Laxmi

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 7 அளவியல் Ex 7.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 7 அளவியல் Ex 7.1

கேள்வி 1.
ஓர் உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரங்களின் விகிதம் 5:7 ஆகும். அதன் வளைபரப்பு 5500 ச.செ.மீ எனில், உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் காண்க.
தீர்வு :
r: h = 5:7
\(\frac{r}{h}=\frac{5}{7}\)
r = \(\frac { 5 }{ 7 }\)h—–(1)
உருளையின் வளைபரப்பு = 5500 ச.செ.மீ
2πrh = 5500
2 x \(\frac{22}{7} \times \frac{5}{7}\) x h x h = 5500
h² = \(\frac{5500 \times 7 \times 7}{2 \times 22 \times 5}\)
h² = 5² x 7²
= (5 x 7)² = (35)²
h = 35 செ.மீ) —-(2)
(2) ஐ (1) ல் பயன்படுத்துக
r = \(\frac{5}{7}\)h
r = \(\frac{5}{7}\) x 35
r = 25
செ.மீ

கேள்வி 2.
ஒரு திண்ம இரும்பு உருளையின் மொத்தப்புறப்பரப்பு 1848 சமீ மேலும் அதன் வளைபரப்பு மொத்த புறப்பரப்பில் ஆறில் ஐந்து பங்காகும் எனில், இரும்பு உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் காணவும்.
தீர்வு :
உருளையின் புறப்பரப்பு = 1848 ச.மீ
2πr(h + r) = 1848
2πrh + 2πr² = 1848 ச.மீ —-(1)
உருளையின் வளைபரப்பு = \(\frac{5}{6}\) x புறப்பரப்பு
2πrh = \(\frac{5}{6}\) x 1848
2πrh = 1540 —–(2)
(2)ஐ (1) ல் பயன்படுத்து
2πrh + 2πr² = 1848
1540 + 2πr² = 1848
2πr² = 1848-1540
2 x \(\frac{22}{7}\) x r² = 308
r² = \(\frac{308 \times 7}{2 \times 22}\)
r² = 7²
r = 7 மீ —-(3)
(3) ஐ (2) ல் பயன்படுத்து
2πrh = 1540
2 x \(\frac{22}{7}\) x 7 x h = 1540
h = \(\frac{1540}{2 \times 22}\)
h = 35 மீ

கேள்வி 3.
ஓர் உள்ளீடற்ற மர உருளையின் வெளிப்புற ஆரம் மற்றும் நீளம் முறையே 16 செ.மீ மற்றும் 13 செ.மீ ஆகும். அதன் தடிமன் 4 செ.மீ எனில் உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு எவ்வளவு?
தீர்வு :

கொடுக்கப்பட்டவை
R = 16 செ.மீ
r = 12 செ.மீ
h = 13செ.மீ
R = r + w
r = R-W
= 16 – 4 = 12
உள்ளீடற்ற உருளையின் மொத்தப்பரப்பு
= 2π x (R + r)(R – r + h) ச.அ
= 2 x \(\frac{22}{7}\)(16+12) (16-12+13)
= 2 x \(\frac{22}{7}\) x 28 x 17
= 88 x 34
T.S.A = 2992 செ.மீ²

கேள்வி 4.
PQR என்ற செங்கோண முக்கோணத்தில் QR = 16 செ.மீ PR = 20 செ.மீ மற்றும் ∠Q = 90 ஆகும். QR மற்றும் PQ ஐ மைய அச்சுக்களாகக் கொண்டு சுழற்றும்போது உருவாகும் கூம்புகளின் வளைபரப்புகளை ஒப்பிடுக.
தீர்வு :

QR மைய அச்சாக கொண்டு
r = 12 செ.மீ
1 = 20 செ.மீ
உருளையின் வளைபரப்பு = πrl ச.அ
= π x 12 x 20
= 2400 செ.மீ²
PQ ஐ மைய அச்சாக கொண்டு
r = 16 செ.மீ
1 = 20 செ.மீ
உருளையின் வளைபரப்பு = πrl ச.அ
= π x 16 x 20
= 3207 செ.மீ²
PQ ஐ பொருத்து சுழற்றும் போது கூம்பின் புறப்பரப்பு அதிகமாக இருக்கும்.

கேள்வி 5.
சாயுயரம் 19மீ கொண்ட கூம்பு வடிவக் கூடாரத்தில் நால்வர் உள்ளனர். ஒருவருக்கு 22 ச.மீ பரப்பு தேவை எனில், கூடாரத்தின் உயரத்தைக் கணக்கிடவும்.
தீர்வு :

l = 19மீ
பரப்பு = πr² = 22செ.மீ²
\(\frac { 22 }{ 7 }\) x r² = 22
r² = \(\frac{22 \times 7}{22}\)
r² = 7

கேள்வி 6.
ஒரு சிறுமி தனது பிறந்த நாளைக் கொண்டாடக் கூம்பு வடிவத் தொப்பிகளை 5720 ச.செ.மீ பரப்புள்ள காகிதத்தாளை பயன்படுத்தித் தயாரிக்கிறாள். 5 செ.மீ ஆரமும், 12 செ.மீ உயரமும் கொண்ட எத்தனை தொப்பிகள் தயாரிக்க முடியும்?
தீர்வு :
r = 5செ.மீ
l = 12செ.மீ
l = \(\sqrt{h^{2}+r^{2}}\)
= \(\sqrt{12^{2}+5^{2}}\)
= \(\sqrt{144+25}\)
= \(\sqrt{169}\)
l = 13 செ.மீ
உருளையின் வளைபரப்பு = 5720 செ.மீ²

கேள்வி 7.
சம உயரங்களையுடைய இரு நேர் வட்டக் கூம்புகளின் ஆரங்கள் 1:3 என்ற விகிதத்தில் உள்ளன. கூம்புகளின் உயரம் சிறிய கூம்பின் ஆரத்தின் மூன்று மடங்கு எனில், வளைபரப்புகளின் விகிதம் காண்க.
தீர்வு :
கூம்புகளின் ஆரம் x என்க.
r₁ = x அலகு r₂ = 3x அலகு r₁ < r₂ h₁ = 3x அலகு
h₂ = 3x அலகு

கேள்வி 8.
ஒரு கோளத்தின் ஆரம் 25% அதிகரிக்கும்போது, அதிகமாகும் புறப்பரப்பின் சதவீதம் காண்க.
தீர்வு :
கோளத்தின் ஆரம் r
கோளத்தின் மொத்தபரப்பு = 4πr2 ச.அ
அதிகரித்த கோளத்தின் ஆரம்
= \(r+\frac{25}{100} r=r+\frac{r}{4}=\frac{5 r}{4}\)அ
புதிய கோளத்தின் மொத்த பரப்பு = 5
4πr² ச.அ

கேள்வி 9.
உள்ளீடற்ற ஓர் அரைக்கோள வடிவக் கிண்ண த்திற்கு ஒரு சதுர செ.மீ க்கு வர்ணம் பூச 0.14 வீதம் செலவாகும். அதன் உட்புற மற்றும் வெளிப்புற விட்டங்கள் முறையே 20 செ.மீ மற்றும் 28 செ.மீ எனில், அதனை முழுமையாக வர்ணம் பூச எவ்வளவு செலவாகும்?
தீர்வு :
உள் விட்டம் = 20 செ.மீ
உள் ஆரம் r = 10 செ.மீ
வெளி விட்டம் = 28 செ.மீ
வெளி ஆரம் R = 14 செ.மீ
உள்ளீடற்ற அரைக் கோளத்தின் மொத்தப்பரப்பு
= π(3R² + r² ) ச.அ
= \(\frac { 22 }{ 7 }\)[3(14)² + 10²]
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) [3 x 196 x 100]
= \(\frac { 22 }{ 7 }\)[588 + 100]
= \(\frac{22 \times 688}{7}\)
= \(\frac{15136}{7}\)
= 2162.29 செ.மீ²
1 செ.மீ² வர்ணம் பூச =10.14
2162.29 ச.செ.மீ² வர்ண ம் பூச
= 2162.29 x 0.14
= ₹302.72

கேள்வி 10.
ஒரு மேஜை விளக்கின் வெளிப்புறத்திற்கு (மேல்பகுதியுடன்) மட்டும் வர்ணம் பூசப்படுகிறது. 1 ச.செ.மீ வர்ணம் பூச ₹2செலவாகுமெனில் விளக்கிற்கு வர்ணம் பூசுவதற்கான மொத்தச் செலவைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு :

R = 12செ.மீ,
r = 6செ.மீ,
h = 8செ.மீ

இடைக்கண்டத்தின் புறப்பரப்பு = π (R+r)l ச.அ
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (12 + 6)10
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 18 x 10
565.71ச.செ.மீ
வர்ணம் பூசப்பட்ட பரப்பு = புறப்பரப்பு + πr² ச.அ
= 565.71+\(\frac { 22 }{ 7 }\) x 6²
= 565.71 + 113.04
= 678.75 செ.மீ²
1 ச.செ.மீ க்கு வர்ணம் பூச = ₹2
678.75 செ.மீ² ச.செ.மீ க்கு வர்ண ம் பூச
= ₹678.75 x 2
= ₹1357.5

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.5 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.5

கேள்வி 1.
sin²θ + \(\frac{1}{1+\tan ^{2} \theta}\) ன் மதிப்பு
அ) tan²θ
ஆ) 1
இ) cot²θ
ஈ) 0
விடை :
ஆ)1

கேள்வி 2.
tan θ cosec² θ – tan θ – ன் மதிப்பு
அ) sec θ
ஆ) cot² θ
இ) sin θ
ஈ) cot θ
விடை :
ஈ) cot θ
தீர்வு :
tan θ coseo² θ – tanθ = tan θ (cosec² θ – 1)
= tan θ (cot² θ)
= tanθ x cotθ x cotθ = cotθ

கேள்வி 3.
(sinα + cosecα)² + (cosα + secα)² = k + tan²α
+cot²α , எனில் k – ன் மதிப்பு
அ) 9
ஆ) 7
இ) 5
ஈ) 3
விடை :
ஆ) 7
தீர்வு :
sin²α + cosec²α + 2sinα cosecoα + cose²α + sec²α + 2 cosα secα = k + tan²α + cot²α
1 + 2 + 2 + 1 + cot²α + 1 + tan²α = k + tan²α + cot²α
7 + cot²α + tan²α = k + tan²α + cot²α = K = 7

கேள்வி 4.
sin θ + cos θ = a மற்றும் sec θ + cosec θ = b, எனில் b(a² – 1) – ன் மதிப்பு
அ) 2a
ஆ) 3a
இ) 0
ஈ) 2ab
விடை :
அ) 2a
தீர்வு:
b(a² – 1) = (secθ + cosecθ) ( [sinθ + cosθ]² – 1)
= (secθ + cosec θ) (sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cosθ – 1)
= (sec θ + cosec θ) (1 + 2 sin θ cos θ – 1 )
= \(\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\sin \theta}\) (2sinθ cosθ)
= \(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}\) (2sinθ cosθ)
= 2 (a) = 2a

கேள்வி 5.
5x = sec θ மற்றும் \(\frac{5}{x}\) = tan θ, – எனில் x² – \(\frac{1}{x^{2}}\)ன் மதிப்பு
அ) 25
ஆ) 1/25
இ) 5
ஈ) 1
விடை:
ஆ) 1/25
தீர்வு :

கேள்வி 6.
sin θ = cos θ, எனில் 2tan² θ + sin² θ – 1ன் மதிப்பு
அ) \(\frac{-3}{2}\)
ஆ) \(\frac{3}{2}\)
இ) \(\frac{2}{3}\)
ஈ) \(\frac{-2}{3}\)
விடை :
இ) \(\frac{2}{3}\)
தீர்வு :
\(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = 1 θ = 45, 2tan² + sin² θ – 1
= 2tan²45° + sin²45 – 1
= 2(1)² + (1/2)² – 1
= 2 + 1/2 – 1 = \(\frac{4+1-2}{2}=\frac{3}{2}\)

கேள்வி 7.
x = a tan θ மற்றும் y = b sec θ எனில்
அ) \(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}\) = 1
ஆ) \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
இ) \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
ஈ) \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 0
விடை :
அ) \(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}\) = 1
தீர்வு :
\(\frac{x}{y}\) = tan θ, \(\frac{y}{b}\) = sec θ
sec² θ – tan² θ = 1
\(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}\) = 1

கேள்வி 8.
(1 + tan θ + sec θ)(1 + cotθ – cosecθ) – ன் மதிப்பு
அ) 0
ஆ)1
இ) 2
ஈ) -1
விடை :
இ) 2
தீர்வு :

கேள்வி 9.
a cotθ +bcosecθ = p மற்றும்
bcot θ +a cosec θ = q எனில் p² – q² மதிப்பு
அ) a² – b²
ஆ) b² – a²
இ) a² + b²
ஈ) b – a
விடை :
ஆ) b² – a²
தீர்வு :
p² – q² = (a² cot²θ + b²cosec² θ + 2ab cot ² cosec ²
-(b²cot²θ + a²cosec² θ + 2ab cot ecosec θ)
=-a²cot² + b²cosec² θ + 2ab cot e cosec θ
-b²cot² θ – a²cosec² θ – 2ab cot e cosec θ = a²(cot² θ – cosec² θ) + b²(cosec² θ -cot²θ)
= a²(-1) + b² (1) = -a² + b² = b² – a²

கேள்வி 10.
ஒரு கோபுரத்தின் உயரத்திற்கும் அதன் நிழலின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் √3 :1, எனில் சூரியனைக் காணும் ஏற்றக்கோண அளவானது
அ) 45°
ஆ) 30°
இ) 90°
ஈ) 60°
விடை :
ஈ) 60°
தீர்வு :

tanθ = = \(\frac{\sqrt{3}}{1}\)
tanθ = √3 ⇒ tanθ = tan60°
θ = 60°

கேள்வி 11.
ஒரு மின் கம்பமானது அதன் அடியில் சமதளப் பரப்பில் உள்ள ஒரு புள்ளியில் 30° கோணத்தை ஏற்படுத்துகிறது. முதல் புள்ளிக்கு ‘b’மீ உயரத்தில் உள்ள இரண்டாவது புள்ளியிலிருந்து மின்கம்பத்தின் அடிக்கு இறக்கக்கோணம் 60° எனில் மின் கம்பத்தின் உயரமானது. (மீட்டரில்)
அ) √3 b
ஆ) b/3
இ) b/2
ஈ) \(\frac{b}{\sqrt{3}}\)
விடை :
ஆ) b/3
தீர்வு :
tanθ =
tanθ 30° = \(\frac{\mathrm{h}}{x}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{h}}{x}\)
x = √3h ———(1)
tan 60° = \(\frac{\mathrm{h}}{x}\)
√3 = \(\frac{\mathrm{b}}{x}\)
x = \(\frac{b}{\sqrt{3}}\) ———- (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து

கேள்வி 12.
ஒரு கோபுரத்தின் உயரம் 60மீ ஆகும். சூரியனை காணும் ஏற்றக்கோணம் 30° -லிருந்து 45° ஆக உயரும்போது கோபுரத்தின் நிழலானது : மீ குறைகிறது எனில், x-ன் மதிப்பு
அ) 41.92 மீ
ஆ) 43.92 மீ
இ) 43 மீ
ஈ) 45.6 மீ
விடை :
ஆ) 43.92 மீ
தீர்வு :
tanθ =
tan 45° = \(\frac{60}{x}\)
1 = \(\frac{60}{x}\)
x = 60
tan 30° = \(\frac{60}{x+y}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{60}{x+y}\)
x + y = 60√3
y = 60√3 – 60 = 103.92 – 60 = 43.92 மீ

கேள்வி 13.
பல அடுக்குக் கட்டடத்தின் உச்சியிலிருந்து 20மீ உயரமுள்ள கட்டடத்தின் உச்சி, அடி ஆகியவற்றின் இறக்கக்கோணங்கள் முறையே 30° மற்றும் 60° எனில் பல அடுக்குக் கட்டடத்தின் உயரம் மற்றும் இரு கட்டடங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவானது (மீட்டரில்)
அ) 20, 10√3
ஆ) 30, 5√
இ) 20, 10
ஈ.) 30, 10√3
விடை :
ஈ) 30, 10√3
tanθ = im 3
tan 30° = \(\frac{60}{x}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{h}}{x}\)
x = h√3 ———- (1)
tan 60° = \(\frac{\mathrm{h}+20}{x}\)
x = \(\frac{\mathrm{h}+20}{\sqrt{3}}\) ———- (2)
1 மற்றும் 2 லிருந்து
\(h \sqrt{3}=\frac{h+20}{\sqrt{3}}\)
3h = h + 20
2h = 20
h = 10
x = h√3
= 10 √3
தொலைவு = 20 + 10 = 30 மீ

கேள்வி 14.
இரண்டு நபர்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு மீ ஆகும். முதல் நபரின் உயரமானது இரண்டாவது நபரின் உயரத்தைப் போல இரு மடங்காக உள்ளது. அவர்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு நேர்கோட்டின் மையப் புள்ளியிலிருந்து இரு நபர்களின் உச்சியின் ஏற்றக் கோணங்கள் நிரப்புக்கோணங்கள் எனில், குட்டையாக உள்ள நபரின் உயரம் (மீட்டரில்) காண்க.
அ) √x
ஆ) \(\frac{x}{2 \sqrt{2}}\)
இ) \(\frac{x}{\sqrt{2}}\)
ஈ.) 2x
விடை :
ஆ) \(\frac{x}{2 \sqrt{2}}\)

தீர்வு:

கேள்வி 15.
ஓர் ஏரியின் மேலே hமீ உயரத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து மேகத்திற்கு உள்ள ஏற்றக்கோணம் β மேக பிம்பத்தின் இறக்கக்கோணம் 45° எனில், ஏரியில் இருந்து மேகத்திற்கு உள்ள உயரமானது. (மீட்டரில்)
அ) \(\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)
ஆ) \(\frac{h(1-\tan \beta)}{1+\tan \beta}\)
இ) h tan(45° – β)
ஈ) இவை ஒன்றும் இல்லை
விடை :
அ) \(\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)
θ₁ = 45°
θ₁ = β
விடை :

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.4 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.4

கேள்வி 1.
13மீ உயரமுள்ள ஒருமரத்தின் உச்சியிலிருந்து மற்றொரு மரத்தின் உச்சி மற்றும் அடியின் ஏற்றக்கோணம் மற்றும் இறக்கக்கோணம் முறையே 45° மற்றும் 30° எனில், இரண்டாவது மரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (√3 = 1.732)
தீர்வு :
tanθ =
tan 45° = h/x
1 = h/x
x = h ———(1)
tan 30° = 13/x
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{13}{x}\)

x = 13√3 ——–(2)
(1) & (2) லிருந்து
h = 13√3 = 13 x 1.732
h = 22.516 மீ
இரண்டாவது மரத்தின் உயரம் = 13 + h
= 13 + 22.52
= 35.52 மீ

கேள்வி 2.
கடலின் நீர் மட்டத்திலிருந்து 40மீட்டருக்கு மேலே உள்ள ஒரு கப்பலின் மேல் பகுதியில் நின்று கொண்டிருக்கிற ஒருவர், குன்றின் உச்சியை 60° ஏற்றக்கோணத்திலும் அடிப்பகுதியை 30° இறக்கக்கோணத்திலும் காண்கிறார் எனில், கப்பலிலிருந்து குன்றுக்கு உள்ள தொலைவையும், குன்றின் உயரத்தையும் காண்க. ( √3 = 1.732)
தீர்வு :
tan θ =
tan 60° = h/x
√3 = h/x
x = h/√3 ——-(1)
tan 30° = 40/x
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{40}{x}\)
x = 40√3 ——(2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(40 \sqrt{3}=\frac{h}{\sqrt{3}}\)
h = 40√3 x √3 = 40 x 3 = 120
h = 120 மீ
மொத்த உயரம் = 120 + 40 மீ = 160 மீ

கேள்வி 3.
ஏரியின் நீர் மட்டத்திலிருந்து ‘he உயரத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு மேகத்தின் ஏற்றக்கோணம், θ₁ மற்றும் ஏரி நீரில் விழும் மேகப் பிம்பத்தின் இறக்கக்கோணம் θ₂ எனில் தரையிலிருந்து மேகத்தின் உயரம் \(\frac{h\left(\tan q_{1}+\tan q_{2}\right)}{\tan q_{2}-\tan q_{1}}\) என நிரூபி.
தீர்வு :
tanθ = 
EF = DC = h , AD = b – h
AC = BC = b BD = b + h

tanθ₁ (b + h) = tanθ₂ (b – h)
b tanθ₁ + h tanθ₁ = b tanθ₂ – h tanθ₂
h tanθ₁ + h tanθ₂ = b tanθ₂ – b tanθ₁
h (tanθ₁ + tanθ₂) = b (tanθ₂ – b tanθ₁)
= b(tanθ₂ – tanθ₁) = h(tanθ₁ + tanθ₂)
b = h ( \(\frac{\tan \theta_{1}+\tan \theta_{2}}{\tan \theta_{2}-\tan \theta_{1}}\) )

கேள்வி 4.
உயரமான அடுக்குமாடிக் குடியிருப்பின் அடியிலிருந்து அலைபேசி கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 60° மற்றும் குடியிருப்பின் உச்சியிலிருந்து கோபுர அடியின் இறக்கக்கோணம் 30 ஆகும். அடுக்குமாடி குடியிருப்பின் உயரம் 50 மீ எனில் அலைபேசிக் கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. கதிர்வீச்சுக்கட்டுப்பாடு விதியின்படி அலைபேசிக் கோபுரத்தின் குறைந்தபட்ச உயரம் 120மீ இருக்க வேண்டும். மேற்கண்ட அலைக்கோபுரம் இந்தக் கட்டுப்பாட்டிற்கு உட்படுகிறதா?
தீர்வு :
tanθ =
tan 30° – \(\frac{50}{x}\)
x = 50√3 ————— (1)
tan 60° = h/x
√3 = h/x
x = h/√3 ————— (2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(\frac{\mathrm{h}}{\sqrt{3}}\) = 50√3
h = 50√3 x √3 = 50 x 3 = 150
h = 150 மீ
ஆம். மேற்கண்ட அலைக்கோபுரம் இந்தக் கட்டுப்பாட்டிற்கு உட்படுகிறது.

கேள்வி 5.
66 மீ உயரமான அடுக்குமாடிக் குடியிருப்பின் உச்சியிலிருந்து ஒரு விளக்குக் கம்பத்தின் உச்சி மற்றும் அடியின் ஏற்றக்கோணம் மற்றும் இறக்கக்கோணம் முறையே 60°, 30° எனில் பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
i) விளக்குக் கம்பத்தின் உயரம்.
ii) விளக்குக் கம்ப உயரத்திற்கும் அடுக்குமாடியின் உயரத்திற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம்.
iii) விளக்குக் கம்பத்திற்கும் அடுக்குமாடிக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு. ( √3 = 1.732)
தீர்வு :
tanθ =
tan 60° = \(\frac{\mathrm{h}-66}{x}\)
√3 = \(\frac{\mathrm{h}-66}{x}\)
x = \(\frac{\mathrm{h}-66}{\sqrt{3}}\) ———(1)
tan 30° = \(\frac{66}{x}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{66}{x}\)
x = 66√3 ——– (2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(\frac{\mathrm{h}-66}{\sqrt{3}}=66 \sqrt{3}\)
h – 66 = 66√3 x 66 x 3 = 198
h = 198 + 66
i) h = 264 மீ
ii) விளக்குக் கம்ப உயரத்திற்கும் அடுக்குமாடியின் உயரத்திற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம்
= 264 – 66 = 198 மீ.
iii) விளக்குக் கம்பத்திற்கும் அடுக்குமாடிக்கும் இடையேயுள்ள தொலைவு x = 66√3 = 66 x 1.732
= 114.31மீ

கேள்வி 6.
A, B மற்றும் C என்ற மூன்று கிராமவாசிகள் ஒரு பள்ளத்தாக்கில் ஒருவருக்கொருவர் பார்க்குமாறு உள்ளனர். A-க்கும், B-க்கும் இடைப்பட்ட கிடைமட்டத் தொலைவு 8கி.மீ மற்றும் B-க்கும், C-க்கும் இடைப்பட்ட கிடைமட்டத் தொலைவு 12கி.மீ A-லிருந்து B-க்கு உள்ள இறக்கக்கோணம் 20° மற்றும் B-யிலிருந்து C-க்கு உள்ள ஏற்றக்கோணம் 30 எனில் பின்வருவனவற்றைக் கணக்கிடுக.
(i) A-க்கும் B-க்கும் இடையேயுள்ள செங்குத்து உயரம்.
(ii) B-க்கும் C-க்கும் இடையேயுள்ள செங்குத்து உயரம்.
(tan 20° = 0.3640, √3 = 1.732)
தீர்வு :

tanθ =
tan 20° = \(\begin{array}{l}
\text { AD } \\
\hline B D
\end{array}\)
0.3640 = \(\frac{\mathrm{AD}}{8}\)
AD = 0.3640 x 8 = 2.91 கி.மீ
AD = 2.91கி.மீ

tan 30° = \(\frac{\mathrm{CE}}{B E}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{C E}{12}\)
\(\frac{12}{\sqrt{3}}\) = CE
CE = 4√3 = 4 x 1.732
CE = 6.39 கி.மீ

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.3

கேள்வி 1.
50√3 மீ உயரமுள்ள ஒரு பாறையின் உச்சியிலிருந்து 30. இறக்கக்கோணத்தில் தரையிலுள்ள மகிழுந்து ஒன்று பார்க்கப்படுகிறது எனில், மகிழுந்திற்கும் பாறைக்கும் இடையேயுள்ள தொலைவைக் காண்க.
தீர்வு :

x = 50√3 x √3 = 50 x 3
x = 150 மீ

கேள்வி 2.
இரண்டு கட்டடங்களுக்கு இடைப்பட்ட கிடைமட்டத் தொலைவு 70மீ ஆகும். இரண்டாவது கட்டடத்தின் உச்சியிலிருந்து முதல் கட்டடத்தின் உச்சிக்கு உள்ள இறக்கக்கோணம் 45′ ஆகும். இரண்டாவது கட்டடத்தின் உயரம் 120மீ எனில் முதல் கட்டடத்தின் உயரத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
tan θ =
tan 45° = \(\frac{120-h}{70}\)
1 = \(\frac{120-h}{70}\)
70 = 120 – h
h = 120 – 70 = 50
h = 50 மீ

கேள்வி 3.
60மீ உயரமுள்ள கோபுரத்தின் உச்சியிலிருந்து செங்குத்தாக உள்ள ஒரு விளக்குக்கம்பத்தின் உச்சி மற்றும் அடியின் இறக்கக்கோணங்கள் முறையே 380 மற்றும் 60° எனில், விளக்குக் கம்பத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (tan 380 = 0.7813, √3 = 1.732)
தீர்வு:

(1) & (2)லிருந்து
\(\frac{60-h}{0.7813}\) = 20√3
60 – h = 20(1.732) x 0.7813
60 – h = 27.06
h = 60 – 27.06 = 32.94
h = 32.94 மீ

கேள்வி 4.
1800 மீ உயரத்தில் பறக்கும் ஒரு விமானத்திலிருந்து ஒரே திசையில் விமானத்தை நோக்கிச் செல்லும் இருபடகுகள் பார்க்கப்படுகிறது. விமானத்திலிருந்து இரு படகுகளை முறையே 60 மற்றும் 300 இறக்கக்கோணங்களில் உற்று நோக்கினால், இரண்டு படகுகளுக்கும் இடைப்பட்டத் தொலைவைக் காண்க. ( √3 = 1.732).
தீர்வு :


(1) = (2) 600√3 = 1800√3 – x
x = 1800 √3 – 600√3
= 1200 √3
= 1200(1.732)
x = 2078.4 மீ

கேள்வி 5.
ஒரு கலங்கரை விளக்கத்தின் உச்சியிலிருந்து எதிரெதிர் பக்கங்களில் உள்ள இரண்டு கப்பல்கள் 30 மற்றும் 60 இறக்கக்கோணத்தில் பார்க்கப்படுகின்றன. கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் hமீ. இரு கப்பல்கள் மற்றும் கலங்கரை விளக்கத்தின் அடிப்பகுதி ஆகியவை ஒரே நேர்கோட்டில் அமைகின்றன எனில், இரண்டு கப்பல்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு \(\frac{4 h}{\sqrt{3}}\) மீ என நிரூபிக்க.
தீர்வு :

கேள்வி 6.
90 அடி உயரமுள்ள கட்டடத்தின் மேலிருந்து ஒளிஊடுருவும் கண்ணாடிச் சுவர் கொண்ட மின் தூக்கியானது கீழ் நோக்கி வருகிறது. கட்டடத்தின் உச்சியில் மின் தூக்கி இருக்கும் போது பூந்தோட்டத்தில் உள்ள ஒரு நீரூற்றின் இறக்கக்கோணம் 60° ஆகும். இரண்டு நிமிடம் கழித்து அதன் இறக்கக்கோணம் 300 ஆக குறைகிறது. மின்தூக்கியின் நுழைவு வாயிலிருந்து நீரூற்று 30√3 அடி தொலைவில் உள்ளது எனில் மின்தூக்கி கீழே வரும் வேகத்தைக் காண்க.
தீர்வு :


x + y = 90√3 ——-(2)
x + 30√3 = 90√3 by (1)
x = 90√3 – 30√3
x = 60√3
தொலைவு = x = 60√3
வேகம் x நேரம் = 6013
வேகம் x 2 = 60√3
வேகம் = \(\)
வேகம் = 30√3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.2

கேள்வி 1.
10√3 மீ உயரமுள்ள கோபுரத்தின் அடியிலிருந்து 30மீ தொலைவில் தரையில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து கோபுரத்தின் உச்சியின் ஏற்றக்கோணத்தைக் காண்க.
தீர்வு :

tanθ = tan 30°
e = 30°

கேள்வி 2.
ஒரு சாலையின் இருபுறமும் இடைவெளியே இல்லாமல் வரிசையாக வீடுகள் தொடர்ச்சியாக உள்ளன. அவற்றின் உயரம் 413 மீ. பாதசாரி ஒருவர் சாலையின் மையப் பகுதியில் நின்று கொண்டு வரிசையாக உள்ள வீடுகளை நோக்குகிறார். 300 ஏற்றக்கோணத்தில் பாதசாரி வீட்டின் உச்சியை நோக்குகிறார் எனில், சாலையின் அகலத்தைக் காண்க.
தீர்வு :

கேள்வி 3.
ஒருவர் அவருடைய வீட்டிற்கு வெளியில் நின்றுகொண்டு ஒரு ஜன்னலின் உச்சி மற்றும் அடி ஆகியவற்றை முறையே 600 மற்றும் 45″ ஆகிய ஏற்றக்கோணங்களில் காண்கிறார். அவரின் உயரம் 180செ.மீ. மேலும் வீட்டிலிருந்து 5மீ தொலைவில் அவர் உள்ளார் எனில், ஜன்னலின் உயரத்தைக் காண்க . ( √3 = 1.732)
தீர்வு :

tan 45° = \(\frac{x-h}{5}\)
1 = \(\frac{x-h}{5}\)
5 = x – h
x = h + 5——(1)
tan 60° = \(\frac{x}{5}\)
√3 = \(\frac{x}{5}\)
x = 5√3 —–(2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து
h + 5 = 5√3
h = 5√3 – 5
= ( √3 – 1)5
= (1.732 – 1)5
= (0.732) 5
h = 3.66 மீ

கேள்வி 4.
1.6மீ உயரமுள்ள சிலை ஒன்று பீடத்தின் மேல் அமைந்துள்ளது. தரையிலுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து 60° ஏற்றக்கோணத்தில் சிலையின் உச்சி அமைந்துள்ளது. மேலும் அதே புள்ளியிலிருந்து பீடத்தின் உச்சியானது 40° ஏற்றக்கோணத்தில் உள்ளது எனில், பீடத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (tan 40° = 0.8391, √3 = 1.732)
தீர்வு :

tan 40° = \(\frac{h}{x}\)
0.8391 = \(\frac{h}{x}\)
x = \(\frac{h}{0.8391}\)——(1)
tan 60° = [la6tex]\frac{1.6+h}{x}[/latex]
√3 = \(\frac{1.6+h}{x}\)
x = \(\frac{1.6+h}{\sqrt{3}}\) ——-(2)
(1) & (2) லிருந்து
\(\frac{h}{0.8391}=\frac{1.6+h}{\sqrt{3}}\)
√3h = 0.8391 x 1.6 + 0.8391 h
1.732 h – 0.8391 h = 1.3426
0.8929 h = 1.3426
h = \(\frac{1.3426}{0.8929}\)
h = 1.50 மீ

கேள்வி 5.
‘r’ மீ ஆரம் கொண்ட அரைக்கோளக் குவிமாடத்தின் மீது ‘h’ மீ உயரமுள்ள ஒரு கொடி கம்பம் நிற்கிறது, குவிமாடத்தின் அடியிலிருந்து 7 மீ தொலைவில் ஒருவர் நிற்கிறார். அவர் கொடிக்கம்பத்தின் உச்சியை 450 ஏற்றக் கோணத்திலும் நிற்குமிடத்திலிருந்து மேலும் 5மீ தொலைவு விலகிச்சென்று கொடிக் கம்பத்தின் அடியை 30′. ஏற்றக் கோணத்திலும் பார்க்கிறார் எனில், (i) கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் (ii) அரைக் கோளக் குவிமாடத்தின் ஆரம் ஆகியவற்றைக் காண்க. ( √3 = 1.732)

தீர்வு :

r + 7 = r + h
⇒ h = 7மீ

r + 12 = √3r
√3r – r = 12
(√3 – 1)r = 12
(1.732 – 1) = 12
0.732 x r = 12
r = \(\frac{12}{0.732}\)
r = 16.39 மீ

கேள்வி 6.
15 மீ உயரமுள்ள ஒரு கோபுரம் உள்ளது. ஒரு மின் கம்பத்தின் அடி மற்றும் உச்சியிலிருந்து கோபுரத்தின் உச்சியை முறையே 60°, 300 என்ற ஏற்றக்கோணங்களில் பார்த்தால் மின் கம்பத்தின் உயரத்தைக் காண்க.
தீர்வு :


x = \(\frac{15}{\sqrt{3}}\) ———-(2)
(1) = (2)
\(\frac{15}{\sqrt{3}}=(15-\mathrm{h}) \sqrt{3}\)
15 = (15 – h) 3
15 – h = \(\frac{15}{3}\) = 5
15 – h = 5
15 – 5 = h
h = 10 மீ

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 10th Maths Guide Pdf Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 10th Maths Solutions Chapter 6 முக்கோணவியல் Ex 6.1

கேள்வி 1.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) cot θ + tan θ = sec θ cosec θ
(ii) tan⁴ θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ
தீர்வு:
(i) இடப்பக்கம் = cot θ + tan θ

= sec θ cosec θ = வலப்பக்கம் –

(ii) இடப்பக்கம் = tan⁴ θ+ tan² θ
= tan² θ (tan² θ + 1)
= tan² θ x sec² θ ——-(1)
வலப்பக்கம் = sec⁴ θ – sec² θ
= sec² θ (sec² θ – 1)
= sec² θ x tan² θ ——-(2)
(1) மற்றும் (2)லிருந்து
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 2.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) \(\frac{1-\tan ^{2} \theta}{\cot ^{2} \theta-1}\) = tan² θ
(ii) \(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}\) = secθ – tanθ
தீர்வு:

கேள்வி 3.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) \(\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}\) = sec θ + tan θ
(ii) \(\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}\) = 2secθ
தீர்வு:

கேள்வி 4.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) Sec⁶ θ = tan⁶ θ + 3 tan² θ Sec² θ + 1
(ii) (Sin θ + Secθ)² + (Cos θ + Cosec θ)²
= 1+ (Sec θ + Cosec θ)²
தீர்வு:
(i) வலப்பக்கம் = Sec⁶ θ
= (Sec² θ )3
= (1 + tan² θ )³
= (1)3 + 3(1)2 (tan 0)2
+ 3(1)(tan² θ )² + (tan² θ )³
= 1+3 tan² θ +3tan⁴ θ + tan⁶ θ
= tan⁶ θ + 3tan² θ (1+ tan² θ ) + 1
= tan⁶ θ + 3tan² θ Sec² θ + 1
= RHS.

(ii) இடப்பக்கம்
= (sin θ + sec θ)² + (cos θ + cosec θ)²
= sin² θ + sec² θ + 2sin θ sec + cos² θ + cosec² θ + 2cosθ cosec θ
= 1 + 2sin θ x \(\frac{1}{\cos \theta}\) + 2cos θ x \(\frac{1}{\sin \theta}\) cosθ + sec² θ + cosec²θ
= 1 + 2[\(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\cos \theta \sin \theta}\) ] + sec² θ + cosec² θ
= 1 + 2[ \(\frac{1}{\cos \theta \sin \theta}\) ]+ sec² θ + cosec²θ
= 1 + 2sec θ cosec θ + sec² e + cosec² θ
= 1 + (sec θ + cosec 6)² = R.H.S

கேள்வி 5.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) Sec⁴ θ (1-sin⁴ θ) – 2tan² θ = 1
(ii) \(\frac{\cot \theta-\cos \theta}{\cot \theta+\cos \theta}=\frac{cosec \theta-1}{cosec \theta+1}\)
தீர்வு :
(i) இடப்பக்கம் = Sec⁴ θ (1-sin⁴ θ) – 2tan² θ = 1

(ii) \(\frac{\cot \theta-\cos \theta}{\cot \theta+\cos \theta}=\frac{cosec \theta-1}{cosec \theta+1}\)

கேள்வி 6.
பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்கவும்.
(i) \(\frac{\sin A-\sin B}{\cos A+\cos B}+\frac{\cos A-\cos B}{\sin A+\sin B}\)
(ii) \(\frac{\sin ^{3} A+\cos ^{3} A}{\sin A+\cos A}+\frac{\sin ^{3} A-\cos ^{3} A}{\sin A-\cos A}=2\)
தீர்வு :

= (sin²A – sinAcosA + cos²A) + (sin²A + sinAcosA + cos²A)
= 1 – sinA cosA + 1 + sinA cosA
= 2 = வலப்பக்கம்

கேள்வி 7.
i) sinθ + cosθ = √3 எனில், tanθ + cotθ = 1
ii) √3sinθ – cosθ = 0 எனில் tan3θ = \(\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\) என நிறுவுக
தீர்வு :
(i) கொடுக்கப்பட்டவை sinθ +cosθ = √3
(sinθ + cosθ)² = ( √3)²
sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ = 3
1 + 2sinθ cosθ = 3
2sinθ cosθ = 3-1 = 2
sinθ cosθ = 5
sinθ cosθ = 1——–(1)
இடப்பக்கம் = tanθ + cotθ
= \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
= \(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}\)
= 1/1 = 1 = வலப்பக்கம்

(ii) கொடுக்கப்பட்டவை √3sinθ – cosθ = 0
√3 sinθ = cosθ
\(\frac{\sin \theta}{Cos\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = tan 30°
θ = 30°
இடப்பக்கம் = tan 3θ
= tan 3 (30°)
= tan90° = வரையறுக்கப்பட்டவில்லை —— (1)

= வரையறுக்கப்படவில்லை ——- (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

கேள்வி 8.
i) \(\frac{\cos \alpha}{\cos \beta}\) = m மற்றும் \(\frac{\cos \alpha}{\sin \beta}\) = n
எனக்கொண்டு (m² + m²) Cos β = n² என்பதை நிரூபிக்கவும்
ii) Cot θ + tan θ = x மற்றும் Sec θ – Cos θ = y, எனில் \(\left(x^{2} y\right)^{\frac{2}{3}}-\left(x y^{2}\right)^{\frac{2}{3}}\) என்பதை நிரூபிக்கவும்
தீர்வு : (i)

(ii) கொடுக்கப்பட்டவை

கேள்வி 9.
(i) sinθ + cosθ = P , மற்றும் secθ + cosecθ = q எனில், q(p² – 1) = 2p என்பதை நிரூபிக்கவும்.
(ii) sinθ (1 + sin²θ) = cos²θ , எனில், cos⁶θ – 4cos⁴θ + 8cos²θ = 4 என்ப தை நிரூபிக்கவும்
(i) தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்டவை, sin θ + cos θ = p
(sinθ +cosθ)² = p²
sin²θ + cos²θ + 2sinθ cosθ = p²
1 + 2sinθ cosθ = p² ——– (1)
secθ + cosecθ = q

secθ + cosθ = p/q ——— (2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட
1 + 2\(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\) = p²
2p = q(p² – 1)
q(p² – 1) = 2p
நிரூபிக்கப்பட்டது.

(ii) கொடுக்கப்பட்டவை sine (1+sin²o) = cos²o
sinθ [1+1-cos²θ] = cos²e
sinθ [2-cos²θ] = cos²θ
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
sin²θ [2-cos²θ)² = cos⁴θ
(1-cos²θ) [(2)² – 2(2) (cos²θ) – (cos²θ)² ] = cos⁴θ
(1-cos²θ)[4- 4cos²θ + cos⁴θ] = cos⁴θ
4 – 4cos²θ+ cos⁴θ – 4cos²θ + 4cos⁴θ – cos ⁶θ = cos⁴θ
4 – 8cos²θ – 4cos⁴θ – cos⁶θ – cos⁴θ = 0
cos⁶ θ – 4cos⁴θ – 8cos²θ = 4
நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 10.
\(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1}{a}\), எனில், \(\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}\) = sin θ என்பதை நிரூபிக்கவும்
தீர்வு :
கொடுக்கப்பட்டவை \(\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1}{a}\)

a² – a² sinθ = 1 + sinθ
a² – 1 = a sinθ + sinθ
a² – 1 = (a² + 1)sinθ
sinθ = \(\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}\)
நிரூபிக்கப்பட்டது.