) ∠A = ∠D
ஈ) ∠A = ∠F
தீர்வு :
ΔABC ~ ΔEDF & \(\frac{A B}{D E}=\frac{B C}{F D}\)
∠B = ∠D
விடை :
இ) ∠B = ∠D

கேள்வி 2.
ΔLMN,யில் ∠L = 60°, ∠M = 50° மேலும் ΔLMN ~ ΔPQR எனில் யின் மதிப்பு
அ) 40°
ஆ) 70°
இ) 30°
ஈ) 110°
தீர்வு :
In ΔLMNல், ∠L + ∠M + ∠N = 180°
60 + 50 + ∠N = 180°
∠N = 70°
மற்றும் ΔLMN ~ ΔPQR
∴ ∠R = ∠N = 70°
விடை :
ஆ) 70°

கேள்வி 3.
இருசமபக்க முக்கோணம் ΔABC யில் ∠C = 90° மற்றும் AC = 5 செ.மீ எனில் AB ஆனது
அ) 2.5 செ.மீ
ஆ) 5 செ.மீ
இ) 10 செ.மீ
ஈ) 5√2 செ.மீ
தீர்வு :

கணக்கின் படிAC = BC = 5 செ.மீ
= AC² + BC²
= 25 + 25
= 50
∴ AB = 5√2
விடை :
ஈ) 5√2

கேள்வி 4.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் ST||QR, PS = 2 செ.மீ மற்றும் SQ = 3 செ.மீ, APQR யின் பரப்பளவுக்கும் APQR யின் பரப்பளவுக்கும் உள்ள விகிதம்
அ) 25 : 4
ஆ) 25 : 7
இ) 25 : 11
ஈ) 25 : 13
தீர்வு :

விடை :
அ) 25 : 4

கேள்வி 5.
இரு வடிவொத்த முக்கேணங்கள் ΔABC மற்றும் ΔPQR யின் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ மற்றும் 24 செ.மீ ஆகும். PQ = 10 செ.மீ எனில், AB யின் நீளம்
அ) 6\(\frac{2}{3}\) செ.மீ
ஆ) \(\frac{10 \sqrt{6}}{3}\) செ.மீ
இ) 66 \(\frac{2}{3}\) செ.மீ
ஈ) 15 செ.மீ
தீர்வு :
ΔABC ன் சுற்றளவு
= AB + BC + CA = 36 செ.மீ
ΔPQRன் சுற்றளவு
= PR + QR + RP = 24 செ.மீ
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}}{\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{PR}}\)
∴ ΔABC ~ ΔPQR
∴ \(\frac{A B}{10}=\frac{36}{24}\)
AB = \(\) x 10 = 15 செ.மீ
விடை :
ஈ) 15 செ.மீ

கேள்வி 6.
ΔABC,யில் DE||BC. AB = 3.6செ.மீ, AC = 2.4 செ.மீ மற்றும் AD = 2.1 செ.மீ எனில், AE யின் நீளம்
அ) 1.4 செ.மீ
ஆ) 1.8 செ.மீ
இ) 1.2செ.மீ
ஈ) 1.05 செ.மீ
தீர்வு :
ΔABC ல், DE||BC
∴ By BPT, \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}}\)
⇒ \(\frac{3.6}{2.1}=\frac{2.4}{\mathrm{AE}}\)
∴ AE = 2.4 x \(\frac{2.1}{3.6}\) = 1.4
விடை :
அ) 1.4 செ.மீ

கேள்வி 7.
ΔABC யில், AD ஆனது, ∠BAC யின் இருசமவெட்டி, AB = 8 செ.மீ, BD = 6 செ.மீ மற்றும் DC = 3 செ.மீ எனில், பக்கம் AC யின் நீளம்
அ) 6 செ.மீ
ஆ) 4 செ.மீ
இ) 3 செ.மீ
ஈ) 8 செ.மீ
தீர்வு :
கோண இருசமவெட்டி தேற்றப்படி
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\)
\(\frac{8}{\mathrm{AC}}=\frac{6}{3}\)
∴ AC = 8 x \(\frac { 3 }{ 6 }\) = 4 செ.மீ
டை :
ஆ) 4 செ.மீ

கேள்வி 8.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் ∠BAC, = 90° மற்றும் AD BC எனில்,
அ) BD. CD = BC²
ஆ) AB.AC = BC²
இ) BD.CD = AD²
ஈ) AB.AC = AD²
தீர்வு :

1), 2), 4) என்ப ன தவறு
3) சரியானது ஏனெனில் BD.CD = AD²
\(\frac{B D}{A D}=\frac{A D}{C D}\)
விடை :
இ) BD.CD = AD²

கேள்வி 9.
6மீமற்றும் 11 மீ உயரமுள்ள இருகம்பங்கள் சமதளத் தரையில் செங்குத்தாக உள்ளன. அவற்றின் அடிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு 12 மீ எனில் அவற்றின் உச்சிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு என்ன ?
அ) 13 மீ
ஆ) 14 மீ
இ) 15 மீ
ஈ) 12.8 மீ

தீர்வு :
AC² = AB² + BC²
= 5² + 12² = 169
AC = 13
விடை:
அ) 13 செ.மீ

கேள்வி 10.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் PR = 26செ.மீ, QR = 24செ.மீ, ∠PAQ = 90°, PA = 6 செ.மீ மற்றும் QA = 8செ.மீ எனில் ∠PQR ஐக் காண்க.
அ) 80°
இ) 75°
ஆ) 85°
ஈ) 90°
தீர்வு :

படத்தில் APQR செங்கோண முக்கோணம்
PR² = PQ² + RQ²
POR = 90°
விடை :
ஈ) 90°

கேள்வி 11.
வட்டத்தின் தொடுகோடும் அதன் ஆரமும் செங்குத்தாக அமையும் இடம்
அ) மையம்
ஆ) தொடு புள்ளி
இ) முடிவிலி
ஈ) நாண்
விடை :
ஆ) தொடுபுள்ளி

கேள்வி 12.
வட்டத்தின் வெளிப்புறப் பள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வெளியேயுள்ள புள்ளி P யிலிருந்து வட்டத்திற்கு எத்தனை தொடுகோடுகள் வரையலாம்?
அ) ஒன்று
ஆ) இரண்டு
இ) முடிவற்ற எண்ணிக்கை
ஈ) பூஜ்ஜியம்
விடை :
ஆ) இரண்டு

கேள்வி 13.
O வை மையமாக உடைய வட்டத்திற்கு, வெளியேயுள்ள புள்ளி யிலிருந்து வரையப்பட்ட தொடுகோடுகள் PA மற்றும் PB ஆகும். ∠APB = 70° எனில் ∠AOB யின் மதிப்பு
அ) 100°
ஆ) 110°
இ) 120°
ஈ) 130°
தீர்வு :

நாற்கரம் AOBP ல்
∠A = ∠B = 90°
கணக்கின்படி ∠APB = 70°
∴ ∠AOB = 360° – (90 + 90 + 70) = 110°
விடை :
ஆ) 1100

கேள்வி 14.
படத்தில் O வை மையமாக உடைய வட்டத்தின் தொடுகோடுகள் CP மற்றும் CQ ஆகும். ARB ஆனது வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளி R வழியாகச் செல்லும் மற்றொரு தொடுகோடு ஆகும். CP = 11 செ.மீ மற்றும் BC = 7 செ.மீ., எனில் BR யின் நீளம்
அ) 6 செ.மீ
ஆ) 5 செ.மீ
இ) 8 செ.மீ
ஈ) 4 செ.மீ
தீர்வு :

படத்தில் CQ = CP
CB + BQ = 11 செ.மீ
7 + BQ =11
BO = 4
மேலும் BR = BQ
= 4 செ.மீ
விடை :
இ) 4 செ.மீ

கேள்வி 15.
படத்தில் உள்ளவாறு O – வை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் தொடுகோடு PR எனில் ∠POQ ஆனது
அ) 1200
அ) 1200
இ) 1100
ஆ) 1000
ஈ) 900
தீர்வு :
∠PAQ
= 180° – (30 + 30)
= 120° – 60°
= 120°
விடை :
120°

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.1

கேள்வி 1.
கீழே கொடுக்கப்பட்டவற்றில் எந்த முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை என்பதைச் சோதிக்கவும். மேலும் X-யின் மதிப்பு காண்க.


தீர்வு :
i) ΔAED, ΔACB ல்

∴ ΔAED ஆனது ΔACD – க்கு வடிவொத்தவை அல்ல

ii) ΔABC, ΔPQC இவற்றில்
∠A, ∠C பொது
∴ AA விதிமுறைப்படி
ΔABC ~ ΔPQC
மற்றும் ∠B = ∠PQC = 70°
∴ AB ஆனது PQ க்கு இணை
∴ PQ = \(\frac{\mathrm{AB}}{2}=\frac{5}{2}\)
x = 2.5

கேள்வி 2.
ஒரு பெண் விளக்கு கம்பத்தின் அடியிலிருந்து 6.6 மீ தொலைவிலுள்ள கண்ணாடியில் விளக்கு கம்பத்தின் உச்சியின் பிரதிலிப்பைக் காண்கிறாள். 1.25 மீ உயரமுள்ள அப்பெண் கண்ணாடியிலிருந்து 2.5 மீ தொலைவில் நிற்கிறாள். கண்ணாடியானது வானத்தை நோக்கி வைக்கப்பட்டுள்ளது. அப்பெண், கண்ணாடி மற்றும் விளக்கு கம்பம் ஆகியவை எல்லாம் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைவதாக எடுத்துக் கொண்டால், விளக்குக் கம்பத்தின் உயரத்தைக் காண்க.
தீர்வு :

படத்திலிருந்து, \(\frac{x}{1.5}=\frac{87.6}{0.4}\)
⇒ x = \(\frac{87.6}{0.4}\) x 1.5
= 328.5 மீ

கேள்வி 3.
6 மீ உயரமுள்ள செங்குத்தாக நிற்கும் கம்பமானது தரையில் 400 செ.மீ நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. ஒரு கோபுரமானது 28மீ நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. கம்பம் மற்றும் கோபுரம் ஒரே நேர்கோட்டில் அமைவதாகக் கருதி வடிவொத்த தன்மையைப் பயன்படுத்தி, கோபுரத்தின் உயரம் காண்க.
தீர்வு :

படத்தில் ∠ABC = ∠PQR = 90°
∠ACB = ∠PRQ
ΔBCA ~ ΔQRP
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\)
\(\frac{6}{x}=\frac{4}{28}\)
⇒ 4x = 6 x 28
x = \(\frac{6 \times 28}{4}\)
= 42மீ

கேள்வி 4.
QR ஐ அடிபக்கமாகக் கொண்ட இரு முக்கோணங்கள் QPR மற்றும் QSRயின் புள்ளிகள் P மற்றும் S யில் செங்கோணங்களாக அமைந்துள்ளன. இரு முக்கோணங்களும் QR யின் ஒரே பக்கத்தில் அமைந்துள்ளன. PR மற்றும் SQ என்ற பக்கங்கள் T என்ற புள்ளியில் சந்திக்கின்றன எனில், PT X TR = ST x TQ என நிறுவுக.
தீர்வு :

ΔPQT, ΔTSR இவற்றில்
∠P = ∠S = 90° மற்றும்
∠PTO = ∠STR (குத்தெதிர் கோணங்கள்)
∴ AA விதிமுறைப்படி
ΔPQT ~ ΔTSR
∴ \(\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{TR}}=\frac{\mathrm{PT}}{\mathrm{TS}}\)
⇒ QT × TS = PT × TR

கேள்வி 5.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், C ஐ செங்கோணமாகக் கொண்ட Δ ABC யில் DE ⊥ AB எனில் ΔABC ~ ΔADE என நிரூபிக்க . மேலும் AE மற்றும் DE ஆகியவற்றின் நீளங்களைக் காண்க.
தீர்வு :
∠A பொது
∠AED = ∠BCA = 90°

∴ AA விதிமுறைப்படி
ΔABC ~ ΔADE மற்றும்
AB² = AC² + BC²
= 5² + 12²
= 25 + 144 = 169°
AB = 13
ΔABC ~ΔADE

கேள்வி 6.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், ΔACB ~ ΔAPQ. BC = 8 செ.மீ, PQ = 4 செ.மீ, BA = 6.5 செ.மீ மற்றும் AP = 2.8 செ.மீ எனில் CA மற்றும் AQ யின் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு :
ΔACB ~ ΔAPQ
\(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AP}}\)
\(\frac{8}{4}=\frac{C A}{2.8}\)
= CA = \(\frac { 8 }{ 4 }\) x 2.8
= 5.6 செ.மீ
மற்றும் \(\frac{B C}{P Q}=\frac{B A}{A Q}\)
⇒ \(\frac{8}{4}=\frac{6.5}{\mathrm{AQ}}\)
⇒ AQ = 6.5 x \(\frac{4}{8}\)
= 3.25 செ.மீ

கேள்வி 7.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் OPQR ஆனது சதுரம் மற்றும் ∠MLN = 90° எனில், கீழ்க்கண்டவற்றை நிரூபிக்கவும். i) ΔLOP ~ ΔQMO
ii) ΔLOP ~ ΔRPN
iii) ΔQMO ~ ΔRPN
iv) QR² = MQ x RN

தீர்வு : i) ΔLOP, ΔQMO இவற்றில்

[ ∵ ஒத்த கோணங்கள் சமம்]
∴ ΔLOP ~ ΔQMO

ii) ΔLOP, ΔRPN இவற்றில்

[ ∵ ஒத்த கோணங்கள் சமம்]
∴ ΔLOP ~ ΔRPN

iii) (i) & (ii) லிருந்து
ΔLOP ~ ΔQMO & ΔLOP ~ ΔRPN
∴ ΔQMO ~ ΔRPN

iv) ΔQMO ~ ΔRPN
QO × RP = MQ × RN
⇒ QR² = MQ x RN [∵ OPQR சதுரம்]

கேள்வி 8.
ΔABC ~ ΔDEF – ல் , Δ ABC யின் பரப்பு 9 செ.மீ² ΔDEF யின் பரப்பு 16 செ.மீ 2 மற்றும் BC=2.1 செ.மீ எனில், EFயின் நீளம் காண்க.
தீர்வு :
கணக்கின் படி ΔABC ~ ΔDEF
இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம்.

= 9 × EF² = 16 × (2.1)²
∴ EF² = \(\frac{16 \times(2.1)^{2}}{9}\)
= 7.84
∴ EF = 2.8 செ.மீ

கேள்வி 9.
6மீ மற்றும் 3மீ உயரமுள்ள இரண்டு செங்குத்தான தூண்கள் AC என்ற தரையின் மேல் படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு ஊன்றப்பட்டுள்ளது எனில் , y யின் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
WKT தூண்களின் உச்சியிலிருந்து எதிரேயுள்ள தூண்களின் அடிக்கு வரையப்படும் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் உயரமானது \(\frac{a b}{a+b}\) மீ ஆகும்.
∴ y = \(\frac{6 \times 3}{6+3}\)
= \(\frac{18}{9}\) = 2மீ

கேள்வி 10.
கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் POR – யின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac { 2 }{ 3 }\) அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \(\frac { 2 }{ 3 }\) < 1).
தீர்வு :

வரைமுறை :

1. ஏதேனும் ஒரு அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக.
2. QR என்ற கோட்டுத் துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு, QX என்ற கதிரை P என்ற முனைப்புள்ளிக்கு எதிர்திசையில் வரைக.
3. QX ன் மீது Q₁, Q₂, Q₃ என்ற மூன்று புள்ளிகளை QQ₁ = Q₁Q₂ = Q₂Q₃ என்றவாறு குறிக்கவும்.
4. Q₃R ஐ இணைத்து Q₂, யிலிருந்து Q₃R க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. இது QR ஐ R’ல் சந்திக்கிறது.
5. R’ லிருந்து RP க்கு இணையாக வரையப்படும் கோடு QP ஐ P’ ல் சந்திக்கிறது. ΔP’QR’ ன் பக்கங்கள் ΔPQRன் ஒத்த பக்கங்களின் அளவில் \(\frac { 2 }{ 3 }\) ஆகும்.
6. ΔP’QR’ ஆனது தேவையான வடிவவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

கேள்வி 11.
கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் LMN ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac { 4 }{ 5 }\) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரையக.(அளவு காரணி \(\frac { 4 }{ 5 }\) < 1).
தீர்வு :

வரைமுறை :

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔLMN வரைக.
2. MN என்ற கோட்டுத் துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு, MX என்ற கதிரை L என்ற முனைப்புள்ளிக்கு எதிர் திசையில் வரைக.
3. MX – யின் மீது M₁, M₂, M₃, M₄, M₅; என்ற 5 புள்ளிகளை MM₁ = M₁M₂ = M₂M₃ = M₄M₅ என்றவாறு குறிக்க.
4. M₅N – ஐ இணைத்து M, லிருந்து M₅N க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. இது MN – ஐ N’ல் சந்திக்கும்.
5. N’ லிருந்து NL க்கு இணையாக வரையப்படும் கோடு LM ஐ L’ல் சந்திக்கும். ΔL’MN’ ன் பக்கங்கள் ΔLMN ன் ஒத்த பக்கங்களின் அளவில் 5 ல் 4 பங்கு ஆகும்.
6. ΔL’MN’ ஆனது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

கேள்வி 12.
கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ABC யின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac { 6 }{ 5 }\) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \(\frac { 6 }{ 5 }\) > 1).

வரைமுறை :

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔABC வரைக
2. BC என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு BX என்ற கதிரை A என்ற முனைப்புள்ளிக்கு எதிர் திசையில் வரைக.
3. BX – ன் மீது B₁, B₂, B₃, B₄, B₅, B₆, என்ற 6 புள்ளிகளை BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₄B₅ = B₅B₆
   என்றவாறு குறிக்க.
4. B₅ ஐ புள்ளி ( வுடன் இணைக்க . B₅C க்கு இணையாக B₆ லிருந்து = வரையப்படும் கோடு BC ஐ C’ ல் சந்திக்கிறது.
5. ΔA’BC’ ஆனது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

கேள்வி 13.
கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac { 7 }{ 3 }\) என்றவாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \(\frac { 7 }{ 3 }\) > 1)
தீர்வு :

வரைமுறை :

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக்கொண்டு ΔPQR வரைக.
2. QR – ல் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX
3. QX ன் மீது Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅, Q₆, Q₇ ஐ குறிக்க
4. Q₃R ஐ இணை Q₃R R’க்கு இணையாக Q₇ – லிருந்து வரையப்படும் கோடு QR ஐ R-ல் சந்திக்கும்.
5. Rலிருந்து PR க்கு இணையாக வரையப்படும் கோடு PQ ஐ P’ல் சந்திக்கும்.
6. ΔP’QR’ ன்பக்கங்கள் ΔPQR ன் ஒத்த பக்கங்களின் அளவில் \(\frac { 7 }{ 3 }\) பங்கு
7. ΔP’QR’ தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

அடிப்படை விகிதச்சம் தேற்றம் (or) தேல்ஸ் தேற்றம்
கூற்று: ஒரு நேர்க்கோடு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாகவும் மற்ற இரு பக்கங்களை வெட்டுமாறும் வரையப்பட்டால் அக்கோடு அவ்விரண்டு பக்கங்களையும் சம விகிதத்தில் பிரிக்கும்.
நிரூபணம் :

கொடுக்கப்பட்டவை : ΔABCல், AB ன் மீது D ம், ACன் மீது E ம் உள்ளது.
அமைப்பு : DE|| BC வரைக
நிரூபிக்க : \(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)

கோண இருசமவெட்டி தேற்றம்

கூற்று :
ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் உட்புற இருசம வெட்டியானது அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை உட்புறமாக அக்கோணத்தினை அடக்கிய பக்கங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.
கொடுக்கப்பட்டவை : ΔABC ல், AD என்பது ∠A ன் உட்புற இருசமவெட்டி
நிரூபிக்க : \(\frac{A B}{A C}=\frac{B D}{C D}\)
அமைப்பு : AB க்கு இணையாக C வழியாக CE வரைக்