Laxmi

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.3

கேள்வி 1.
50√3 மீ உயரமுள்ள ஒரு பாறையின் உச்சியிலிருந்து 30. இறக்கக்கோணத்தில் தரையிலுள்ள மகிழுந்து ஒன்று பார்க்கப்படுகிறது எனில், மகிழுந்திற்கும் பாறைக்கும் இடையேயுள்ள தொலைவைக் காண்க.
தீர்வு :

x = 50√3 x √3 = 50 x 3
x = 150 மீ

கேள்வி 2.
இரண்டு கட்டடங்களுக்கு இடைப்பட்ட கிடைமட்டத் தொலைவு 70மீ ஆகும். இரண்டாவது கட்டடத்தின் உச்சியிலிருந்து முதல் கட்டடத்தின் உச்சிக்கு உள்ள இறக்கக்கோணம் 45′ ஆகும். இரண்டாவது கட்டடத்தின் உயரம் 120மீ எனில் முதல் கட்டடத்தின் உயரத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
tan θ =
tan 45° = \(\frac{120-h}{70}\)
1 = \(\frac{120-h}{70}\)
70 = 120 – h
h = 120 – 70 = 50
h = 50 மீ

கேள்வி 3.
60மீ உயரமுள்ள கோபுரத்தின் உச்சியிலிருந்து செங்குத்தாக உள்ள ஒரு விளக்குக்கம்பத்தின் உச்சி மற்றும் அடியின் இறக்கக்கோணங்கள் முறையே 380 மற்றும் 60° எனில், விளக்குக் கம்பத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (tan 380 = 0.7813, √3 = 1.732)
தீர்வு:

(1) & (2)லிருந்து
\(\frac{60-h}{0.7813}\) = 20√3
60 – h = 20(1.732) x 0.7813
60 – h = 27.06
h = 60 – 27.06 = 32.94
h = 32.94 மீ

கேள்வி 4.
1800 மீ உயரத்தில் பறக்கும் ஒரு விமானத்திலிருந்து ஒரே திசையில் விமானத்தை நோக்கிச் செல்லும் இருபடகுகள் பார்க்கப்படுகிறது. விமானத்திலிருந்து இரு படகுகளை முறையே 60 மற்றும் 300 இறக்கக்கோணங்களில் உற்று நோக்கினால், இரண்டு படகுகளுக்கும் இடைப்பட்டத் தொலைவைக் காண்க. ( √3 = 1.732).
தீர்வு :


(1) = (2) 600√3 = 1800√3 – x
x = 1800 √3 – 600√3
= 1200 √3
= 1200(1.732)
x = 2078.4 மீ

கேள்வி 5.
ஒரு கலங்கரை விளக்கத்தின் உச்சியிலிருந்து எதிரெதிர் பக்கங்களில் உள்ள இரண்டு கப்பல்கள் 30 மற்றும் 60 இறக்கக்கோணத்தில் பார்க்கப்படுகின்றன. கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் hமீ. இரு கப்பல்கள் மற்றும் கலங்கரை விளக்கத்தின் அடிப்பகுதி ஆகியவை ஒரே நேர்கோட்டில் அமைகின்றன எனில், இரண்டு கப்பல்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு \(\frac{4 h}{\sqrt{3}}\) மீ என நிரூபிக்க.
தீர்வு :

கேள்வி 6.
90 அடி உயரமுள்ள கட்டடத்தின் மேலிருந்து ஒளிஊடுருவும் கண்ணாடிச் சுவர் கொண்ட மின் தூக்கியானது கீழ் நோக்கி வருகிறது. கட்டடத்தின் உச்சியில் மின் தூக்கி இருக்கும் போது பூந்தோட்டத்தில் உள்ள ஒரு நீரூற்றின் இறக்கக்கோணம் 60° ஆகும். இரண்டு நிமிடம் கழித்து அதன் இறக்கக்கோணம் 300 ஆக குறைகிறது. மின்தூக்கியின் நுழைவு வாயிலிருந்து நீரூற்று 30√3 அடி தொலைவில் உள்ளது எனில் மின்தூக்கி கீழே வரும் வேகத்தைக் காண்க.
தீர்வு :


x + y = 90√3 ——-(2)
x + 30√3 = 90√3 by (1)
x = 90√3 – 30√3
x = 60√3
தொலைவு = x = 60√3
வேகம் x நேரம் = 6013
வேகம் x 2 = 60√3
வேகம் = \(\)
வேகம் = 30√3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.2

கேள்வி 1.
10√3 மீ உயரமுள்ள கோபுரத்தின் அடியிலிருந்து 30மீ தொலைவில் தரையில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து கோபுரத்தின் உச்சியின் ஏற்றக்கோணத்தைக் காண்க.
தீர்வு :

tanθ = tan 30°
e = 30°

கேள்வி 2.
ஒரு சாலையின் இருபுறமும் இடைவெளியே இல்லாமல் வரிசையாக வீடுகள் தொடர்ச்சியாக உள்ளன. அவற்றின் உயரம் 413 மீ. பாதசாரி ஒருவர் சாலையின் மையப் பகுதியில் நின்று கொண்டு வரிசையாக உள்ள வீடுகளை நோக்குகிறார். 300 ஏற்றக்கோணத்தில் பாதசாரி வீட்டின் உச்சியை நோக்குகிறார் எனில், சாலையின் அகலத்தைக் காண்க.
தீர்வு :

கேள்வி 3.
ஒருவர் அவருடைய வீட்டிற்கு வெளியில் நின்றுகொண்டு ஒரு ஜன்னலின் உச்சி மற்றும் அடி ஆகியவற்றை முறையே 600 மற்றும் 45″ ஆகிய ஏற்றக்கோணங்களில் காண்கிறார். அவரின் உயரம் 180செ.மீ. மேலும் வீட்டிலிருந்து 5மீ தொலைவில் அவர் உள்ளார் எனில், ஜன்னலின் உயரத்தைக் காண்க . ( √3 = 1.732)
தீர்வு :

tan 45° = \(\frac{x-h}{5}\)
1 = \(\frac{x-h}{5}\)
5 = x – h
x = h + 5——(1)
tan 60° = \(\frac{x}{5}\)
√3 = \(\frac{x}{5}\)
x = 5√3 —–(2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து
h + 5 = 5√3
h = 5√3 – 5
= ( √3 – 1)5
= (1.732 – 1)5
= (0.732) 5
h = 3.66 மீ

கேள்வி 4.
1.6மீ உயரமுள்ள சிலை ஒன்று பீடத்தின் மேல் அமைந்துள்ளது. தரையிலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து 60° ஏற்றக்கோணத்தில் சிலையின் உச்சி அமைந்துள்ளது. மேலும் அதே புள்ளியிலிருந்து பீடத்தின் உச்சியானது 40° ஏற்றக்கோணத்தில் உள்ளது எனில், பீடத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (tan 40° = 0.8391, √3 = 1.732)
தீர்வு :

tan 40° = \(\frac{h}{x}\)
0.8391 = \(\frac{h}{x}\)
x = \(\frac{h}{0.8391}\)——(1)
tan 60° = [la6tex]\frac{1.6+h}{x}[/latex]
√3 = \(\frac{1.6+h}{x}\)
x = \(\frac{1.6+h}{\sqrt{3}}\) ——-(2)
(1) & (2) லிருந்து
\(\frac{h}{0.8391}=\frac{1.6+h}{\sqrt{3}}\)
√3h = 0.8391 x 1.6 + 0.8391 h
1.732 h – 0.8391 h = 1.3426
0.8929 h = 1.3426
h = \(\frac{1.3426}{0.8929}\)
h = 1.50 மீ

கேள்வி 5.
‘r’ மீ ஆரம் கொண்ட அரைக்கோளக் குவிமாடத்தின் மீது ‘h’ மீ உயரமுள்ள ஒரு கொடி கம்பம் நிற்கிறது, குவிமாடத்தின் அடியிலிருந்து 7 மீ தொலைவில் ஒருவர் நிற்கிறார். அவர் கொடிக்கம்பத்தின் உச்சியை 450 ஏற்றக் கோணத்திலும் நிற்குமிடத்திலிருந்து மேலும் 5மீ தொலைவு விலகிச்சென்று கொடிக் கம்பத்தின் அடியை 30′. ஏற்றக் கோணத்திலும் பார்க்கிறார் எனில், (i) கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் (ii) அரைக் கோளக் குவிமாடத்தின் ஆரம் ஆகியவற்றைக் காண்க. ( √3 = 1.732)

தீர்வு :

r + 7 = r + h
⇒ h = 7மீ

r + 12 = √3r
√3r – r = 12
(√3 – 1)r = 12
(1.732 – 1) = 12
0.732 x r = 12
r = \(\frac{12}{0.732}\)
r = 16.39 மீ

கேள்வி 6.
15 மீ உயரமுள்ள ஒரு கோபுரம் உள்ளது. ஒரு மின் கம்பத்தின் அடி மற்றும் உச்சியிலிருந்து கோபுரத்தின் உச்சியை முறையே 60°, 300 என்ற ஏற்றக்கோணங்களில் பார்த்தால் மின் கம்பத்தின் உயரத்தைக் காண்க.
தீர்வு :


x = \(\frac{15}{\sqrt{3}}\) ———-(2)
(1) = (2)
\(\frac{15}{\sqrt{3}}=(15-\mathrm{h}) \sqrt{3}\)
15 = (15 – h) 3
15 – h = \(\frac{15}{3}\) = 5
15 – h = 5
15 – 5 = h
h = 10 மீ

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1

கேள்வி 1.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) cot θ + tan θ = sec θ cosec θ
(ii) tan⁴ θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ
தீர்வு:
(i) இடப்பக்கம் = cot θ + tan θ

= sec θ cosec θ = வலப்பக்கம் –

(ii) இடப்பக்கம் = tan⁴ θ+ tan² θ
= tan² θ (tan² θ + 1)
= tan² θ x sec² θ ——-(1)
வலப்பக்கம் = sec⁴ θ – sec² θ
= sec² θ (sec² θ – 1)
= sec² θ x tan² θ ——-(2)
(1) மற்றும் (2)லிருந்து
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 2.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) \(\frac{1-\tan ^{2} \theta}{\cot ^{2} \theta-1}\) = tan² θ
(ii) \(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}\) = secθ – tanθ
தீர்வு:

கேள்வி 3.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) \(\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}\) = sec θ + tan θ
(ii) \(\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}\) = 2secθ
தீர்வு:

கேள்வி 4.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) Sec⁶ θ = tan⁶ θ + 3 tan² θ Sec² θ + 1
(ii) (Sin θ + Secθ)² + (Cos θ + Cosec θ)²
= 1+ (Sec θ + Cosec θ)²
தீர்வு:
(i) வலப்பக்கம் = Sec⁶ θ
= (Sec² θ )3
= (1 + tan² θ )³
= (1)3 + 3(1)2 (tan 0)2
+ 3(1)(tan² θ )² + (tan² θ )³
= 1+3 tan² θ +3tan⁴ θ + tan⁶ θ
= tan⁶ θ + 3tan² θ (1+ tan² θ ) + 1
= tan⁶ θ + 3tan² θ Sec² θ + 1
= RHS.

(ii) இடப்பக்கம்
= (sin θ + sec θ)² + (cos θ + cosec θ)²
= sin² θ + sec² θ + 2sin θ sec + cos² θ + cosec² θ + 2cosθ cosec θ
= 1 + 2sin θ x \(\frac{1}{\cos \theta}\) + 2cos θ x \(\frac{1}{\sin \theta}\) cosθ + sec² θ + cosec²θ
= 1 + 2[\(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\cos \theta \sin \theta}\) ] + sec² θ + cosec² θ
= 1 + 2[ \(\frac{1}{\cos \theta \sin \theta}\) ]+ sec² θ + cosec²θ
= 1 + 2sec θ cosec θ + sec² e + cosec² θ
= 1 + (sec θ + cosec 6)² = R.H.S

கேள்வி 5.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) Sec⁴ θ (1-sin⁴ θ) – 2tan² θ = 1
(ii) \(\frac{\cot \theta-\cos \theta}{\cot \theta+\cos \theta}=\frac{cosec \theta-1}{cosec \theta+1}\)
தீர்வு :
(i) இடப்பக்கம் = Sec⁴ θ (1-sin⁴ θ) – 2tan² θ = 1

(ii) \(\frac{\cot \theta-\cos \theta}{\cot \theta+\cos \theta}=\frac{cosec \theta-1}{cosec \theta+1}\)

கேள்வி 6.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) \(\frac{\sin A-\sin B}{\cos A+\cos B}+\frac{\cos A-\cos B}{\sin A+\sin B}\)
(ii) \(\frac{\sin ^{3} A+\cos ^{3} A}{\sin A+\cos A}+\frac{\sin ^{3} A-\cos ^{3} A}{\sin A-\cos A}=2\)
தீர்வு :

= (sin²A – sinAcosA + cos²A) + (sin²A + sinAcosA + cos²A)
= 1 – sinA cosA + 1 + sinA cosA
= 2 = வலப்பக்கம்

கேள்வி 7.
i) sinθ + cosθ = √3 எனில், tanθ + cotθ = 1
ii) √3sinθ – cosθ = 0 எனில் tan3θ = \(\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\) என நிறுவுக
தீர்வு :
(i) கொடுக்கப்பட்டவை sinθ +cosθ = √3
(sinθ + cosθ)² = ( √3)²
sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ = 3
1 + 2sinθ cosθ = 3
2sinθ cosθ = 3-1 = 2
sinθ cosθ = 5
sinθ cosθ = 1——–(1)
இடப்பக்கம் = tanθ + cotθ
= \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
= \(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}\)
= 1/1 = 1 = வலப்பக்கம்

(ii) கொடுக்கப்பட்டவை √3sinθ – cosθ = 0
√3 sinθ = cosθ
\(\frac{\sin \theta}{Cos\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = tan 30°
θ = 30°
இடப்பக்கம் = tan 3θ
= tan 3 (30°)
= tan90° = வரையறுக்கப்பட்டவில்லை —— (1)

= வரையறுக்கப்படவில்லை ——- (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 8.
i) \(\frac{\cos \alpha}{\cos \beta}\) = m மற்றும் \(\frac{\cos \alpha}{\sin \beta}\) = n
எனக்கொண்டு (m² + m²) Cos β = n² என்பதை நிரூபிக்கவும்
ii) Cot θ + tan θ = x மற்றும் Sec θ – Cos θ = y, எனில் \(\left(x^{2} y\right)^{\frac{2}{3}}-\left(x y^{2}\right)^{\frac{2}{3}}\) என்பதை நிரூபிக்கவும்
தீர்வு : (i)

(ii) கொடுக்கப்பட்டவை

கேள்வி 9.
(i) sinθ + cosθ = P , மற்றும் secθ + cosecθ = q எனில், q(p² – 1) = 2p என்பதை நிரூபிக்கவும்.
(ii) sinθ (1 + sin²θ) = cos²θ , எனில், cos⁶θ – 4cos⁴θ + 8cos²θ = 4 என்ப தை நிரூபிக்கவும்
(i) தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்டவை, sin θ + cos θ = p
(sinθ +cosθ)² = p²
sin²θ + cos²θ + 2sinθ cosθ = p²
1 + 2sinθ cosθ = p² ——– (1)
secθ + cosecθ = q

secθ + cosθ = p/q ——— (2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட
1 + 2\(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) = p²
2p = q(p² – 1)
q(p² – 1) = 2p
நிரூபிக்கப்பட்டது.

(ii) கொடுக்கப்பட்டவை sine (1+sin²o) = cos²o
sinθ [1+1-cos²θ] = cos²e
sinθ [2-cos²θ] = cos²θ
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
sin²θ [2-cos²θ)² = cos⁴θ
(1-cos²θ) [(2)² – 2(2) (cos²θ) – (cos²θ)² ] = cos⁴θ
(1-cos²θ)[4- 4cos²θ + cos⁴θ] = cos⁴θ
4 – 4cos²θ+ cos⁴θ – 4cos²θ + 4cos⁴θ – cos ⁶θ = cos⁴θ
4 – 8cos²θ – 4cos⁴θ – cos⁶θ – cos⁴θ = 0
cos⁶ θ – 4cos⁴θ – 8cos²θ = 4
நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 10.
\(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1}{a}\), எனில், \(\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}\) = sin θ என்பதை நிரூபிக்கவும்
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்டவை \(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1}{a}\)

a² – a² sinθ = 1 + sinθ
a² – 1 = a sinθ + sinθ
a² – 1 = (a² + 1)sinθ
sinθ = \(\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}\)
நிரூபிக்கப்பட்டது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Unit Exercise 5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Unit Exercise 5

கேள்வி 1.
P (-1, -1), Q (-1,4), R(5,4) மற்றும் S (5,-1) ஆகிய புள்ளிகளால் ஆன செவ்வகம் PQRS-ல் A, B, C மற்றும் D என்பன முறையே பக்கங்கள். PR, QR, RS மற்றும் SP யின் நடுப்புள்ளிகள் ஆகும். ABCD என்ற நாற்கரமானது ஒரு சதுரம், செவ்வகம் அல்லது சாய்சதுரமா? உங்கள் விடையைக் காரணத்தோடு விளக்குக.
தீர்வு :

கேள்வி 2.
ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பு 5 ச.அலகுகள் (2,1) மற்றும் (3, -2) என்பன முக்கோணத்தின் இரண்டு முனைப்புள்ளிகள் ஆகும். மூன்றாம் முனைப்புள்ளி (x,y) என்பதில் y = x + 3 என இருந்தால் அப்புள்ளியைக் காண்க.
தீர்வு :
PTA-1) A(2,1), B(3,2), C(x,y) என்க
கணக்கின்படி, முக்கோணத்தின் பரப்பு = 5 ச.அ
⇒ \(\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}
2 & 3 & x & 2 \\
1 & -2 & y & 1
\end{array}\right)\) = 5
⇒ -4 + 3y + x -3 + 2x – 2y = 10
⇒ 3x + y = 17 ———— (1)
மேலும் y = x + 3
∴ 3x + x + 3 = 17
4x = 14
x = 7/2
x ன் மதிப்பை y = x + 3 ல் பிரதியிட
y = \(\frac{7}{2}\) + 3
= \(\frac{13}{2}\)
∴ மூன்றாவது முனை ( \(\frac{7}{2}, \frac{13}{2}\) )

கேள்வி 3.
3x + y – 2 = 0, 5x + 2y – 3 = 0 மற்றும் 2x – y -3 = 0 கோடுகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு கான்க.
தீர்வு :
3x + y = 2 ———- (1)
5x + 2y = 3 ——— (2)
2x – y = 3 ———— (3)
(1) மற்றும் (2) யைத் தீர்க்க

x ன் மதிப்பை (1) ல் பிரதியிட
3 x 1 + y = 2
y = -1
∴ புள்ளி B(1,-1)
(2) மற்றும் (3) யைத் தீர்க்க


x = 1
x ன் மதிப்பை (2) ல் பிரதியிட
5 x 1 + 2y = 3
2y = -2
y = -1
∴ புள்ளி C(1, -1)
(1) மற்றும் (3) யைத் தீர்க்க

x = 1
x ன் மதிப்பை (1) ல் பிரதியிட
3 x 1 + y = 2
y = -1
∴ புள்ளி A (1, -1)
இங்கு A(1, -1) = B (1, -1) = C (1, -1)
ΔABC ன் பரப்பு y = 0

கேள்வி 4.
A (-5, 7), B(-4, K), C(-1, – 6) மற்றும் D (4,5) ஆகியவற்றை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு 72 ச.அ எனில் K- யின் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
நாற்கரத்தின் பரப்பு = 72 ச.அ
\(\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccccc}
-5 & -4 & -1 & 4 & -5 \\
7 & k & -6 & 5 & 7
\end{array}\right)\) = 72
-5k + 24 – 5 + 28 + 28 + k + 24 + 25 = 72 x 2
– 4k + 124 = 144
-4k = 20
∴ k = -5

கேள்வி 5.
தொலைவு காணும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தாமல் (-2,-1), (4,0) (3,3) மற்றும் (-3,2) என்பன இணைகரத்தின் முனைப் புள்ளிகள் எனக் காட்டுக.
தீர்வு :
A(-2,-1), B(4,0), C(3,3), D(-3,2) என்க.


இங்கு AB ன் சாய்வு = CD ன் சாய்வு
∴ AB||CD ——– (1)
BCன் சாய்வு = AD ன் சாய்வு
∴ BC||AD ——– (2)
(1) மற்றும் (2)லிருந்து ABCD ஒரு இணைகரம் ஆகும்.

கேள்வி 6.
இரு வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் மற்றும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் முறையே 1, -6 எனில், நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :
x வெட்டுத்துண்டு a என்க.
கணக்கின் படி, வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் 1
∴ y வெட்டுத்துண்டு 1 – a
மேலும், வெட்டுத்துண்டுகளின்
பெருக்கற்பலன் = -6
⇒ a (1-a) = -6
⇒ (-a² + a) = -6
⇒ a – a – 6 = 0
(a-3) (a+2) = 0
∴ a = 3 (அ) – 2
நிலை (i)
a = 3 எனில்
y வெட்டு = 1 – 3 = -2
சமன்பாடு \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) =1
⇒ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}\) = 1
⇒ 2x + 3y = 6

நிலை (ii)
a = -2 எனில்
y வெட்டு = 1 – (-2) = 3
∴ சமன்பாடு \(\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}\) = 1
⇒ 3x – 2y =-61

கேள்வி 7.
ஒரு பால்கடை உரிமையாளர் 1 லிட்டர் ₹ 16 வீதம் ஒரு வாரத்திற்கு 1220 லிட்டரும், 1 லிட்டர் 114 வீதம் ஒரு வாரத்திற்கு 980 லிட்டரும் விற்பனை செய்கிறார். விற்பனை விலையானது தேவையோடு நேரிய தொடர்பு உடையது என ஊகித்துக் கொண்டால், 1 லிட்டர், ₹17 வீதம் ஒரு வாரத்திற்கு எத்தனை லிட்டர் விற்பனை செய்வார்?
தீர்வு :
விற்பனை செய்யும் விலையை x எனவும்
தேவைப்படும் பாலின் அளவை y எனவும் கொள்க.
கணக்கின்படி, இரு புள்ளிகள் (14, 980),
(16, 1220)
∴ சாய்வு = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)
= \(\frac{1220-980}{16-14}\)
m = 120
இரு புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் கோட்டின் சமன்பாடு
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 980 = 120(x – 14)
y – 980 = 120x – 1680
⇒ 120x – y = 700
கணக்கின் படி, 1லிட்டர் ₹17 எனில் (x = 17)
120 (17)-y = 700)
-y = 700 – 2040
= -1340
y = 1340
1 லிட்டர் ₹17க்கு விற்பனை செய்யும் அளவு 1340 லிட்டர் ஆகும்.

கேள்வி 8.
x + 3y = 7 என்ற நேர்கோட்டினைச் சமதள ஆடியாகக் கொண்டு (3,8) என்ற புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளிகளைக் காண்க.
தீர்வு :

P (3,8) ன் பிம்பப் புள்ளியை P'(a, b) என்க.
x + 3y = 7 ன் சாய்வு = -1/3
∴ PP¹ ன் சாய்வு = 3
∴ PP¹ ன் சமன்பாடு y – y₂ = m (x – x₁)
y-8 = 3 (x – 3)
= 3x – 9
3x – y = 1 ———— (1)
O வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு
x + 3y = 7 —— (2)

x = 1
x ன் மதிப்பை (1) ல் பிரதியிட
3 x 1 – y = 1
– y = 1 -3
y = 2

∴ O என்ற புள்ளி (1,2)
PP¹ ன்மையப்புள்ளி O
⇒ \(\left(\frac{3+a}{2}, \frac{8+b}{2}\right)\) = (1,2)
\(\frac{3+a}{2}\) = 1 ⇒ 3 + a = 2
⇒ a = -1
\(\frac{8+b}{2}\)= 2 ⇒ 8 + b = 4
⇒ b = -4
P’ என்பது (-1, -4)

கேள்வி 9.
4x + 7y – 3 = 0 மற்றும் 2x-3y+1=0 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும், ஆய அச்சுக்களின் வெட்டுத் துண்டுகள் சமமானதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :
4x + 7y = 3 ———– (1)
2x – 3y = -1 ———- (2) என்க

yன் மதிப்பை (1) ல் பிரதியிட

கணக்கின் படி, ஆய அச்சுகளின் வெட்டுத் துண்டுகள் சமம்.
∴ x வெட்டு = y வெட்டு = a என்க.
∴ சமன்பாடு \(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}\) = 1
இது \(\frac{1}{13}, \frac{5}{13}\) வழியாக செல்கிறது.

கேள்வி 10.
2x – 3y + 4 = 0 மற்றும் 3x + 3y -5 = 0 என்ற நேர்கோடுகளால் குறிக்கப்படும் இரண்டு பாதைகள் சந்திக்கும் புள்ளியில் நிற்கும் ஒருவர் 6x-7y+8=0 என்ற நேர்கோட்டால் குறிக்கப்படும் பாதையைக் குறுகிய நேரத்தில் சென்றடைய விரும்புகிறார் எனில் அவர் செல்ல வேண்டிய பாதையின் சமன்பாட்டினை காண்க.
தீர்வு :

2x – 3y = -4 ———– (1)
3x + 4y = 5 ———— (2) என்க
(1) மற்றும் (2) யை தீர்க்க
im 16
x ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2) ல் பிரதியிட
3( \(\frac{-1}{17}\) ) + 4y = 5
= 4y = 5 + \(\frac{3}{17}\)
= \(\frac{88}{17}\)
∴ y = \(\frac{22}{17}\)
∴ வெட்டும் புள்ளி (\(\frac{-1}{17}\), \(\frac{22}{17}\) )
6x – 7y + 8 = 0 க்கு செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு 7x + 6y + k = 0
இது ( \(\frac{-1}{17}, \frac{22}{17}\) ) வழியாக செல்கிறது.
∴ \(7\left(\frac{-1}{17}\right)+6\left(\frac{22}{17}\right)\) + k = 0
x 17 ⇒ -7 + 6(22) + 17k = 0
17k = -125
∴ k = \(\frac{-125}{17}\)
∴ சமன்பாடு 7x + 6y – \(\frac{125}{17}\) = 0

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.5

கேள்வி 1.
(-5,0) , (0,-5) மற்றும் (5,0) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு
அ) 0 ச.அலகுகள்
ஆ) 25 ச. அலகுகள்
இ) 5 ச.அலகுகள்
ஈ) எதுவும் இல்லை
தீர்வு :

= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[(+25) – (-25)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[25 + 25]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 50
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)
= 25 ச. அலகுகள்.
விடை :
ஆ) 25 ச. அலகுகள்.

கேள்வி 2.
ஒரு சுவரின் அருகே நடந்து சென்று கொண்டிருக்கும் ஒரு நபருக்கும் சுவருக்கும் இடையே உள்ள தூரம் 10 அலகுகள் சுவரை Y அச்சாகக் கருதினால், அந்த நபர் செல்லும் பாதை என்பது
அ) x = 10
ஆ) y = 10
இ) x = 0
ஈ) y = 0
தீர்வு :

விடை :
அ ) x = 10

கேள்வி 3.
x = 11 எனக் கொடுக்க நேர்கோட்டின் சமன்பாடானது
அ) X அச்சுக்கு இணை
ஆ) Y அச்சுக்கு இணை
இ) ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும்
ஈ) (0,11) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும்
தீர்வு :

விடை :
ஆ) Y – அச்சுக்கு இணை

கேள்வி 4.
(5,7), (3,p) மற்றும் (6,6) என்ப ன ஒரு கோடமைந்தவை எனில் முன் மதிப்பு \
அ) 3
ஆ) 6
இ) 9
ஈ) 12
தீர்வு :
AB ன் சாய்வு = BC ன் சாய்வு
\(\frac{p-7}{3-5}=\frac{6-p}{6-3}\)
\(\frac{p-7}{-2}=\frac{6-p}{3}\)
3(p-7) = -2(6-p)
3p-21 = -12+2p
3p-2p = -12+21
p = 9
விடை :
இ) 9

கேள்வி 5.
3x – y = 4 மற்றும் x +y = 8 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி
அ) (5,3)
ஆ) (2,4)
இ) (3,5)
ஈ) (4,4)
தீர்வு :

x = 3 ஐ சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிட
3x – y = 4
3(3) – y = 4
9 – y = 4
9 – 4 = y
5 = y
விடை :
இ) (3, 5)

கேள்வி 6.
(12,3), (4,a) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு 1/8 எனில் ‘a’ ன் மதிப்பு
அ) 1
ஆ) 4
இ) -5
ஈ) 2
தீர்வு :

விடை :
ஈ) 2

கேள்வி 7.
(0,0) மற்றும் (-8,8) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு
அ) -1
ஆ) 1
இ) 1/3
ஈ) -8
தீர்வு :
m = \(\frac{8-0}{-8-0}=\frac{8}{-8}\) = -1
m₁ = -1
m₁ x m₂ = -1
-1 x m₂ = -1
m₂ = 1
விடை :
ஆ) 1

கேள்வி 8.
கோட்டுத்துண்டு PQன் சாய்வு \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) எனில், PQ க்கு செங்குத்தான இரு சம வெட்டியின் சாய்வு
அ) √3
ஆ) – √3
இ) 1/√3
ஈ) 0
தீர்வு :
m₁ = 1/√3
m₁ x m₂ = -1
1/√3 x m₂ = -1
m₂ = – √3
விடை :
ஆ) – √3

கேள்வி 9.
Y அச்சில் அமையும் புள்ளி A யின் செங்குத்துத் தொலைவு 8 மற்றும் X அச்சில் அமையும் புள்ளி B யின் கிடைமட்டத் தொலைவு 5 எனில், AB என்ற நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
அ) 8x + 5y = 40
ஆ) 8x -5y = 40
இ) x = 8
ஈ) y = 5
தீர்வு :
A புள்ளி (0, 8), B புள்ளி (5, 0)
\(\frac{y-8}{0-8}=\frac{x-0}{5-0}\)
\(\frac{y-8}{-8}=\frac{x}{5}\)
5(y – 8) = -8×1
8x + 5y – 40 = 0
8x + 5y = 40
விடை :
அ) 8x+5y = 40

கேள்வி 10.
7x -3y + 4 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகவும், ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு.
அ) 7x -3y + 4 = 0
ஆ) 3x -7y + 4 = 0
இ) 3x + 7y = 0
ஈ) 7x -3y = 0
தீர்வு :
தேவையான நேர்கோடானது 7x – 3y + 4 = 0
விற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.
தேவையான நேர்கோடானது 3x + 7y + k = 0
(0,0) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
⇒ 0 + 0 + k = 0 ⇒ k = 0
தேவையான நேர்கோடானது 3x + 7y = 0
விடை :
இ) 3x + 7y = 0

கேள்வி 11.
i) l₁ ; 3y = 4x + 5
ii) l₂,; 4y = 3x – 1
iii) l₃, 4y + 3x = 7
iv) l₄4x + 3y = 2
அ) l₁ மற்றும், l₂ செங்குத்தானவை
ஆ) l₁ மற்றும், l₄ இணையானவை
இ) l₂ மற்றும் l₄ செங்குத்தானவை
ஈ) l₂ மற்றும் l₃ இணையானவை
எனக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு நேர்கோடுகளுக்குக் கீழ்கண்ட கூற்றுகளில் எது உண்மை ?
தீர்வு :
l₂ ; 3x – 4y – 1 = 0
l₄ ; 4x + 3y – 2 = 0

விடை :
இ) l₂ மற்றும் l₄ செங்குத்தானவை அல்ல.

கேள்வி 12.
8y = 4x + 21 என்ற நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டிற்கு கீழ்கண்டவற்றில் எது உண்மை ?
அ) சாய்வு 0.5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 2.6
ஆ) சாய்வு 5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 1.6
இ) சாய்வு 0.5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 1.6
ஈ) சாய்வு 5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 2.6
தீர்வு :
8y = 4x + 21
y = \(\frac{4}{8} x+\frac{21}{3}\)
y = \(\frac{1}{2} x+\frac{21}{3}\)
y = 0.5x + 2.6
m = 0.5, c = 2.6
விடை :
அ) சாய்வு 0.5 மற்றும் y வெட்டுதுண்டு 2.6

கேள்வி 13.
ஒரு நாற்கரமானது ஒரு சரிவகமாக அமையத் தேவையான நிபந்தனை
அ) இரு பக்கங்களின் இணை
ஆ) இரு பக்கங்கள் இணை மற்றும் இரு பக்கங்கள் இணையற்றவை.
இ) எதிரெதிர் பக்கங்கள் இணை
ஈ) அனைத்து பக்கங்களும் சமம்.
தீர்வு :

விடை :
ஆ) இரு பக்கங்கள் இணை மற்றும் இரு பக்கங்கள் இணையற்றவை.

கேள்வி 14.
சாய்வைப் பயன்படுத்தி நாற்கரமானது ஓர் இணைகரமாக உள்ளது எனக் கூற நாம் காண வேண்டியவை.
அ) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள்
ஆ) இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்
இ) அனைத்துப் பக்கங்களின் நீளங்கள்
ஈ) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள் மற்றும் நீளங்கள்
தீர்வு :
இணைகரத்தின் பண்பின் படி, பக்கங்களின் சாய்வுகள்.
விடை :
அ ) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள்

கேள்வி 15.
(2, 1) ஐ வெட்டுப் புள்ளியாகக் கொண்ட இரு நேர்கோடுகள்.
அ) x – y -3 = 0; 3x – y -7 = 0
ஆ) x +y = 3; 3x +y = 7
இ) 3x +y = 3;x +y=7
ஈ) x + 3y -3 = 0; x – y -7 = 0
தீர்வு :

x = \(\frac{-4}{-2}\) = 2
x = 2
x = 2 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
x + y = 3
2 + y = 3
y = 3 – 2
y = 1
வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி (1, 2)
விடை :
ஆ) x + y = 3; 3x + y = 7

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.4

கேள்வி 1.
பின்வரும் நேர்கோடுகளின் சாய்வைக் காண்க.
(i) 5y – 3 = 0,
(ii) 7x – \(\frac{3}{17}\) = 0
தீர்வு :
(i) 5y – 3 = 0,

(ii) 7x – \(\frac{3}{17}\) = 0
m = \(\frac{-7}{0}\) = ∞ = வரையறுக்கப்படாதது.

கேள்வி 2.
(i) y = 0.7x – 11 க்கு இணையாக
(ii) x = -11 க்கு செங்குத்தாக அமையும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடானது y = 0.7x – 11
⇒ 0.7x – y – 11 = 0
m = \(\frac{-0.7}{-1}\) = 0.7
இணை கோடுகளின் சாய்வு சமம் என்பதால் 0.7x-y-11 = (0 க்கு இணையாக உள்ள நேர்கோட்டின் சாய்வு 0.7

(ii) கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு x =-11
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு x = -11
⇒ x + 0y + 11 = 0
m= \(\frac{-1}{0}\) = வரையறுக்க முடியாது.
நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருந்தால் அதன் பெருக்கல் பலன் (-1) ஆகும்.
ஆனால், இங்கே சாய்வானது வரையறுக்க முடியாத நிலையில் உள்ளது.

கேள்வி 3.
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகள் இணையானவையா அல்லது செங்குத்தானவையா எனச் சோதிக்கவும்.
(i) \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}+\frac{1}{7}\) = 0 மறும் \(\frac{2 x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{1}{10}=0\)
தீர்வு :

இங்கே இரு நேர்கோடுகளின் சாய்வுகள் சமமாக உள்ளது.m₁ = m₂ எனவே, இரு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று இணையானது.

(ii) 5x +23y+14 = 0 மற்றும் 23x -5y +9 = 0
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 5x + 23y + 14 = 0
m₁ = \(\frac{-5}{23}\)
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 23x – 5y + 9 = 0
m₂ = \(\frac{-23}{-5}=\frac{23}{5}\)
இங்கே இரண்டு நேர்கோடுகளும் m₁ x m₂ = -1
m₁ x m₂ = \(\frac{-5}{23} \times \frac{23}{5}\) = =-1 என்பதை நிரூபிக்கிறது. எனவே இரண்டு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குதாக உள்ளது.

கேள்வி 4.
12y = -(p + 3)x +12, 12x -7y = 16 ஆகிய நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் ‘p’ ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு 12y = -(p + 3)x + 12
12y = -(p + 3)x + 12
(p + 2)x + 12y – 12 = 0
m₁ = \(\frac{-(p+3)}{12}\)
கொடுக்கப்பட்ட மற்றொரு நேர்கோடு 12x – 7y = 16
12x – 7y – 16 = 0
m₂ = \(\frac{-12}{7}=\frac{12}{7}\)
இரண்டு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் m₁ x m₂ = -1 \(\frac{-(p+3)}{12} \times \frac{12}{7}\) = -1
-(p + 3) = -7
p + 3 = 7
p = 7 – 3 = 4
p = 4

கேள்வி 5.
Q(3, 2) மற்றும் R(-5, 4) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டிற்கு இணையானதும், P(-5,2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

Q(3, -2), R(-5, 4)
ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac{y+2}{4+2}=\frac{x-3}{-5-3}\)
\(\frac{y+2}{6}=\frac{x-3}{-8}\)
-8(y + 2) = (x – 3)6
-8y – 16 = 6x – 18
8y + 16 – 6x – 18 = 0
6x + 8y – 2 = 0
÷by 2 ⇒ = 3x+4y-1 = 0 —–(1)
தேவையான நேர்கோடானது சமன்பாடு (1)க்கு இணையாக உள்ளது. எனவே, தேவையான சமன்பாடு 3x + 4y + k = 0 —–(2)
(-5, 12) புள்ளி வழி செல்கிறது.
3(-5) + 4(2) + k = 0
-15 + 8 + k = 0
-7 + k = 0
k = 7
தேவையான நேர்கோடானது 3x + 4y + 7 = 0

கேள்வி 6.
(6,7) மற்றும் (2,-3) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தானதும் (6,-2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:

(6,7) மற்றும் (2,-3) ஆகியவற்றை முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு,
\(\frac{y-7}{-3-7}=\frac{x-6}{2-6}\)
\(\frac{y-7}{-10}=\frac{x-6}{-4}\)
-4(y – 7) = -10(x – 6)
-4y + 28 = -10x + 60
10x – 60 – 4y + 28 = 0
10x – 4y – 32 = 0
÷ by 2 ⇒ 5 – 2y – 16 = 0 —–(1)
தேவையான நேர்கோடானது சமன்பாடு (1) தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
2x + 5y + k = 0
(6, 2) என்ற புள்ளி வழி செல்கிறது
2(6) + 3(-2) + k = 0
12 – 10 + k = 0
2 + k = 0
k = -2
தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு
2x + 5y – 2 = 0

கேள்வி 7.
ΔABC யின் முனைகள் A(-3, 0), B(10,-2) மற்றும் C(12, 3) எனில், A மற்றும் B யிலிருந்து முக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க
தீர்வு :

படத்தின் AD மற்றும் BE ஆனது குத்துகோடுகள் ஆகும்.
A(-3, 0), B(10, -2) மற்றும் C(12, 3)
i) BC சாய்வு m₁ = \(\frac{3+2}{12-10}=\frac{5}{2}\)
m₁ = \(\frac{5}{2}\)
இங்கே BC ⊥^r AD செங்குத்தாக உள்ளது.
m₁ x m₂ = -1
\(\frac{-2}{5}\) x m₂ = -1
இங்கே சாய்வு மற்றும் புள்ளி A(-3, 0) ஆகியவற்றைக் கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 0 = \(\) (x + 3)
5y = -2x – 6
2x + 6 + 5y = 0
2x + 5y + 6 = 0

ii) ACன் சாய்வு m₁ = \(\frac{3-0}{12+3}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\)
AC ⊥^r BE க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. எனில்,
m₁ x m₂ = -1
\(\frac{1}{5}\) x m₂ = -1
m₂ = -5
சாய்வு – 5 மற்றும் புள்ளி B(10,-2) நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
y – y₁ = m (x-x₁)
y + 2 = -5(x – 10)
y + 2 = -5x + 50
5x + y + 2 – 50 = 0
5x + y – 48 = 0
தேவையான குத்துகோடுகள் 2x+5y+6 = 0 5x+y-48 = 0

கேள்வி 8.
A(-4,2) மற்றும் B(6-4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் மையக் குத்துகோட்டின் சமன்பாடு காண்க.
தீர்வு :

மையக்குத்துக் கோடானது கோட்டுத்துண்டு மையப்பகுதி வழியாகவே செல்லும்.
D என்பது மையப்புள்ளி ஆகும்.
AB ன் மையப்புள்ளி
\(\left(\frac{-4+6}{2}, \frac{2-4}{2}\right)=\left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right)\) = (1,-1)
D(1, -1)
AB ன் சமன்பாடு
\(\frac{y-2}{-4-2}=\frac{x+4}{6+4}\)
\(\frac{y-2}{-6}=\frac{x+4}{10}\)
10(y – 2) = -6(x + 4)
10y – 20 = – 6x – 24
6x + 10y – 20 + 24 = 0
6x + 10y + 4 = 0
÷ by 2 = 3x+5y+2 = 0 —–(1)
தேவையான நேர்கோடானது சமன்பாடு (1) க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. எனவே தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு 5x – 3y + k = 0
D(1, -1) புள்ளி வழிச் செல்கிறது
5(1) – 3(-1) + k = 0
5 + 3 + k = 0
k = -8
தேவையான மைய நேர்கோட்டின் சமன்பாடு 5x – 3y – 8 = 0

கேள்வி 9.
7x+3y=10,5x-4y=1 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும், 13x + 5y +12 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்கு இணையாகவும் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நோகோடுகள்
7x + 3y = 10 ——(1)
5x – 4y = 1 ——(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க

x = 1
x = 1 ஐ சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிட
7x + 3y = 10
7(1) + 3y = 10
3y = 10 – 7
3y = 3
y = 1
இரு நேர்கோடுகளும் வெட்டிக்கொள்ளும் (1, 1)
தேவையான நேர்கோடானது 13x + 5y + 12 = 0
விற்கு இணையாக உள்ளது எனவே.
தேவையான நேர்கோடானது
13x + 5y + k = 0
(1, 1) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
13(1) + 5(1) + k = 0
13 + 5 + k = 10
18 + k = 0
k = -18
தேவையான நேர்கோட்டுச் சமன்பாடு
13x + 5y – 18 = 0

கேள்வி 10.
5x-6y=2,3x+2y=10 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும் 4x – 7y + 13 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகவும் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகள்
5x – 6y = 2 ——(1)
3x + 2y = 10 ——(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க

x = \(\frac{16}{7}\) ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
5x – 6y = 2
5(\(\frac{16}{7}\)) – 6y = 2
\(\frac{80}{7}\) – 6y = 2
\(\frac{80}{7}\) – 2 = 6y
\(\frac{80-14}{7 \times 6}\) = y
\(\frac{66}{7 \times 6}\) = y
y = \(\frac{11}{7}\)
இரு கோடுகளும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி
(1) & (2) is ( \(\frac{16}{7}, \frac{11}{7}\) )
தேவையான நேர்கோடானது 4x – 7y + 13 = 0
விற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.
தேவையான நேர்கோடானது 7x + 4y + k = 0
( \(\frac{16}{7}, \frac{11}{7}\) ) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
7x + 4y + k = 0

தேவையான நேர்கோடானது 13x + 5y – 18 = 0
7x + 4y – \(\frac{156}{7}\) = 0
\(\frac{49 x+28 y-156}{7}\) = 0
49x + 28y – 156 = 0

கேள்வி 11.
7x -3y = -12 மற்றும் 2y = x + 3 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியையும், 3x +y +2 = 0 மற்றும் x -2y -4 = 0 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியையும் இணைக்கும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட முதல் இரண்டு நேர்கோடுகள்
3x + y + 2 = 0 ——(1)
x – 2y – 4 = 0 ——(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ தீர்க்க

x = 0
x = 0 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
3x + y + 2 = 0
0 + y + 2 = 0
y = -2
இரு நேர்கோடுகளும் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி (0, -2)
மற்றொரு இரண்டு நேர்கோடுகள்
7x – 3y = -12 ⇒ 7x-3y+12 = 0 —-(3)
2y = x + 3 ⇒ x – 2y + 3 = 0 —-(4)
(3) மற்றும் (4) ஐ தீர்க்க

11y – 9 =0
11y = 9
y = 9/11

இரு கோடுகளும் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளி ( \(\frac{-15}{11}, \frac{9}{11}\) )

இரண்டு வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளிகளையும் முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டுச் சமன்பாடு

15 x 11(y + 2) = -31 x 11x
165(y + 2) = -341x
165y + 330 = -3418
341x +165y 330 = 0
÷by 11 ⇒ 31x – 15y + 30 = 0
தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு 31x – 15y + 30 = 0

கேள்வி 12.
8x + 3y = 18, 4x + 5y = 9 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் வழியாகவும், (5,-4) மற்றும் (-7, 6) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகள்
8x + 3y = 18 ——(1)
4x + 5y = 9 ——(2)
(1) மற்றும் (2)

y = 0 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
8x + 3y = 18
8x + 0 = 18
x = 18/8
x = 9/4
வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ள (9/4, 0)
(5, -4), (-7, 6) ஆகியவற்றை முனைகளாக கொண்ட நேர்கோட்டின் மையப்புள்ளி

-13y = -4x – 9
4x + 13y – 9 = 10
தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு 4x + 13y – 9 = 0

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.3

கேள்வி 1.
(1,-5) மற்றும் (4,2) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி வழியாகச் செல்வதும், கீழ்க்கண்டவற்றிற்கு இணையானதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (i) X – அச்சு (ii) Y – அச்சு
தீர்வு :
(1, -5) மற்றும் (4, 2) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி
\(\left(\frac{1+4}{2}, \frac{-5+2}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}, \frac{-3}{2}\right)\)
தேவையான நேர்க்கோடானது x அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது. எனவே, θ = 0, சாய்வு
m = tan0° = 0
m = 0
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
y – y₁ = m (x – x₁)
y + \(\frac{3}{2}\) = 0 (x – \(\frac{5}{2}\)
\(\frac{2 y+3}{2}\) = 0
2y + 3 = 0
2y = -3
y = \(\frac{-3}{2}\)
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 2y + y = 0

ii) y – அச்சு
தேவையான நேர்க்கோடானது y- அச்சுக்கு
இணையாக உள்ளது. எனவே, θ = 90°
m= tanθ = tan90° = வரையறுக்கப்படாதது = \(\frac{1}{0}\)
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
y-y₁ = m (x-x₁)
y – \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{1}{0}\)(x – \(\frac{5}{2}\))
0(y – \(\frac{3}{2}\) = x – \(\frac{5}{2}\)
0 = \(\frac{2 x-5}{2}\)
0 = 2x-5
தேவையான நேர்க்கோட்டுச் சமன்பாடு 2x – 5 = 0

கேள்வி 2.
2(x -y)+ 5 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டு சமன்பாட்டின் சாய்வு, சாய்வு கோணம் மற்றும் Y வெட்டுத்துண்டு ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடு 2(x – y) + 5 = 0
2x – 2y + 5 = 0
2y = 2x + 5
y = \(\frac{2 x}{2}+\frac{5}{2}\)
y = x + \(\frac{5}{2}\)
இது y = mx+c வடிவில் உள்ளது. எனவே, சமன்படுத்தும் பொழுது,
m = 1 மற்றும் c = \(\frac{5}{2}\)
வாவாணையானவை
m = tanθ
tanθ = 1 = tan 45°
θ = 45°
y – வெட்டு = \(\frac{5}{2}\)
விடை : θ = 45°, y-வெட்டு = \(\frac{5}{2}\), m = 1

கேள்வி 3.
சாய்வு கோணம் 30° மற்றும் y – வெட்டுத்துண்டு -3 ஆகியவற்றைக் கொண்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :
θ = 30°
சாய்வு m = tanθ = tan30°
m = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
y – வெட்டு c = -3
நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு y = mx + c
im 1

கேள்வி 4.
\(\sqrt{3} x+(1-\sqrt{3}) y=3\) என்ற நேர்க்கோட்டு சமன்பாட்டின் சாய்வு, y – வெட்டுத்துண்டு ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு :
im 2
im 3

கேள்வி 5.
(-2,3) மற்றும் (8,5) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் கோடானது, y = ax +2 என்ற நேர்க்கோட்டிற்குச் செங்குத்தானது எனில், ‘a’ ன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் (-2,3)&(8,5)
ஆகியவற்றின் சாய்வு
m₁ = \(\frac{5-3}{8+2}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)
தேவையான நேர்க்கோடானது y = ax+2 விற்கு செங்குத்தாக உள்ளது. y = ax + 2
y = ax + 2
m₂ = a
இரண்டு நேர்கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக உள்ளது.
m₁ x m₂ = -1
\(\frac{1}{5}\) x a = -1 ⇒ a = -5

கேள்வி 6.
(19, 3) என்ற புள்ளியை அடியாகக் கொண்ட குன்றானது செங்கோண முக்கோண வடிவில் உள்ளது. தரையுடன் குன்று ஏற்படுத்தும் சாய்வுக்கோணம் 45° எனில் குன்றின் அடி மற்றும் உச்சியை இணைக்கும் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :
im 4
உச்சிகோணம் θ = 45°
m = tan 45° = 1
m = 1
குன்றின் அடிப்புள்ளி (19,3)
நேர்க்கோட்டு சமன்பாடு,
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 3 = (1) (x – 19)
x – 19 – y + 3 = 0
x – y – 16 = 0

கேள்வி 7.
கொடுக்கப்பட்ட இரு புள்ளிகள் வழிச்செல்லும நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
(i) ( 2, \(\frac{2}{3}\) ) மற்றும் ( \(\frac{-1}{2}\), -2)
தீர்வு :
இரு புள்ளி வடிவம் ⇒\(\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) கொடுக்கப்பட்ட இரு புள்ளிகள்
im 5
-5(3y-2) = -2×8 (x-2)
-15y+10 = -16(x-2)
-15y+10 = -16x+32
16x – 32 – 15y + 10 = 0
16x – 15y – 22 = 0
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
16x – 15y – 22 = 0

(ii) (2, 3) மற்றும் (-7,-1)
தீர்வு :
தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு
(இரு புள்ளி வடிவம்)
\(\frac{y-3}{-1-3}=\frac{x-2}{-7-2}\)
\(\frac{y-3}{-4}=\frac{x-2}{-9}\)
-9 -9(y – 3) = -4(x – 2)
-9y + 27 = -4x + 8
4x – 8 – 9y + 27 = 0
4x – 9y + 19 = 0
தேவையான நேர்கோட்டு சமன்பாடு 4x-9y+19 = 0

கேள்வி 8.
ஒரு பூனை xy தளத்தில் (-6,-4) என்ற புள்ளியில் உள்ளது. (5,11) என்ற புள்ளியில் ஒரு பால் புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளது பூனை மிகக் குறுகிய தூரம் பயணித்துப் பால் அருந்த விரும்புகிறது எனில், பாலைப் பருகுவதற்குத் தேவையான பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :
im 6
கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளை
A(-6, -4), B(5, 11) என்க
நேர்கோட்டு சமன்பாடு
\(\frac{y+4}{11+4}=\frac{x+6}{5+6}\)
\(\frac{y+4}{15}=\frac{x+6}{11}\)
11(y + 4) = 15(x + 6)
11y + 44 = 15x + 90
15x + 90 – 11y + 44 = 0
15x – 11y + 46 = 0
பாதையின் சமன்பாடு 15x – 11y + 46 = 0

கேள்வி 9.
A(6,2) , B(-5,-1) மற்றும் C(1,9) ஐ முனைகளாகக் கொண்ட AABC யின் முனை A யிலிருந்து வரையப்படும் நடுகோடு மற்றும் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :
im 7
ΔABC ல் AD ஆனது
நடுகோடு ஆகும். D ஆனது BCன் நடுப்புள்ளி எனில்,
D = \(\left(\frac{-5+1}{2}, \frac{-1+9}{2}\right)=\left(\frac{-4}{2}, \frac{8}{2}\right)\) = (-2,4)
நடுகோடு AD ன் சமன்பாடு A(6,2), D (-2,4).
\(\frac{y-2}{4-2}=\frac{x-6}{-2-6}\)
\(\frac{y-2}{2}=\frac{x-6}{-8}\)
-8(y-2) = 2(x-6)
-8y+16 = 2x-12
2x – 12 + 8y – 16 = 0
2x+8y-28 = 0
÷ by 2 x + 4y – 14 = 0
நடுகோடு சமன்பாடு ΔABC is x + 4y – 14 = 0
ΔABC ல் AE ஆனது BC க்கு
செங்குத்தாக உள்ளது.
BCன் சாய்வு B(-5, -1), C(1, 9)
⇒ \(\frac{9+1}{1+5}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\)
m₁ = \(\frac{5}{3}\) இங்கே BC ⊥^r AE, எனில்
m₁ x m₂ = -1
\(\frac{5}{3}\) x m₂ = -1
m₂ = \(\frac{-3}{5}\)

AEன் நேர்கோட்டு சமன்பாடு, \(\frac{-3}{5}\)
புள்ளி A(6, 2)
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 2 = = (3 – 6)
5(y – 2) = -3 (x – 6)
5y – 10 = -3x + 18
3x – 18 + 5y – 10 = 0
3x + 5y – 28 = 0
குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடு 3x + 5y – 28 = 0

கேள்வி 10.
(-1,2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதும், சாய்வு \(\frac{-5}{4}\) உடையதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு :
சாய்வு m = \(\frac{-5}{4}\), கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி (-1, 2) நேர்கோட்டு சமன்பாடு (புள்ளி – சாய்வு வடிவம்)
y – y₁ = m (x – x₁)
y – 2 = \(\frac{-5}{4}\)(x – 6)
-4(y – 2) = 5(x + 1)
-4y + 8 = 5x + 5
5x + 5 + 4y – 8 = 0
5x + 4y – 3 = 0
தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
5x + 4y – 3 = 0

கேள்வி 11.
நீங்கள் ஒரு பாடலைப் பதிவிறக்கம் செய்யும் போது, x வினாடிகளுக்குப் பிறகு பதிவிறக்கம் செய்ய வேண்டிய மீதமுள்ள பாடலின் சதவீதம் (மெகா பைட்டில்) y ஆனது (தசமத்தில்) y = -0.1x +1 என்ற சமன்பாட்டின் மூலம் குறிக்கப்பட்டால்,
i) பாடலின் மொத்த MB அளவைக் காண்க.
ii) 75% பாடலைப் பதிவிறக்கம் செய்ய எவ்வளவு வினாடிகள் ஆகும்?
iii) எத்தனை வினாடிகள் கழித்துப் பாடல் முழுமையாகப் பதிவிறக்கம் செய்யப்படும் ?
தீர்வு :
i) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு y = -0.1x + 1
பதிவிறக்க நேரம் பூஜ்ஜியம் ஆகும்.
(i.e) x = 0
y = 1

ii) y = 75% = 0.75 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
0.75 = -0.1x + 1 0.1x
= 1 – 0.75
x = \(\frac{0.25}{0.1}\) = 2.5
x = 2.5 வினாடி

iii) எத்தனை வினாடிகள் கழித்துப் பாடல் முழுமையாகப் பதிவிறக்கம் செய்யப்படும்?
y = 0 = 0.75 சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
0 = -0.1x + 1
0.1x = 1
x = \(\frac{1}{0.1}\)
x = 10 வினாடி

கேள்வி 12.
கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள x, y வெட்டுத்துண்டுகளை கொண்ட நேர்கோடுகளின் சமன்பாடுகளை காண்க. (i) 4,-6 தீர்வு :
x-வெட்டு = a = 4
y- வெட்டு = b = -6
வெட்டுதுண்டுளைக் கொண்ட நேர்கோடுகளின்
சமன்பாடு = \(\frac{x}{a}+\) = 1
\(\frac{x}{4}+\frac{y}{-6}\) = 1
\(\frac{x}{4}-\frac{y}{6}\) = 1
\(\frac{3 x-2 y}{12}\) = 1
3x – 2y = 12

(ii) – 5, \(\frac{3}{4}\)
தீர்வு :
x- வெட்டு = a = -5
y- வெட்டு = b = \(\frac{3}{4}\)
im 8
-3x + 20y = 15
x by ⇒ 3x – 20y + 15 = 0

கேள்வி 13.
கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகளின் சமன்பாட்டிலிருந்து ஆய அச்சுகளின் மேல் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத் துண்டுகளைக் காண்க.
தீர்வு :
(i) 3x -2y -6 = 0
3x – 2y – 6 = 0
im 9
வெட்டுதுண்டுகளைக் கொண்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும்.
a = 2, b = -3

(ii) 4x + 3y +12 = 0
தீர்வு :
4x + 3y + 12 = 0
4x + 3y = -12
÷ by – 12
\(\frac{4 x}{-12}+\frac{3 y}{-12}=\frac{-12}{-12}\)
\(\frac{x}{(-3)}+\frac{y}{(-4)}\) = 1
÷ by – 12
\(\frac{4 x}{-12}+\frac{3 y}{-12}=\frac{-12}{-12}\)
\(\frac{x}{(-3)}+\frac{y}{(-4)}\) = 1
இங்கே a = -3, b= -4

கேள்வி 14.
நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
(i) (1-4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும், வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் 2:5
தீர்வு :
வெட்டு துண்டுகளின் விகிதம் a : b = 2 : 5
im 10
5x + 2y = 2b —–(1)
(1, -4) புள்ளி வழி நேர்கோடு செல்கிறது.
5(1) + 2(-4) = 2b
5 – 8 = 2b
\(\frac{-3}{2}\) = b
b = \(\frac{-3}{2}\) ஐ (1) ல் பிரதியிட
5x + 2y = 2b
5x + 2y = 2\(\frac{-3}{2}\)
5x + 2y + 3 = 0
5x + 2y + 3 = 0 தேவையான சமன்பாடு

(ii) (-8, 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும், ஆய அச்சுகளின் வெட்டுத்துண்டுகள் சமம்
தீர்வு :
இரு வெட்டுத் துண்டுகளும் சமம் a = b
நேர்கோடு சமன்பாடு (-8, 4)
im 11
x+y = a ——(1)
(-8, 4) என்ற புள்ளி வழி நேர்கோடு செல்கிறது
-8 + 4 = a
-4 = a
a = -4 ஐ சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிட
x + y = a
x + y = -4
x + y + 4 = 0
தேவையான சமன்பாடு x + y + 4 = 0