Laxmi

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.5

கேள்வி 1.
(-5,0) , (0,-5) மற்றும் (5,0) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு
அ) 0 ச.அலகுகள்
ஆ) 25 ச. அலகுகள்
இ) 5 ச.அலகுகள்
ஈ) எதுவும் இல்லை
தீர்வு :

= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[(+25) – (-25)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[25 + 25]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 50
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)
= 25 ச. அலகுகள்.
விடை :
ஆ) 25 ச. அலகுகள்.

கேள்வி 2.
ஒரு சுவரின் அருகே நடந்து சென்று கொண்டிருக்கும் ஒரு நபருக்கும் சுவருக்கும் இடையே உள்ள தூரம் 10 அலகுகள் சுவரை Y அச்சாகக் கருதினால், அந்த நபர் செல்லும் பாதை என்பது
அ) x = 10
ஆ) y = 10
இ) x = 0
ஈ) y = 0
தீர்வு :

விடை :
அ ) x = 10

கேள்வி 3.
x = 11 எனக் கொடுக்க நேர்கோட்டின் சமன்பாடானது
அ) X அச்சுக்கு இணை
ஆ) Y அச்சுக்கு இணை
இ) ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும்
ஈ) (0,11) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும்
தீர்வு :

விடை :
ஆ) Y – அச்சுக்கு இணை

கேள்வி 4.
(5,7), (3,p) மற்றும் (6,6) என்ப ன ஒரு கோடமைந்தவை எனில் முன் மதிப்பு \
அ) 3
ஆ) 6
இ) 9
ஈ) 12
தீர்வு :
AB ன் சாய்வு = BC ன் சாய்வு
\(\frac{p-7}{3-5}=\frac{6-p}{6-3}\)
\(\frac{p-7}{-2}=\frac{6-p}{3}\)
3(p-7) = -2(6-p)
3p-21 = -12+2p
3p-2p = -12+21
p = 9
விடை :
இ) 9

கேள்வி 5.
3x – y = 4 மற்றும் x +y = 8 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி
அ) (5,3)
ஆ) (2,4)
இ) (3,5)
ஈ) (4,4)
தீர்வு :

x = 3 ஐ சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிட
3x – y = 4
3(3) – y = 4
9 – y = 4
9 – 4 = y
5 = y
விடை :
இ) (3, 5)

கேள்வி 6.
(12,3), (4,a) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு 1/8 எனில் ‘a’ ன் மதிப்பு
அ) 1
ஆ) 4
இ) -5
ஈ) 2
தீர்வு :

விடை :
ஈ) 2

கேள்வி 7.
(0,0) மற்றும் (-8,8) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு
அ) -1
ஆ) 1
இ) 1/3
ஈ) -8
தீர்வு :
m = \(\frac{8-0}{-8-0}=\frac{8}{-8}\) = -1
m₁ = -1
m₁ x m₂ = -1
-1 x m₂ = -1
m₂ = 1
விடை :
ஆ) 1

கேள்வி 8.
கோட்டுத்துண்டு PQன் சாய்வு \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) எனில், PQ க்கு செங்குத்தான இரு சம வெட்டியின் சாய்வு
அ) √3
ஆ) – √3
இ) 1/√3
ஈ) 0
தீர்வு :
m₁ = 1/√3
m₁ x m₂ = -1
1/√3 x m₂ = -1
m₂ = – √3
விடை :
ஆ) – √3

கேள்வி 9.
Y அச்சில் அமையும் புள்ளி A யின் செங்குத்துத் தொலைவு 8 மற்றும் X அச்சில் அமையும் புள்ளி B யின் கிடைமட்டத் தொலைவு 5 எனில், AB என்ற நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
அ) 8x + 5y = 40
ஆ) 8x -5y = 40
இ) x = 8
ஈ) y = 5
தீர்வு :
A புள்ளி (0, 8), B புள்ளி (5, 0)
\(\frac{y-8}{0-8}=\frac{x-0}{5-0}\)
\(\frac{y-8}{-8}=\frac{x}{5}\)
5(y – 8) = -8×1
8x + 5y – 40 = 0
8x + 5y = 40
விடை :
அ) 8x+5y = 40

கேள்வி 10.
7x -3y + 4 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகவும், ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு.
அ) 7x -3y + 4 = 0
ஆ) 3x -7y + 4 = 0
இ) 3x + 7y = 0
ஈ) 7x -3y = 0
தீர்வு :
தேவையான நேர்கோடானது 7x – 3y + 4 = 0
விற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.
தேவையான நேர்கோடானது 3x + 7y + k = 0
(0,0) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
⇒ 0 + 0 + k = 0 ⇒ k = 0
தேவையான நேர்கோடானது 3x + 7y = 0
விடை :
இ) 3x + 7y = 0

கேள்வி 11.
i) l₁ ; 3y = 4x + 5
ii) l₂,; 4y = 3x – 1
iii) l₃, 4y + 3x = 7
iv) l₄4x + 3y = 2
அ) l₁ மற்றும், l₂ செங்குத்தானவை
ஆ) l₁ மற்றும், l₄ இணையானவை
இ) l₂ மற்றும் l₄ செங்குத்தானவை
ஈ) l₂ மற்றும் l₃ இணையானவை
எனக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு நேர்கோடுகளுக்குக் கீழ்கண்ட கூற்றுகளில் எது உண்மை ?
தீர்வு :
l₂ ; 3x – 4y – 1 = 0
l₄ ; 4x + 3y – 2 = 0

விடை :
இ) l₂ மற்றும் l₄ செங்குத்தானவை அல்ல.

கேள்வி 12.
8y = 4x + 21 என்ற நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டிற்கு கீழ்கண்டவற்றில் எது உண்மை ?
அ) சாய்வு 0.5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 2.6
ஆ) சாய்வு 5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 1.6
இ) சாய்வு 0.5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 1.6
ஈ) சாய்வு 5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 2.6
தீர்வு :
8y = 4x + 21
y = \(\frac{4}{8} x+\frac{21}{3}\)
y = \(\frac{1}{2} x+\frac{21}{3}\)
y = 0.5x + 2.6
m = 0.5, c = 2.6
விடை :
அ) சாய்வு 0.5 மற்றும் y வெட்டுதுண்டு 2.6

கேள்வி 13.
ஒரு நாற்கரமானது ஒரு சரிவகமாக அமையத் தேவையான நிபந்தனை
அ) இரு பக்கங்களின் இணை
ஆ) இரு பக்கங்கள் இணை மற்றும் இரு பக்கங்கள் இணையற்றவை.
இ) எதிரெதிர் பக்கங்கள் இணை
ஈ) அனைத்து பக்கங்களும் சமம்.
தீர்வு :

விடை :
ஆ) இரு பக்கங்கள் இணை மற்றும் இரு பக்கங்கள் இணையற்றவை.

கேள்வி 14.
சாய்வைப் பயன்படுத்தி நாற்கரமானது ஓர் இணைகரமாக உள்ளது எனக் கூற நாம் காண வேண்டியவை.
அ) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள்
ஆ) இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்
இ) அனைத்துப் பக்கங்களின் நீளங்கள்
ஈ) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள் மற்றும் நீளங்கள்
தீர்வு :
இணைகரத்தின் பண்பின் படி, பக்கங்களின் சாய்வுகள்.
விடை :
அ ) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள்

கேள்வி 15.
(2, 1) ஐ வெட்டுப் புள்ளியாகக் கொண்ட இரு நேர்கோடுகள்.
அ) x – y -3 = 0; 3x – y -7 = 0
ஆ) x +y = 3; 3x +y = 7
இ) 3x +y = 3;x +y=7
ஈ) x + 3y -3 = 0; x – y -7 = 0
தீர்வு :

x = \(\frac{-4}{-2}\) = 2
x = 2
x = 2 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
x + y = 3
2 + y = 3
y = 3 – 2
y = 1
வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி (1, 2)
விடை :
ஆ) x + y = 3; 3x + y = 7

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.4

கேள்வி 1.
பின்வரும் நேர்கோடுகளின் சாய்வைக் காண்க.
(i) 5y – 3 = 0,
(ii) 7x – \(\frac{3}{17}\) = 0
தீர்வு :
(i) 5y – 3 = 0,

(ii) 7x – \(\frac{3}{17}\) = 0
m = \(\frac{-7}{0}\) = ∞ = வரையறுக்கப்படாதது.

கேள்வி 2.
(i) y = 0.7x – 11 க்கு இணையாக
(ii) x = -11 க்கு செங்குத்தாக அமையும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடானது y = 0.7x – 11
⇒ 0.7x – y – 11 = 0
m = \(\frac{-0.7}{-1}\) = 0.7
இணை கோடுகளின் சாய்வு சமம் என்பதால் 0.7x-y-11 = (0 க்கு இணையாக உள்ள நேர்கோட்டின் சாய்வு 0.7

(ii) கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு x =-11
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு x = -11
⇒ x + 0y + 11 = 0
m= \(\frac{-1}{0}\) = வரையறுக்க முடியாது.
நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருந்தால் அதன் பெருக்கல் பலன் (-1) ஆகும்.
ஆனால், இங்கே சாய்வானது வரையறுக்க முடியாத நிலையில் உள்ளது.

கேள்வி 3.
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகள் இணையானவையா அல்லது செங்குத்தானவையா எனச் சோதிக்கவும்.
(i) \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}+\frac{1}{7}\) = 0 மறும் \(\frac{2 x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{1}{10}=0\)
தீர்வு :

இங்கே இரு நேர்கோடுகளின் சாய்வுகள் சமமாக உள்ளது.m₁ = m₂ எனவே, இரு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று இணையானது.

(ii) 5x +23y+14 = 0 மற்றும் 23x -5y +9 = 0
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 5x + 23y + 14 = 0
m₁ = \(\frac{-5}{23}\)
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 23x – 5y + 9 = 0
m₂ = \(\frac{-23}{-5}=\frac{23}{5}\)
இங்கே இரண்டு நேர்கோடுகளும் m₁ x m₂ = -1
m₁ x m₂ = \(\frac{-5}{23} \times \frac{23}{5}\) = =-1 என்பதை நிரூபிக்கிறது. எனவே இரண்டு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குதாக உள்ளது.

கேள்வி 4.
12y = -(p + 3)x +12, 12x -7y = 16 ஆகிய நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் ‘p’ ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 12y = -(p + 3)x + 12
12y = -(p + 3)x + 12
(p + 2)x + 12y – 12 = 0
m₁ = \(\frac{-(p+3)}{12}\)
கொடுக்கப்பட்ட மற்றொரு நேர்கோடு 12x – 7y = 16
12x – 7y – 16 = 0
m₂ = \(\frac{-12}{7}=\frac{12}{7}\)
இரண்டு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் m₁ x m₂ = -1 \(\frac{-(p+3)}{12} \times \frac{12}{7}\) = -1
-(p + 3) = -7
p + 3 = 7
p = 7 – 3 = 4
p = 4

கேள்வி 5.
Q(3, 2) மற்றும் R(-5, 4) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டிற்கு இணையானதும், P(-5,2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

Q(3, -2), R(-5, 4)
ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac{y+2}{4+2}=\frac{x-3}{-5-3}\)
\(\frac{y+2}{6}=\frac{x-3}{-8}\)
-8(y + 2) = (x – 3)6
-8y – 16 = 6x – 18
8y + 16 – 6x – 18 = 0
6x + 8y – 2 = 0
÷by 2 ⇒ = 3x+4y-1 = 0 —–(1)
தேவையான நேர்கோடானது சமன்பாடு (1)க்கு இணையாக உள்ளது. எனவே, தேவையான சமன்பாடு 3x + 4y + k = 0 —–(2)
(-5, 12) புள்ளி வழி செல்கிறது.
3(-5) + 4(2) + k = 0
-15 + 8 + k = 0
-7 + k = 0
k = 7
தேவையான நேர்கோடானது 3x + 4y + 7 = 0

கேள்வி 6.
(6,7) மற்றும் (2,-3) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தானதும் (6,-2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:

(6,7) மற்றும் (2,-3) ஆகியவற்றை முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு,
\(\frac{y-7}{-3-7}=\frac{x-6}{2-6}\)
\(\frac{y-7}{-10}=\frac{x-6}{-4}\)
-4(y – 7) = -10(x – 6)
-4y + 28 = -10x + 60
10x – 60 – 4y + 28 = 0
10x – 4y – 32 = 0
÷ by 2 ⇒ 5 – 2y – 16 = 0 —–(1)
தேவையான நேர்கோடானது சமன்பாடு (1) தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
2x + 5y + k = 0
(6, 2) என்ற புள்ளி வழி செல்கிறது
2(6) + 3(-2) + k = 0
12 – 10 + k = 0
2 + k = 0
k = -2
தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு
2x + 5y – 2 = 0

கேள்வி 7.
ΔABC யின் முனைகள் A(-3, 0), B(10,-2) மற்றும் C(12, 3) எனில், A மற்றும் B யிலிருந்து முக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க
தீர்வு :

படத்தின் AD மற்றும் BE ஆனது குத்துகோடுகள் ஆகும்.
A(-3, 0), B(10, -2) மற்றும் C(12, 3)
i) BC சாய்வு m₁ = \(\frac{3+2}{12-10}=\frac{5}{2}\)
m₁ = \(\frac{5}{2}\)
இங்கே BC ⊥^r AD செங்குத்தாக உள்ளது.
m₁ x m₂ = -1
\(\frac{-2}{5}\) x m₂ = -1
இங்கே சாய்வு மற்றும் புள்ளி A(-3, 0) ஆகியவற்றைக் கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 0 = \(\) (x + 3)
5y = -2x – 6
2x + 6 + 5y = 0
2x + 5y + 6 = 0

ii) ACன் சாய்வு m₁ = \(\frac{3-0}{12+3}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\)
AC ⊥^r BE க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. எனில்,
m₁ x m₂ = -1
\(\frac{1}{5}\) x m₂ = -1
m₂ = -5
சாய்வு – 5 மற்றும் புள்ளி B(10,-2) நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
y – y₁ = m (x-x₁)
y + 2 = -5(x – 10)
y + 2 = -5x + 50
5x + y + 2 – 50 = 0
5x + y – 48 = 0
தேவையான குத்துகோடுகள் 2x+5y+6 = 0 5x+y-48 = 0

கேள்வி 8.
A(-4,2) மற்றும் B(6-4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் மையக் குத்துகோட்டின் சமன்பாடு காண்க.
தீர்வு :

மையக்குத்துக் கோடானது கோட்டுத்துண்டு மையப்பகுதி வழியாகவே செல்லும்.
D என்பது மையப்புள்ளி ஆகும்.
AB ன் மையப்புள்ளி
\(\left(\frac{-4+6}{2}, \frac{2-4}{2}\right)=\left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right)\) = (1,-1)
D(1, -1)
AB ன் சமன்பாடு
\(\frac{y-2}{-4-2}=\frac{x+4}{6+4}\)
\(\frac{y-2}{-6}=\frac{x+4}{10}\)
10(y – 2) = -6(x + 4)
10y – 20 = – 6x – 24
6x + 10y – 20 + 24 = 0
6x + 10y + 4 = 0
÷ by 2 = 3x+5y+2 = 0 —–(1)
தேவையான நேர்கோடானது சமன்பாடு (1) க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. எனவே தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு 5x – 3y + k = 0
D(1, -1) புள்ளி வழிச் செல்கிறது
5(1) – 3(-1) + k = 0
5 + 3 + k = 0
k = -8
தேவையான மைய நேர்கோட்டின் சமன்பாடு 5x – 3y – 8 = 0

கேள்வி 9.
7x+3y=10,5x-4y=1 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும், 13x + 5y +12 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்கு இணையாகவும் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நோகோடுகள்
7x + 3y = 10 ——(1)
5x – 4y = 1 ——(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க

x = 1
x = 1 ஐ சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிட
7x + 3y = 10
7(1) + 3y = 10
3y = 10 – 7
3y = 3
y = 1
இரு நேர்கோடுகளும் வெட்டிக்கொள்ளும் (1, 1)
தேவையான நேர்கோடானது 13x + 5y + 12 = 0
விற்கு இணையாக உள்ளது எனவே.
தேவையான நேர்கோடானது
13x + 5y + k = 0
(1, 1) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
13(1) + 5(1) + k = 0
13 + 5 + k = 10
18 + k = 0
k = -18
தேவையான நேர்கோட்டுச் சமன்பாடு
13x + 5y – 18 = 0

கேள்வி 10.
5x-6y=2,3x+2y=10 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும் 4x – 7y + 13 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகவும் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகள்
5x – 6y = 2 ——(1)
3x + 2y = 10 ——(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க

x = \(\frac{16}{7}\) ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
5x – 6y = 2
5(\(\frac{16}{7}\)) – 6y = 2
\(\frac{80}{7}\) – 6y = 2
\(\frac{80}{7}\) – 2 = 6y
\(\frac{80-14}{7 \times 6}\) = y
\(\frac{66}{7 \times 6}\) = y
y = \(\frac{11}{7}\)
இரு கோடுகளும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி
(1) & (2) is ( \(\frac{16}{7}, \frac{11}{7}\) )
தேவையான நேர்கோடானது 4x – 7y + 13 = 0
விற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.
தேவையான நேர்கோடானது 7x + 4y + k = 0
( \(\frac{16}{7}, \frac{11}{7}\) ) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
7x + 4y + k = 0

தேவையான நேர்கோடானது 13x + 5y – 18 = 0
7x + 4y – \(\frac{156}{7}\) = 0
\(\frac{49 x+28 y-156}{7}\) = 0
49x + 28y – 156 = 0

கேள்வி 11.
7x -3y = -12 மற்றும் 2y = x + 3 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியையும், 3x +y +2 = 0 மற்றும் x -2y -4 = 0 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியையும் இணைக்கும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட முதல் இரண்டு நேர்கோடுகள்
3x + y + 2 = 0 ——(1)
x – 2y – 4 = 0 ——(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க

x = 0
x = 0 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
3x + y + 2 = 0
0 + y + 2 = 0
y = -2
இரு நேர்கோடுகளும் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி (0, -2)
மற்றொரு இரண்டு நேர்கோடுகள்
7x – 3y = -12 ⇒ 7x-3y+12 = 0 —-(3)
2y = x + 3 ⇒ x – 2y + 3 = 0 —-(4)
(3) மற்றும் (4) ஐ தீர்க்க

11y – 9 =0
11y = 9
y = 9/11

இரு கோடுகளும் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி ( \(\frac{-15}{11}, \frac{9}{11}\) )

இரண்டு வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளிகளையும் முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டுச் சமன்பாடு

15 x 11(y + 2) = -31 x 11x
165(y + 2) = -341x
165y + 330 = -3418
341x +165y 330 = 0
÷by 11 ⇒ 31x – 15y + 30 = 0
தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு 31x – 15y + 30 = 0

கேள்வி 12.
8x + 3y = 18, 4x + 5y = 9 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் வழியாகவும், (5,-4) மற்றும் (-7, 6) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகள்
8x + 3y = 18 ——(1)
4x + 5y = 9 ——(2)
(1) மற்றும் (2)

y = 0 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
8x + 3y = 18
8x + 0 = 18
x = 18/8
x = 9/4
வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ள (9/4, 0)
(5, -4), (-7, 6) ஆகியவற்றை முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டின் மையப்புள்ளி

-13y = -4x – 9
4x + 13y – 9 = 10
தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு 4x + 13y – 9 = 0

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.3

கேள்வி 1.
(1,-5) மற்றும் (4,2) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி வழியாகச் செல்வதும், கீழ்க்கண்டவற்றிற்கு இணையானதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (i) X – அச்சு (ii) Y – அச்சு
தீர்வு :
(1, -5) மற்றும் (4, 2) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி
\(\left(\frac{1+4}{2}, \frac{-5+2}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}, \frac{-3}{2}\right)\)
தேவையான நேர்க்கோடானது x அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது. எனவே, θ = 0, சாய்வு
m = tan0° = 0
m = 0
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
y – y₁ = m (x – x₁)
y + \(\frac{3}{2}\) = 0 (x – \(\frac{5}{2}\)
\(\frac{2 y+3}{2}\) = 0
2y + 3 = 0
2y = -3
y = \(\frac{-3}{2}\)
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 2y + y = 0

ii) y – அச்சு
தேவையான நேர்க்கோடானது y- அச்சுக்கு
இணையாக உள்ளது. எனவே, θ = 90°
m= tanθ = tan90° = வரையறுக்கப்படாதது = \(\frac{1}{0}\)
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
y-y₁ = m (x-x₁)
y – \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{1}{0}\)(x – \(\frac{5}{2}\))
0(y – \(\frac{3}{2}\) = x – \(\frac{5}{2}\)
0 = \(\frac{2 x-5}{2}\)
0 = 2x-5
தேவையான நேர்க்கோட்டுச் சமன்பாடு 2x – 5 = 0

கேள்வி 2.
2(x -y)+ 5 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டு சமன்பாட்டின் சாய்வு, சாய்வு கோணம் மற்றும் Y வெட்டுத்துண்டு ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடு 2(x – y) + 5 = 0
2x – 2y + 5 = 0
2y = 2x + 5
y = \(\frac{2 x}{2}+\frac{5}{2}\)
y = x + \(\frac{5}{2}\)
இது y = mx+c வடிவில் உள்ளது. எனவே, சமன்படுத்தும் பொழுது,
m = 1 மற்றும் c = \(\frac{5}{2}\)
வாவாணையானவை
m = tanθ
tanθ = 1 = tan 45°
θ = 45°
y – வெட்டு = \(\frac{5}{2}\)
விடை : θ = 45°, y-வெட்டு = \(\frac{5}{2}\), m = 1

கேள்வி 3.
சாய்வு கோணம் 30° மற்றும் y – வெட்டுத்துண்டு -3 ஆகியவற்றைக் கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :
θ = 30°
சாய்வு m = tanθ = tan30°
m = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
y – வெட்டு c = -3
நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு y = mx + c
im 1

கேள்வி 4.
\(\sqrt{3} x+(1-\sqrt{3}) y=3\) என்ற நேர்க்கோட்டு சமன்பாட்டின் சாய்வு, y – வெட்டுத்துண்டு ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு :
im 2
im 3

கேள்வி 5.
(-2,3) மற்றும் (8,5) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் கோடானது, y = ax +2 என்ற நேர்க்கோட்டிற்குச் செங்குத்தானது எனில், ‘a’ ன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் (-2,3)&(8,5)
ஆகியவற்றின் சாய்வு
m₁ = \(\frac{5-3}{8+2}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)
தேவையான நேர்க்கோடானது y = ax+2 விற்கு செங்குத்தாக உள்ளது. y = ax + 2
y = ax + 2
m₂ = a
இரண்டு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக உள்ளது.
m₁ x m₂ = -1
\(\frac{1}{5}\) x a = -1 ⇒ a = -5

கேள்வி 6.
(19, 3) என்ற புள்ளியை அடியாகக் கொண்ட குன்றானது செங்கோண முக்கோண வடிவில் உள்ளது. தரையுடன் குன்று ஏற்படுத்தும் சாய்வுக்கோணம் 45° எனில் குன்றின் அடி மற்றும் உச்சியை இணைக்கும் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :
im 4
உச்சிகோணம் θ = 45°
m = tan 45° = 1
m = 1
குன்றின் அடிப்புள்ளி (19,3)
நேர்க்கோட்டு சமன்பாடு,
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 3 = (1) (x – 19)
x – 19 – y + 3 = 0
x – y – 16 = 0

கேள்வி 7.
கொடுக்கப்பட்ட இரு புள்ளிகள் வழிச்செல்லும நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
(i) ( 2, \(\frac{2}{3}\) ) மற்றும் ( \(\frac{-1}{2}\), -2)
தீர்வு :
இரு புள்ளி வடிவம் ⇒\(\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) கொடுக்கப்பட்ட இரு புள்ளிகள்
im 5
-5(3y-2) = -2×8 (x-2)
-15y+10 = -16(x-2)
-15y+10 = -16x+32
16x – 32 – 15y + 10 = 0
16x – 15y – 22 = 0
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
16x – 15y – 22 = 0

(ii) (2, 3) மற்றும் (-7,-1)
தீர்வு :
தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு
(இரு புள்ளி வடிவம்)
\(\frac{y-3}{-1-3}=\frac{x-2}{-7-2}\)
\(\frac{y-3}{-4}=\frac{x-2}{-9}\)
-9 -9(y – 3) = -4(x – 2)
-9y + 27 = -4x + 8
4x – 8 – 9y + 27 = 0
4x – 9y + 19 = 0
தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு 4x-9y+19 = 0

கேள்வி 8.
ஒரு பூனை xy தளத்தில் (-6,-4) என்ற புள்ளியில் உள்ளது. (5,11) என்ற புள்ளியில் ஒரு பால் புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளது பூனை மிகக் குறுகிய தூரம் பயணித்துப் பால் அருந்த விரும்புகிறது எனில், பாலைப் பருகுவதற்குத் தேவையான பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :
im 6
கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளை
A(-6, -4), B(5, 11) என்க
நேர்கோட்டு சமன்பாடு
\(\frac{y+4}{11+4}=\frac{x+6}{5+6}\)
\(\frac{y+4}{15}=\frac{x+6}{11}\)
11(y + 4) = 15(x + 6)
11y + 44 = 15x + 90
15x + 90 – 11y + 44 = 0
15x – 11y + 46 = 0
பாதையின் சமன்பாடு 15x – 11y + 46 = 0

கேள்வி 9.
A(6,2) , B(-5,-1) மற்றும் C(1,9) ஐ முனைகளாகக் கொண்ட AABC யின் முனை A யிலிருந்து வரையப்படும் நடுகோடு மற்றும் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :
im 7
ΔABC ல் AD ஆனது
நடுகோடு ஆகும். D ஆனது BCன் நடுப்புள்ளி எனில்,
D = \(\left(\frac{-5+1}{2}, \frac{-1+9}{2}\right)=\left(\frac{-4}{2}, \frac{8}{2}\right)\) = (-2,4)
நடுகோடு AD ன் சமன்பாடு A(6,2), D (-2,4).
\(\frac{y-2}{4-2}=\frac{x-6}{-2-6}\)
\(\frac{y-2}{2}=\frac{x-6}{-8}\)
-8(y-2) = 2(x-6)
-8y+16 = 2x-12
2x – 12 + 8y – 16 = 0
2x+8y-28 = 0
÷ by 2 x + 4y – 14 = 0
நடுகோடு சமன்பாடு ΔABC is x + 4y – 14 = 0
ΔABC ல் AE ஆனது BC க்கு
செங்குத்தாக உள்ளது.
BCன் சாய்வு B(-5, -1), C(1, 9)
⇒ \(\frac{9+1}{1+5}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\)
m₁ = \(\frac{5}{3}\) இங்கே BC ⊥^r AE, எனில்
m₁ x m₂ = -1
\(\frac{5}{3}\) x m₂ = -1
m₂ = \(\frac{-3}{5}\)

AEன் நேர்கோட்டு சமன்பாடு, \(\frac{-3}{5}\)
புள்ளி A(6, 2)
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 2 = = (3 – 6)
5(y – 2) = -3 (x – 6)
5y – 10 = -3x + 18
3x – 18 + 5y – 10 = 0
3x + 5y – 28 = 0
குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடு 3x + 5y – 28 = 0

கேள்வி 10.
(-1,2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதும், சாய்வு \(\frac{-5}{4}\) உடையதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :
சாய்வு m = \(\frac{-5}{4}\), கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி (-1, 2) நேர்கோட்டு சமன்பாடு (புள்ளி – சாய்வு வடிவம்)
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 2 = \(\frac{-5}{4}\)(x – 6)
-4(y – 2) = 5(x + 1)
-4y + 8 = 5x + 5
5x + 5 + 4y – 8 = 0
5x + 4y – 3 = 0
தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
5x + 4y – 3 = 0

கேள்வி 11.
நீங்கள் ஒரு பாடலைப் பதிவிறக்கம் செய்யும் போது, x வினாடிகளுக்குப் பிறகு பதிவிறக்கம் செய்ய வேண்டிய மீதமுள்ள பாடலின் சதவீதம் (மெகா பைட்டில்) y ஆனது (தசமத்தில்) y = -0.1x +1 என்ற சமன்பாட்டின் மூலம் குறிக்கப்பட்டால்,
i) பாடலின் மொத்த MB அளவைக் காண்க.
ii) 75% பாடலைப் பதிவிறக்கம் செய்ய எவ்வளவு வினாடிகள் ஆகும்?
iii) எத்தனை வினாடிகள் கழித்துப் பாடல் முழுமையாகப் பதிவிறக்கம் செய்யப்படும் ?
தீர்வு :
i) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு y = -0.1x + 1
பதிவிறக்க நேரம் பூஜ்ஜியம் ஆகும்.
(i.e) x = 0
y = 1

ii) y = 75% = 0.75 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
0.75 = -0.1x + 1 0.1x
= 1 – 0.75
x = \(\frac{0.25}{0.1}\) = 2.5
x = 2.5 வினாடி

iii) எத்தனை வினாடிகள் கழித்துப் பாடல் முழுமையாகப் பதிவிறக்கம் செய்யப்படும்?
y = 0 = 0.75 சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
0 = -0.1x + 1
0.1x = 1
x = \(\frac{1}{0.1}\)
x = 10 வினாடி

கேள்வி 12.
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள x, y வெட்டுத்துண்டுகளை கொண்ட நேர்கோடுகளின் சமன்பாடுகளை காண்க. (i) 4,-6 தீர்வு :
x-வெட்டு = a = 4
y- வெட்டு = b = -6
வெட்டுதுண்டுளைக் கொண்ட நேர்கோடுகளின்
சமன்பாடு = \(\frac{x}{a}+\) = 1
\(\frac{x}{4}+\frac{y}{-6}\) = 1
\(\frac{x}{4}-\frac{y}{6}\) = 1
\(\frac{3 x-2 y}{12}\) = 1
3x – 2y = 12

(ii) – 5, \(\frac{3}{4}\)
தீர்வு :
x- வெட்டு = a = -5
y- வெட்டு = b = \(\frac{3}{4}\)
im 8
-3x + 20y = 15
x by ⇒ 3x – 20y + 15 = 0

கேள்வி 13.
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகளின் சமன்பாட்டிலிருந்து ஆய அச்சுகளின் மேல் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத் துண்டுகளைக் காண்க.
தீர்வு :
(i) 3x -2y -6 = 0
3x – 2y – 6 = 0
im 9
வெட்டுதுண்டுகளைக் கொண்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும்.
a = 2, b = -3

(ii) 4x + 3y +12 = 0
தீர்வு :
4x + 3y + 12 = 0
4x + 3y = -12
÷ by – 12
\(\frac{4 x}{-12}+\frac{3 y}{-12}=\frac{-12}{-12}\)
\(\frac{x}{(-3)}+\frac{y}{(-4)}\) = 1
÷ by – 12
\(\frac{4 x}{-12}+\frac{3 y}{-12}=\frac{-12}{-12}\)
\(\frac{x}{(-3)}+\frac{y}{(-4)}\) = 1
இங்கே a = -3, b= -4

கேள்வி 14.
நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
(i) (1-4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும், வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் 2:5
தீர்வு :
வெட்டு துண்டுகளின் விகிதம் a : b = 2 : 5
im 10
5x + 2y = 2b —–(1)
(1, -4) புள்ளி வழி நேர்கோடு செல்கிறது.
5(1) + 2(-4) = 2b
5 – 8 = 2b
\(\frac{-3}{2}\) = b
b = \(\frac{-3}{2}\) ஐ (1) ல் பிரதியிட
5x + 2y = 2b
5x + 2y = 2\(\frac{-3}{2}\)
5x + 2y + 3 = 0
5x + 2y + 3 = 0 தேவையான சமன்பாடு

(ii) (-8, 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும், ஆய அச்சுகளின் வெட்டுத்துண்டுகள் சமம்
தீர்வு :
இரு வெட்டுத் துண்டுகளும் சமம் a = b
நேர்கோடு சமன்பாடு (-8, 4)
im 11
x+y = a ——(1)
(-8, 4) என்ற புள்ளி வழி நேர்கோடு செல்கிறது
-8 + 4 = a
-4 = a
a = -4 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
x + y = a
x + y = -4
x + y + 4 = 0
தேவையான சமன்பாடு x + y + 4 = 0

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.18 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.18

கேள்வி 1.
A = \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 9 \\
3 & 4 \\
8 & -3
\end{array}\right]\) , B = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 7 \\
3 & 3 \\
1 & 0
\end{array}\right]\) எனில், பின்வருவனவற்றைச் சரிபார்க்க.
i) A + B = B + A
ii) A + (- A) = (- A) + A = 0
தீர்வு :

கேள்வி 2.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
4 & 3 & 1 \\
2 & 3 & -8 \\
1 & 0 & -4
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 3 & 4 \\
1 & 9 & 2 \\
-7 & 1 & -1
\end{array}\right]\) மற்றும் C = \(\left[\begin{array}{rrr}
8 & 3 & 4 \\
1 & -2 & 3 \\
2 & 4 & -1
\end{array}\right]\) எனில் A + (B + C) = (A + B) + C என்பதைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு :

கேள்வி 3.
X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
3 & 5
\end{array}\right]\), X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 4
\end{array}\right]\) எனில், x மற்றும் y ஆகிய அணிகளைக் காண்க.
தீர்வு :
X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
3 & 5
\end{array}\right]\) மற்றும்
X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 4
\end{array}\right]\)
(1) + (2) ⇒  2 × = \(\left[\begin{array}{cc}
10 & 0 \\
3 & 9
\end{array}\right]\)
x = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 0 \\
\frac{3}{2} & \frac{9}{2}
\end{array}\right]\)
X என்ற அணியை (1) ல் பிரதியிட

கேள்வி 4.
A = \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 4 & 9 \\
8 & 3 & 7
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{lll}
7 & 3 & 8 \\
1 & 4 & 9
\end{array}\right]\) எனில் பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
i) B – 5A
ii) 3A – 9B
தீர்வு :

கேள்வி 5.
பின்வரும் அணிச் சமன்பாடுகளில் இருந்து x, y, மற்றும் z – களின் மதிப்பைக் காண்க.
i) \(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 3 x-z \\
x+y+7 & x+y+z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 6
\end{array}\right]\)
ii) [x y – z z + 3] + [y 4 3] = [4 8 16]
தீர்வு:
i) கொடுக்கப்பட்டுள்ள அணிகள் சமம் ஒத்த
உறுப்புகள் சமம்
∴ x – 3 = 1
x = 4

3x – z = 0
3 x 4 – z = 0
z = 12

x + y + 7 = 1
4 + y + 7 = 1
y = -10

ii) [x y – 7. z + 3] + [y 4 3] = [4 8 16]
⇒ [x + y y – Z + 4 z + 6] = [4 8 16]
z + 6 = 16
z = 10

y – z + 4 = 8
y – 10 + 4 = 8
y = 14

x + y = 4
x + 14 = 4
x = -10

கேள்வி 6.
\(\mathbf{x}\left(\begin{array}{c}
4 \\
-3
\end{array}\right)+\mathbf{y}\left(\begin{array}{c}
-2 \\
3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
4 \\
6
\end{array}\right)\) எனில், x மற்றும் yன் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு :

∴ 4x – 2y = 4 மற்றும் – 3x + 3y = 6
⇒ 2x – y = 2 —(1)
– x + y = 2 — (2)
(1) & (2) ஐ கூட்ட

x = 4 ஐ (2),ல் பிரதியிட
– 4 + y = 2, y = 6
∴ x = 4
y = 6

கேள்வி 7.
\(\times\left[\begin{array}{cc}
2 x & 2 \\
3 & x
\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}
8 & 5 x \\
4 & 4 x
\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{cc}
x^{2}+8 & 24 \\
10 & 6 x
\end{array}\right]\) என்ற அணிச் சமன்பாட்டில் பூச்சியமற்ற மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
\(\times\left[\begin{array}{cc}
2 x & 2 \\
3 & x
\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}
8 & 5 x \\
4 & 4 x
\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{cc}
x^{2}+8 & 24 \\
10 & 6 x
\end{array}\right]\)

ஒத்த உறுப்பு 12x = 48
∴ x = 4

கேள்வி 8.
x, y ஜத் தீர்க்க – \(\left(\begin{array}{l}
x^{2} \\
y^{2}
\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}
-2 x \\
-y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
+5 \\
8
\end{array}\right)\)
தீர்வு :

x² – 4x = + 5 மற்றும் y² – 2y = 8
x² – 4x – 5 = 0
(x – 5) (x + 1) = 0
∴ x = – 1, 5

y² – 2y – 8 = 0
(y – 4) (y + 2) = 0
∴ y = 4, – 2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.17 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.17

கேள்வி 1.
A = \(\left[\begin{array}{cccc}
8 & 9 & 4 & 3 \\
-1 & \sqrt{7} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 5 \\
1 & 4 & 3 & 0 \\
6 & 8 & -11 & 1
\end{array}\right]\) என்ற அணியின்
i) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க
ii) அணியின் வரிசையைக் காண்க.
iii) a₂₂, a₂₃, a₂₄, a₃₄, a₄₃, a₄₄ ஆகிய உறுப்புகளை எழுதுக.
தீர்வு :
i) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை = 16
ii) அணியின் வரிசை 4 x 4
iii) a₂₂ = √7, a₂₃ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
a₂₄ = 5, a₃₄ = 0, a₄₃ = -11, a₄₄ = 1

கேள்வி 2.
18 உறுப்புகளைக் கொண்ட ஓர் அணிக்கு எவ்வகை வரிசைகள் இருக்க இயலும்? ஓர் அணியின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 6 எனில், எவ்வகை வரிசைகள் இருக்க இயலும்?
தீர்வு :
18 உறுப்புகள் கொண்ட அணியின் வரிசைகள் 1 × 18, 2 × 9, 3 × 6, 6 × 3, 9 × 2, 18 × 1
அணியின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 6 எனில் வரிசைகள் 1 × 6, 2 × 3, 3 × 2, 6 × 1

கேள்வி 3.
பின்வருவனவற்றைக் கொண்டு 3 x 3 வரிசையைக் கொண்ட அணி A =(a_ij)- யினைக் காண்க.
i) a_ij = |i – 2j|
ii) a_ij = \(\frac{(i+j)^{3}}{3}\)
தீர்வு :
i) a₁₁ = |1 – 2 x 1 = |1 – 2| = 1
a₁₂ = |1 – 2 x 2 = |1 – 4| = 3
a₁₃ = |1 – 2 x 3| = |1 – 6| = 5
a₂₁ = |2 – 2 x 1| = | 2 – 2| = 0
a₂₂ = |2 – 2 x 2 = |2 -4| = 2

a₂₃ = | 2 – 2 × 3 | = 12 – 6 | = 4
a₃₁ = | 3 – 2 × 1 | = | 3 – 2 | = 1
a₃₂ = | 3 – 2 × 2 | = | 3 – 4 | = 1
a₃₃ = | 3 – 2 × 3 | = | 3 – 6 | = 3
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 3 & 5 \\
0 & 2 & 4 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right]\)

ii)

கேள்வி 4.
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
5 & 4 & 3 \\
1 & -7 & 9 \\
3 & 8 & 2
\end{array}\right]\) எனில், A யின் நிரை நிரல் மாற்று அணியைக் காண்க.
தீர்வு :
A^T= \(\left[\begin{array}{ccc}
5 & 1 & 3 \\
4 & -7 & 8 \\
3 & 9 & 2
\end{array}\right]\)

கேள்வி 5.
A= \(\left[\begin{array}{rr}
\sqrt{7} & -3 \\
-\sqrt{5} & 2 \\
\sqrt{3} & -5
\end{array}\right]\) எனில், – A யின் நிரை நிரல் மாற்று அணியைக் காண்க.
தீர்வு :
-A = \(\left[\begin{array}{rr}
-\sqrt{7} & 3 \\
\sqrt{5} & -2 \\
-\sqrt{3} & 5
\end{array}\right]\)
-A^T = \(\left[\begin{array}{rrr}
-\sqrt{7} & \sqrt{5} & -\sqrt{3} \\
3 & -2 & 5
\end{array}\right]\)

கேள்வி 6.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
5 & 2 & 2 \\
-\sqrt{7} & 0.7 & \frac{5}{2} \\
8 & 3 & 1
\end{array}\right]\) – எனில், (A^T)^T = A என்பதனைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு :
A^T = \(\left[\begin{array}{rrr}
5 & 2 & 2 \\
-\sqrt{7} & 0.7 & \frac{5}{2} \\
8 & 3 & 1
\end{array}\right]\)
(A^T)^T = \(\left[\begin{array}{rrr}
5 & 2 & 2 \\
-\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\
8 & 3 & 1
\end{array}\right]\) = A

கேள்வி 7.
கீழ்க்காணும் சமன்பாடுகளில் இருந்து x, y மற்றும் 2 யின் மதிப்பைக் காண்க.
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
12 & 3 \\
x & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
y & z \\
3 & 5
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
x+y & 2 \\
5+z & x y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
6 & 2 \\
5 & 8
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{c}
x+y+z \\
x+z \\
y+z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
9 \\
5 \\
7
\end{array}\right]\)
தீர்வு :
i) கொடுக்கப்பட்ட அணிகள் சமம்
∴ ஒத்த உறுப்புகள் சமம்
∴ x = 5, y = 12, z = 3

ii) கொடுக்கப்பட்ட அணிகள் சமம்
∴ ஒத்த உறுப்புகள் சமம்
∴ x + y = 6 — (1)
xy = 8 — (2)
5 + z = 5
∴ z = 0

(1) ⇒ y = 6 – x
y = 6 – x ஐ (2) ல் பிரதியிட xy = 8
x (6 – x) = 8
6x – x² = 8
x² – 6x + 8 = 0
(x – 2)(x – 4) = 0
∴ x = 2 (அ) 4
x = 2 எனில் y = 4
x = 4, எனில் y = 2
∴ x, y மற்றும் 2 ன் மதிப்புகள் 4, 2, 0(or) 2, 4, 0

iii) கொடுக்கப்பட்ட அணிகள் சமம்
ஒத்த உறுப்புகள் சமம்
∴ x + y + z = 9 — (1)
x+ z = 5 — (2)
y + z = 7 — (3)
(1) ⇒ x + y + z = 9
⇒ x + 7 = 9 (3) லிருந்து
x = 2
(1) ⇒ x + y + z = 9
y + 5 = 9 (2) லிருந்து
∴ y = 4
x = 2, y = 4 ஐ (1) ல் பிரதியிட
z = 3,  ∴ x = 2
y = 4,  z = 3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.16 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 3 இயற்கணிதம் Ex 3.16

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடுகளின் வரைபடம் வரைக. அவற்றின் தீர்வுகளின்
தன்மையைக் கூறுக.
i) x² – 9x + 20 = 0
ii) x² – 4x + 4 = 0
iii) x² + x + 7 = 0
iv) x² – 9 = 0
v) x² – 6x + 9 = 0
vi) (2x – 3) (x + 2) = 0
தீர்வு :
i) x² – 9x + 20 = 0
y = x² – 9x + 20 என்க

x² – 9x + 20 = 0 என்ற இருபடி சமன்பாடு X – அச்சை இருவேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. எனவே இச்சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமல்ல.

ii) x² – 4x + 4 = 0, y = x² – 4x + 4 என்க

x² – 4x + 4 = 0 என்ற சமன்பாடு X அச்சை ஒரேயொரு புள்ளியில் வெட்டுவதால் இச்சமன்பாட்டிற்கு மெய் மற்றும் சமமான தீர்வுகள் உண்டு.

iii) x² + x +7 = 0
y = x² + x + 7 என்க

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் பரவயைமானது x அச்சை எந்தப் புள்ளியிலும் வெட்டவில்லை ஃ இச்சமன்பாடிற்கு மெய்யெண் மூலங்கள் இல்லை.

iv) x² – 9 = 0 , y = x² – 9 என்க

x² – 9 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாடு X-அச்சை இருவேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
ஃ இச்சமன்பாடிற்கு மூலங்கள் இருசமமற்ற மெய்யெண்களாக இருக்கும்.

v) x² – 6x + 9 = 0
y = x² – 6x + 9 என்க

x² – 6x + 9 = 0 என்ற சமன்பாடு X-அச்சை ஓரே புள்ளியில் வெட்டுவதால் இச்சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமான தீர்வுகள் உண்டு.

vi) (2x – 3) (x + 2) = 0
= 2x² + x -6 = 0
y = 2x² + x – 6 = 0 என்க

தீர்வு : கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு x – அச்சை இருவேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. இச்சமன்பாட்டுக்கு மெய் மற்றும் சமமல்ல என்ற மூலங்கள் இருக்கும்.

கேள்வி 2.
y = x² – 4 வரைபடம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி x² – x – 12 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = x² – 4


∴ x² – x – 12 = 0 ன் தீர்வுகள் -3, 4

கேள்வி 3.
y = x² + x – யின் வரைபடம் வரைந்து, x² + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = x² + x

y = x – 1

நேர்கோடு y = x – 1 ஆனது பரவளையம்
y = x² + x ஐ வெட்டவில்லை .
∴ x² + 1 = 0 க்கு மெய்யெண் தீர்வு இல்லை

கேள்வி 4.
y = x² + 3x + 2 – யின் வரைபடம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி x² + 2x + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = x² + 3x + 2

தீர்வு :
y = x + 1 என்ற கோடானது பரவளையம்
y = x² + 3x + 2 ஐ ஒரே ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறது.
∴ x² + 2x + 1 = 0 ன் தீர்வுகள் -1, -1

கேள்வி 5.
y = x² + 3x – 4 யின் வரைபடம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி x² + 3x – 4 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = x² + 3x – 4

y = 0 என்பது x அச்சின் சமன்பாடு
∴ x² + 3x – 4 ன் தீர்வுகள் – 4,1

கேள்வி 6.
y = x² – 5x – 6 யின் வரைபடம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி x² – 5x – 14 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = x² + 5x – 6

y = 8 ன் நேர்க்கோடு வரைய வேண்டும்.
y = 8 என்ற நேர்க்கோடானது பரவளையம் y = x² – x – 6 ஐ இரு வெவ்வேறான புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
x² – 5x – 14 = 0 ன் தீர்வுகள் – 2 மற்றும் 7

கேள்வி 7.
y = 2x² – 3x – 5 யின் வரைபடம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி 2x² – 4x – 6 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = 2x² – 3x – 5

y = x + 1 என்ற கோடானது பரவளையம் y = 2x² – 3x – 5-யை இரு வேறு புள்ளியில் வெட்டுகிறது.
∴ 2x² – 4x – 6 = 0 ன் தீர்வுகள் = (-1, 3)

கேள்வி 8.
y = (x – 1) (x + 3) -யின் வரைபடம் வரைந்து, அதனைப் பயன்படுத்தி x³ – x – 6 = 0 என்ற
சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
தீர்வு :
y = (x – 1) (x + 3)
= x² – x + 3x – 3
= x² + 2x – 3

விடை :
y = 3x + 3 என்ற கோடானது பரவளையம் y = (x – 1) (x + 3) -யை இருவேறு புள்ளியில் வெட்டுகிறது.
∴ x² – x – 6= 0 ன் தீர்வுகள் =-2, 3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.3

கேள்வி 1.
ஒரு மனிதன் 18 மீ கிழக்கே சென்று பின்னர் 24 மீ வடக்கே செல்கிறான். தொடக்க நிலையிலிருந்து அவர் இருக்கும் தொலைவைக் காண்க?
தீர்வு :

பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
தொடக்க நிலையிலிருந்து அவர் இருக்கும்
தொலைவு = \(\sqrt{18^{2}+24^{2}}\)
= \(\sqrt{324+576}\)
= \(\sqrt{900}\)
= 30மீ

கேள்வி 2.
சாராவின் வீட்டிலிருந்து ஜேம்ஸின் வீட்டிற்குச் செல்ல இரண்டு வழிகள் உள்ளன. ஒரு வழி c
என்ற தெரு வழியாகச் செல்வதாகும். மற்றொரு வழி B மற்றும் A ஆகிய தெருக்குள் வழியாகச் செல்வதாகும். நேரடி பாதை C வழி செல்லும் போது தொலைவு எவ்வளவு குறையும்? (படத்தைப் பயன்படுத்துக)
தீர்வு :

C வழிச் செல்லும் போது தூரம்
C வழிச் செல்லும் போது தூரம் = \(\sqrt{2^{2}+1.5^{2}}\)
= \(\sqrt{4+2.25}\)
= \(\sqrt{6.25}\) = 2.5
A மற்றும் B வழியாக செல்லும் போது தூரம் = 2 + 15
= 3.5மைல்ஸ்
∴ நேரடி பாதை வழிச் செல்லும் போது குறையும் தொலைவு 3.5 – 2.5 = 1 மைல்

கேள்வி 3.
A என்ற புள்ளியில் இருந்து B என்ற புள்ளிக்குச் செல்வதற்கான ஒரு குளம் வழியாக, நடந்து செல்ல வேண்டும். குளம் வழியே செல்வதைத் தவிர்க்க 34 மீ தெற்கேயும், 41 மீ கிழக்கு நோக்கியும் நடக்க வேண்டும். குளம் வழியாகச் செல்வதற்குப் பாதை அமைந்து அப்பாதை வழியே சென்றால் எவ்வளவு மீட்டர் தொலைவு சேமிக்கப்படும்?
தீர்வு :

குளம் வழியாக நடந்து சென்றால் தூரம்

குளம் வழியாக செல்வதை தவிர்த்தால்
41மீ தூரம் = 34 + 41 = 75 மீ
குளம் வழியாகச் செல்வதற்குப் பாதை அமைத்து அப்பாதை வழியே சென்றால் சேமிக்கப்படும் தொலைவு
75 – 53.26 = 21.74 மீ.

கேள்வி 4.
WXYZ, என்ற செவ்வகத்தில் XY + YZ = 17 செ.மீ மற்றும் XZ + YW = 26 செ.மீ. எனில்
செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலத்தைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு :


செவ்வகம் WXYZ ல் மூலைவிட்டங்கள் XZ, WY ஆனது சமமாகும்.
∴ XZ = WY
கணக்கின் படி XZ +WY = 26
∴ மூலைவிட்டத்தின் நீளம் = 13 செ.மீ
செவ்வகத்தின் அகலத்தை x என்க
∴ அதன் நீளம் YZ = 17 – x
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
x² + (17 – x)² = 13²
⇒ x² + x² – 34x + 289 = 169
⇒ 2x² – 34x + 120 = 0
⇒ x² – 17x + 60 = 0
(x – 12) (x – 5) = 0
∴ x = 12,5
∴ செவ்வகத்தின் நீளம் = 12 செ.மீ, அகலம் = 5 செ.மீ.

கேள்வி 5.
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் சிறிய பக்கத்தின் 2 மடங்கை விட 6 மீ அதிகம். மேலும் மூன்றாவது பக்கமானது கர்ணத்தை விட 2 மீ குறைவு எனில், முக்கோணத்தின் பக்கங்களை காண்க?
தீர்வு :

செங்கோண முக்கோணத்தின் சிறிய பக்கத்தை x என்க
∴ கர்ணம் = 2x + 6 மற்றும்
மற்றொரு பக்கம் = 2x + 6 – 2
= 2x + 4
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
x² + (2x + 4)² = (2x + 6)²
x² + 4x² + 16x + 16 = 4x² + 24x + 36
= x² – 8x – 20 = 0
(x – 10) (x + 2) = 0
∴ x = 10, – 2
x குறை எண் அல்ல, ∴x = 10
∴ செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் 10மீ, 24மீ, 26மீ.

கேள்வி 6.
5மீ நீளமுள்ள ஓர் ஏணியானது ஒரு செங்குத்து சுவர் மீது சாய்த்து வைக்கப்படுகிறது. ஏணியின்
மேல் முனை சுவரை 4 மீ உயரத்தில் தொடுகிறது. ஏணியின் கீழ்முனை சுவரை நோக்கி 1.6 மீ நகர்த்தப்படும் போது, ஏணியின் மேல்முனை சுவரில் எவ்வளவு தொலைவு மேல்நோக்கி நகரும் எனக் கண்டுபிடி.
தீர்வு :

ஏணியின் கீழ்முனை சுவரை நோக்கி 1.6 மீ நகர்த்தப்படும்
போது சுவற்றிற்கும் ஏணியின் கீழ் முனைக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு
= 3 – 1.6
= 1.4 மீ

∴ ஏணியின் மேல்முனை சுவரில் மேல்நோக்கி நகரும் தொலைவு

கேள்வி 7.
ΔPQR யில் அடிப்பக்கம் QR க்கு செங்குத்தாக உள்ள PS ஆனது, QR – ஐ S யில் சந்திக்கிறது. மேலும், QS = 3SR எனில், 2PQ² = 2PR² + QR² என நிறுவுக.
தீர்வு :

SR = X என்க
∴ QS = 3x
QR = 4x
ΔPSQ, = PQ² = PS² + (3x)²
= PS² + 9x² — (1)
ΔPSR, ல்
PR² = PS² + x² — (2)
2PR² + QR² = 2(PS² + x²) + (4x)²
= 2ps² + 2x² + 16x²
= 2ps² + 18x²
= 2(PS² + 9x²)
= 2PQ² (1 லிருந்து)

கேள்வி 8.
படத்தில், செங்கோண முக்கோணம் ABCல் கோணம் B ஆனது செங்கோணம் மற்றும் D, E என்ற புள்ளிகள் பக்கம் BC ஐ மூன்று சமபகுதிகளாக பிரிக்கிறது எனில், 8AE² = 3AC² + 5AD² என நிறுவுக.
தீர்வு :

BD = x என்க
∴ BE = 2x, BC = 3x
ΔABD ல் , AD² = AB² + BD²
= AD² = AB² + x² — (1)
இதேபோல ΔABE, AE² = AB² + BE²
= AB² + (2x)²
= AB² + 4x² — (2)
= Δ????ABCD AC² + AB² + BC²
= AB² + (3x)²
= AB² + 9x² — (3)
3AC² + 5AD² = 3(AB² + 9x² ) + (AB² + x² )
= 3AB² + 27x² + 5AB² + 5x²
= 8AB² + 32x² )
= 8(AB² + 4x² )
= 8AE² (2) லிருந்து

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 4 வடிவியல் Ex 4.2

கேள்வி 1.
ΔABC, யின் பக்கங்கள் AB மற்றும் AC – யின் மீதுள்ள புள்ளிகள் முறையே D மற்றும் E ஆனது DE || BC என்றவாறு அமைந்துள்ளது.
i) \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{3}{4}\) மற்றும் AC = 15 செ.மீ எனில்
AE யின் மதிப்பு காண்க.
ii) AD = 8x – 7, DB = 5x – 3, AE = 4x – 3 மற்றும் EC = 3x – 1 எனில் X – ன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :

i) ΔABC,ல் DE|| BC
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\) [AE = x, EC = 15 – x]
\(\frac{3}{4}=\frac{x}{15-x}\)
= 3 (15 – x) = 4x
⇒ 45 – 3x = 4x
7x = 45
x = \(\frac{45}{7}\) = 6.42

ii) \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
⇒ \(\frac{8 x-7}{5 x-3}=\frac{4 x-3}{3 x-1}\)
⇒ (8x – 7)(3x – 1) = (4x – 3)(5x – 3)
⇒ 24x² – 29x +7 = 20x² – 27x + 9
⇒ 4x² – 23 – 2 = 0
⇒ 2x² – x – 1 = 0
(x – 1) (2x + 1) = 0
∴ x = 1 (or) = – 1/2
x ஆனது குறை எண் அல்ல x = 1

கேள்வி 2.
ABCD என்ற ஒரு சரிவகத்தில் AB| | DC மற்றும் P, Q என்பன முறையே பக்கங்கள் AD மற்றும் BC யின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள் ஆகும். மேலும் PQ | |DC, PD = 18 செ.மீ, BQ = 35 செ.மீ மற்றும் QC = 15 செ.மீ எனில், AD காண்க.
தீர்வு :

AB ||DC||PQ
∴ \(\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QB}}\)
\(\frac{18}{x}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}\)
x = 18 x 2/3 = 42
∴ AD = AP + PD = 42 + 18 = 60 செ.மீ

கேள்வி 3.
ΔABC, யில் D மற்றும் E என்ற புள்ளிகள் முறையே பக்கங்கள் AB மற்றும் AC ஆகியவற்றின் மீது அமைந்துள்ளன. பின்வருவனவற்றிற்கு DE| |BC என நிறுவுக.
i) AB = 12செ.மீ, AD = 8செ.மீ, AE = 12
செ.மீ மற்றும் AC = 18 செ.மீ
ii) AB = 5.6 செ.மீ, AD = 1.4 செ.மீ, AC =7.2 செ.மீ மற்றும் AE = 1.8 செ.மீ.
தீர்வு :

கேள்வி 4.
படத்தில் PQ ||BC மற்றும் PR| | CD எனில்
i) \(\frac{A R}{A D}=\frac{A Q}{A B}\)
ii) \(\frac{\mathrm{QB}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{AR}}\)என நிருவுக.
தீர்வு :

i) ΔACB, ல் PQ|| BC
∴ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}}\) — (1)
மற்றும் ΔACD, ல் PR|| CD
∴ \(\frac{A R}{A D}=\frac{A P}{A C}\) —(2)
(1) = (2)
∴ \(\frac{A Q}{A B}=\frac{A R}{A D}\)

ii) ΔACB, PQ | | BC
∴ \(\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QB}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}}\) — (1)
மற்றும் ΔACD, PR| | CD
∴ \(\frac{A P}{P C}=\frac{A R}{R D}\) — (2)
(1) & (2), லிருந்து \(\frac{A Q}{Q B}=\frac{A R}{R D}\)
தலைகீழ் காண \(\frac{Q B}{A Q}=\frac{R D}{A R}\)

கேள்வி 5.
ΔABC யின் உள்ளே B ஐ ஒரு கோணமாகக் கொண்ட சாய்தூரம் PQRB அமைந்துள்ளது. P, Q மற்றும் R என்பன முறையே பக்கங்கள் AB, AC மற்றும் BC மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள் ஆகும். AB = 12 செ.மீ மற்றும் BC = 6 எனில், சாய்சதுரத்தின் பக்கங்கள் PQ, RB – யைக் காண்க.
தீர்வு :

படத்திலிருந்து \(\frac{A R}{A B}=\frac{P Q}{B C}\)
⇒ \(\frac{12-x}{12}=\frac{x}{6}\)
⇒ 12x = 72 – 6x
⇒ 18x = 72
x = 4
∴ PQ = 4 செ.மீ மற்றும் RB = 4 செ.மீ

கேள்வி 6.
சரிவகம் ABCD யில், AB| |DC, E மற்றும் F என்பன முறையே இணையற்ற பக்கங்கள் AD மற்றும் BC ன் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள், மேலும் EF||AB, என அமைந்தால் \(\frac{A E}{E D}=\frac{B F}{F C}\) என நிறுவுக
தீர்வு :

ΔABD,ல் EG| | AB
∴ தேல்ஸ் தேற்றப்படி, \(\frac{\mathrm{DG}}{\mathrm{GB}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}}\) — (1)
ΔCBD,ல் FG|| CD
∴ தேல்ஸ் தேற்றப்படி, \(\frac{\mathrm{BG}}{\mathrm{GD}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\)
தலைகீழ் காண, \(\frac{G D}{B G}=\frac{F C}{B F}\) —(2)
(1) & (2) -லிருந்து
\(\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{FC}}{\mathrm{BF}}\)
மீண்டும் தலைகீழ் காண, \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FC}}\)

கேள்வி 7.
படத்தில் DE|| BC மற்றும் CD||EF. எனில் AD² = AB X AF என நிறுவுக.
தீர்வு :

DE || BC
∴ தேல்ஸ் தேற்றப்படி, \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}\) — (1)
AF AE மேலும் CDT |EF, \(\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}\) — (2)
AD AF (1) & (2) லிருந்து \(\frac{A D}{A B}=\frac{A F}{A D}\)
= AD² = AB X AF

கேள்வி 8.
பின்வருவனவற்றுள் ΔABC யில் AD ஆனது ∠A யின் இருசம வெட்டி ஆகுமா எனச் சோதிக்கவும்.
i) AB = 5 செ.மீ, AC = 10செ.மீ, BD = 1.5
செ.மீ மற்றும் CD = 3.5செ.மீ
ii) AB = 4 செ.மீ, AC = 6 செ.மீ,
BD = 1.6 செ.மீ மற்றும் CD = 2.4 செ.மீ
தீர்வு :

i) \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) ——(1)
\(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{1.5}{3.5}=\frac{3}{7}\) — (2)
(1) & (2) லிருந்து \(\frac{A B}{A C} \neq \frac{B D}{D C}\)
∴ AD ஆனது ∠Aன் இருசம வெட்டி அல்ல

ii) \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)——(1)
\(\frac{B D}{D C}=\frac{1.6}{2.4}=\frac{2}{3}\)—– (2)
(1) & (2)லிருந்து \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \neq \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\)
∴ AD ஆனது ∠A ன் இருசம வெட்டி ஆகும்.

கேள்வி 9.
படத்தில் ∠QPR = 90°, PS ஆனது. ∠P – யின் இருசமவெட்டி மேலும், ST⊥PR, எனில், ST x (PQ + PR) = PQ X PR என நிறுவுக.
தீர்வு:

படத்தில் ∠DPR = 90°
PS என்பது ∠Pன் இருசமவெட்டி
∴ \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}\)
இருபுறமும் 1ஐ கூட்ட

(1) & (2) லிருந்து
\(\frac{P Q+P R}{P R}=\frac{P Q}{S T}\)
⇒ ST (PQ + PR) = PQ x PR

கேள்வி 10.
நாற்கரம் ABCDயில் AB= AD, ∠BAC மற்றும் ∠CAD யின் கோண இருசமவெட்டிகள் BC மற்றும் CD ஆகிய பக்கங்களை முறையே E மற்றும் F என்ற புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றன எனில், EF||BD என நிறுவுக.
தீர்வு :

AC, BD மற்றும் EF யை இணை ACAB ல்
AE ஆனது ∠BAC ன் இருசமவெட்டி

தேல்ஸ் தேற்றத்தின் மறுதலையின் படி EF | | BD

கேள்வி 11.
PQ = 4.5 செ.மீ, ∠R = 35 மற்றும் உச்சி R – லிருந்து வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் RG = 6செ.மீ என அமையுமாறு ΔPQR வரைக
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. PQ = 4.5 செ.மீ வரைக.
2. புள்ளி P வழியாக ∠QPE = 35° என இருக்கும்படி PE வரைக.
3. புள்ளி P வழியே ∠EPF = 90° என இருக்கும்படி PF வரைக.
4. PQ, க்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக்கோடு PF ஐ O விலும் PQ ஐ G யிலும் சந்திக்கிறது.
5. O வை மையமாகவும் OP யை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
6. G யிலிருந்து 6 செ.மீ ஆரமுள்ள வில்லை வட்டத்தில் வெட்டுமாறு வரைக.
7. PR ,RQ.யை இணை. ΔPQR தேவையான முக்கோணமாகும்.

கேள்வி 12.
QR = 5 செ.மீ, ∠P = 40° மற்றும் உச்சி P யிலிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் PG = 4.4 செ.மீ என இருக்கும்படி ΔPQR வரைக. மேலும் P லிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் காண்க. தீர்வு :

வரைமுறை

1. QR = 5 செ.மீ வரைக்
2. ∠ROE = 40° வரைக
3. ∠EQF = 90° வரைக
4. QR, க்கு மையக்குத்துக்கோடு வளரக அது QR, QF ஐ வெட்டும் புள்ளிக்கு G, O என்க.
5. O வை மையமாகக் வைத்து வட்டம் வரைக.
6. GP = 4.4 செ.மீ வரைக.
7. ΔPQR தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.
8. p யிலிருந்து QR க்கு செங்குத்துக்கோடு வரைக. அதன் நீளம் 2.1 செ.மீ ஆகும்.

கேள்வி 13.
QR = 6.5 செ.மீ, ∠P = 60° மற்றும் உச்சி P யிலிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.5 செ.மீ உடைய ΔPQR வரைக.
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. QR = 6.5 செ.மீ வரைக. ∠RQE = 60° வரைக ∠EQF = 90°
2. QR, க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது QR ஐ M விலும் QF யை ) விலும் சந்திக்கும்.
3. O வை மையமாக வைத்து விட்டம் வரைக.
4. M லிருந்து G க்கு MG = 4.5 செ.மீ வில்
   வரைக.
5. G வழியே XY| | QR வரைக.
6. XY யானது வட்டத்தை சந்திக்கும் புள்ளி P என்க
7. PQR என்பது தேவையான முக்கோணமாகும்.

கேள்வி 14.
AB = 5.5 செ.மீ ∠C = 25° மற்றும் உச்சி C யிலிருந்து AB க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4 செ.மீ உடைய ΔABC வரைக.
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. AB = 5.5 செ.மீ வரைக. ∠BAE = 25°∠FAE = 90°
2. AB க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது AF, AB யை O, G ல் வெட்டுகிறது.
3. O வை மையமாகக் கொண்டு விட்டம் வரைக.
4. GM = 4 செ.மீல் வில் வரைக.
5. M வழியாக XY|| AB வரைக.
6. XY யானது வட்டத்தை சந்திக்கும் புள்ளி C என்க
7. ΔABC என்பது தேவையான முக்கோணமாகும்.

கேள்வி 15.
அடிப்பக்கம் BC = 5.6 செ.மீ ∠A = 40° மற்றும்,∠A இருசம வெட்டியானது அடிப்பக்கம் BCஐ CD = 4 செ.மீ என D யில் சந்திக்குமாறு அமையும் முக்கோணம் ABC வரைக.
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. BC = 5.6 செ.மீ வரைக. ∠CBE = 40° ∠FBE = 90°
2. BC க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது BF யை O ல் சந்திக்கிறது.
3. O வை மையமாக வைத்து வட்டம் வரைக.
4. CD = 4 செ.மீ வரைக. மையக்குத்துக்கோடு வட்டத்தை தொடும் புள்ளிக்கு 1 என்க.
5. DI யை இணை. அது விட்டத்தை தொடும் புள்ளி A என்க.
6. AD ஆனது Aன் இருசம் வெட்டியாகும்.
7. ΔABC தேவையான முக்கோணமாகும்.

கேள்வி 16.
PQ = 6.8 செ.மீ, உச்சிக்கோணம் 50° மற்றும் உச்சிக்கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது அடிப்பக்கத்தை PD = 5.2 செ.மீ எனD யில் சந்திக்குமாறு அமையும் APQR.வரைக.
தீர்வு :


வரைமுறை :

1. PQ = 6.8செ.மீ வரைக. ∠QPE = 50° ∠FPE = 90° வரைக்
2. PQ க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது PF யை O ல் சந்திக்கிறது.
3. O வை மையமாக கொண்டு வட்டம் வரைக
4. PD = 5.2 செ.மீ வரைக. மையக்குத்துக் கோடானது வட்டத்தை தொடும் புள்ளிக்கு என்க
5. DI யை இணை, அது வட்டத்தை தொடும் புள்ளி R.
6. RD ஆனது Rன் இருசம வெட்டியாகும்.
7. ΔPQR என்பது தேவையான முக்கோணமாகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 4 வடிவியல் Unit Exercise 4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 4 வடிவியல் Unit Exercise 4

கேள்வி 1.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் BD⊥AC மற்றும் CE⊥AB, எனில்
i) ∆AEC ~ ∆ADB
\(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{DB}}\) நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு :
i) ∆AECமற்றும் ∆ADB இவற்றில்
∠AEC = ∠ADB = 90, ∠A பொது
∆AEC ~ ∆ADB (AA விதிமுறைப்படி)
ii) ∆AEC ~ ∆ADB [ (i)ன் படி)
\(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{DB}}\)

கேள்வி 2.
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் AB||CD| |EF AB = 6 செ.மீ , CD = xசெ .மீ, EF = 4 செ.மீ, BD = 5செ.மீ மற்றும் DE = y செ.மீ எனில் , மற்றும் புன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :

WkT, இரு தூண்களின் உச்சியிலிருந்து எதிரேயுள்ள தூண்களின் அடிக்கு வரையப்படும் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் உயரமானது \(\frac{a b}{a+b}\) ஆகும்.

கேள்வி 3.
O ஆனது முக்கோணம் ABC ,யின் உள்ளே அமைந்த ஒரு புள்ளி ஆகும். ∠AOB , ∠BOC மற்றும் COA யின் இருசமவெட்டிகள், பக்கங்கள் AB, BC மற்றும் CA வை முறையே D, E மற்றும் Fல் சந்திக்கின்றன எனில், AD * BEX CF= DBX ECX FA எனக் காட்டுக
தீர்வு :

Δ AOB, OD ஆனது ∠AOB ன் இருசமவெட்டி
∴ \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OB}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}\) ————- (1)
Δ BOC, OE ஆனது ∠BOC ன் இருசமவெட்டி
∴ \(\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}\) —————– (2)
Δ COA, OF ஆனது ∠COA ன் இருசமவெட்டி
∴ \(\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AF}}\)—————- (3)
(1) x (2) x (3)

கேள்வி 4.
கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ABC யில் AB = ACஆகும். AD = AE என இருக்குமாறு D மற்றும் என்ற புள்ளிகள் முறையே பக்கங்கள் AB மற்றும் AC-யின் மீது அமைந்துள்ளன. B,C,E மற்றும் D என்ற புள்ளிகள் ஒரே வட்டத்தில் அமையும் எனக் காட்டுக

தீர்வு :
கணக்கின் படி. AB = AC
⇒ ∠B = ∠C
AD + DB = AE + EC
⇒ BD = EC[: AD = AE]
∴ DE || BC
AEC என்பது நேர்க்கோடு என்பதால்

எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் 180°
∴ BCED என்பது விட்ட நாற்கரம் ஆகும். ..
∴ B, C, E மற்றும் D என்ற
புள்ளிகள் ஒரு வட்டத்தில் அமையும்.

கேள்வி 5.
இரண்டு தொடர்வண்டிகள் ஒரே நேரத்தில் ஒரு தொடர்வண்டி நிலையத்திலிருந்து புறப்படுகின்றன. முதல் வண்டி மேற்கு நோக்கியும், இரண்டாவது வண்டி வடக்கு நோக்கியும் செல்கின்றன. முதல் தொடர்வண்டி 20 கி.மீ/மணி வேகத்திலும், இரண்டாவது வண்டி 30கி.மீ/மணி வேகத்திலும் செல்கின்றன. இரண்டு மணி நேரத்திற்குப் பின்னர் அவைகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு எவ்வளவு?
தீர்வு :
இரண்டு மணி நேரத்திற்குப் பின்னர் முதல் மற்றும் இரண்டாம் தொடர்வண்டிகள் கடந்து சென்ற தொலைவு 40 கி.மீ மற்றும் 60கி.மீ.

அவைகளுக்கு இடைப்பட்ட

கேள்வி 6.
BC யின் மையப்புள்ளி D மற்றும் AE ⊥ BC. BC = a, AC = b, AB = C, ED = x, AD = P மற்றும் AE = h, எனில், (i) b² = p² + ax + \(\frac{a^{2}}{4}\)
(ii) c² = p² – ax + \(\frac{a^{2}}{4}\)
(iii) b² + c² = 2p² + \(\frac{a^{2}}{2}\) என நிரூபிக்க.

கணக்கின் படி, D என்பது BC ன் மையப்புள்ளி
CD = BD = \(\frac{a}{2}\) மற்றும் BE = x – \(\frac{a}{2}\)
∆AED & P² = h² + x² —— (1)
(பிதாகரஸ் தேற்றப்படி)

i) ∆AEC, ல் b² = h² + (x + \(\frac{a}{2}\) )²
= h² + x² + ax + \(\frac{a^{2}}{4}\)
= p² + ax + \(\frac{a^{2}}{4}\) (1) லிருந்து

ii) ∆AEB ல், C² = h² + (x – \(\frac{\mathrm{a}}{2}\) )²
= h² + x² – ax + \(\frac{a^{2}}{4}\)
= p² – ax + \(\frac{a^{2}}{4}\) (1) லிருந்து
(iii) (i) & (ii) ஐ கூட்ட
b² + c² = p² + ax + \(\frac{a^{2}}{4}\) + p² – ax + \(\frac{a^{2}}{4}\)
= 2p² + \(\frac{a^{2}}{2}\)

கேள்வி 7.
2 மீ உயரமுள்ள மனிதர் ஒரு மரத்தின் உயரத்தைக் கணக்கிட விரும்புகிறார். மரத்தின் அடியிலிருந்து 20 மீ தொலைவில் B என்ற புள்ளியில் ஒரு கண்ணாடி கிடைமட்டமாக மேல் நோக்கி வைக்கப்படுகிறது. கண்ணாடியிலிருந்து 4 மீ தொலைவில் C என்ற புள்ளியில் நிற்கும் மனிதர் மரத்தின் உச்சியின் பிரதிபலிப்பைக் கண்ணாடியில் காண முடிகிறது எனில், மரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (மரத்தின் அடி, கண்ணாடி, மனிதர் ஒரே நேர்க்கோட்டில் உள்ளதாகக் கொள்க).
தீர்வு :

படத்திலிருந்து ∆ACB ~ ∆QTB
∴ \(\frac{\mathrm{TQ}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{TB}}{\mathrm{BC}}\)
⇒ \(\frac{h}{2}=\frac{16}{4}\)
∴ h = \(\frac{16}{4}\) x 2
= 8
மரத்தின் உயரம் = 8 + 2
= 10மீ

கேள்வி 8.
30 அடி உயரமுள்ள ஒரு தூணின் அடிப்பகுதியிலிருந்து 8 அடி உயரமுள்ள ஒரு ஈமு கோழி விலகி நடந்து செல்கிறது. ஈமு கோழியில் நிழல் அது நடந்து செல்லும் திசையில் அதற்கு முன் விழுகிறது. ஈமு கோழியின் நிழலின் நீளத்திற்கும், ஈமு தூணிலிருந்து இருக்கும் தொலைவிற்கும் இடையே உள்ள தொடர்பைக் காண்க.

தேல்ஸ் தேற்றப்படி,
\(\frac{O A}{O B}=\frac{A D}{B C}\)
∴ ⇒ \(\frac{x}{x+y}=\frac{8}{30}\)
இருபுறமும் தலைகீழ் காண

கேள்வி 9.
A மற்றும் B என்ற புள்ளிகளில் இரு வட்டங்கள் வெட்டிக்கொள்கின்றன. ஒரு வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளி P யிலிருந்து வரையப்படும் PAC மற்றும் PBD என்ற கோடுகள் இரண்டாவது வட்டத்தினை முறையே ( மற்றும் D யில் வெட்டுகின்றன எனில் CD யானது P வழியே வரையப்படம் தொடுகோட்டிற்கு இணை என நிரூபிக்கவும். தீர்வு :
MPஎன்பது புள்ளி P ல் வட்டத்தின் தொடுகோடு என்க.
AB இணை

இவைகள் ஒன்று விட்ட உள்கோணங்களின் சோடிகள்.
∴ MP || CD

கேள்வி 10.
ABC என்ற ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் AB, BC, AC யின் (அல்லது பக்கங்களின் நீட்சி) மீது முறையே D,E,F என்ற புள்ளிகள் உள்ள ன. AD : DB = 5:3, BE:EC = 3:2 மற்றும் AC = 21. எனில், கோட்டுத்துண்டு CF யின் நீளம் காண்க.
தீர்வு :

சீவாஸ் தேற்றப்படி
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}} \times \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}} \times \frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}}\) = 1
⇒ \(\frac{5}{3} \times \frac{3}{2} \times \frac{x}{21-x}\) = 1
⇒ 5x = 2 (21 – x)
= 42 – 2x
7x = 42
x = 6
∴ CF = 6