Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.2

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 9th Maths Guide Pdf Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 9th Maths Solutions Chapter 5 ஆயத்தொலை வடிவியல் Ex 5.2

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவைக் காண்க.
(i) (1,2) மற்றும் (4,3)
(ii) (3,4) மற்றும் (-7,2)
(iii) (a,b) மற்றும் (c,b)
(iv) (3,9) மற்றும் (-2,3)
விடை:
(i) (1,2) மற்றும் (4,3) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
\(=\sqrt{(4-1)^{2}+(3-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(3)^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+1}\)
\(=\sqrt{10}\) அலகுகள்

(ii) (3,4) மற்றும் (-7,2) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-7-3)^{2}+(2-4)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-10)^{2}+(-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{100+4}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 13}\)
= \(=2 \sqrt{26}\) அலகுகள்

(iii) (a,b) மற்றும் (c,b) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு
இடையே உள்ள தொலைவு
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
\(=\sqrt{(c-b)^{2}+(b-b)^{2}}\)
\(=\sqrt{(\mathrm{c}-\mathrm{a})^{2}+0}\)
= c – a

(iv) (3,-9) மற்றும் (-2,3) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு
d = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-2-3)^{2}+(3+9)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-5)^{2}+(12)^{2}}\)
\(=\sqrt{25+144}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=\sqrt{13}\) அலகுகள்

கேள்வி 2.
தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ஒரு கோடமையும் புள்ளிகளா என ஆராய்க
(i) (7,-2), (5, 1), (3, 4)
(ii) (a,-2), (a, 3), (a, 0)
விடை : (7,-2), (5, 1), (3, 4) ஒரு கோடமையும் புள்ளிகளை
AB² = (x₂ – x₁ )² + (y₂ + y₁)²
= (5 – 7)² +(1 + 2)²
=(-2)² + 3² = 4 + 9 = 13
AB = \(\sqrt{13}\)
BC² = (3° – 5)² + (4 – 1)²
= (-2)² + 3² = 4 + 9 = 13
BC = \(\sqrt{13}\)
AC² = (3 – 7)² + (4 + 2)²
= (-4)² + 6² = 16 + 36 = 52
AC = \(\sqrt{52}\) = 2\(\sqrt{13}\)
AC = AB + BC
= \(\sqrt{13}\) + \(\sqrt{13}\) = 2\(\sqrt{13}\)
∴ ஆகவே, தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைகின்றன.

(ii) (a, -2), (a, 3), (a, 0)
A (a, -2), B (2, 3), மற்றும் C (a, 0) என்ற தொலைவு வாய்பாட்டின் படி
AB² = (a – a)² + (3 + 2)²
= 0 + (5)²
= 25
AB = \(\sqrt{25}\)
= 5
BC² = (a – a)² + (0 – 3)²
= 0 + (-3)²
= 0 + 9
= 9
BC = √9
CA² = (a – a)² + (0 + 2)²
= 0 + (2)²
= 4
CA = √4
= 2
BC + CA = 3 + 2
= 5
= AB
A, B, C என்பன ஒரு கோடமையும் புள்ளிகள்.

கேள்வி 3.
பின்வரும் புள்ளிகள் வரிசைப்படி எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டால் அது ஓர் இரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும் என நிறுவுக.
(i) A (5, 4), B (2, 0), C(-2, 3)
(ii) A (6, -4), B (-2, -4), C(2, 10)
விடை:
(i) AB² = (2 – 5)² + (0 – 4)²
= (-3)² + (-4)²
= 9 + 16
= 25
AB = \(\sqrt{25}\)
= 5
BC² = (-2 -2)² + (3 – 0)²
= (-4)² + (3)²
= 16 + 9
= 25
BC = \(\sqrt{25}\)
= 5
CA² = (-2 -5)² + (3 – 4)²
=(-72 + (-1)²
= 49 +1
= 50
CA = \(\sqrt{50}\)
\(=\sqrt{5 \times 5 \times 2}\)
= 5√2
AB = BC≠CA ABC என்பது ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

(ii) AB² = (-2 -6)² + (4 – 4)²
= (-8)² + (0)²
= 64
AB = \(\sqrt{64}\)
= \(=\sqrt{8 \times 8}\)
= 8
BC² = (2 + 2)² + (10 – 4)²
= (4)² + (6)²
= 16 + 36)
= 52
BC = \(\sqrt{52}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 13}\)
= 2\(\sqrt{13}\)
CA² = (2 – 6)² + (10 – 4)²
= (-42 + (6)²
= 16 + 36
= 52
CA = \(\sqrt{52}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 13}\)
=2\(\sqrt{13}\)
AB ≠ BC = CA என்பது ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.

கேள்வி 4.
பின்வரும் புள்ளிகள் வரிசைப்படி எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால் அது ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும் என நிறுவுக.
(i) A (2, 2), B (-2, -2), C (-2√3, 2√3)
(ii) A (√3, 2), B (0, 1), C(0, 3)
விடை:
(i) AB² = (-2 -2)² + (-2 -2)²
= (-4)² + (-4)²
= 16 + 16
= 32


(ii) AB = \(\sqrt{(0-\sqrt{3})^{2}+(1-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}\)
\(=\sqrt{3+1}\)
= √4
= 2
BC = \(\sqrt{(0-0)^{2}+(3-1)^{2}}\)
\(=\sqrt{\left(0+(2)^{2}\right.}\)
= √4
= 2
CA = \(\sqrt{(0-\sqrt{3})^{2}+(3-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{3+1}\)
= √4
= 2
AB = BC = CA = 4√2 அனைத்துப் பக்கங்களும் சமம். ஆகவே புள்ளிகள் சமபக்க முக்கோணத்தை உருவாக்கும்.

கேள்வி 5.
பின்வரும் புள்ளிகள் வரிசைப்படி எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால் அது ஓர் இணைகரத்தை அமைக்கும் என நிறுவுக.
(i) A (-3, 1), B (-6, -7), C (3, -9) D (6, -1)
(ii) A (-7, -3), B (5, 10), C (15, 8) D (3, -5)
விடை :
(i) A (-3, 1), B (-6,-7), C (3,-9) மற்றும் D (6, -1)
என்க தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,
(i) AB² = (-6, 3)² + (-7 -1)²
= (-3)² + (-8)²
= 9 + 64
= 73
AB = \(\sqrt{73}\)
BC² = (3, 6)² + (-9 + 7)²
= (9)² + (-2)²
= 81 + 4
= 85
BC = \(\sqrt{85}\)
CD² = (6 – 3)² + (-1 + 9)²
= (3)² + (8)²
= 9 + 64
= 73
CD = \(\sqrt{73}\)
DA² = (6 + 3)² + (-1 -1)²
= (9)² + (-2)²
= 81 + 4
= 85
DA = \(\sqrt{85}\)
AB = CD= \(\sqrt{73}\) மற்றும் BC = DA = \(\sqrt{85}\)எதிர்ப்பக்கங்கள் சமம். எனவே ABCD ஒரு இணைகரம் ஆகும்.

(ii) A (-7,-3), B (5, 10), C (15, 8) மற்றும் D (3, -5) என்க தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,
AB² = (5 + 7)² + (10 – 3)²
= 12² + 13² = 144 + 169 = 313
AB = \(\sqrt{313}\)
BC² = (15 – 5)² + (8 – 10)²
= 10² + (-2)² = 100 + 4 = 104
BC = \(\sqrt{104}\)
CD² = (3 – 15)² + (-5, -8)²
= (-12)² + (-13)²
= 144 + 169 = 313
CD = \(\sqrt{313}\)
DA² = (3 + 7)² + (-5 + 3)²
= (10)² = (-2)²
= 100 + 4 = 104
DA = \(\sqrt{104}\)
AB = CD = \(\sqrt{313}\) , மற்றும் BC = DA = \(\sqrt{104}\) எதிர்ப்பக்கங்கள் சமம் என்பதால் தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகள் இணைகரம் ABCD ன் உச்சிகளாக அமையும்.

கேள்வி 6.
பின்வரும் புள்ளிகள் வரிசைப்படி எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால் அது ஒரு சாய் சதுரத்தை அமைக்குமா
என ஆராய்க.
i. A (3, -2), B (7, 6), C (-1, 2) மற்றும் D (-5, -6)
ii. A (1, 1), B (2, 1), C (2, 2) மற்றும் D (1, 2)
விடை:
i. A (3, -2), B (7, 6), C (-1, 2) மற்றும் D (-5, -6) என்க தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,
AB² = (7 – 3)² + (6 + 2)²
= (4)² + (8)²
= 16 + 64
= 80
AB = \(\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}\)
= 2 × 2√5
= 4√5
BC² = (-1 -7)² + (2 – 6)²
= (-8)² + (-4)²
= 64 + 16
= 80
BC = \(\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}\)
= 2 × 2√5
= 4√5
CD² = (-5 + 1)² + (-6 – 2)²
= (-4)² + (-8)²
= 16 + 64
= 80
CD = \(\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}\)
= 2 × 2√5
= 4√5
DA² = (-5 -3)² + (-6 + 2)²
= (-8)² + (-4)²
= 64 + 16
= 80
DA = \(\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}\)
= 2 × 2√5
= 4√5
AC² = (-1 -3)² + (2 + 2)²
=(-4)² + (4)²
= 16 + 16
= 32
AC = \(\sqrt{32}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}\)
= 2 × 2√2
= 4√2
BD² = (-5 -7)² + (-6 -6)²
= (-12)² + (-12)²
= 144 + 144
= 288
BD = \(\sqrt{288}\)
\(=\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3}\)
= 2 × 2 × 3√2
= 12√2
AB = BC = CD = DA
AC ≠ BD ABCD ஒரு சாய்சதுரம் ஆகும்.

ii. A (1, 1), B (2, 1), C (2, 2) மற்றும் D (1, 2) என்க தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,
AB² = (2 – 1)² + (1 – 1)²
= 1 + 0
= 1
AB = √1
= 1
BC² = (2 – 2)² + (2 – 1)²
= 0 + 1
= 1
BC = √1
= 1
CD² = (1 – 2)² + (2 – 2)²
= (-1)² + 0
= 1 + 0
= 1
CD = √1
= 1
DA² = (1 – 1)² + (2 – 1)²
= 0 + (1)²
= 1
DA = √1 √2
= 1
AC² = (2 – 1)² + (2 – 1)²
=(1)² + (1)² = 1 + 1
= 2
AC = √2
BC² = (3 – 1)² + (2 – 1)²
= (-1)² + (1)²
= 1 + 1
= 2
BD = √8
AB = BC = CD = DA
AC = BD ABCD ஒரு சாய்சதுரம் ஆகும்.

கேள்வி 7.
புள்ளிகள் A(-1,1), B(1,3), மற்றும் C(3,a), மேலும் AB = BC எனில் a இன் மதிப்பைக் காண்க.
விடை:
A(-1,1), B(1,3), மற்றும் C(3, a) எனத் தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,
AC² = (2 – 1)² + (2 – 1)²
= (1)² + (1)²
AB² = (1 + 1)² + (-3 -1)²
= (2)² + (2)²
= 4 + 4
= 8
AB = 2√2
= 2√2
BC² = (3 – 1)² + (a – 3)²
= (2)² + (a – 3)²
= 4 + (a – 3)²
If AB = BC,
\(\sqrt{4+(a-3)^{2}}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
8 = 4 + (a – 3)²
8 – 4 = (a – 3)²
4 = a² + 9 – 6a
a² + 5 – 6a = 0
a² – 6a + 5 = 0
a²– 5a – a + 5 = 0
a(a – 5) – 1 (a – 5) = 0
(a – 1) (a – 5) = 0
a = 1, (or) 5

கேள்வி 8.
புள்ளி A இன் X அச்சுத் தொலைவு அதன் Y அச்சுத் தொலைவிற்குச் சமம். மேலும் B(1,3), என்ற புள்ளியிலிருந்து அப்புள்ளி A ஆனது 10 அலகு தொலைவில் இருக்கிறது. எனில் A இன் அச்சுத் தொலைவுகளைக் காண்க.
விடை:
புள்ளி A ஐ A(x,x) என்க.
A (x,x) மற்றும் B(1,3) ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த
100 = 2x² + 10 – 8x
2x² – 8x – 90 = 0
x² – 4x -45 = 10
x² – 9x + 5x – 45 = 0
x (x – 9) + 5 (x – 9) = 0
(x + 5) (x – 9) = 0
x = -5, 9
(9, 9) அல்லது (-5,-5) A இன் அச்சுத் தொலைவுகள்

கேள்வி 9.
புள்ளி (x,y) ஆனது புள்ளிகள் (3,4) மற்றும் (-5, 6) என்ற புள்ளிகளிலிருந்து சம தொலைவில் இருக்கிறது. x மற்றும் y க்கு இடையே உள்ள உறவைக் காண்க.
விடை:
புள்ளி P(x,y) ஆனது புள்ளிகள் A(3,4) மற்றும் B(-5,6) என்ற புள்ளிகளிலிருந்து சம தொலைவில் இருப்பதால் PA = PB
PA = PB
PA² = PB²
(x – 3)² + (y – 4)² = (x + 5)² +(y – 6)²
y² + 9 – 6x + x² + 16 – 8y = y² + 25 + 10 + 25 + 36 – 12y
10x + 6x – 12y + 8y + 25 – \(\frac{3}{7}\) + 36 = 0
16x – 4y + 36 = 0
4y = 16x + 36
y = 4x + 9

கேள்வி 10.
புள்ளிகள் A(2,3), B(2,-4) என்க. x அச்சின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளி P ஆனது AP = \(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)AB என்ற வகையில் அமைந்துள்ளது எனில், புள்ளி P இன் அச்சுத் தொலைகைக் காண்க.
விடை :
புள்ளிகள் A(2,3) மற்றும் B(2,-4) என்க. X அச்சின் மீது P என்ற புள்ளி அமைந்துள்ளது தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,

x² – 4x + 13 = 9
x² – 4x + 4 = 0
x² – 2x + 2x – 4 = 0
x (x – 2) – 2 (x – 2) = 0
(x – 2) (x – 2) = 0
x = 2, 2
P இன் அச்சுத் தொலைவு = (2,0)

கேள்வி 11.
புள்ளிகள் (1,2), (3,-4) மற்றும் (5,-6) இன் வழிச் செல்லும் வட்டத்தின் மையம் (11,2) என நிறுவுக.
விடை:
புள்ளி P(11,2), A(1,2), B(3,-4) மற்றும் C(5,-6) என்க.
P என்பத வட்டத்தின் மையம் எனில், புள்ளிகள் A, B, C வழியாகச் செல்கிறது. மேலும் P என்ற புள்ளி A, B, C இதிலிருந்து இருப்பதால் PA=PB=PC. தொலைவு வாய்பாட்டின் படி

= 10
PA PB=PC
P என்ற மையப் புள்ளி A, B, C என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்கிறது.

கேள்வி 12.
ஆதிப் புள்ளியை மையாக உடைய வட்டத்தின் ஆரம் 30 அலகுகள். அந்த வட்டம் ஆய அச்சுகளை வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண்க. இவ்வாறான எந்த இரு புள்ளிகளுக்கும் இடையே உள்ள தொலைவைக் காண்க.
விடை:
வட்டத்தின் ஆரம் = 30 அலகுகள்
ஆய அச்சுகளை வெட்டும் புள்ளிகள் (30,0), (0,30), (-30,0) மற்றும் (0,-30)
X₁, X₂, என்பன X அச்சின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகளின் X ஆயத் தொலைவுகள் எனில், அவற்றிற்கிடையே உள்ள தொலைவு = \(\left|X_{1}-X_{2}\right|\)
X அச்சின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள் (30,0) மற்றும் (-30,0)
தொலைவு வாய்பாட்டின் படி,= |X₁ – X₂|
= |30 – (-30)|
= |30 + 30|
= |60|
= 60