Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.3

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.3

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் புள்ளிகளை இணைத்து உருவாக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளிகளைக் காண்க.
(i) (-2,3) மற்றும் (-6,-5)
(ii) (8,-2) மற்றும் (-8, 0)
(iii) (a,b) மற்றும் (a + 2b, 2a – b)
(iv) \(\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{7}\right)\) மற்றும் \(\left(\frac{3}{2}, \frac{-11}{7}\right)\)
விடை:
(i) (-2, 3) மற்றும் (-6,-5) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி

= (-4, -1)

(ii) (8, -2) மற்றும் (-8,-0) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி

= (0,-1)

(iii) (a + b) மற்றும் (a + 2b, 2a – b) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி

= (a + b, a)

(iv) \(\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{7}\right)\) மற்றும் \(\left(\frac{3}{2}, \frac{-11}{7}\right)\) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி

= (1,-1)

கேள்வி 2.
ஒரு வட்டத்தின் மையம் (-4,2) அந்த வட்டத்தில் (-3,7) என்பது விட்டத்தின் ஒரு முனை எனில், மற்றொரு முனையைக் காண்க.
விடை:
தரவு B (-3,+7)
A இன் ஆயத்தொலைவு (x₁, y₁) என்க. விட்டம் AB இன் நடுப்புள்ளி வட்டத்தின் மையம் என்பதால் நாம் பெறுவது.

மற்றொரு முனை (-5, -3)

கேள்வி 3.
(3,4) மற்றும் (P,7) ஐ இணைக்கும் கோட்டுத் துண்டின் நடுப்புள்ளி (x,y) ஆனது 2x + 2y + 1 = 0 இன் மேல் அமைந்துள்ளது எனில், P இன் மதிப்பு காண்க?
விடை:
(3,4) மற்றும் (P,7) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளி

2x + 2y + 1 = 0 இன் மேல் அமைந்துள்ளது

= 3 + P+ 11 + 1 = 0
P+ 15 = 0
P = -15

கேள்வி 4.
ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் (2,4), (-2,3) மற்றும் (5,2) எனில் அந்த முக்கோணத்தின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்க.
விடை:
ஒரு முக்கோணத்தின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளை A (x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) என்க.
(2,4), (-2,3) மற்றும் (5,2) என்பன பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்
\(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\) = 2 …………. (1)    AC² = (3 – 7)² + (4 + 2)²
\(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\) = -2 ………….(2)   (-4)² + 6² = 16 + 36 = 52
\(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}\) = 5 ……………(3)   AC = \(\sqrt{52}\) = 2\(\sqrt{13}\)
x₁ + x₂ = 4
x₂ + x₃ = -4
x₃ + x₁ = 10
y₁ + y₂ = 8 ………………….(5)
y₂ + y₃ = 6 …………………(6)
y₃ + y₁ = 4 ………………..(7)
1 + 2 + 3 ⇒
2x₁ +2x₂ + 2x₃ = 10
x₁ + x₂ + x₃ = 5 ……….. (4)
5+ 6 +7 ⇒
2y₁ + 2y₂ + 2y₃ = 18
y₁ + y₂ + y₃ = 9 ………………(8)
4 – 2 ⇒ x₁ = 5 + 4 = 9
4 – 3 ⇒ x₂ = 5 – 10 = -5
4 – 1⇒ x₃ = 5 – 4 = 1
8 – 6 ⇒ y₁ = 9 – 6 = 3
8 – 7 ⇒ y₂ = 9 – 4 = 5
8 – 5 ⇒ y₃ = 9 – 8 = 1
முக்கோணத்தின் முனைகளின் ஆயத் தொலைவுகள் A (9,3), B(-5,5) மற்றும் (1,1)

கேள்வி 5.
AB ஐ ஒரு நாணாக உடைய வட்டத்தின் மையம் O(0,0) இங்கு புள்ளிகள் A மற்றும் B முறையே (8,6) மற்றும் (10,0) ஆகும். வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து நாண் AB இக்கு வரையப்படும் செங்குத்து OD எனில், OD இன் மையப்புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்க.
விடை:

D என்பது AB இன் நடுப்புள்ளி என்க.

கேள்வி 6.
புள்ளிகள் A(-5,4), B(-1,2) மற்றும் C(5,2) என்பன இரு சமபக்கச் செங்கோண முக்கோணத்தின் உச்சிகள், இதில் B இல் செங்கோணம் அமைந்துள்ளது. மேலும் ABCD ஒரு சதுரம் எனில் D இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்க.
விடை:

AB² = (-1 + 5)² + (-2 -4)²
= (4)² + (-6)²
= 16 + 36
= 52
BC² = (5 + 1)² + (2 + 2)²
(6)² + (4)²
= 36 + 16
= 52
CD² = (x – 5)² + (y – 2)²
= x² + 25 – 10x + y² + 4 – 4y
= x² + y² – 10x – 4y + 29
x² + y² – 10x – 4y + 29 = 52
x² + y² – 10x – 4y = 52 – 29
x² + y² – 10x – 4y = 23 ……………….. (1)
AD² = (x + 5)² + (y – 4)²
= x² +25 + 10x + y² + 16 – 8y
= x² + y² + 10x – 8y + 41
x² + y² + 10x – 8y + 41 = 52
x² + y² + 10x – 8y = 52 – 41
x² + y² + 10x- 8y = 11…………….. (2)
(1) + (2) ⇒
= x² + y² – 10x – 4y = 23
x² + y² + 10x – 8y = 11
-20x + 4y = 12
4y = 20x + 12
y = 5x + 3
(1) ⇒ x² + (5x + 3)² – 10x – 4(5x + 3) – 23 = 0
x2² +25x² + 9 + 30x – 10x – 20x – 12 – 23 = 0
x² + 25x² + 9 + 30x – 30x – 35 = 0
26x² – 26 = 0
26x² = 26
x² = 1
y = 5(1) + 3
y = 5 + 3
y = 8
Dன் ஆயத்தொலைவு (1, 8)

கேள்வி 7.
முக்கோணம் DEF இன் பக்கங்கள் DE, EF மற்றும் FD களின் முறையே A(-3, 6), B(0, 7) மற்றும் C( 1, 9) எனில், நாற்கரம் ABCD ஓர் இணைகரம் என நிறுவுக.

தீர்வு:
D(x₁, y₁ ), E(x₂, y₂ ) மற்றும் F(x₂, y₃) என்பன ΔDEF ன் உச்சப்புள்ளிகள் E என்க.
A(-3, 6), B(0, 7), C(1, 9) என்ப ன DE, EF மற்றும் FD-ன் நடுப்புள்ளிகள் ஆகும்.

D(-2, 8) E( 4, 4) F(4, 10) என்ப ன முக்கோணத்தின் உச்சிப்புள்ளிகளாகும்.
நிரூபிக்க : ABCD ஒரு இணைகரம்.
A(-3,6), B(0, 7), C(1,9), D(-2, 8)
∴ AB = CD = \(\sqrt{10}\), BC = DA = √5 கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ABCD என்ற இணைகரத்தை அமைக்கும்.

கேள்வி 8.
A(-3,2), B (3,2) மற்றும் C (-3,-2) என்பன
A இல் செங்கோணத்தைக் கொண்டுள்ள செங்கோண முக்கோணத்தின் உச்சிகள்
எனில் கர்ணத்தின் நடுப்புள்ளியானது உச்சிகளிலிருந்து சமத் தொலைவில் உள்ளது என்பதை நிறுவுக.
விடை:

D என்பது BC இன் நடுப்புள்ளி என்க.
D \(\left(\frac{-3+3}{2}, \frac{-2+2}{2}\right)\)
D (0,0)
AD இன் தொலைவு = \(\sqrt{(0+3)^{2}+(0-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+4}\)
\(=\sqrt{13}\)
CD இன் தொலைவு = \(\sqrt{(-3+0)^{2}+(-2-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+4}\)
\(=\sqrt{13}\)
BD இன் தொலைவு = \(\sqrt{(3-0)^{2}+(2-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+4}\)
\(=\sqrt{13}\)
AB=BD=CD \(=\sqrt{13}\) எனவே D என்பது உச்சிகளிலிருந்து சமத்தொலைவில் உள்ளது