Prasanna

Subject Matter Experts at SamacheerKalviGuru.com have created Tamil Nadu State Board Samacheer Kalvi 3rd Maths Book Answers Solutions Guide Pdf Free Download of Term 1, 2, 3 in English Medium and Tamil Medium are part of 3rd Standard Samacheer Book Solutions.

Let us look at these TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Std Maths Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes, Formulas and revise our understanding of the subject.

Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi 3rd Maths Book Back Answers Solutions Guide Term 1, 2, 3.

Samacheer Kalvi 3rd Standard Maths Book Solutions Back Answers Guide

3rd Standard Maths Guide Samacheer Kalvi Term 1

• Chapter 1 Geometry
• Chapter 2 Numbers
• Chapter 3 Patterns
• Chapter 4 Measurements
• Chapter 5 Time
• Chapter 6 Information Processing

Samacheer Kalvi 3rd Standard Maths Book Solutions Term 2

• Chapter 1 Numbers
• Chapter 2 Patterns
• Chapter 3 Measurements
• Chapter 4 Time
• Chapter 5 Information Processing

Samacheer Kalvi 3rd Standard Maths Book Answers Term 3

• Chapter 1 Geometry
• Chapter 2 Numbers
• Chapter 3 Patterns
• Chapter 4 Measurements
• Chapter 5 Money
• Chapter 6 Time
• Chapter 7 Information Processing

Samacheer Kalvi 3rd Std Maths Book Solutions in Tamil Medium

Samacheer Kalvi 3rd Maths Book Solutions Term 1

• Chapter 1 வடிவியல்
• Chapter 2 எண்கள்
• Chapter 3 அமைப்புகள்
• Chapter 4 அளவீடுகள்
• Chapter 5 நேரம்
• Chapter 6 தகவல் செயலாக்கம்

Samacheer Kalvi 3rd Maths Book Solutions Term 2

• Chapter 1 எண்கள்
• Chapter 2 அமைப்புகள்
• Chapter 3 அளவைகள்
• Chapter 4 காலம்
• Chapter 5 தகவல் செயலாக்கம்

Samacheer Kalvi 3rd Maths Book Solutions Term 3

• Chapter 1 வடிவியல்
• Chapter 2 எண்கள்
• Chapter 3 அமைப்புகள்
• Chapter 4 அளவைகள்
• Chapter 5 பணம்
• Chapter 6 நேரம்
• Chapter 7 தகவல் செயலாக்கம்

We hope these Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi Class 3rd Maths Book Solutions Answers Pdf Free Download in English Medium and Tamil Medium will help you get through your subjective questions in the exam.

Let us know if you have any concerns regarding TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Standard Maths Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes, Formulas, drop a comment below and we will get back to you as soon as possible.

Subject Matter Experts at SamacheerKalviGuru.Com have created Tamil Nadu State Board Samacheer Kalvi 3rd Standard Books Answers Solutions Guide Pdf Free Download of Term 1, 2, 3 in English Medium and Tamil Medium are part of Samacheer Kalvi Books Solutions.

Let us look at these TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Std Guide Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes, Formulas and revise our understanding of the subject.

Samacheer Kalvi 3rd Standard Text Book Solutions Back Answers Guide Pdf Free Download

• Samacheer Kalvi 3rd Standard Maths Guide
• Samacheer Kalvi 3rd Standard Science Guide
• Samacheer Kalvi 3rd Standard Social Science Guide
• Samacheer Kalvi 3rd Standard English Guide
• Samacheer Kalvi 3rd Standard Tamil Guide

We hope these Tamilnadu State Board Samacheer Kalvi Class 3rd Standard Books Term 1, 2, 3 Solutions Answers Guide Pdf Free Download in English Medium and Tamil Medium will help you get through your subjective questions in the exam.

Let us know if you have any concerns regarding TN State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 3rd Standard Guides Pdf of Text Book Back Questions and Answers Term 1, 2, 3, Chapter Wise Important Questions, Study Material, Question Bank, Notes, Formulas, drop a comment below and we will get back to you as soon as possible.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.8 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.8

கேள்வி 1.
3x -2y +6 = 0, x = -3, x = 1 மற்றும் X – அச்சு ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 3x-2y+6 = 0
2y = 3x + 6 ⇒ y = \(\frac{3x+6}{2}\)

∴ பரப்பு = \(\int_{-3}^{-2}-y d x+\int_{-2}^{1} y d x\)
[∵ x – அச்சுக்கு கீழ் உள்ள பரப்பு]

∴ A = 7.5 ச.அலகுகள்

கேள்வி 2.
2x – y + 1 = 0 , y = -1, y = 3 மற்றும் X- அச்சு ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 2x – y + 1 = 0
⇒ 2x = y – 1 ⇒ x = \(\frac{y-1}{2}\)

[∵ X- அச்சுக்கு இடது புறத்தில் உள்ள பரப்பு]

= 2 ச. அலகுகள்

கேள்வி 3.
வளைவரை 2 + x – x² + y = 0, x- அச்சு,x = -3 மற்றும் x = 3 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு
2 + x – x² + y = 0
⇒ y = x² – x – 2

∴ தேவையான பரப்பு = \(\int_{-3}^{-1} y d x+\int_{-1}^{2}-y d x+\int_{2}^{3} y d x\)


∴ பரப்பு = 16 ச. அலகுகள்

கேள்வி 4.
கோடு y = 2x + 5 மற்றும் பரவளையம் y = x² – 2x ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு
y = x² – 2x ……….. (1)
மற்றும் கோடு y = 2x + 5 ………… (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, பரவளையத்திற்கு

x² – 2x = 2x + 5
⇒ x² – 4x-5 =0
⇒ y = (x – 5) (x + 1) = 0
⇒ கோட்டிற்கு x = 5, -1


= 36 ச.அலகுகள்

கேள்வி 5.
வளைவரைகள் y = sin x, y = cos x மற்றும் கோடுகள் x = 0 மற்றும் x = π ஆகியவற்றுக்கு இடையே அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகள் y = sinx …. (1)
y = cos x ………. (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, sinx = cos x

⇒ x = \(\frac{\pi}{4}\)

∴ தேவையான பரப்பு = 2 \(\begin{array}{l}
\frac{3 \pi}{4} \\
\int \\
\frac{\pi}{4}
\end{array}\) (sinx – cos x)dx
[∵ X – அச்சை பொறுத்த சமச்சீராக உள்ளது]

கேள்வி 6.
y = tan x, y = cot x மற்றும் கோடுகள் x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\), y = 0 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகளின் சமன்பாடு
y = tanx, y = cot x.
y = tanx மற்றும் y = cot x வெட்டிக் கொள்ளும்
tan x = cot x = x = \(\frac{\pi}{4}\)
∴ தேவையான பரப்பு = \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\) (tan x – cot x)dx

[∵ log 1 = 0]

கேள்வி 7.
பரவளையம் y² = x மற்றும் கோடு y = x – 2 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு
y² = x மற்றும் கோடு y = x – 2 ⇒ x = y + 2
y = x – 2

∴ y ²= y + 2 ⇒ y² – y – 2 = 0
⇒ (y – 2) (y + 1) = 0
⇒ y = – 1, 2
∴ தேவையான பரப்பு = \(\int_{-1}^{2}\) (x₁ – x₂)dy

பரப்பு = \(\frac{9}{2}\) ச.அலகுகள்

கேள்வி 8.
ஒரு குடும்பத் தலைவர், x = 0 , x = 4 , y = 4 மற்றும் y = 0 ஆகியவற்றால் அடைபடும் சதுரநிலத்தின் பரப்பை y = 4x மற்றும் x = 4y என்ற வளைவரைகளின் வாயிலாக தன்னுடைய மனைவி, மகள் மற்றும் மகன் ஆகியோர்களுக்கு மூன்று சமபாகங்களாகப் பிரிக்க விரும்புகிறார். அவ்வாறு பிரிக்க இயலுமா? பிரிக்க இயலும் எனில் ஒவ்வொருவருக்கும் கிடைக்கும் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகளுக்கான சமன்பாடுகள்
y² = 4x மற்றும் x² = 4y

= \(\frac{4}{3}(4)(2)-\frac{64}{12}\)
= \(\frac{32}{3}-\frac{32}{6}=\frac{64-32}{6}=\frac{32}{6}\)
= \(\frac{16}{3}\) ச. அலகுகள்
ஆம் 3 சமபாகங்களாக பிரிக்கலாம். மகன், மகள் மற்றும் மனைவி ஒவ்வொருவருக்கும் கிடைக்கும்
பரப்பு \(\frac{16}{3}\) ச.அலகுகள்.

கேள்வி 9.
P என்பது y = (x – 2)² + 1 என்ற வளைவரைக்கு ஒரு மீச்சிறு புள்ளி. Q என்ற புள்ளியானது, PQ-ன் சாய்வு 2 உள்ளவாறு வளை வரையின் மேல் உள்ளது எனில் வளைவரைக்கும் நாண் PQ – க்கும் இடையில் அடைபடும் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சமன்பாடு
(y – 1) = (x – 2)²
⇒ y = (x – 2)² + 1 ………… (1)
அதனுடைய முனை (2, 1) ஆனது மீச்சிறு புள்ளி Pஆகும்.
Q(x, y) ஆனது பரவளையத்தின் மேல் உள்ள புள்ளி என்க. கொடுக்கப்பட்ட சாய்வு PQ = 2
⇒ \(\frac{y-1}{x-2}\) = 2 [∵ சாய்வு = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)]
⇒ y – 1 = 2 (x – 2) ⇒ y – 1 = 2x – 4 ⇒ y = 2x – 4 + 1
⇒ y = 2x + 3 ………….(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, (x – 2)² + 1 = 2x – 3
⇒ x² – 4x + 4 + 1 = 2x – 3 ⇒ x² – 6x + 8 = 0
⇒ (x – 4) (x – 2) = 0 ⇒ x = 2, 4

கேள்வி 10.
x² + y² = 16 என்ற வட்டத்திற்கும் y = 6x என்ற பரவளையத்திற்கும் பொதுவான அரங்கத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² = 16 …….. (1)
கொடுக்கப்பட்ட பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 6x ……(2)
(2) ஐ (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
x² + 6x – 16 = 0 ⇒ (x + 8) (x – 2) = 0
⇒ x = -8, 2

∴ தேவையான பரப்பு
= 2 \(\begin{array}{l}
2 \\
\int \\
0
\end{array}\) பரவளையத்திற்கு கீழுள்ள பரப்பு + \(\begin{array}{l}
4 \\
\int \\
2
\end{array}\) வட்டத்திற்கு கீழுள்ள பரப்பு

= \(\frac{4}{3}[4 \pi+\sqrt{3}]\) ச. அலகுகள்

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.7

பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக:
கேள்வி 1.
(i) \(\int_{0}^{\infty} x^{5} e^{-3 x} d x\)
(ii) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{-\tan x}}{\cos ^{6} x} d x\)
தீர்வு:

கேள்வி 2.
\(\int_{0}^{\infty} e^{-a x^{2}} x^{3} d x\) = 32, α > 0 எனில் 0-ன் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.6

கேள்வி 1.
பின்வருவனவற்றை மதிப்பிடுக :

தீர்வு:

(ii) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{7} x d x\)
I_n = \(\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{7} x d x=\frac{n-1}{n} \mathrm{I}_{n-2}\), n ≥ 2
∴ I₇ = \(\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{7} x d x=\frac{6}{7} \times \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \times 1=\frac{16}{35}\)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.3 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.3

கேள்வி 1.
பின்வரும் வரையறுத்த தொகையிடலின் மதிப்பு காண்க :

தீர்வு:
(i) \(\int_{3}^{4} \frac{d x}{x^{2}-4}\)
\(\int_{3}^{4} \frac{d x}{x^{2}-4}=\int_{3}^{4} \frac{d x}{x^{2}-2^{2}}\)

(ii) \(\int_{-1}^{1} \frac{d x}{x^{2}+2 x+5}\)

(iii) \(\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} d x\)
= \(\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} d x\)
(தொகுதி மற்றும் பகுதியை 1-3 ஆல் பெருக்க)
= \(\int_{0}^{1} \frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\)
= \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x-\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\)

கேள்வி 2.
பின்வரும் வரையறுத்த தொகையிடல்களை, தொகையிடலின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மதிப்பு காண்க :


(xi) \(\int_{0}^{\pi}\) x[sin² (sin x) + cos² (cos x)] dx
தீர்வு:

= -f(x)

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.7 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.7

கேள்வி 1.
கீழ்காணும் கலப்பெண்களின் வடிவினைக் காண்க.

(i) 2+i2\(\sqrt{3}\)
(ii) 3-i\(\sqrt{3}\)
(iii) -2-i2
(iv) \(\frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}\)
தீர்வு:
(i) 2 +i2\(\sqrt{3}\)
2+i 2\(\sqrt{3}\) = x + iy = r (cos θ + i sin θ) என்க
r = எண் மதிப்பு = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
= \(\sqrt{2^{2}+(2 \sqrt{3})^{2}}\)
= \(\sqrt{4+12}\) = \(\sqrt{16}\) = 4

2 + i2\(\sqrt{3}\) என்ற கலப்பெண் முதலாம் கால் பகுதியில் அமைவதால் [x, y இரண்டும் மிகை) அதன் முதன்மை வீச்சு
θ = α = \(\frac{\pi}{3}\)
அதன் துருவ வடிவம் 2 +i2\(\sqrt{3}\)

(ii) 3 – i\(\sqrt{3}\)
x + iy = 3 – i\(\sqrt{3}\) என்க.
= r (cos θ + i sin θ)

3 – i\(\sqrt{3}\) என்ற கலப்பெண் நான்காம் கால்பகுதியில் அமைவதால்,
[∵ x → + ve, y → – ve]
அதன் முதன்மை வீச்சு θ = -α
⇒ θ = \(\frac{\pi}{6}\)
∴ துருவ வடிவம்
3-i\(\sqrt{3}\) = 2\(\sqrt{3}\)

(iii) – 2 – i2
x + iy = -2- 2i = r (cos θ + i sin θ) என்க

-2 – 2i என்ற கலப்பெண் மூன்றாம் கால்பகுதியின் அமைவதால்
[x குறை y குறை]
அதன் முதன்மை வீச்சு θ = α – π
⇒ θ = \(\frac{\pi}{4}\)-π=\(\frac{\pi-4 \pi}{4}\)=\(-\frac{3 \pi}{4}\)
அதன் துருவ வடிவம்

(iv)

(-1 + i) என்ற கலப்பெண் II-ம் கால் பகுதியில்
அமைவதால் [x → குறை y → மிகை)
அதன் முதன்மை வீச்சு θ = π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(-\frac{3 \pi}{4}\)

எனவே துருவ வடிவம்

கேள்வி 2.
பின்வருவனவற்றை செவ்வக வடிவில் எழுதுக.
(i) (cos \(\frac{\pi}{6}\) + i sin\(\frac{\pi}{6}\))(cos \(\frac{\pi}{12}\) + isin \(\frac{\pi}{12}\))
(ii)
தீர்வு:
(i) (cos \(\frac{\pi}{6}\) + i sin\(\frac{\pi}{6}\))(cos \(\frac{\pi}{12}\) + isin \(\frac{\pi}{12}\))
[ ∵ (cos θ₁ + i sin θ₁) (cos θ₂ + i sin θ₂)
= cos (θ₁ + θ₂) +i sin (θ₁ + θ₂)

(ii)

கேள்வி 3.
(x₁ + iy₁) (x₂ + iy₂) …… (x_n + iy_n) = a + ib எனில்,

தீர்வு:

இருபுறமும் மட்டு மதிப்பு காண கிடைப்பது

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,

(ii)
(x₁ + iy₁)(x₂ + iy₁) …. (x_n + iy_n) = a + ib
arg((x₁ + iy₁)(x₂ + iy₂)…….(x_n + iy_n)) = arg(a + ib)
⇒ arg(x₁ + iy₁) + arg(x₂ + iy₂) + ….. + arg(x_n + iy_n) = arg(a + ib)
(∵ arg(z₁z₂….z_n) = arg z₁ + arg z₂ + … + arg z_n)
⇒ tan^-1\(\left(\frac{y_{1}}{x_{1}}\right)\) + tan^-1\(\left(\frac{y_{2}}{x_{2}}\right)\) + ….. + tan^-1\(\left(\frac{y_{n}}{x_{n}}\right)\)
= tan^-1\(\left(\frac{b}{a}\right)\) + 2kπ _k∈ℤ

கேள்வி 4.

தீர்வு:

அதாவது \(\frac{1+z}{1-z}\) = cos 2θ + i sin 2θ
⇒ \(\frac{1+x+i y}{1-x-i y}\) = cos 2θ + i sin 2θ …… (1)
மட்டு மதிப்பு காண கிடைப்பது,
\(\frac{1+x+i y}{1-x-i y}\) = |cos 2θ + i sin2θ| ⇒ |\(\frac{1+x+i y}{1-x-i y}\)|
= \(\sqrt{\cos ^{2} 2 \theta+\sin ^{2} 2 \theta}\) = 1

கற்பனை பகுதியை தனியாக எடுக்க கிடைப்பது

⇒ \(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\) = sin 2θ
∴ y ஆனது tan 8 ற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
⇒ y = tan θ
∴ z = 0 + i tan θ = z ⇒ tan θ

கேள்வி 5.
cos α + cos β + cos γ = sin α + sin β + sin γ = 0, எனில்,
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ) மற்றும்
(ii) sin 3γ + sin 3β + sin 3γ= 3 sin (α + β + γ) என நிறுவுக.
தீர்வு:
(i) cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ)
கொடுக்கப்பட்ட cos α + cos β + cos γ = sin α +sin β + sin γ = 0
⇒ (cos α + cos β + cos γ) + i (sin α + sin β+ sin γ)=0
⇒ (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ) = 0
⇒ a + b + c = 0 இங்கு a = cos α + i sin α, b = cos β + i sin β, c = cos γ + i sin γ
a + b + c = 0, எனில் a³ + b³ + c³ = 3abc.
∴ (cos α + i sin α)³ + (cos β + i sin β)³ + (cos γ + i sin γ)³ = 3[(cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)]
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி,
⇒ cos 3α + i sin 3α + cos 3β + i sin 3β + cos 3γ + i sin 3γ
⇒ 3 [(cos (α + β + γ) + i sin (α + β + γ)]
⇒ (cos 3α + cos 3β + cos 3γ) + i [sin 3α + sin 3β + sin 3γ)]
= 3 [(cos (α + β + γ) + i sin (α + β + γ)]
மெய் மற்றும் கற்பனை பகுதிகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது
cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 3 cos (α + β + γ)
மற்றும் sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 3sin (α + β + γ) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வி 6.
z = x + iy மற்றும் arg \(\left(\frac{z-i}{z+2}\right)\) = \(\frac{\pi}{4}\) எனில்,
x² + y² + 3x – 3y + 2 = 0 எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z =x + iy மற்றும்
arg \(\left(\frac{z-i}{z+2}\right)\) = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ arg (z – i) – arg(z + 2) = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ arg (x + iy – i) – arg(x + iy + 2) = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ arg (x + i(y – 1)) – arg((x + 2) + iy) = \(\frac{\pi}{4}\)


⇒ -x + 2y – 2 = x² + 2x + y² – y
⇒ x² + 2x + y² – y + x – 2y + 2 = 0
⇒ x² + y² + 3x – 3y + 2 = 0
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.6 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 2 கலப்பு எண்கள் Ex 2.6

கேள்வி 1.
z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் \(\left|\frac{z-4 i}{z+4 i}\right|\)
= 1 எனுமாறு அமைந்தால் z -ன் நியமப் பாதை மெய் அச்சு எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z =x+iy
கருதுக \(\left|\frac{z-4 i}{z+4 i}\right|\) =1 ⇒ \(\left|\frac{x+i y-4 i}{x+i y+4 i}\right|\) = 1
⇒ \(\left|\frac{x+i(y-4)}{x+i(y+4)}\right|\) = 1

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது,
x² + (y – 4)² = x² + (y + 4)²

⇒ 8y + 8y = 0
⇒ 16y = 0
⇒ y = 0 [∵ 16 ≠ 0]
y = 0 என்பது மெய் அச்சின் சமன்பாடு
∴z-ன் நியமப்பாதை மெய் அச்சு ஆகும்.

கேள்வி 2.
z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் Im\(\left(\frac{2 z+1}{i z+1}\right)\) = 0 எனுமாறு அமைந்தால் z -ன் நியமப்பாதை 2x² + 2y² + x – 2y = 0 எனக் காட்டுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட z = x+iy

பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது

கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,

⇒ – 2x² – x + 2y – 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x – 2y = 0
எனவே z -ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x- 2y = 0

கேள்வி 3.
பின்வ ரும் சமன்பாடுகளில் z = x + iy – ன் நியமப்பாதையை கார்ட்டீசியன் வடிவில் காண்க.
(i) [Re (iz)]² = 3
(ii) Im [(1 – i) z + 1] = 0
(iii) |z + i| = |z – 1|
(iv) \(\bar{z}\) = z^-1
தீர்வு:
(i) [Re (iz)]² = 3
iz = i (x + iy) = ix +i²y = ix – y = -y + ix
⇒ Re (iz) = -y
[Re (iz)]² = 3 ⇒ (-y)² = 3
⇒ y² = 3.
எனவே கார்ட்டீசியன் சமன்பாடானது y² = 3

(ii) Im [[1- i) z + 1] = 0
(1 – i) z + 1 = (1 – i) (x + iy) + 1
= x + iy – ix – iy + 1
= x + iy – ix + y + 1
= (x + y + 1) + i(y – x)
∴I_m[(1 – i) z + 1] = y – x = 0.
⇒ x – y = 0.
எனவே கார்ட்டீசியன் சமன்பாடானது x – y = 0.

(iii) |z + i| = |z -1|
⇒ |x + iy + il = |x + iy – 1|
⇒ x + i (y + 1) = |(x – 1) + iy|
⇒ \(\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}\) = \(\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\)
⇒ x² + (y+ 1)² = (x – 1)² + y²
[இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது]

⇒ 2y + 2x = 0 ⇒ x + y = 0
எனவே கார்ட்டீசியன் சமன்பாடானது x + y = 0.

(iv) \(\bar{z}\) = z^-1
\(\bar{z}\) = z^-1
\(\bar{z}\) = \(\frac{1}{z}\) ⇒ z\(\bar{z}\) = 1
⇒ |z|² =1
⇒ x² – y² = 1 தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு.

கேள்வி 4.
பின்வரும் சமன்பாடுகள் வட்டத்தை குறிக்கிறது எனக்காட்டுக. மேலும் இதன் மையம் மற்றும் ஆரத்தைக் காண்க.)
(i) |z – 2 – i| = 3
(ii) |2z + 2 – 4i| = 2
(iii) |3z – 6 + 12i| = 8
தீர்வு:
(i) |z – 2 – i| = 3.
⇒ |z – (2 +i)| = 3
இது |z – z₀| =r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் ( 2 + i ) மற்றும் ஆரம் 3 ஆகும்.

(ii) |2z + 2 – 4i| = 2
2|z + 1 – 2i | = 2
⇒ |z – (-1 + 2i) = 1
இது |z – z₀| = r என்ற வடிவம் கொண்டது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (-1 + 2i) மற்றும் ஆரம் 1 ஆகும்.

(iii) |3z – 6 + 12i| = 8
⇒ 3|z – 2 + 4i| = 8
⇒ z – (2 – 4i) = \(\frac{8}{3}\)
இது |z – z₀| = r என்ற வடிவம் உள்ளது. ஆகவே இது வட்டத்தை குறிக்கின்றது.
இதன் மையம் (2 – 4i) மற்றும் ஆரம் \(\frac{8}{3}\) ஆகும்.

கேள்வி 5.
பின்வ ரும் சமன்பாடுகளில் z = x + iy -ன் நியமப்பாதையை கார்டீசியன் வடிவில் காண்க.
(i) |z – 4| = 16
(ii) |z – 4|² – |z – 1|² = 16
தீர்வு:
(i) |z – 4| = 16
கொடுக்கப்பட்ட z = x + iy
⇒ |z – 4| = 16
⇒ |x + iy – 4| = 16
⇒ |(x – 4) + iy| = 16
⇒ \(\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}\) = 16
⇒ (x – 4)² + y² = 16
[இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த]
⇒ x² – 8x + 16 + y² = 256
⇒ x² – 8x + y² + 16 – 256 = 0
⇒ x² – 8x + y² – 240 = 0. என்பது தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

(ii) |z – 4|² – |z – 1|² = 16
|x + iy – 4|² – |x + iy – 1|² = 16
⇒ |(x – 4) + iy|² – |(x – 1) + iy|² = 16
⇒ [(x – 4)² + y²] – [(x – 1)² + y²] = 16
⇒ x² – 8x + 16 + y² – [x² – 2x + 1 + y²] = 16

⇒ -6x + 15 – 16 = 0
⇒ -6x – 1 = 0
⇒ 6x + 1 = 0 என்பது தேவையான கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு ஆகும்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.2 Textbook Questions and Answers, Notes.

TN Board 12th Maths Solutions Chapter 9 தொகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் Ex 9.2

கேள்வி 1.
கீழ்க்காணும் தொகையீடுகளை கூட்டலின் எல்லைகளாக கணக்கிடுக :
(i) \(\int_{0}^{1}(5 x+4) d x\)
(ii) \(\int_{1}^{2}\left(4 x^{2}-1\right) d x\)
தாவு:
(i) \(\int_{0}^{1}(5 x+4) d x\)
இங்கு a = 0, b = 1, f(x) = 5x + 4

∴ \(\int_{1}^{2}\left(4 x^{2}-1\right) d x=\frac{25}{3}\)